1、专题九：二次函数压轴题【热点探究】类型一：抛物线与三角形的综合问题【例题 1】 （2016云南省昆明市）如图 1，对称轴为直线 x= 的抛物线经过 B（2，0） 、C（0，4）两点，抛物线与 x 轴的另一交点为 A（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形 COBP 的面积为 S，求 S 的最大值；（3）如图 2，若 M 是线段 BC 上一动点，在 x 轴是否存在这样的点 Q，使MQC 为等腰三角形且MQB 为直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】 （1）由对称轴的对称性得出点 A 的坐标，由待定系数法求出抛
2、物线的解析式；（2）作辅助线把四边形 COBP 分成梯形和直角三角形，表示出面积 S，化简后是一个关于 S 的二次函数，求最值即可；（3）画出符合条件的 Q 点，只有一种，利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；在直角OCQ 和直角CQM 利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍【解答】解：（1）由对称性得：A（1，0） ，设抛物线的解析式为：y=a（x+1） （x2） ，把 C（0，4）代入：4=2a，a=2，y=2（x+1） （x2） ，抛物线的解析式为：y=2x 2+2x+4；（2）如图 1，设点 P（m，2m 2+2m+4） ，过 P 作 PDx 轴，垂足为 D，S=
3、S 梯形 +SPDB = m（2m 2+2m+4+4）+ （2m 2+2m+4） （2m） ，S=2m 2+4m+4=2（m1） 2+6，20，S 有最大值，则 S 大 =6；（3）如图 2，存在这样的点 Q，使MQC 为等腰三角形且MQB 为直角三角形，理由是：设直线 BC 的解析式为：y=kx+b，把 B（2，0） 、C（0，4）代入得： ，解得： ，直线 BC 的解析式为：y=2x+4，设 M（a，2a+4） ，过 A 作 AEBC，垂足为 E，则 AE 的解析式为：y= x+ ，则直线 BC 与直线 AE 的交点 E（1.4，1.2） ，设 Q（x，0） （x0） ，AEQM，ABEQ
4、BM， ，由勾股定理得：x 2+42=2a2+（2a+44） 2，由得：a 1=4（舍） ，a 2= ，当 a= 时，x= ，Q（ ，0） 【同步练】（2016浙江省湖州市）如图，已知二次函数 y=x 2+bx+c（b，c 为常数）的图象经过点 A（3，1） ，点 C（0，4） ，顶点为点 M，过点 A 作 ABx 轴，交 y 轴于点 D，交该二次函数图象于点 B，连结 BC（1）求该二次函数的解析式及点 M 的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移 m（m0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC 的内部（不包括ABC 的边界） ，求 m 的取值范围；（3）点 P 是直线 AC
5、上的动点，若点 P，点 C，点 M 所构成的三角形与BCD 相似，请直接写出所有点 P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程） 类型二：抛物线与四边形的综合问题【例题 2】2016青海西宁12 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是以AB 为直径的M 的内接四边形，点 A，B 在 x 轴上，MBC 是边长为 2 的等边三角形，过点M 作直线 l 与 x 轴垂直，交M 于点 E，垂足为点 M，且点 D 平分 （1）求过 A，B，E 三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形 AMCD 是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点 P，使得ABP 的面积等于定值 5？若存在，请求出所有的点
6、P 的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】 （1）根据题意首先求出抛物线顶点 E 的坐标，再利用顶点式求出函数解析式；（2）利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出AMD=CMD= AMC=60，进而得出 DC=CM=MA=AD，即可得出答案；（3）首先表示出ABP 的面积进而求出 n 的值，再代入函数关系式求出 P 点坐标【解答】 （1）解：由题意可知，MBC 为等边三角形，点 A，B，C，E 均在M 上，则 MA=MB=MC=ME=2，又COMB，MO=BO=1，A（3，0） ，B（1，0） ，E（1，2） ，抛物线顶点 E 的坐标为（1，2） ，设函数解析式为 y=a
