1、 1 函数与几何图形的综合题1.已知抛物线 y=ax2+bx-8（a0 ）的对称轴是直线 x =1，（1）求证：2a+ b=0；（2）若关于 x 的方程 ax2+bx-8=0，有一个根为 4，求方程的另一个根.解：（1）抛物线的对称轴为直线 x=1，- =1，2ba2a+b=0；（2）关于 x 的方程 ax2+bx-8=0，有一个根为 4，抛物线与 x 轴的一个交点为（4，0），抛物线的对称轴为 x=1，抛物线与 x 轴的另一个交点为（-2，0），方程的另一个根为 x=-22.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x+1 与 y 轴交于点 A，并且经过点B（3， n）（1）求点 B 的坐标；
2、（2）如果抛物线 y=ax2-4ax+4a-1（a0）与线段 AB 有唯一公共点，求 a 的取值范围. 2 第 2 题图解：（1）把 x=3 代入 y=x+1，得 y=3+1=4，点 B 的坐标为 B（3，4）；（2）由题意可知线段 AB 的解析式为：y=x+1（0x 3），y=ax 2-4ax+4a-1=a（x-2） 2-1，抛物线的对称轴为直线 x=2，顶点坐标为（2，-1），点 A（0，1），点 B（3，4），当抛物线 y=ax2-4ax+4a-1（a0）与线段 AB 有唯一公共点时， 4a11，3 2a43a+4a14或 4a11，3 2a43a+4a14解得 a5，无解，2综上所述，
3、当 a5 时，抛物线与线段 AB 有一个公共点.1第 2 题解图 3 3.已知抛物线 y=2x2+bx+c 经过点 A（2，-1）（1）若抛物线的对称轴为 x=1，求 b，c 的值（2）求证：抛物线与 x 轴有两个不同的交点；（3）设抛物线顶点为 P，若 O、A、P 三点共线（O 为坐标原点），求 b 的值解：（1）由题意得： 8+2b+c1， =1.-2b解得：b4 ，c1；（2）证明：把 A（2，-1）代入抛物线 y=2x2+bx+c 得：8+2b+c=-1，c=-9-2b，=b2-42c=b2-8（-9-2b）= （b+8） 2+80，抛物线与 x 轴有两个不同的交点；（3）A（2，-1
4、），O（0，0），直线 OA 的解析式为：y= .1-2xO、A、P 三点共线， P 在直线 OA 上，设 P（a, ）,1-2则 , 解得：b=-8 或-9.2941cba4.已知二次函数 y=ax2-4ax +3a（）求该二次函数的对称轴； 4 （）若该二次函数的图象开口向下，当 1x4 时，y 的最大值是 2，且当1x4 时，函数图象的最高点为点 P，最低点为点 Q，求OPQ 的面积；（）若二次函数的图象开口向下，对于该抛物线上的两点 P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2），当 tx 1t+1，x 25 时，均满足 y1y 2，请结合图象，直接写出t 的最大值解：（）对称轴 x=-
5、=2.42a（）该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线 x=2，当 x=2 时，y 取到在 1x 4 上的最大值为 2，即 P（2 ，2），4a-8a+3a=2，a =-2，y =-2x 2+8x-6，当 1x2 时，y 随 x 的增大而增大，当 x=1 时，y 取到在 1x 2 上的最小值 0当 2x4 时，y 随 x 的增大而减小，当 x=4 时，y 取到在 2x 4 上的最小值-6 当 1x4 时，y 的最小值为-6，即 Q（4，-6）OPQ 的面积为 4（2+6 ）-222 -462-（4-2）（2+6）2=10；（）当 tx 1t+1，x 2 5 时，均满足 y1y 2，当抛物线开
6、口向下，点 P 在点 Q 左边或重合时，满足条件，t+15，t4，t 的最大值为 4. 5 5.已知直线 y2x m 与抛物线 yax 2ax b 有一个公共点 M(1，0)，且 ab.(1)求抛物线顶点 Q 的坐标 (用含 a 的代数式表示)；(2)说明直线与抛物线有两个交点；(3)直线与抛物线的另一个交点记为 N，若1a ，求线段 MN 长度的取值12范围解：(1)抛物线过点 M(1，0)，aab0，即 b2a，yax 2ax bax 2ax2aa(x )2 ，12 9a4抛物线顶点 Q 的坐标为( ， )；12 9a4(2)直线 y2xm 经过点 M(1，0)，021m，解得 m2，把
