1、几何综合题类型一 动点1.如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上的一个动点，连接 AE，将线段AE 绕点 A 逆时针旋转 90，得到 AF，连接 EF，交对角线 BD 于点 G，连接 AG（1）根据题意补全图形；（2）判定 AG 与 EF 的位置关系并证明；（3）当 AB = 3，BE = 2 时，求线段 BG 的长第 1 题图解：（1）补全图形如解图；第 1 题解图（2）结论：AGEF 证明：如解图，连接 FD，过 F 点作 FMBC，交 BD 的延长线于点 M第 1 题解图四边形 ABCD 是正方形，AB=DA=DC=BC，DAB=ABE=ADC=90，ADB=5=45线段 A
2、E 绕点 A 逆时针旋转 90，得到 AF，AE=AF，FAE =901=2FDAEBA FDA=EBA=90， FD=BEADC=90， FDA+ADC=180.点 F、D、C 三点共线 ADB=3=45 FMBC，4=5=45，FM=FD，FM=BEFGM=EGB，FM=BE ，4=5，FGMEGB FG=EGAE=AF，AGFE； （3） 解：AB=3 ，BE=2，DC=3，CE=1，FD=2RtDAB 中，DB=3 2四边形 ABCD 是正方形，DHBC， ，即 ，DHFCE215DH= . ，即 ，25GBE235BGBG= . 2.如图，已知AOB=60，点 P 为射线 OA 上的
3、一个动点，过点 P 作PEOB，交 OB 于点 E，点 D 在AOB 内，且满足DPA= OPE.DP+PE=6.（1）连接 DE,当 DP=PE 时，求 DE 的长；（2）在点 P 的运动过程中，请判断是否存在一个定点 M，使得 的值DE不变？并证明你的判断.第 2 题图解：（1）如解图，作 交 于 .PFDEF ， ，PEBO60A .3 .D . 120EP , ,6 , .3D3PE .cos02F ； E图 图第 2 题解图（2）当 点在射线 上且满足 时， 的值不变，始终为 1.理MOA3MDE由如下： 当点 与点 不重合时，如解图，延长 到 使得 .PPKP ,DAOEKPA .
4、K .PM , 是公共边,D .K . 作 于 , 于 .MLOENK ，2360 . sin , , ，PEBOLENK四边形 为矩形.M .3N , .6EKPEPDNK , . ,即 .MEKD1ME当点 与点 重合时，由以上过程可知结论成立. P类型二 平移3.在ABC 中，ABC=90，AB=BC=4，点 M 是线段 BC 的中点，点 N 在射线 MB 上，连接 AN，平移ABN，使点 N 移动到点 M，得到DEM（点D 与点 A 对应，点 E 与点 B 对应） ，DM 交 AC 于点 P（1）若点 N 是线段 MB 的中点 依题意补全图 ； 求 DP 的长；（2）若点 N 在线段
5、MB 的延长线上，射线 DM 与射线 AB 交于点 Q，若MQ=DP，求CE 的长第 3 题图 备用图解：（1）补全图形，如解图； 第 3 题解图如解图 . 连接 AD，在 RtABN 中,B=90， AB=4，BN=1 ， .17AN图 1NMABCNMABC备用图线段 AN 平移得到线段 DM，DM=AN= ，17AD=NM=1， ADMC，ADPCMP. .21MCADP ;37（2）连接 ，如解图.NQ第 3 题解图由平移知： ，且 = .ANDMA ，QP . ，且 = .AQ四边形 是平行四边形.NP .Q .45BAC又 ，90 .N ，AMQ .B又 是 的中点，且 ，C4AB
6、C .42NBPNQDEMACBPNQDEMACB图 4图 2 (舍负).2NB .ME . C类型三 旋转4.如图 ， ABC 与CDE 都是等腰直角三角形，直角边 AC、CD 在同一条直线上，点 M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点，连接 AE、BD（1）猜想：PM 与 PN 的数量关系是 ，位置关系是 （直接写出结论）（2）现将图中的CDE 绕着点 C 顺时针旋转 （090），得到图， AE 与 MP、BD 分别交于点 G、H，请判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由（3）若图中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=
