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    2019安徽中考数学专题训练:几何图形动态问题(含解析)

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    2019安徽中考数学专题训练:几何图形动态问题(含解析)

    1、 几何图形动态问题 类型一 动点问题1.如图,正方形 ABCD 中,动点 P 在边 BC 上移动(不与端点 B、C 重合) ,作点 B 关于直线 AP 的对称点 E,连接 PE,DE,延长 DE 交直线 AP 于点F.(1)若PAB=15,AB=4,求 DE 的长;(2)连接 BF,动点 P 在移动的过程中,APB-CBF 的值是否为定值?若为定值求出其值;若非定值,请说明理由.第 1 题图解:(1)四边形 ABCD 是正方形,AB=AD,BAD =90,点 B 和点 E 关于直线 AP 对称,AB=AE,PAB=PAE=15,AE=AD,DAE =90- BAE=90-215=60,ADE

    2、是等边三角形,DE =AD=AB=4;(2)值为定值,APB-CBF=45.理由:如解图,设 DF 与 BC 交于点 K,第 1 题解图点 B 和点 E 关于直线 AP 对称,AB=AE=AD,ABP=ADC=AEP=90,PBF=PEF,AED= ADE,PEF+AED=90,ADF+CDF =90,PEF=CDF=CBF,CKD= BKF,BFK=C=90,APB-CBF=PFB= BFE=45.212.在ABC 中,ABC=90,AB =BC,点 P 是 AC 上的一个点(点 P 与A,C 不重合) ,连接 BP,分别过点 B,C 作 BP,AC 的垂线 BQ,CQ,两垂线交于点 Q,连

    3、接 QP,交 BC 于点 E.(1)求证:CPB CEQ;(2)若 AB=2 ,在点 P 的运动过程中,是否存在一点 P 使得2CE= BC?若存在,请求出ABP 的面积;如不存在,请说明理由.83第 2 题图(1)证明:在ABC 中,ABC =90, AB=BC,A =ACB=45,CQ AC,QCB=A=45,又BQ BP,PCQ +PBQ =180,P、 C、Q、B 四点共圆,CQP=PBC(同弧所对的圆周角相等) ,CPBCEQ;(2)解:存在,由 CE= BC= AB= ,83423由勾股定理可得,AC= =4,2BCAABP=ABC-PBC=90-PBC,CBQ=PBQ -PBC=

    4、90-PBC,ABP= CBQ,又A =ACB=BCQ=45,AB=BC,ABPCBQ,AP=CQ ,设 AP=CQ=x,则 PC=4-x,由(1)得CPB CEQ, ,即 ,CQBEPx243可得 ,解得 =3 或 1,02x如解图,过点 P 作 PDAB 于 D,易得APDACB, ,即 ,ACBD APACB24当 AP=3 时,可得 ,23P此时ABP 的面积为 = =3,DB123当 AP=1 时,可得 ,2P此时ABP 的面积为 = =1,AB12ABP 的面积为 3 或 1.第 2 题解图3.如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 BC,AB 上的动点,且CE=BF,

    5、连接 DE,过点 E 作 EGDE,使 EG=DE,连接 FG,FC .发现(1)请判断:FG 与 CE 的数量关系是 ,位置关系是 ;探究(2)如图,当点 E,F 分别在 CB,BA 的延长线上时,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由;延伸(3)如图,若当点 E,F 分别在 BC,AB 延长线上时,正方形 ABCD 的边长为 10,GE=5 ,其他条件不变,请直接写出四边形 BEGF 的面积.5图 图 图第 3 题图解:(1)FG=CE,FGCE;【解法提示】如解图,设 DE 与 CF 交于点 M.第 3 题解图四边形 ABCD 是正方形,BC=CD ,ABC= DCE=90

    6、,在CBF 和DCE 中,CDBEFCBFDCE(SAS ) ,BCF=CDE,CF=DE,BCF+DCM=DCE=90,CDE+DCM=90,CMD=90,CFDE,GE DE,EG CF,EG =DE,CF=DE,EG =CF,四边形 EGFC 是平行四边形,FG =CE,FG CE.(2)结论仍然成立.理由如下:如解图,设 DE 与 CF 交于点 M.第 3 题解图四边形 ABCD 是正方形,BC=CD ,ABC= DCE=90,在CBF 和DCE 中,CDBEFCBFDCE(SAS) ,BCF=CDE,CF=DE,BCF+DCM=DCE=90,CDE+DCM=90,CMD=90,CFD

