1、 函数的实际应用1.做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺,每个店铺在同一段时间内都能售出 A、B 两种款式的服装合计 30 件,并且每售出一件 A 款式和 B 款式服装,甲店铺获利润分别为 30 元和 35 元,乙店铺获利润分别为 26 元和 36 元某日,王老板进A 款式服装 36 件,B 款式服装 24 件,并将这批服 装分配给两个店铺各 30 件 (1)怎样将这 60 件服装分配给两个店铺,能使两个店铺在销售完这批服装后所获利润相同？ (2)怎样分配这 60 件服装能保证在甲店铺获利润不小于 950 元的前提下,王老板获利的总利润最大？最大的总利润是多少？解:(1)设 A 款式服装分配到
2、甲店铺为 x 件,则分配到乙店铺为(36x) 件；B 款式分配到甲店铺为(30x)件,分配到乙店铺为(x6)件,根据题意得:30x35(30 x)=26(36 x)36(x 6), 解得 x=22所以 36x=14( 件),30x =8(件),x6=16(件), 故 A 款式服装分配到甲店铺为 22 件,则分配到乙店铺为 14 件；B 款式分配到甲店铺为 8 件,分配到乙店 铺为 16 件,能使两个店铺在销售完这批服装后所获利润相同； （2）设总利润为 w 元,根据题意得: 30x35(30x) 950,解得 x20,解得6x20 w=30x35(30x )26(36x) 36(x6) =5x
3、1770,k=5 0,w 随 x 的增大而增大,当 x=20 时 ,w 有最大值 1870A 款式服装分配给甲、乙两店铺分别为 20 件和 16 件,B 款式服装分配给甲、乙两店铺分别为 10 件和 14 件,最大的总利润是 1870 元2.某天上午 7：30，小芳在家通过滴滴打车软件打车前往动车站搭乘当天上午8：30 的动车记汽车的行驶时间为 t 小时，行驶速度为 v 千米/ 小时（汽车行驶速度不超过 60 千米/小时）根据经验，v，t 的对应值如下表：v（千米/小时） 20 30 40 50 60t（小时） 0.6 0.4 0.3 0.25 0.2（1）求平均速度 v（千米 /小时）关于行
4、驶时间 t（小时）的函数表达式；（2）若小芳从开始打车到上车用了 10 分钟，小芳想在动车出发前半小时到达动车站，若汽车的平均速度为 32 千米/小时，小芳能否在预定的时间内到达动车站？请说明理由；（3）若汽车到达动车站的行驶时间 t 满足 0.3t 0.5，求平均速度 v 的取值范围解：（1）根据表格中数据，设 v= ，kt当 v=20 时 ，t=0.6 ，k=200.6=12，v= （t 0.2）；12（2）不能.理由：1 = ，6123当 t= 时， v= =3632，132若汽车的平均速度为 32 千米/小时，小芳不能在预定的时间内到达动车站 ；（3）0.3t0.5，24v 40，答：
5、平均速度 v 的取值范围是 24v 403.某 企 业 是 一 家 专 门 生 产 季 节 性 产 品 的 企 业 ,经 过 调 研 预 测 ,它 一 年 中 获 得的 利 润 y(万 元 )和 月 份 n 之 间 满 足 函 数 关 系 式 y= n2 14n 24(1)若 利 润 为 21 万 元 ,求 n 的 值 ；(2)哪 一 个 月 能 够 获 得 最 大 利 润 ,最 大 利 润 是 多 少 ？(3)当 产 品 无 利 润 时 ,企 业 会 自 动 停 产 ,企 业 停 产 是 哪 几 个月 份 ？解 :(1)由 题 意 得 : n2 14n 24=21,解 得 n=5 或 n=9
6、；(2)y= n2 14n 24= (n 7)2 25, 1 0,开 口 向 下 ,y 有 最 大 值 ,即 n=7 时 ,y 取 最 大 值 25,故 7 月 能 够 获 得 最 大 利 润 ,最 大 利 润 是 25 万 ；(3)y= n2 14n 24= (n 2)(n 12),当 y=0 时 ,n=2 或 者 n=12又 图 象 开 口 向 下 ,当 n=1 时 ,y 0,当 n=2 时 ,y=0,当 n=12 时 ,y=0,则 该 企 业 一 年 中 应 停 产 的 月 份 是 1 月 、 2 月 、 12 月 4.进 入 夏 季 后 某 款 空 调 供 不 应 求 ,厂 家 加 班