7、（x+1） 22（a0）把点 B（1，0）代入 y=a（x+1） 22，解得：a= ，故二次函数解析式为：y= （x+1） 22；（2）证明：连接 DM，MBC 为等边三角形，CMB=60，AMC=120，点 D 平分弧 AC，AMD=CMD= AMC=60，MD=MC=MA，MCD，MDA 是等边三角形，DC=CM=MA=AD，四边形 AMCD 为菱形（四条边都相等的四边形是菱形） ；（3）解：存在理由如下：设点 P 的坐标为（m，n）S ABP = AB|n|，AB=4 4|n|=5，即 2|n|=5，解得：n= ，当 时， （ m+1） 22= ，解此方程得：m 1=2，m 2=4即点
8、P 的坐标为（2， ） ， （4， ） ，当 n= 时， （m+1） 22= ，此方程无解，故所求点 P 坐标为（2， ） ， （4， ） 【同步练】（2016四川眉山）已知如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B、C 分别为坐标轴上上的三个点，且 OA=1，OB=3，OC=4，（1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系 xOy 中是否存在一点 P，使得以以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PMAM|的最大值时点 M 的坐标，并直接写出|
9、PMAM|的最大值类型三：抛物线与图形变换的综合问题【例题 3】 （2016陕西）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5 经过点 M（1，3）和 N（3，5）（1）试判断该抛物线与 x 轴交点的情况；（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点 A（2，0） ，且与 y 轴交于点 B，同时满足以 A、O、B 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由【考点】二次函数综合题【分析】 （1）把 M、N 两点的坐标代入抛物线解析式可求得 a、b 的值，可求得抛物线解析式，再根据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与 x 轴的交点情况；（2）利用 A
10、 点坐标和等腰三角形的性质可求得 B 点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把 A、B 的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程【解答】解：（1）由抛物线过 M、N 两点，把 M、N 坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，抛物线解析式为 y=x23x+5，令 y=0 可得 x23x+5=0，该方程的判别式为=（3） 2415=920=110，抛物线与 x 轴没有交点；（2）AOB 是等腰直角三角形，A（2，0） ，点 B 在 y 轴上，B 点坐标为（0，2）或（0，2） ，可设平移后的抛物线解析式为 y=x2+mx+n，当抛物线过点 A（2，0） ，
11、B（0，2）时，代入可得 ，解得 ，平移后的抛物线为 y=x2+3x+2，该抛物线的顶点坐标为（ ， ） ，而原抛物线顶点坐标为（ ， ） ，将原抛物线先向左平移 3 个单位，再向下平移 3 个单位即可获得符合条件的抛物线；当抛物线过 A（2，0） ，B（0，2）时，代入可得 ，解得 ，平移后的抛物线为 y=x2+x2，该抛物线的顶点坐标为（ ， ） ，而原抛物线顶点坐标为（ ， ） ，将原抛物线先向左平移 2 个单位，再向下平移 5 个单位即可获得符合条件的抛物线【同步练】（2016重庆市 A 卷12 分）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+ x+3 与 x 轴交于 A，B 两点
12、（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为点 E（1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）经过 B，C 两点的直线交抛物线的对称轴于点 D，点 P 为直线 BC 上方抛物线上的一动点，当PCD 的面积最大时，Q 从点 P 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点 M 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 y 轴上的点 N 处，最后沿适当的路径运动到点 A 处停止当点 Q 的运动路径最短时，求点 N 的坐标及点 Q 经过的最短路径的长；（ 3）如图 2，平移抛物线，使抛物线的顶点 E 在射线 AE 上移动，点 E 平移后的对应点为点 E，点 A 的对应点为点 A，将
