1、 类比、拓展综合训练1.如图，在矩形 ABCD 中，AB16，BC 8，在 AD 边上取一点 E，使AE3，点 F 是 AB 边上的一个动点，以 EF 为一边作菱形 EFMN，使点N 落在 CD 上，点 M 落在矩形 ABCD 内或其边上，连接 BM.(1)当四边形 EFMN 是正方形时，求 AF 的长；(2)设BFM 的面积为 S，AF x.写出 S 与 x 之间的函数关系式；在图、图中分别画出 S 取得最大值和最小值时相应的图形，当 S 由最大值变到最小值时，求点 M 运动的路线长第 1 题图解：(1)在正方形 EFMN 中，FEN90，EFEN ；DENAEF90，在矩形 ABCD 中，
2、AD 90，AEF AFE90，DENAFE，在DEN 与AFE 中，D=A，DEN=AFE，EN=FE，DENAFE(AAS )AFDE 835，AF 的长为 5；(2)如解图，过点 M 作 MHAB 于点 H，连接 NF.第 1 题解图在矩形 ABCD 中，ABCD，DNFNFB.四边形 EFMN 是菱形，NEMF，NEMF ，ENFMFN，DNFENFNFBMFN，即DNEMFB，在DEN 与HMF 中，D=MHF=90 ，DNE= MFB，EN =MF，DENHMF(AAS)，MH DE5 ，又BF16x ，S BFMH (16x)5 x40；12 12 52当点 D 与 N 重合时，
3、S 最大(如解图)，第 1 题解图 第 1 题解图此时 DEEF5，由勾股定理得 AF4，当点 M 落在 BC 上时，S 最小(如解图)，由得 MBDE5，点 M 到 AB 的距离是定值 5，点 M 运动的路径是一条线段 (如解图)，21M第 1 题解图 16412.21MBF1点 M 运动的路线长为 12.2.在 RtACB 和 RtAEF 中，ACB AEF90，若点 P 是 BF 的中点，连接 PC，PE.特殊发现：如图，若点 E，F 分别落在边 AB，AC 上，则结论： PCPE 成立(不要求证明)问题探究：把图中的AEF 绕着点 A 顺时针旋转(1)如图，若点 E 落在边 CA 的延
4、长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图，若点 F 落在边 AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)记 k，当 k 为何值时， CPE 总是等边三角形？ (请直接写出 k 的BCA值，不必说明理由)第 2 题图解：(1)PCPE 成立证明：如解图，过点 P 作 PMCE 于点 M，第 2 题解图EFAE，BCAC，EFMPCB， ，PBFMCE点 P 是 BF 的中点，EMMC，又PMCE，PCPE; (2)PCPE 成立证明：如解图，过点 F 作 FDAC 于点 D，过点 P 作 PMAC 于点 M，连接 PD
5、，由旋转性质可得DAFEAF，第 2 题解图FDAFEA90，在DAF 和EAF 中，DAF=EAF，FDA =FEA，AF=AF ，DAFEAF(AAS)，ADAE，在DAP 和EAP 中，AD=AE,DAP=EAP，AP=AP，DAPEAP(SAS)，PDPE，FDAC，PM AC，BC AC，FDPMBC ， ，PBFMCD点 P 是 BF 的中点，DM MC，又PMAC，PCPD，PCPE；(3) .33【解法提示】如解图，第 2 题解图CPE 总是等边三角形，将AEF 绕着点 A 顺时针旋转 180，CPE 仍是等边三角形，BCFBEF90，点 P 是 BF 的中点，点 C， E 在
6、以点 P 为圆心，BF 为直径的圆上，CPE 是等边三角形，CPE 60，根据圆周角定理，可得CBE CPE30，即12ABC30，在 RtABC 中， ktan30，k ，即当 k 为 时，CPE 总是等边B33 33三角形3.(1)阅读理解：如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，E 是 BC 的中点，若 AE 是 BAD 的平分线，试判断 AB，AD ，DC 之间的等量关系解决此问题可以用如下方法：延长 AE 交 DC 的延长线于点 F，易证AEBFEC，得到 ABFC，从而把 AB，AD，DC 转化在一个三角形中即可判断AB ，AD， DC 之间的等量关系为_；(2)问题探究：如图，在
7、四边形 ABCD 中，ABDC，AF 与 DC 的延长线交于点 F，E 是 BC 的中点，若 AE 是BAF 的平分线，试探究AB，AF，CF 之间的等量关系，并证明你的结论；(3)问题解决：如图，ABCF，AE 与 BC 交于点 E，BEEC23，点 D 在线段 AE 上，且 EDF BAE，试判断 AB，DF，CF 之间的数量关系，并证明你的结论第 3 题图解：(1)ABCDAD. 【解法提示】ABCD，BAE CFE，E 是 CB 的中点，BE CE ，AEB FEC，ABE FCE(AAS )，CF AB，AE 平分BAD，DAEBAE ，DAEDFA，ADDF ，ADCDCF，即 A