7、kCE，如图，写出 PM 与 PN 的数量关系，并加以证明第 4 题图解：（1）PM =PN，PM PN；理由如下：ACB 和ECD 是等腰直角三角形，AC=BC， EC=CD，ACB =ECD=90在ACE 和 BCD 中 ， ，o=90ACBDEACEBCD（SAS） ，AE=BD， EAC=CBD，点 M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点，PM= BD，PN= AE，1212PM=PN，PMBD， PNAE，AE BD，NPD=EAC，MPA =BDC，EAC+ BDC=90，MPA+NPC=90，MPN=90，即 PMPN；ACB 和ECD 是等腰直角三角形
8、，AC=BC， EC=CD，ACB=ECD=90ACB +BCE=ECD+BCE第 4 题解图ACE =BCDACE BCDAE=BD， CAE=CBD 又AOC =BOE，CAE=CBD，BHO=ACO=90点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点，PM= BD，PM BD；12PN= AE，PNAE PM=PNMGE +BHA=180MGE =90MPN =90PMPN （3）PM=kPN . ACB 和ECD 是直角三角形，ACB=ECD=90ACB+BCE=ECD+BCEACE=BCDBC=kAC，CD=kCE ， =k,BCDAEBCDACEBD=kAE 点 P、M、N 分别
9、为 AD、AB、DE 的中点，PM= BD，PN= AE，1212PM=kPN.5.如图，在 RtABC 中，BAC=90，AB=AC.在平面内任取一点 D，连接AD（ ADAB） ，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到线段 AE，连接DE， CE，BD .（1）请根据题意补全图；（2）猜测 BD 和 CE 的数量关系并证明；（3）作射线 BD，CE 交于点 P，把ADE 饶点 A 旋转，当EAC=90，AB=2，AD=1 时，补全图 形，直接写出 PB 的长.图 图第 5 题图解：（1）补全图，如解图；第 5 题解图（2）BD 和 CE 的数量是：BD=CE；DAB+BAE=CAE+
10、BAE=90，DAB=CAE，AD=AE，AB=AC ，ABDACE，BD=CE；（3）结论：PB 的长是 .256或图 图第 5 题解图理由： 由 ACEABD，可知：ACE=ABD，AEC=BEP，BPE=EAC=90，PBE=ABD，BPEBAD， ,BPEAD .1252由 BPEBAD， ,BPEAD , .32565类型四 对称6.如图，已知 RtABC 中，C=90，BAC=30 ，点 D 为边 BC 上的点，连接 AD，BAD=，点 D 关于 AB 的对称点为 E，点 E 关于 AC 的对称点为 G，线段 EG 交 AB 于点 F，连接 AE，DE，DG ， AG.（1）依题意
11、补全图形；（2）求AGE 的度数（用含 的式子表示） ；（3）用等式表示线段 EG 与 EF，AF 之间的数量关系，并说明理由.第 6 题图解：（1）补全图形，如解图；第 6 题解图（2）由轴对称性可知，AB 为 ED 的垂直平分线，AC 为 EG 的垂直平分线.AE=AG=AD. AEG=AGE，BAE=BAD=.EAC=BAC+BAE=30+.EAG=2EAC=60+2.AGE= =60 .12(180 EAG)（3）EG =2EF+AF.如解图，设 AC 交 EG 于点 H.BAC=30，AHF=90,FH= .12AFEH=EF+FH=EF+ .12AF又点 E，G 关于 AC 对称,
12、EG=2EH. EG=2(EF+ )=2EF+AF.12AF第 6 题解图7.在等边ABC 外侧作直线 AM，点 C 关于 AM 的对称点为 D，连接 BD交 AM 于点 E，连接 CE，CD，AD.（1）依题意补全图，并求BEC 的度数；（2）如图，当 MAC=30时，判断线段 BE 与 DE 之间的数量关系，并加以证明；（3）若 0 MAC120，当线段 DE=2BE 时，直接写出MAC 的度数第 7 题图解：（1）补全图形,如解图所示，第 7 题解图根据轴对称得，AD=AC，设DAE= CAE=x，DEM=CEMABC 是等边三角形，AB=AC， BAC=60AB=ADABD=ADB=y
13、在ABD 中，2x+2y+60=180，x+y=60DEM=CEM=x+y=60BEC=60；（2）BE=2DE，证明：ABC 是等边三角形，AB=BC=AC.由对称知，AD=AC，CAD=2 CAM=60，ACD 是等边三角形.CD=AD.AB=BC=CD=AD.四边形 ABCD 是菱形，且 BAD=2CAD=120.ABC=60 ，ABD=DBC=30.由（1）知，BEC=60，ECB=90BE=2CECE=DE，BE=2DE（3）MAC=90.【解法提示】如解图，延长 EB 至 F 使 BE=BF，第 7 题解图EF=2BE由轴对称得，DE=CE，DE=2BE，CE=2BEEF=CE如解