13、AOC 绕点 O 顺时针旋转至A 1OC1的位置，点A，C 的对应点分别为点 A1，C 1，且点 A1恰好落在 AC 上，连接 C1A，C 1E，AC 1E是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点 E的坐标；若不能，请说明理由类型四：抛物线下的动态最值问题【例题 4】 （2016贵州安顺14 分）如图，抛物线经过 A（1，0） ，B（5，0） ，C（0， ）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标；（3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求
14、点 N 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a0） ，再把 A（1，0） ，B（5，0） ，C（0， ）三点代入求出 a、b、c 的值即可；（2）因为点 A 关于对称轴对称的点 B 的坐标为（5，0） ，连接 BC 交对称轴直线于点P，求出 P 点坐标即可；（3）分点 N 在 x 轴下方或上方两种情况进行讨论【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a0） ，A（1，0） ，B（5，0） ，C（0， ）三点在抛物线上， ，解得 抛物线的解析式为：y= x22x ；（2）抛物线的解析式为：y= x22x ，其对称轴为直线 x=
15、= =2，连接 BC，如图 1 所示，B（5，0） ，C（0， ） ，设直线 BC 的解析式为 y=kx+b（k0） ， ，解得 ，直线 BC 的解析式为 y= x ，当 x=2 时，y=1 = ，P（2， ） ；（3）存在如图 2 所示，当点 N 在 x 轴下方时，抛物线的对称轴为直线 x=2，C（0， ） ，N 1（4， ） ；当点 N 在 x 轴上方时，如图，过点 N2作 N2Dx 轴于点 D，在AN 2D 与M 2CO 中，AN 2DM 2CO（ASA） ，N 2D=OC= ，即 N2点的纵坐标为 x22x = ，解得 x=2+ 或 x=2 ，N 2（2+ ， ） ，N 3（2 ， ）
16、 综上所述，符合条件的点 N 的坐标为（4， ） ， （2+ ， ）或（2 ， ） 【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论【同步练】（烟台市 2015 中考 -24）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 与M 相交于 A、B、C、D 四点，其中 A、B 两点的坐标分别为（1，0） ， （0，2） ，点 D 在 x 轴上且 AD 为M 的直径点 E 是M 与 y 轴的另一个交点，过劣弧 上的点 F 作 FHAD 于点H，且 FH=1.5（1）求点 D 的坐标及该
17、抛物线的表达式；（2）若点 P 是 x 轴上的一个动点，试求出PEF 的周长最小时点 P 的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使QCM 是等腰三角形？如果存在，请直接写出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由类型五：抛物线下的动态存在问题【例题 5】 （枣庄市 2015 中考 -25）如图，直线 y=x+2 与抛物线（a0）相交于 A（ ， ）和 B（4，m） ，点 P 是线段 AB 上异于 A、B 的26yaxb125动点，过点 P 作 PCx 轴于点 D，交抛物线于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若
18、不存在，请说明理由；（3）求PAC 为直角三角形时点 P 的坐标思路分析：此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识解题时注意联系，对于题（1）已知 B（4，m）在直线y=x+2 上，很容易求得 m 的值，又因为已知抛物线图象上的 A、B 两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值 （2）要弄清 PC 的长，实际是直线 AB 与抛物线函数值的差可设出 P 点横坐标，根据直线 AB 和抛物线的解析式表示出P、C 的纵坐标，进而得到关于 PC 与 P 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC 的最大
19、值对于题（3）当PAC 为直角三角形时，根据直角顶点的不同，需要结合图形从三种情况进行分类讨论，分别求解解题过程：解：（1）B（4，m）在直线 y=x+2 上，m=4+2=6，B（4，6） ，A（ ， ） 、B（4，6）在抛物线 上，12526yaxb ，解得 ，()1ab8b抛物线的解析式为 26yx（2）设动点 P 的坐标为（n，n+2） ，则 C 点的坐标为（ ， ） ，n286PC=（ +2）（ ） ，286= ，294n= ，()8PC0，当 n= 时，线段 PC 最大且为 94498（3）PAC 为直角三角形，i）若点 P 为直角顶点，则APC=90由题意易知，PCy 轴，APC=