7、 生 产 并 销 售 ,在 第 一 个 产 销 期 的12 天 中 ,为 提 高 产 量 ,从 第 5 天 开 始 增 加 了 工 时 生 产 成 本 ,每 台 空 调 的 成 本P(元 )与 时 间 x(天 )的 关 系 如 表 :时 间 x(天 ) 每 台 空 调 的 成 本 P(元 )0 x 5 P=4005 x 12 P=40x 200已 知 每 天 生 产 的 空 调 数 量 y(台 )与 时 间 x(天 )近 似 满 足 函数 关 系 y=2x 16,每 台 空 调 的 出 售 价 格 为 1400 元 请 解 答 下 列 问 题 :(1)设 厂 家 的 日 销 售 利 润 为 W
8、 元 ,求 W(元 )与 时 间 x(天 )的函 数 关 系 式 ；(2)确 定 该 厂 哪 一 天 获 得 最 大 利 润 ,最 大 利 润 是 多 少 ？(3)设 厂 家 在 第 一 个 产 销 期 ,获 得 最 大 利 润 时 的 成 本 为 P1,日 生 产 量 为y1 现 计 划 从 第 13 天 开 始 ,按 每 台 成 本 P1 元 ,每 台 生 产 y1 台 进 行 生 产 并 完全 售 出 ,但 由 于 机 器 损 耗 等 原 因 ,实 际 平 均 每 台 空 调 的 成 本 比 统 计 增 加 了 a%,使 得 厂 家 10 天 的 销 售 利 润 与 原 计 划 的 8
9、天 的 销 售 利 润 持 平 ,求 a 的 值 解 :(1)当 0 x 5 时 ,W=y(1400 P)=(2x 16)(1400400)=2000x 16000；当 5 x 12 时 ,W=y(1400 P)=(2x 16)1400 (40x 20)= 80x2 1760x 19200；(2)当 0 x 5 时 ,W=2000x 16000,2000 0,W 随 x 的 增 大 而 增 大 ,当 x=5 时 ,W 有 最 大 值 为 26000 元 ；当 5 x 12 时 ,W= 80x2 1760x 19200= 80(x 11)2 28880,当 x=11 时 ,W 有 最 大 值 2
10、8880 元 ,综 上 ,第 11 天 的 利 润 最 大 ,最 大 利 润 是 28880 元 ；(3)y1=211 16=38(件 ),P1=4011 200=640(元 ),由 题 意 得 :1400 640(1 a%)3810=288808,解 得 a=23.75,a 的 值 为 23.755.小米利用暑期参加社会实践，在妈妈的帮助下，利用社区提供的免费摊点卖玩具，已知小米所有玩具的进价均 2 元/个，在销售过程中发现：每天玩具销售量y（件）与销售价格 x（元 /件）的关系如图所示，其中 AB 段为反比例函数图象的一部分，BC 段为一次函数图象的一部分，设小米销售这种玩具的日利润为 w
11、元（1）根据图象，求出 y 与 x 之间的函数关系式 ；（2）求出每天销售这种玩具的利润 w（元）与 x（元/ 件）之间的函数关系式，并求每天利润的最大值；（3）若小米某天将价格定为超过 4 元（x4），那么要使得小米在该天的销售利润不低于 54 元，求该天玩具销售价格的取值范围第 5 题图解：（1）AB 段为反比例函数图象的一部分，A（2，40），当 2x 4 时，y ，80xBC 段为一次函数图象的一部分 ，且 B（4 ，20）、C （14，0），设 BC 段一次函数函数关系式为 ykx b，有 ，21kb解得 ，28kb当 4x 14 时，y 2x28，y 与 x 之间的函数关系式为：y
12、 ；80(24)1xx （2）当 2x4 时， w（x2）y （x2） 80 ，80x60x随着 x 的增大， 增大，w80 也增大，16016当 x4 时，w 取得最大值为 40，当 4x14 时，w （x2）y （x2）（2x28）2x 232x56，w2x 2 32x562（x8） 272，20，4814，当 x8 时，w 取得最大值为 72，综上所述，每天利润的最大值为 72 元；（3）由题意可知：w2（x8） 272，令 w 54，即 w2x 232x5654，解得 x15， x211，由函数表达式可知，要使 w54，即 5x11，当 5x 11 时，小米的销售利润不低于 54 元6