    7、E,GE DE,EG CF,EG =DE,CF=DE,EG =CF,四边形 EGFC 是平行四边形,FG =CE,FG CE;(3)S 四边形 BEGF=50.【解法提示】同(1)可得CBFDCE ,四边形 EGFC 是平行四边形,BF=CE,FG CE, FG=CE,CF=EG =5 ,5在 RtBCF 中, ,2BCFCE=BF=FG=5,S 四边形 BEGF=SBCF +S EGFC= 105+55=50.21类型二 平移问题4.两个三角板 ABC,DEF 按如图所示的位置摆放,点 B 与点 D 重合,边AB 与边 DE 在同一条直线上 (假设图形中所有的点,线都在同一平面内)其中,CD

    8、EF90,ABCF 30,ACDE6 cm.现固定三角板 DEF,将三角板 ABC沿射线 DE 方向平移,当点 C 落在边 EF 上时停止运动设三角板平移的距离为 x(cm),两个三角板重叠部分的面积为 y(cm2)(1)当点 C 落在边 EF 上时,求三角板平移的距离;(2)设边 BC 的中点为点 M,边 DF 的中点为点 N.直接写出在三角板平移过程中,点 M 与点 N 之间距离的最小值第 4 题图解:如解图,作 CGAB 于点 G,CHFE 于点 H,第 4 题解图在 RtABC 中,由 AC6,ABC30,得 BC 6 cm.30tanAC3在 RtBCG 中,BGBCcos309 c

    9、m.四边形 CGEH 是矩形,CH GEBGBE9615 cm ,即三角板平移的距离为 15 cm;(2)如解图所示,作 NJDE 于点 J,第 4 题解图点 M 在 NJ 上时,MN 最短,NJ 是 DEF 的中位线, NJ EF3 ,12 3MB CB3 ,B30,12 3MJ MB ,12 3 32则 MNminNJMJ3 .33 32 3 325.如图,在 RtABC 和 RtDEF 中,BAC=EDF=90,AB=AC,DE=DF,点 D 在射线 AB 上,AB=2DF =6.连接 EA,EC,交射线AB 于点 H,取 CE 的中点 G,连接 DG.(1)当点 F 与点 A 重合时,

    10、求 DH 的长;(2)如图,保持ABC 固定不动,将 DEF 沿射线 AB 平移 m 个单位,判断 DG 与 EA 的位置关系和数量关系,并说明理由;(3)如图,继续平移DEF,使得DEF 的一个顶点恰好在直线 BC上,求此时 HG 的长.图 图 图第 5 题图解:()EDA = CAB=90,DE AC, DHE AHC , ,21ABDFCEHDH AD =1;3()DGEA,DG E21理由:由()知,EDHCAH, ,21ACDHE点 是 EC 的中点,EH HG HCHG,HGHCEHEH, ,21EHGADDHGAHE,DHGAHE,HDGHAE, ,21AHDEGDGEA,DG

    11、EA; 21()当点 D 在直线 BC 上时,此时点 D 和点 B 重合,如解图 , ,AB ,21ACBEHBH ,BE ,在 RtBHE 中,由勾股定理得 = ,2BHE13 ,21AEDGHHG EH ;3当点 F 在直线 BC 上时,如解图,此时点 F 与点 B 重合,此时 BE DE ,22HG EH .13综上所述,HG 的长为 或 213图 图第 5 题解图类型三 折叠问题6.如图,将一副直角三角板拼放在一起得到四边形 ABCD,其中BAC45,ACD 30,点 E 为 CD 边上的中点,连接 AE,将ADE 沿 AE 所在直线翻折得到ADE,DE 交 AC 于 F 点,若 AB

    12、6 cm.2(1)试在线段 AC 上确定一点 P,使得 DPEP 的值最小,并求出这个最小值;(2)求点 D到 BC 的距离第 6 题图解:(1)在 RtADC 中,ACD30,ADC60,E 为 CD 边上的中点,DE AE,ADE 为等边三角形,将ADE 沿 AE 所在直线翻折得到AD E,AD E 为等边三角形, EAD 60 ,EACDAC EAD30,EFA90,即 AC 所在的直线垂直平分线段 ED,点 E、D 关于直线 AC 对称,如解图,连接 DD交 AC 于点 P,连接 EP,第 6 题解图此时 DPEP 的值最小,且 DPEPDD,ADE 是等边三角形,AD4 cm,3DD