7、y2x2 代入 yax 2ax2a，得 ax2(a2)x2a20， (a2) 24a( 2a2) 9a212a4，又ab，b2a，a0，b0， 9a 212a40，方程有两个不相等的实数根，直线与抛物线有两个交点；(3) 把 y2x2 代入 yax 2ax2a，得 ax2(a2)x2a20，即 x2(1 )x2 0，2a 2ax( )2( )2，解得 x11，x 2 2，12 1a 1a 32 2a将 x 2 代入 y2x 2 得 y 6，2a 4a 6 点 N( 2， 6)，2a 4a由勾股定理可得，MN 2( 2) 12( 6) 2 4520( )2，2a 4a 20a2 60a 1a 3
8、21a ，则2 1，12 1a 0，1a 32MN2 ( )3 ，532 1a 5 25a又1a ，125 MN 7 .5 56.在平面直角坐标系中，抛物线 y x2bx c 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，直线 yx4 经12过 A，C 两点在 AC 上方的抛物线上有一动点 P，设点 P 的横坐标为 m.(1)求抛物线的解析式；(2)如图，过点 P 作 PDy 轴交 AC 于点 D，当线段 PD 取得最大值时，求 m 的值.第 6 题图解：(1)直线 yx4 经过 A，C 两点，A(4，0) ， C(0，4)，又抛物线 y x2bx c 过 A，C 两点，12 ， 12（ 4
9、） 2 4b c 0c 4 )解得 ，b 1c 4) 7 抛物线的解析式为 y x2x 4；12(2)抛物线的解析式为 y x2x4，且点 P 的横坐标为 m(4m 0)，12P(m， m2m4) ，12PDy 轴，直线 AC 的解析式为 yx4，D(m， m4)，PD m2m4(m 4) m22m (m2) 22，12 12 12当 m2 时，线段 PD 取得最大值.7.如图，在平面直角坐标系中，直线 y x1 与抛物线 yax 2bx 3 交于12A、B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的纵坐标为 3.点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点(不与点 A、B 重合 )，过点 P 作
10、x 轴的垂线交直线 AB 于点 C，作PD AB 于点 D.(1)求抛物线的解析式及 sinACP 的值；(2)设点 P 的横坐标为 m.连接 PB，线段 PC 把PDB 分成两个三角形，是否存在适合的 m 值，使这两个三角形的面积之比为 9 10？若存在，直接写出 m 的值；若不存在，说明理由第 7 题图解：(1)由 x10，得 x2，12A(2，0) ， 8 由 x13，得 x4，B(4，3)12yax 2bx 3 经过 A、B 两点， ，（ 2） 2a 2b 3 042a 4b 3 3 )解得 ，a 12b 12)抛物线的解析式为 y x2- x3；1如解图，设直线 AB 与 y 轴交于
11、点 E，则 E(0，1)PCy 轴，ACPAEO.sinACPsinAEO ；OAAE 222 12 255(2) 存在，m 或 .52 329【解法提示】如解图，过点 D、B 作 DFPC ，BG PC ，垂足分别为点 F、G . 由图中几何关系可知FDPDCPAEO，cosFDPcosAEO ，OEAE 122 12 55在 Rt PDF 中，DFcos FDPPD PD (m22m8) 55 15又BG4m， .PBCDSDFBG 15（ m2 2m 8）4 m m 25GF 9 当 时，解得 m ；PBCDSm 25 910 52当 时，解得 m . 第 7 题解图PBCDm 25 1
12、09 329m 或 .52 3298.如图，抛物线 y x2 x2 与 x 轴交于 A、B 两点( 点 A 在点 B 的左侧)，与 y12 32轴交于点 C，M 是直线 BC 下方的抛物线上一动点(1)求 A、B、C 三点的坐标；(2)连接 MO、MC，并把 MOC 沿 CO 翻折，得到四边形 MOMC，那么是否存在点 M，使四边形 MOMC 为菱形？若存在，求出此时点 M 的坐标；若不存在，说明理由；第 8 题图解：(1)令 y0，则 x2 x 20，12 32解得 x14，x 21，点 A 在点 B 的左侧，A (1，0)，B(4 ，0)，令 x0，则 y2，C(0，2)；(2)存在点 M
