1、题型一 多解题1. 将两个全等的三角板如图放置，已知ODEACB 90，DOEB 30，AO OB 6，将DOE 绕点 O 旋转，在旋转的过程中，OD，OE 与ABC 的边分别相交于点 F，G，当OFG与ABC 相似时，CF 的长为_第 1 题图2 或 3 或 6 或 3 【解析】根据题意可得 AC6，BC6 .(1)3 3 3如解图，当 ODBC 于点 G 时，OFG BAC ，此时可证 G为 BC 的中点，CG3 .在OBG 中，可得 OGOBsin3033，在OFG 中，可得 FGOGtan30 ，CF CGFG 23； (2)如解图，当 OEBC 于点 F 时，OFGBCA ，此时3可
2、证点 F 为 BC 的中点，CF3 ；(3) 如解图，当 ODAC 于3点 G 时，OFGBAC，此时可证点 F 与点 A 重合，CFAC6；(4)如解图，当 OEAC 于点 F 时，OFGBCA，此时可证 G 与点 C 重合，且点 F 为 AC 的中点，CF AC3.12第 1 题解图2. 如图，在 RtABC 中，ACB 90，B30，BC3.点 D 在直线 AB 上，过点 D 作 DEAB 交 BC 于点 E，将BDE 沿直线 DE翻折，点 B 落在直线 AB 上的点 F 处，连接 FC.当CEF 为直角三角形时，BD 的长为_第 2 题图或 【解析】当CEF 为直角三角形时，应分两种情
3、况讨论：332情况一：如解图，当 A，F 点重合时，ECF90，即CEF 为直角三角形，此时 D 为 AB 中点，BD AB ；12 12 BCcos 30 3情况二：如解图，当EFC90时， CEF 为直角三角形，此时可得BFEB30，AFCA60，ACF 为等边三角形，AF AC BCtan30 ，则 BFABAF ，BD3 3.综上所述，BD 的长为 或 .32 3 32第 2 题解图3. 已知等边ABC 的边长为 6，D 为 BC 的中点，如果点 P 是射线AD 上的一点，且 PB PC2 ，那么 AP 的长为_32 或 4 【解析】ABC 是等边三角形， D 为 BC 的中点，3 3
4、AD BC，又点 P 是射线 AD 上的一点，PD BC，AD ACsin603 ，PD 3 PC2 DC2 .如解图，当点 P 在线段 AD 上时，（23）2 32 3APADPD2 ；如解图，当点 P 在线段 AD 的延长线上时，3APADPD4 .3第 3 题解图4. 已知ABC 的边 BC4 cm，O 是其外接圆，且半径也为 4 cm，则A 的度数为_30或 150 【解析】分两种情况讨论：当点 A 在优弧 BC 上时，如解图，过点 B 作O 的直径交O 于点 D，连接 OC，O 为ABC 的外接圆，BC4，O 的半径为 4，BOC 为等边三角形，D BOC30，根据同弧所对的圆周角相
5、等得12A D30；点 A 在劣弧 BC 上时，如解图，BD 为O 的直径，BCD90，BD8，BC4，D30，A 180D18030150.第 4 题解图5. ABC 中，AB4，BC3，BAC30，则ABC 的面积为_2 【解析】(1)如解图，过点 B 作 BDAC 于点3 5D，BAC30，BD AB，AB 4，BD2，AD2 ，BC3，CD12 3 ，S ABC ACBD (2 )BC2 BD2 512 12 3 522 ；(2) 如解图，过点 B 作 BDAC ，交 AC 的延长线3 5于点 D，BAC30 ，BD AB，AB 4，BD2，AD2 ，BC3，CD12 3，AC 2 ，
6、S ABC ACBD (2 )22 5 3 512 12 3 5 3.5第 5 题解图6. 如图，在四边形 ABCD 中，DCB30，ABBC，且ABAD10，以 AD 或 AB 为边作三角形，使三角形的另一边长为15，第三个顶点落在 BC 上于点 E，则所作三角形的面积为_第 6 题图75 或 25 或 50 【解析 】如解图，(1) 以 AB 为一边，当 BE1155时，SABE 1 ABBE1 101575；(2)以 AB 为一边，当12 12AE215 时， BE2 5 ，S152 102 5ABE2 ABBE2 105 25 ；12 12 5 5第 6 题解图(3)以 AD 为一边，
7、当 AE215 时，SADE2 ADBA 101050，当 DE3 15 时，12 12CD 2AB2015，存在 DE315，SADE3 ADBA 101050.综上所述，所作三角形面积为 7512 12或 25 或 50.57. 有一个三角形纸片 ABC，A80，点 D 是 AC 边上一点，沿BD 方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则C 的度数为_第 7 题图25或 40或 10 【解析】由题意知ABD 与DBC 均为等腰三角形，对于ABD 可能有： (1)如解图，ABBD，此时ADB A80，则 BDCD ，C ADB 40；(2)如解图12，ABAD，此时 ADB (