14、图连接 CF，由（1）可知，BEC =60，CEF 是等边三角形BE=BF， CBE=90BCE=30ACE=30AED=AEC， BEC=60，AEC=60MAC=180-AEC-ACE=90类型五 综合8.如图 ，在等边三角形 ABC 中，CD 为中线，点 Q 在线段 CD 上运动，将线段 QA 绕点 Q 顺时针旋转，使得点 A 的对应点 E 落在射线 BC 上，连接 BQ，设DAQ=（060且 30） （1）当 030时，在图 中依题意画出图形，并求 BQE（用含 的式子表示） ；探究线段 CE，AC，CQ 之间的数量关系，并加以证明；（2）当 3060时，直接写出线段 CE，AC ，C
15、Q 之间的数量关系第 8 题图解：（1）画出的图形如解图所示，第 8 题解图ABC 为等边三角形，ABC=60CD 为等边三角形的中线， Q 为线段 CD 上的点，CD 是 AB 的垂直平分线由等边三角形的对称性得 QA=QBDAQ=，ABQ=DAQ=，QBE=60- 线段 QE 为线段 QA 绕点 Q 顺时针旋转所得，QE=QAQB=QEQEB=QBE=60-BQE=180-2QBE=180-2（60- ）=60+2；CE+AC= CQ；3如解图 ，延长 CA 到点 F，使得 AF=CE，连接 QF，作 QHAC 于点H第 8 题解图BQE=60+2，点 E 在 BC 上，QEC=BQE+Q
16、BE=（60+2）+（ 60- ）=120+ 点 F 在 CA 的延长线上， DAQ=，QAF=BAF+DAQ=120+QAF=QEC又AF =CE，QA= QE，QAFQECQF=QCQHAC 于点 H，FH=CH，CF=2CH在等边三角形 ABC 中，CD 为中线，点 Q 在 CD 上，ACQ= ACB=3012即QCF 为底角为 30的等腰三角形CHCQ cosHCQCQcos30 CQ32CE+AC=AF+AC=CF=2CH CQ（2）AC-CE= CQ3【解法提示】如解图，在 AC 上取一点 F 使 AF=CE，连接 QF,第 8 题解图ABC 为等边三角形，ABC=60CD 为等边
17、三角形的中线， Q 为线段 CD 上的点，CD 是 AB 的垂直平分线由等边三角形的对称性得 QA=QBDAQ=，ABQ=DAQ=，QBE=60- 线段 QE 为线段 QA 绕点 Q 顺时针旋转所得，QE=QAQB=QEQEB=QBE=60-=QAF又AF =CE，QA= QE，QAFQECQF=QCQHAC 于点 H，FH=CH，CF=2CH在等边三角形 ABC 中，CD 为中线，点 Q 在 CD 上，ACQ= ACB=3012即QCF 为底角为 30的等腰三角形CHCQ cosHCQCQcos30 CQ32AC-CE=AC-AF=CF=2CH CQ类型六 不涉及动态9. 已知 ABC 中，
18、AD 是 BAC 的平分线，且 AD=AB， 过点 C 作 AD 的垂线，交 AD 的延长线于点 H（1）如图，若 BAC=60,直接写出 和ACB 的度数；B若 AB=2，求 AC 和 AH 的长；（2）如图，用等式表示线段 AH 与 AB+AC 之间的数量关系，并证明第 9 题图解：（1） ， ；75B45ACB如解图 ，作 DEAC 交 AC 于点 E.第 9 题解图在 RtADE 中，由 ，AD= 2 可得 DE=1，AE . 30DAC 3RtCDE 中，由 ，DE= 1，可得 EC=1.45AC . 31RtACH 中，由 ，可得 AH ； 30DAC32（2）线段 AH 与 AB
19、+AC 之间的数量关系：2AH=AB+AC证明： 如解图，延长 AB 和 CH 交于点 F，取 BF 中点 G，连接 GH.第 9 题解图易证ACH AFH.AC=AF,HC=HF .GHBC ，AD . .GH . AGH . 222BCAFBFABGAH10.如图，在正方形 ABCD 中，连接 BD，点 E 为 CB 边的延长线上一点，点 F 是线段 AE 的中点，过点 F 作 AE 的垂线交 BD 于点 M,连接 ME、MC. （1）根据题意补全图形，猜想 与 的数量关系并证明；MC（2）连接 FB，判断 FB 、 FM 之间的数量关系并证明.第 10 题图解：（1）补全图形如解图 ； 第 10 题解图 = ；MEC证明：如解图，连接 AM，点 F 是 AE 的中点， ，FMAE MAE点 A、点 C 是关于正方形 ABCD 对角线 BD 所在直线的对称点, ME = ；C图 图第 10 题解图（2）数量关系： FBM证明：如解图，连接 BF,点 M 在正方形对角线上，可得,MADC = = ,E 90CADCME . 180E 9MA 0 是等腰直角三角形E 12FMA ,BE F
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