13、.某经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理），当每吨售价为 260 元时，月销售量为 45 吨该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：月销售量与售价成一次函数关系，且满足下表所示的对应关系综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元设当每吨售价为 x 元时， 该经销店的月利润为 y 元售价（元） 250 240月销售量（吨） 52.5 60（1）当每吨售价是 220 元时，计算此时的月销售量；（2）求出 y 与 x 之间的函数关系式 ；（3）该经销店要获得最大月利润，售
14、价应定为每吨多少元，并说明理由；（4）小李说：“当月利润最大时 ，月销售额也最大” ，你认为她的说法正确吗？请说明理由解：（1）因为月销售量与售价成一次函数关系，设约月销售量为 pkxb，代入（250，52.5），（240，60），得 ，250.46kb ，.720bp0.75x240，当 x220 时 ，p0.75220240，当每吨售价是 220 元时，月销售量是 75 吨；（2）由题意：y（x100）（0.75x240） x2315x 24000；34（3）由（2）知，月利润 y 与售价 x 的函数关系为：y x2315x24000 （x210） 29075434 0，3当 x210 时
15、，最大月利润 y 为 9075 元，该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨 210 元；（4）我认为，小李说的不对理由：当月利润最大时，x 为 210 元，而对于月销售额 Wxpx （0.75x+240） （x160） 219200 来说，34当 x 为 160 元时，月销售额 W 最大，当 x 为 210 元时，月销售额 W 不是最大，小李说的不对7某广告公司承接一批宣传画板，形状均为矩形，长、宽之比为 1：0.6，且矩形长在 1030dm 之间每张画板的成本价 u（单位：元）与它的面积 s（单位：dm2）成正比例，每张画板的价格 y（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与画板
16、的大小无关，是固定不变的浮动价与画板的长（dm）成正比例在销售过程中得到了表格中的数据画板的长 x（dm） 10 20价格 y（元/张） 900 1000（1）求一张画板的价格 y 与画板的长 x 之间满足的函数关系式 ；（2）已知出售一张边长为 30dm 的画板，获得的利润为 875 元（利润出售价成本价），求一张画板的利润 w 与画板的长 x 之间满足的函数关系式；当矩形画板长为多少时，出售一张画板所获得的利润最大？最大利润是多少？解：（1）设 ymx a，当 x10 时，y 900，当 x20 时，y 1000 ， ，解得 ，0921ma108may10x800；（2）一张画板的成本价
17、u（单位：元）与它的面积 s（单位：dm 2）成正比例，设 u0.6kx 2，由题意：利润 w10 x8000.6kx 2，当 x30 时 ，w 875，代入求得 k ，51w x210x800，14画板的利润 w 与画板的长 x 之间满足的函数关系式为 w x210x800；14w x210x800 （x20） 2900，1414当 x20 时，w 最大 900，当矩形画板长为 20 dm 时，可获得最大利润 ，最大利润是 900 元8.为了创建全国卫生城，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，若两车合作，各运 12 趟才能完成，需支付运费共 4800 元；若甲、乙两车单独运