8、180A) (18080)50，12 12BD CDC ADB25；(3)如解图 ，AD BD，此时，12ADB18028020，BDCD，C ADB10，综上12所述，C 的度数为 25 或 40或 10.第 7 题解图8. 如图，在 RtACB 中，点 C 为直角顶点，ABC25，点 O 为斜边中点，将 OA 绕着点 O 逆时针旋转 (0180)至 OP，当BCP 恰为轴对称图形时， 的值为_第 8 题图50或 65或 80 【解析】BCP 恰为轴对称图形，BCP 是等腰三角形，(1)当 BCBP 时，如解图，连接 AP，O 为斜边中点，OP OA，BOOPOA，APB90，BCBP，BC
9、PBPC ，BCP ACPBPCAPC 90，ACP APC，ACAP，AB 垂直平分PC，ABPABC25 ，22550；(2)当 BCPC 时，如解图，连接 CO 并延长交 PB 于点H，BCCP，BOPO，CH 垂直平分 PB，CHB90，OB OC，BCHABC25，CBH65，OBH40，24080；(3)当 PBPC 时，如解图，连接 PO 并延长交 BC 于点 G，连接 OC，ACB90，O 为斜边中点，OB OC，PG 垂直平分 BC，BGO90，ABC25， BOG 65.综上所述，当BCP 恰为轴对称图形时， 的值为 50或 65或 80.第 8 题解图9. 如图， AB
10、为半圆的直径，AB10，点 O 的弦 AC 的距离为 4，点 P 从 B 出发沿 BA 方向向点 A 以每秒 1 个单位长度的速度运动，连接 CP，经过_秒后， APC 为等腰三角形第 9 题图或 4 或 5 【解析】过点 O 作 ODAC 于点 D，如解图，145ODAC，ADCD ，在 RtADO 中，OA 5，OD4，AD 3，AC 2AD6，OA2 OD2当 CPCA 时，过点 C 作 CEAB 于点 E，连接 BC，AB 为直径，ACB90，BC 8， CEAB ACBC，CE AB2 AC212 12 6810 245，在 RtACE 中，AE ，AEPE ，BPAB2AE ，t
11、(AC2 CE2185 145 145秒)； 当 PAPC 时，则点 P 在 AC 的垂直平分线上， 点 P 与点O 重合，PB 5，此时 t5(秒) ；当 AP AC6 时，PBABAP4，此时 t4(秒)，综上所述，t 秒或 4 秒或 5145秒第 9 题解图10. 正方形 ABCD 的边长是 4，点 P 是 AD 边的中点，点 E 是正方形边上的一点，若PBE 是等腰三角形，则腰长为_2 或 或 【解析】分三种情况：(1)如解图 ，当点 P 为等腰552 652三角形的顶角顶点时，点 E 与点 C 重合，此时腰长为 PBPE 2 ；(2) 如解图，当点 B 为等腰三角形的AB2 AP2
12、42 22 5顶角顶点时，点 E 与 CD 边的中点重合，此时腰长BPBE2 ；(3) 如解图，当点 E 为等腰三角形的顶角顶点时，5点 E 就是 BP 的垂直平分线与 AB 或 CD 的交点，若点 E 在边 AB 上，设 AEx，则 PEEB4x，由勾股定理得 AE2AP 2PE 2，即x22 2(4x) 2，解得 x ，PEEB ；若点 E在边 DC 上，设32 52DEy，则 EC4y，由 BC2CE 2PD 2DE 2，即 42(4y )22 2y 2，解得 y ， PEBE .综72 PD2 DE2 22 （72）2 652上所述，腰长为 2 或 或 .552 652第 10 题解图
13、11. 如图，已知 A，B，C 为O 上的三点，且ACBC2，ACB 120，点 P 从 A 点出发，沿着逆时针方向运动到 B 点，连接 CP 与弦 AB 相交于点 D，当ACD 为直角三角形时， 的长为 _AP 第 11 题图或 2 【解析】易得O 的半径为 2，A30.要使ACD 为直43角三角形，有两种情况：当点 P 位于优弧 中点时，AB ADC90，即ACD 为直角三角形，此时ACP60，可得AOP120， 的长为 ；当ACP 90，AP 1202180 43ACD 为直角三角形，此时AOP180， 的长为AP 2.综上所述， 的长为 或 2.1802180 AP 4312. 如图，
14、已知直线 l：y x ，点 A，B 的坐标分别是(1，0)和512 54(6， 0)，点 C 在直线 l 上，当ABC 是直角三角形时，点 C 的坐标为_第 12 题图(1， )或(6， )或( ， ) 【解析】(1)当 A 点为直角顶点时，A53 154 3313 3013点坐标为(1，0) ，C 点横坐标为 1，把 x1 代入直线 l 的解析式可得 y ，C 点坐标为(1， )；(2)当 B 点为直角顶点时，同512 54 53 53理可求得 C 点坐标为(6， )；(3) 当 C 点为直角顶点时，点 C 在154直线 l 上，可设 C 点坐标为(x， x )， AC 2(1 x) 2(