20、45，因此这种情形不存在；ii）若点 A 为直角顶点，则PAC=90如答图 31，过点 A（ ， ）作 ANx 轴于点 N，则 ON= ，AN= 125125过点 A 作 AM直线 AB，交 x 轴于点 M，则由题意易知，AMN 为等腰直角三角形，MN=AN= ，OM=ON+MN= + =3，52M（3，0） 设直线 AM 的解析式为：y=kx+b，则： ，解得 ，15230kb13kb直线 AM 的解析式为：y=x+3 又抛物线的解析式为：y=2x 28x+6 联立式，解得：x=3 或 x= （与点 A 重合，舍去）1C（3，0） ，即点 C、M 点重合当 x=3 时，y=x+2=5，P 1
21、（3，5） ；iii）若点 C 为直角顶点，则ACP=90y=2x 28x+6=2（x2） 22，抛物线的对称轴为直线 x=2如答图 32，作点 A（ ， ）关于对称轴 x=2 的对称点 C，125则点 C 在抛物线上，且 C（ ， ） 7当 x= 时，y=x+2= 7212P 2（ ， ） 点 P1（3，5） 、P 2（ ， ）均在线段 AB 上，71综上所述，PAC 为直角三角形时，点 P 的坐标为（3，5）或（ ， ） 721规律总结：熟练把握关于二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识是解此类综合性强的问题的关键【同步练】（2016内蒙
22、古包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+ bx2（a0）与 x 轴交于 A（1，0） 、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C，其顶点为点 D，点 E 的坐标为（0，1） ，该抛物线与 BE 交于另一点 F，连接 BC（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为 y=a（xh） 2+k 的形式；（2）若点 H（1，y）在 BC 上，连接 FH，求FHB 的面积；（3）一动点 M 从点 D 出发，以每秒 1 个单位的速度平沿行与 y 轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为 t 秒（t0） ，在点 M 的运动过程中，当 t 为何值时，OMB=90？（4）在 x 轴上方的抛
23、物线上，是否存在点 P，使得PBF 被 BA 平分？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由类型六：抛物线与相似的综合问题【例题 6】 （烟台市 2014 中考 -26）如图，在平面直角坐标系中，RtABC 的顶点A，C 分别在 y 轴，x 轴上，ACB=90，OA= ，抛物线 y=ax2axa 经过点B（2， ） ，与 y 轴交于点 D（1）求抛物线的表达式；（2）点 B 关于直线 AC 的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长 BA 交抛物线于点 E，连接 ED，试说明 EDAC 的理由【解析】 （1）把点 B 的坐标代入抛物线的表达式即可求得（2）通过AOCCFB 求
24、得 OC 的值，通过OCDFCB 得出DC=CB，OCD=FCB，然后得出结论（3）设直线 AB 的表达式为 y=kx+b，求得与抛物线的交点 E 的坐标，然后通过解三角函数求得结果【解答】解：（1）把点 B 的坐标代入抛物线的表达式，得 =a222aa，解得 a= ，抛物线的表达式为 y= x2 x （2）连接 CD，过点 B 作 BFx 轴于点 F，则BCF+CBF=90ACB=90，ACO+BCF=90，ACO=CBF，AOC=CFB=90，AOCCFB， = ，设 OC=m，则 CF=2m，则有 = ，解得 m1=m2=1，OC=CF=1，当 x=0 时，y= ，OD= ，BF=OD，
25、DOC=BFC=90，OCDFCB，DC=CB，OCD=FCB，点 B、C、D 在同一直线上，点 B 与点 D 关于直线 AC 对称，点 B 关于直线 AC 的对称点在抛物线上（3）过点 E 作 EGy 轴于点 G，设直线 AB 的表达式为 y=kx+b，则 ，解得 k= ，y= x+ ，代入抛物线的表达式 x+ = x2 x 解得 x=2 或 x=2，当 x=2 时 y= x+ = （2）+ = ，点 E 的坐标为（2， ） ，tanEDG= = = ，EDG=30tanOAC= = = ，OAC=30，OAC=EDG，EDAC【点评】本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定及性质，以
26、及对称轴的性质和解三角函数等知识的理解和掌握【同步练】（2016湖北荆门14 分）如图，直线 y= x+2 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，点 B，两动点 D，E 分别从点 A，点 B 同时出发向点 O 运动（运动到点 O 停止） ，运动速度分别是 1 个单位长度/秒和 个单位长度/秒，设运动时间为 t 秒，以点 A 为顶点的抛物线经过点 E，过点 E 作 x 轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点 G，与 AB 相交于点 F（1）求点 A，点 B 的坐标；（2）用含 t 的代数式分别表示 EF 和 AF 的长；（3）当四边形 ADEF 为菱形时，试判断AFG 与AGB 是否相似，并说明理由（