    13、2 AD12 cm,32即 DPEP 的最小值为 12 cm;(3)点 D到 BC 边的距离为(3 ) cm.2 6【解法提示】连接 CD,BD,过点 D作 DG BC 于点 G,AC 垂直平分线 ED,AE=AD,CE=CD,AE=EC,AD=CD= ,34ABD CBD (SSS) ,DBG=45,DG=GB,设 DG 长为 x cm,则 CG 长为 cm,x26在 RtGDC 中,222346x解得 x1= ,x 2= (舍去) ,6点 D到 BC 边的距离为( ) cm.237.两个全等的直角三角形 ABC 和 DEF 重叠在一起,其中A=60 ,AC=1,固定ABC 不动,将DEF

    14、进行如下操作: 如图,DEF 沿线段 AB 向右平移(即 D 点在线段 AB 内移动) ,连接DC、 CF、FB,四边形 CDBF 的形状在不断变化,但它的面积不变化 .(1)请求出其面积; (2)如图,当 D 点移到 AB 的中点时,请你猜想四边形 CDBF 的形状,并说明理由; (3)如图,DEF 的 D 点固定在 AB 的中点,然后绕 D 点按顺时针方向旋转DEF ,使 DF 落在 AB 的边上,此 时 F 点恰好与 B 点重合,连接AE,求 sin 的值.第 7 题图解:(1)如解图,DEF 沿线段 AB 向右平移(即 D 点在线段 AB 内移动) , CF=AD ,AC=DF , 四

    15、边形 ACFD 为平行四边形, AD CF, S DCF =SBCF =SACD , S 四边形 CDBF=SCDB +SBCF =SCDB +SACD =SACB , 在 RtACB 中,A =60,BC= AC= ,3S ABC = 1 = , 1232S 四边形 CDBF= ; (2)四边形 CDBF 为菱形理由如下:如解图,点 D 为斜边 AB 的中点, DC =DA=DB,CFAD,CF=AD, CF=BD ,CFDB , 四边形 CDBF 为平行四边形, 而 DC=DB, 四边形 CDBF 为菱形; 第 7 题解图(3)作 DHAE 于 H,如解图, 在 RtACB 中,A =60

    16、,AB=2AC=2, 点 D 为 AB 的中点, AD =BD= AB=1, 12绕 D 点按顺时针方向旋转DEF,使 DF 落在 AB 边上,此时 F 点恰好与 B 点重合, EFD=90 ,EB = ,DE =AB=2,3在 RtABE 中,22()7AEB ,EADH1 ,327在 RtEDH 中,sin = .214HDE8. 如图,在矩形 ABCD 中,点 E 是 AD 上的一个动点,连接 BE,将ABE 沿 BE 折叠得到FBE,且点 F 落在矩形 ABCD 的内部,连接AF,BF,EF,过点 F 作 GFAF 交 AD 于点 G,设 n.AED(1)求证:AE GE;(2)当点

    17、F 落在 AC 上时,用含 n 的代数式表示 的值;ABD(3)若 AD4AB ,且以点 F,C ,G 为顶点的三角形是直角三角形,求 n 的值第 8 题图(1)证明:由折叠性质得 AEFE ,EAFEFA.GF AF,EAFFGAEFAEFG90,FGA EFG ,EG EF,AEGE;(2)解:如解图,当点 F 落在 AC 上时,设 AEa,则 ADna,第 8 题解图由折叠的性质得 BEAF ,ABEBAC90 ,DACBAC90 ,ABEDAC.又BAED90,ABEDAC, .CAEBABDC,AB 2ADAE naana 2,AB0, AB a.n ;anABD(3)解:设 AE=

    18、a,若 AD4AB ,则 AB a,4n如解图,当点 F 落在线段 BC 上时,EF AEABa.第 8 题解图此时 aa,n4,当点 F 落在矩形内部时,n4.点 F 落在矩形的内部,点 G 在 AD 上,FCGBCD,FCG90.若CFG90,则点 F 落在 AC 上,由(2)得 ,即 ,ABDnAB4nn16.如解图,若CGF90,则CGD AGF 90.第 8 题解图FAG AGF 90 ,CGDFAG ABE.BAED90,ABEDGC, .CAEGBDGADAEEGna2a(n2)a,ABDCDGAE,即( a)2(n2)aa,4解得 n184 ,n 284 4(不合题意,舍去)2