13、，使四边形 MOM C 为菱形如解图，连接 MM ， 10 设 M 点坐标为(x ， x2 x2)(0x4)，12 32四边形 MOM C 是菱形，MM 垂直平分 OC，OC2，M 点的纵坐标为1， 第 8 题解图 x2 x21，12 32解得 x1 ，x 2 (不合题意，舍去)，3 1723 172M 点的坐标为( ，1).3 1729.如图，一次函数 y x2 分别交 y 轴、x 轴于 A、B 两点，抛物线12yx 2bxc 过 A、 B 两点. (1)求这个抛物线的解析式；(2)作垂直 x 轴的直线 xt，在第一象限交直线 AB 于 M，交这个抛物线于 N，求当 t 取何值时，MN 有最
14、大值？最大值是多少？(3)在(2)的情况下，以 A、M、N、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点 D 的坐标解：(1)y x2 分别交 y 轴、x 轴于 A、B 两点，12令 x0，则 y2，令 y0，则 x4， 11 A、B 点的坐标为：A (0，2)，B(4 ，0)，将 A(0，2) ，B(4，0)分别代入 yx 2bxc 中，得 ，解得 ，c 2 16 4b c 0) b 72c 2)抛物线的解析式为：yx 2 x2； 72(2)点 N 的坐标为( t，t 2 t2)，点 M 的坐标为(t ， t2)， 72 12MNt 2 t2( t2)t 24t ( t2) 24(0 t4)，72
15、12当 t2 时，MN 有最大值，最大值为 4；(3)由(2)可知，A(0，2) ，M(2，1)，N(2，5) ，当以 AN 和 AM 为对角线时，AD MN 且 ADMN，点 D 在 y 轴上，设 D(0，a) ，由 ADMN，得|a2|4，解得 a16，a 22， 第 9 题解图D 1(0，6) ，D 2(0，2)；当以 MN 为对角线时，由中点坐标公式可得 xAx D3x Mx N，y Ay D3y My N， x D34，y D34，D 3(4，4) ，综上所述，点 D 的坐标为(0，6) 或(0，2)或(4 ，4)10.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y x2bxc 过点
16、 A(0，4)和16C(8，0)，P(t，0)是 x 轴正半轴上的一个动点，M 是线段 AP 的中点，将线段MP 绕点 P 顺时针旋转 90得线段 PB，过点 B 作 x 轴的垂线，过点 A 作 y 轴的垂线，两直线交于点 D.(1)求抛物线的解析式； 12 (2)当 t 为何值时，点 D 落在抛物线上；(3)是否存在 t，使得以 A，B ，D 为顶点的三角形与 AOP 相似？若存在，求此时 t 的值；若不存在，请说明理由第 10 题图解：(1)由抛物线 y x2bxc 过点 A(0，4)和 C(8，0)可得，16 ，解得 .c 4 1664 8b c 0) b 56c 4)抛物线的解析式为
17、y x2 x4；16 5(2)AOPPEB90 ，OAPEPB90 APO，AOPPEB，则 2，AOPE APPBAO4，P (t，0)，PE2，OE OPPEt2，又DEOA 4，点 D 的坐标为(t2，4)，点 D 落在抛物线上时，有 (t2) 2 (t2)44，16 56解得 t3 或 t2，t0，t3.故当 t 为 3 时，点 D 落在抛物线上；(3)存在，理由： 13 由(2)知AOPPEB，则 2，OPBE APPBP(t，0) ，即 OPt.BE .t2当 0t8 时，若POAADB，则 ，POAD AOBD即 ，tt 244 12t整理得 t2160， t 无解； 第 10 题解图若POABDA，则 ，即 ，POBD AOAD t4 12t 4t 2解得 t122 或 t22 2 (舍去)；5 5当 t8 时，如解图若POAADB，则 ，POAD AOBD即 ，tt 2412t 4解得 t184 或 t284 (负值舍去)；5 5若POABDA，同理可得 t 无解综上可知，当 t22 或 84 时，以 A、B 、D 为顶点的三角形与 AOP 相似5 5
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