27、4）是否存在 t 的值，使AGF 为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由【达标检测】1. （2016湖北黄石8 分）科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园如图所示，图中点的横坐标 x 表示科技馆从 8：30 开门后经过的时间（分钟） ，纵坐标y 表示到达科技馆的总人数图中曲线对应的函数解析式为 y=，10：00 之后来的游客较少可忽略不计（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过 684 人，后来的人在馆外休息区等待从 10：30 开始到 12：00 馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆 4 人，直到馆内人数减少到 624 人时，
28、馆外等待的游客可全部进入请问馆外游客最多等待多少分钟？2. （2016广西百色12 分）正方形 OABC 的边长为 4，对角线相交于点 P，抛物线L 经过 O、P、A 三点，点 E 是正方形内的抛物线上的动点（1）建立适当的平面直角坐标系，直接写出 O、P、A 三点坐标；求抛物线 L 的解析式；（2）求OAE 与OCE 面积之和的最大值3. （2016广西桂林12 分）如图 1，已知开口向下的抛物线 y1=ax22ax+1 过点A（m，1） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 B，将抛物线 y1绕点 C 旋转 180后得到抛物线 y2，点 A，B 的对应点分别为点 D，E（1）直接写出点 A，C，
29、D 的坐标；（2）当四边形 ABCD 是矩形时，求 a 的值及抛物线 y2的解析式；（3）在（2）的条件下，连接 DC，线段 DC 上的动点 P 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度的速度运动到点 C 停止，在点 P 运动的过程中，过点 P 作直线 lx 轴，将矩形 ABDE沿直线 l 折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为 S 平方单位，点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 的函数关系4. （2016黑龙江齐齐哈尔8 分）如图，对称轴为直线 x=2 的抛物线 y=x2+bx+c 与x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，且点 A 的坐标为（1，0）（1）求抛物线的解析式；（
30、2）直接写出 B、C 两点的坐标；（3）求过 O，B，C 三点的圆的面积 （结果用含 的代数式表示）注：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（ ， ）5. （枣庄市 2014 中考 -25）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x22x3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC，点 D 为抛物线的顶点，点 P 是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点 D 重合） （1）求OBC 的度数；（2）连接 CD、BD、DP，延长 DP 交 x 轴正半轴于点 E，且 SOCE =S 四边形 OCDB，求此时 P点的坐标；（3）过点 P 作 PFx 轴交 BC
31、于点 F，求线段 PF 长度的最大值6. （郴州市 2014 中考 -26）已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（1，0） 、B（2，0） 、C（0，2）三点（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图一，点 P 是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大？求出此时点 P 的坐标；（3）如图二，设线段 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 E，垂足为 D，M 为抛物线的顶点，那么在直线 DE 上是否存在一点 G，使CMG 的周长最小？若存在，请求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由7. （2016湖北荆州14 分）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中