15、x512 54 512)2，BC 2(6 x )2( x )2，且 AB615，ABC 为直角54 512 54三角形，AC 2BC 2AB 2，(1x )2( x )2(6 x) 2( x512 54 512)225 ，整理可得 2( x )20，解得 x ，代入可得54 136 112 3313y ，C 点坐标为( ， )，综上可知，C 点坐标为(1 ， )或(6 ，3013 3313 3013 53)或 ( ， )154 3313 301313. 如图，矩形 ABCD 中，AB 1，AD2，E 是 AD 中点，P 在射线 BD 上运动，若BEP 为等腰三角形，则线段 BP 的长度等于_第
16、 13 题图或 或 【解析】在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，E 是253 655AD 的中点，BAD90，AE DE1，ABE 是等腰直角三角形，BE AB .若BEP 为等腰三角形，则分三种情况：2 2当 BPBE 时，显然 BP ；当 PBPE 时，如解图，连接2AP，PBPE，ABAE，AP 垂直平分 BE，ABE 是等腰直角三角形，BAPEAP45，作 PMAB 于点 M，设PMx，S ABD S ABP S APD ， 1x 2x 12，解12 12 12得 x ， PM ， BP ；当 EBEP 时，23 23 PMsin ABD2325 53如解图，过点 A 作 AFBD
17、于点 F，过点 E 作 EGBD 于点 G，在 RtABF 中，AFABsinABF1 ，AEED，EGAF，EG A25 255 12F ，在 RtBEG 中，55BE ， EG ，BG ，EBEP，EG 255 BE2 EG2 355BP，BP2BG .综上所述，线段 BP 的长度等于 或 或 .655 2 53 655图 图第 13 题解图14. 如图，在菱形 ABCD 中，sinD ， E，F 分别是 AB，CD 上45的点，BC5，AECF2，点 P 是线段 EF 上一点，则当BPC是直角三角形时，CP 的长为_第 14 题图或 4 或 【解析】 如解图，sinD ，菱形边52011
18、 45AD BC5，以 AD 为斜边的直角三角形的两直角边分别为3，4，如解图，以 DC 所在的直线为 x 轴，点 F 为坐标原点建立平面直角坐标系，情况一：菱形 ABCD 的对角线 ACBD ，点 P为菱形的对角线的交点即 P1 时BPC90，此时，CP AC 12 12 ；情况二：点 P 与点 E 重合即 P2 时BPC90，此时，42 22 5CP4；情况三：BCP90时，即 P3 由解图可知，点 B(5，4)，C(2，0)，易求直线 OE 的解析式为 y2x，设直线 BC 的解析式为ykx b，则 ，解得 ，直线 BC 的解析式为5k b 42k b 0) k 43b 83)y x ，
19、CPBC ，设直线 CP 的解析式为 y xc，将点43 83 34C(2，0)代入得， 2c0，解得 c ，直线 CP 的解析式为34 32y x ，联立 ，解得 ，点 P 的坐标为34 32 y 2xy 34x 32) x 611y 1211)( ， )，此时， CP ，综上所述，当611 1211 （611 2）2 （1211 0）2 2011BPC 为直角三角形时，CP 的长为 或 4 或 .52011第 14 题解图15. 一次函数 ykx 2 的图象过点 A(2，4)，且与 x 轴相交于点 B，若点 P 是坐标轴上一点，APB 为直角三角形且APB90，则点P 的坐标为_(2， 0
20、)或(0，22 )或(0，22 ) 【解析】一次函数 ykx22 2的图象过点 A(2，4)，42k 2，k1 ，一次函数解析式为yx 2，一次函数 yx2 与 x 轴交于点B， 0x2，x 2，B 点坐标为(2，0)；P 在坐标轴上分两种情况讨论：若 P 在 x 轴上，设点 P 为( x，0)，如解图，APB90，APx 轴，x 2，点 P 坐标为(2，0)；若点 P 在 y 轴上，设 P(0，y)，如解图， ，APB90，PB 2PA 2AB 2.PB 2(2) 2y 2，PA 2 22(y4)2，AB 24 24 2，( 2)2y 22 2(y4) 24 24 2，解得：y 22，P 点坐标为(0， 22 )，(0，22 )综上所述，点 P 的坐2 2 2标为(2，0)或(0，22 )或(0，2 )2 2第 15 题解图
浙公网安备33030202001339号