8、DABDC；(2)AFABCF. 证明如下：如解图，延长 DF 交 AE 延长线于点 M，第 3 题解图ABDC，ABE MCE，BAE CME，E 是 BC 的中点，BE CE ，ABE MCE(AAS)，CMAB，FMCMCF AB CF，AE 平分BAF，BAE FAE，FAE M，FAFM，AFABCF；(3)AB (CF DF)23证明如下：如解图，延长 CF，AE 相交于 M，第 3 题解图ABCF， BAECME，ABE MCE ，ABE MCE， ，CEBMA23CM AB，32EDFBAE，FDMFMD ，FDFM，CFDFCM AB，32AB (CF DF)234.在四边形
9、 ABCD 中，BD180，对角线 AC 平分BAD.(1)如图，若BAD120，且B90，试探究边 AD、AB 与对角线 AC 的数量关系并说明理由；(2)如图，若将(1)中的条件“B90”去掉，(1)中的结论是否成立？请说明理由；(3)如图，若BAD90，探究边 AD、AB 与对角线 AC 的数量关系并说明理由第 4 题图解：(1)ACADAB.理由如下：由题意知B90，D90，DAB120，AC 平分DAB，DACBAC60，ACBACD30，AB AC，AD AC，12 12ACADAB；(2)(1)中的结论成立，理由如下：如解图，以 C 为顶点，AC 为一边作ACE60，ACE 的另
10、一边交 AB 的延长线于点E，第 4 题解图BAC BAD 12060，12 12AEC 为等边三角形，ACAECE，DABC180，DAB120，DCB60，DCAACB60，又BCEACB60，DCABCE，DACBEC(ASA)，AD BE，AEABBE ABAD，ACADAB；(3)AD AB AC.理由如下：2如解图，过点 C 作 CEAC 交 AB 的延长线于点 E，第 4 题解图DABC180，DAB90，BCD90，ACE90，DCABCE.又AC 平分DAB，CAB45，E45，ACCE.又DABC180， DCBE ，CDACBE(AAS)AD BE，AE=AB+BE= A
11、B+AD.在 Rt ACE 中，CAB45，AE AC，2AD AB AC.25.我们定义：如图，在ABC 中，把 AB 绕点 A 顺时针旋转 ( 0)得到 ，把 AC 绕点 A 逆时针旋转 得到 ，连接 .当180AB CB 180时，我们称 是ABC 的“旋补三角形” 边CB CA上的中线 AD 叫做ABC 的“旋补中线” ，点 A 叫做“旋补中心” C特例感知(1)在图、图中， 是ABC 的“旋补三角形” ，AD 是ABC 的CAB“旋补中线” 如图，当ABC 为等边三角形时， AD 与 BC 的数量关系为AD _BC；如图，当BAC 90，BC8 时，则 AD 长为_；猜想论证（2）在
12、图中，当ABC 为任意三角形时，猜想 AD 与 BC 的数量关系，并给予证明.第 5 题图解：(1) ； 4；12【解法提示】由旋转可得到 ABABACAC =BC， BAC60,BAB +CAC = ，180BAC120，即AB C30，又AD 为 B C上的中线，AD AB AB BC；12 12 12由“旋补三角形”定义可得： 90，ACB又由旋转得 AB=AB，AC=AC ， ABC，CAB BC，AD BC4.12第 5 题解图(2)猜想：AD BC.12证明：如解图，延长 AD 至 E，使 DEAD，连接 BE，EC.AD 是ABC 的“旋补中线” ， ，DBC四边形 ABEC是平
13、行四边形， ，EC ，EA B 180.EAC B由定义可知 BAC180， BA，ACAC， AB BAC ， BA，EA CAB ，CAEBC，AD AE，12AD BC；126.问题背景如图，在正方形 ABCD 的内部，作DAEABFBCGCDH ，根据三角形全等的条件，易得DAEABF BCGCDH ，从而得到四边形 EFGH 是正方形类比探究如图，在正ABC 的内部，作 BADCBEACF ，AD ，BE，CF两两相交于 D，E，F 三点(D，E，F 三点不重合 )(1)ABD， BCE，CAF 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；(2)DEF 是否为正三角形？请说明理由；(3
14、)进一步探究发现，ABD 的三边存在一定的等量关系，设BD a，ADb，AB c，请探索 a，b，c 满足的等量关系第 6 题图解：(1)ABDBCE CAF .证明：ABC 是正三角形，CABABCBCA 60，ABBC，ABDABC2，BCE ACB3，又23，ABDBCE，12，ABDBCE(ASA )；(2)DEF 是正三角形理由：ABDBCE CAF ，ADBBECCFA，FDEDEFEFD ，DEF 是正三角形；(3)如解图，作 AGBD 交 BD 延长线于点 G，第 6 题解图由DEF 是正三角形得到ADG60，在 RtADG 中，DG b， AG b，12 32在 RtABG