32、，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线” 例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=x+4问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形 OABC，点 B 在第一象限，A、C 分别在 x 轴和 y 轴上，抛物线 经过 B、C 两点，顶点 D 在正方形内部（1）直接写出点 D（m，n）所有的特征线；（2）若点 D 有一条特征线是 y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点 P 是 AB 边上除点 A 外的任意一点，连接 OP，将OAP 沿着 OP 折叠，点 A 落在点 A的位置，当点 A在平行于坐标轴的 D 点的特征线上时，满足（2）中条件的
33、抛物线向下平移多少距离，其顶点落在 OP 上？8. （2016福建龙岩14 分）已知抛物线 与 y 轴交于点 C，与 xcbxy21轴的两个交点分别为 A（4，0） ，B（1，0） （1）求抛物线的解析式；（2）已知点 P 在抛物线上，连接 PC，PB，若PBC 是以 BC 为直角边的直角三角形，求点 P 的坐标；（4）已知点 E 在 x 轴上，点 F 在抛物线上，是否存在以 A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由【参考答案】类型一：抛物线与三角形的综合问题【同步练】（2016浙江省湖州市）如图，已知二次函数 y=x 2+bx+c（b
34、，c 为常数）的图象经过点 A（3，1） ，点 C（0，4） ，顶点为点 M，过点 A 作 ABx 轴，交 y 轴于点 D，交该二次函数图象于点 B，连结 BC（1）求该二次函数的解析式及点 M 的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移 m（m0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC 的内部（不包括ABC 的边界） ，求 m 的取值范围；（3）点 P 是直线 AC 上的动点，若点 P，点 C，点 M 所构成的三角形与BCD 相似，请直接写出所有点 P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程） 【考点】二次函数综合题【分析】 （1）将点 A、点 C 的坐标代入函数解析式，即可求出 b
35、、c 的值，通过配方法得到点 M 的坐标；（2）点 M 是沿着对称轴直线 x=1 向下平移的，可先求出直线 AC 的解析式，将 x=1 代入求出点 M 在向下平移时与 AC、AB 相交时 y 的值，即可得到 m 的取值范围；（3）由题意分析可得MCP=90，则若PCM 与BCD 相似，则要进行分类讨论，分成PCMBDC 或PCMCDB 两种，然后利用边的对应比值求出点坐标【解答】解：（1）把点 A（3，1） ，点 C（0，4）代入二次函数 y=x 2+bx+c 得，解得二次函数解析式为 y=x 2+2x+4，配方得 y=（x1） 2+5，点 M 的坐标为（1，5） ；（2）设直线 AC 解析式
36、为 y=kx+b，把点 A（3，1） ，C（0，4）代入得，解得直线 AC 的解析式为 y=x+4，如图所示，对称轴直线 x=1 与ABC 两边分别交于点E、点 F把 x=1 代入直线 AC 解析式 y=x+4 解得 y=3，则点 E 坐标为（1，3） ，点 F 坐标为（1，1）15m3，解得 2m4；（3）连接 MC，作 MGy 轴并延长交 AC 于点 N，则点 G 坐标为（0，5）MG=1，GC=54=1MC= = ，把 y=5 代入 y=x+4 解得 x=1，则点 N 坐标为（1，5） ，NG=GC，GM=GC，NCG=GCM=45，NCM=90，由此可知，若点 P 在 AC 上，则MC
37、P=90，则点 D 与点 C 必为相似三角形对应点若有PCMBDC，则有BD=1，CD=3，CP= = = ，CD=DA=3，DCA=45，若点 P 在 y 轴右侧，作 PHy 轴，PCH=45，CP=PH= =把 x= 代入 y=x+4，解得 y= ，P 1（ ） ；同理可得，若点 P 在 y 轴左侧，则把 x= 代入 y=x+4，解得 y=P 2（ ） ；若有PCMCDB，则有CP= =3PH=3 =3，若点 P 在 y 轴右侧，把 x=3 代入 y=x+4，解得 y=1；若点 P 在 y 轴左侧，把 x=3 代入 y=x+4，解得 y=7P 3（3，1） ；P 4（3，7） 所有符合题意
38、得点 P 坐标有 4 个，分别为 P1（ ） ，P 2（ ） ，P3（3，1） ，P 4（3，7） 类型二：抛物线与四边形的综合问题【同步练】（2016四川眉山）已知如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B、C 分别为坐标轴上上的三个点，且 OA=1，OB=3，OC=4，（1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系 xOy 中是否存在一点 P，使得以以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PMAM|的最大值时点 M 的坐标，并直接写出|PMAM