    19、 2综上,当 n16 或 n84 时,以点 F,C,G 为顶点的三角形是直角2三角形类型四 旋转问题9. 在ABC 中,ABAC,A60,点 D 是线段 BC 的中点,EDF120 ,DE 与线段 AB 相交于点 E,DF 与线段 AC(或 AC 的延长线)相交于点 F.(1)如图,若 DFAC,垂足为 F,AB 4,求 BE 的长;(2)如图,将(1)中的EDF 绕点 D 顺时针旋转一定的角度,DF 仍与线段 AC 相交于点 F.求证:BECF AB.12图 图第 9 题图(1)解:AB AC ,A60,ABC 是等边三角形,BCAB4,B C60.D 为 BC 的中点,BD BC2,12D

    20、F AC,FDC30.EDF 120,BDE 180120 3030,DEB 90.BE BD1;12(2)证明:如解图,作 DMAB 于点 M,DNAC 于点 N,第 9 题解图由(1)知BC60,BDDC,ABBC .BM BD,CN DC,12 12BMCN BD DC (BDDC) BC AB.12 12 12 12 12B C60,BMDDNC90,BDDC,BDM CDN(AAS),DMDN,BDMCDN30,MDNEDF 120,MDE NDF.又DMEDNF,DME DNF(ASA),MENF ,BECFBM MECFBMNFCFBMCN AB.1210.如图,正方形 ABCD

    21、 的边长为 ,点 E 为边 AB 上一动点,连接 CE并将其绕点 C 顺时针旋转 90得到 CF,连接 DF,以 CE、CF 为邻边作矩形 CFGE,GE 与 AD,AC 分别交于点 H、M,GF 交 CD 延长线于点N()证明:点 A、D、F 在同一条直线上;()随着点 E 的移动,线段 DH 是否有最小值?若有,求出最小值;若没有,请说明理由.第 10 题图()证明:由旋转得FCEBCD90 ,CFCE,FCDBCE,在CDF 与CBE 中,CBDEFCDFCBE(SAS ) ,CDFB90,ADF CDF CDA180,点 A 、D 、F 在同一条直线上;(2)解:设 BE x ,则 A

    22、Ex,BCECEB90,BECAEH90,BCEAEH,又B EAH 90 ,CBEEAH, ,AHEC ,解得 AHxx ,x1DHAH(x ) ,2143当 x 时,DH 有最小值,最小值为 .2111. 在边长为 2 的正方形 ABCD 中,P 是对角线 AC 上的一个动点(点2P 与 A、C 不重合)连接 BP,将 BP 绕点 B 顺时针旋转 90到 BQ,连接QP, QP 与 BC 交于点 E,QP 的延长线与 AD(或 AD 的延长线)交于点 F.(1)连接 CQ,求证:CQAP;(2)设 AP x,CEy,试写出 y 关于 x 的函数关系式,并求当 x 为何值时,CE BC;38

    23、(3)猜想 PF 与 EQ 的数量关系,并证明你的结论第 11 题图(1)证明:由题意知 BPBQ,PBQ 90 ,在正方形 ABCD 中,ABCB,ABC90,ABCPBQ,ABCPBCPBQ PBC ,即ABPCBQ,在ABP 和CBQ 中,BQPCAABPCBQ(SAS),CQ AP;(2)解:在正方形 ABCD 中,AC 为对角线,BAPPCE45 ,由旋转可知PBQ 为等腰直角三角形,BPQ PQB 45 ,在ABP 中,BPC BAP ABP45ABP,又BPCBPQCPE45CPE,ABPCPE,又BAPPCE,BAPPCE, ,CEAPB在等腰直角ABC 中, AB2 ,2AC

    24、4,又APx,CEy,CP4x, ,即 y x2 x,(0x 4)x224 2当 CE BC 时,即 CEy 2 ,38 38 2 3 24 x2 x,解得 x11,x 2 3,3 24 24 2当 x1 或 3 时,CE BC;38(3)解:猜想:PF EQ .证明:当点 F 在线段 AD 上时,如解图,在 CE 上取一点 H,使HQEQ ,则 QEHQHE,在正方形 ABCD 中,ADBC,第 11 题解图DFE QEH ,DFE QHE ,AFPCHQ,由(1)知ABPCBQ,APCQ,BAPBCQ45,FAPBAPBCQ45,在AFP 和CHQ 中,CQAPHFAFPCHQ(AAS),PFHQ,又HQEQ,PFEQ;当点 F 在线段 AD 延长线上时,如解图 ,在 BE 上取一点 H,使HQEQ ,同理可证AFPCHQ(AAS ),得 FPHQ EQ .第 11 题解图


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