15、中，AB BG AG ，且 BGBD DG ，即 c (a b) ( b) ，212 32c a abb .7.有公共顶点 B 的正方形 ABCD 与等腰直角三角形 BEF 叠放在一起，EBF =90，ABBE，探究线段 AE 与 CF 之间的数量关系及位置关系.独立思考（1）请解答老师提出的问题.如图，当等腰直角三角形的边 BE，BF 分别在正方形 ABCD 的边BA，BC 上时，你发现线段 AE 与 CF 之间的数量关系是 ，位置关系是 .拓展探究（2）将图中的BEF 绕点 B 顺时针旋转一个锐角得到图，则（1）中的两个结论是否仍然成立？作出判断并说明理由.拓展延伸（3）在图中，连接 DF
16、，分别取 DF，EF 的中点 M，N，连接MN，MC，得到图，则线段 MC 与 MN 有何数量关系及位置关系？并说明理由.问题提出（4） “创新”小组在“拓展探究”的启发下，提出了如下问题：将图中的BEF 绕点 B 顺时针旋转一个锐角得到图，这时“拓展延伸”中的两个结论是否仍然成立？作出判断并说明理由.第 7 题图解：（1）AE=CF，AE CF；（2） （1）中的两个结论仍然成立，理由：如解图，延长 AE，交 CF 于点 G，交 BC 于点 H，在正方形 ABCD 中，AB=BC，ABC=90，在等腰直角三角形 BEF 中，BE=BF，EBF=90，ABC=EBF，ABCEBC=EBF EB
17、C，即ABE =CBF，ABE CBF，AE=CF，BAE=BCF，BAE +AHB=90，AHB=CHG ， BCF+CHG=90，AECF；（3）MC=MN，MCMN.理由：如解图，连接 DE，在正方形 ABCD 中，A=ADC=BCD=90，AB=BC=AD =DC，在等腰直角三角形 BEF 中，BE=BF，ABBE=BC BF，即 AE=CF，ADECDF，第 7 题解图DE=DF，CDF=ADE ， 点 M，N 分别是 DF，EF 的中点， MN= DE，MNDE，21NMF=EDF ，在 RtDCF 中，点 M 是 DF 的中点，CM= DF=DM，21MC=MN，MDC=MCD，
18、CMF 是DMC 的一个外角，CMF=MDC+MCD=2MDC=2CDF=CDF+ADE，CMN=NMF+CMF=EDF+CDF+ADE=ADC=90，MCMN； （4） “拓展延伸”中的两个结论仍然成立.理由：如解图，连接 AE，DE，连接 FC 并延长到点 G，使 CG=FC，连接 DG，在正方形 ABCD 中，BAD =ADC=BCD=ABC=90，AB=BC=AD=DC，在等腰直角三角形 BEF 中，BE=BF，EBF=90，ABCEBC=EBF EBC，即ABE =CBF，ABE CBF， AE=CF，BAE=BCF， CG=FC, AE=CG,DAE=90 BAE，且DCG=180
19、 BCDBCF =90BCF ，DAE=DCG，DAEDCG，第 7 题解图第 7 题解图DE=DG ， ADE=CDG，EDG =CDG+EDC=ADE+EDC=90，DEDG ，在FED 中，点 M，N 分别是 DF，EF 的中点，MN= DE，MNDE，21同理，MC= DG，MCDG，MC=MN，MCMN.8.提出问题如图，在ABC 中， ACB =90，CD AB 于点 D，AC =BC，点 E、F分别在 AC、BC 上，EDF=90，则 DE 与 DF 的数量关系为 ；解决问题（2）如图，AC=BC，延长 BC 到点 F，沿 CA 方向平移线段 CF 到 EG，且点 G 在边 BA
20、 的延长线上，求证： DE=DF，DE DF；延伸问题（3）如图，B=30，延长 BC 到点 F，沿 CA 方向平移线段 CF 到 EG,且点 G 在边 BA 的延长线上，直接写出线段 DE 与 DF 的位置关系和数量关系.第 8 题图（1）解：DE=DF；【解法提示】EDC+CDF=EDF=90，CDF+FDB=90，EDC=FDB，AC =BC，CDAB，ACB=90，ECD=B=45，CD=BD .在EDC 和FDB 中， EDCFDB，DE=DF.,FDEC（2）证明：ACB=90，AC =BC，CD AB .DA=DB=DC，ABC=BAC=ACD=BCD=45，DAE=DCF=13
21、5，由平移可知 CF=EG，EGCF,EGCF，ACB=90，GEC= BCE=90，且GAE=CAD=45，EG=AE=CF，在DAE 和DCF 中，AECFDDAEDCF，DE=DF，ADE =CDF，ADE +ADF=CDF+ADF =90.FDE=CDA=90.DEDF ；（3）解：DEDF，DF = .DE3【解法提示】由 CDAB，ACB=90，B=30，可得ACD=30，则有 = ，由平移可ADC3知FGE=90，FC=GE .CEGF ，则有CAB=GAE=60，AGE=9060=30，= . = ，又FCD=AECFG3ADC3EAD=120，CFDAED， = ，即EFDF= DE，ADE =CDF ，EDF =90，DE DF.3
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