39、|的最大值【分析】 （1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把 A，B，C 三点坐标代入求出a，b，c 的值，即可确定出所求抛物线解析式；（2）在平面直角坐标系 xOy 中存在一点 P，使得以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形，理由为：根据 OA，OB，OC 的长，利用勾股定理求出 BC 与 AC 的长相等，只有当 BP与 AC 平行且相等时，四边形 ACBP 为菱形，可得出 BP 的长，由 OB 的长确定出 P 的纵坐标，确定出 P 坐标，当点 P 在第二、三象限时，以点 A、B、C、P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形；（3）利用待定系数法确定出直线 PA 解析式，当
40、点 M 与点 P、A 不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PMAM|PA，当点 M 与点 P、A 在同一直线上时，|PMAM|=PA，当点 M 与点 P、A 在同一直线上时，|PMAM|的值最大，即点 M 为直线 PA 与抛物线的交点，联立直线 AP 与抛物线解析式，求出当|PMAM|的最大值时 M 坐标，确定出|PMAM|的最大值即可【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，A（1，0） 、B（0，3） 、C（4，0） ， ，解得：a= ，b= ，c=3，经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 y= x2 x+3；（2）在平面直角坐标系 xOy 中存在一点 P，使得以
41、点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形，理由为：OB=3，OC=4，OA=1，BC=AC=5，当 BP 平行且等于 AC 时，四边形 ACBP 为菱形，BP=AC=5，且点 P 到 x 轴的距离等于 OB，点 P 的坐标为（5，3） ，当点 P 在第二、三象限时，以点 A、B、C、P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点 P 的坐标为（5，3）时，以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形；（3）设直线 PA 的解析式为 y=kx+b（k0） ，A（1，0） ，P（5，3） ， ，解得：k= ，b= ，直线 PA 的解析式为 y= x ，当点 M 与点 P、A 不在同一直线上时，
42、根据三角形的三边关系|PMAM|PA，当点 M 与点 P、A 在同一直线上时，|PMAM|=PA，当点 M 与点 P、A 在同一直线上时，|PMAM|的值最大，即点 M 为直线 PA 与抛物线的交点，解方程组 ，得 或 ，点 M 的坐标为（1，0）或（5， ）时，|PMAM|的值最大，此时|PMAM|的最大值为 5【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式，菱形的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键 类型三：抛物线与图形变换的综合问题【同步练】（2016重庆市 A 卷12 分）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物
43、线y= x2+ x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为点 E（1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）经过 B，C 两点的直线交抛物线的对称轴于点 D，点 P 为直线 BC 上方抛物线上的一动点，当PCD 的面积最大时，Q 从点 P 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点 M 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 y 轴上的点 N 处，最后沿适当的路径运动到点 A 处停止当点 Q 的运动路径最短时，求点 N 的坐标及点 Q 经过的最短路径的长；（ 3）如图 2，平移抛物线，使抛物线的顶点 E 在射线 AE 上移动，点 E 平移后的对应点为点 E，点 A 的对应点为点 A，将AOC 绕点 O 顺时针旋转至A 1OC1的位置，点A，C 的对应点分别为点 A1，C 1，且点 A1恰好落在 AC 上，连接 C1A，C 1E，AC 1E是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点 E的坐标；若不能，请说明理由
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