18、完此堆垃圾，则乙车所运趟数是甲车的 2 倍，已知乙车每趟运费比甲车少 200 元（1）分别求出甲、乙两车每趟的运费；（2）若单独租用甲车运完此堆垃圾，需运多少趟；（3）若同时租用甲、乙两车，则甲车运 x 趟，乙车运 y 趟，才能运完此堆垃圾，其中为 x， y 均为正整数在（3）的条件下，设总运费为 w（元）求 y 与 x 的函数关系式；求 w 与 x 的函数关系式，直接写出 w 的最小值；当 x10 且 y10 时，甲车每趟的运费打 7 折，乙车每趟的运费打 9 折，直接写出 w 的最小值解：（1）设甲、乙两车每趟的运费分别为 m 元、n 元，由题意得 ，20()48mn解得 301mn答：甲
19、、乙两车每趟的运费分别为 300 元、100 元；（2）设单独租用甲车运完此堆垃圾，需运 a 趟，由题意得12（ ）1，a解得 a18，经检验 a18 是原方程的解答：单独租用甲车运完此堆垃圾，需运 18 趟；（3） 1，8x36yy362x ；w 300x100y300 x100（362x），100x3600 ，（0 x18，且 x 为正整数），1000，y 随 x 的增大而增大，当 x1 时，w 有最小值，最小值为 3700 元w 3000.7x1000.9y 3000.7 x1000.9（362x ）30x3240，x10 且 y10，10x 13，且 x 为正整数，当 x10 时，w
20、有最小值，最小值为 3540 元9.某农户共摘收水蜜桃 1920 千克，为寻求合适的销售价格，进行了 6 天试销，试销情况如下：第 1 第 2 第 3 第 4 第 5 第 6天 天 天 天 天 天售价 x（元/ 千克）20 18 15 12 10 9销售量 y（千克）45 50 60 75 90 100由表中数据可知，试销期间这批水蜜桃的每天销售量 y（千克）与售价 x（元/ 千克）之间满足我们曾经学过的某种函数关系若在这批水蜜桃的后续销售中，每天的销售量 y（千克）与售价 x（元/千克）之间都满足这一函数关系（1）你认为 y 与 x 之间满足什么函数关系？并求 y 关于 x 的函数表达式；（
21、2）在试销 6 天后，该农户决定将这批水密桃的售价定为 15 元/千克若每天都按 15 元/千克的售价销售，则余下的水蜜桃预计还要多少天可以全部售完？该农户按 15 元/千克的售价销售 20 天后，发现剩下的水蜜桃过于成熟，必须在不超过 2 天内全部售完，因此需要重新确定一个售价，使后面 2 天都按新的售价销售且能如期全部售完，则新的售价最高可以定为多少元/千克？解：（1）y 与 x 之间满足反比例函数关系 ， y ；90x（2） 试销 6 天共销售水蜜桃 4550607590100420 千克水蜜桃的销售价定为 15 元/千克时，每天的销售量为 60 千克，由题意， 25 天，192046所
22、以余下的水蜜桃预计还要销售 25 天；农户按 15 元/千克的售价销售 20 天后，还剩下水蜜桃 19204206020300 千克，必须在不超过 2 天内全部售完，每天必须至少销售 150 千克，把 y150 代入 y 解得 x6，90新的售价最高定为 6 元/千克10.A、 B 两城相距 900 千米，一辆客车从 A 城开往 B 城，车速为每小时 80 千米，同时一辆出租车从 B 城开往 A 城，车速为每小时 100 千米，设客车出发时间为t（小时）探究：若客车、出租车距 A 城的距离分别为 y1、y 2，写出 y1、y 2关于 t 的函数关系式及自变量取值范围，并计算当 y1240 千米
23、时 y2的值发现：（1）设点 C 是 A 城与 B 城中间的点 ，AC AB，通过计算说明：哪个3车先到达 C 城？该车到达 C 后再经过多少小时，另一个车会到达 C？（2）若两车相距 100 千米时，求时间 t决策：已知客车和出租车正好在 A，B 之间的服务站 D 处相遇，此时出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返回，此时小王有两种选择返回 B 城的方案：方案一：继续乘坐出租车到 C 城，加油后立刻返回 B 城，出租车加油时间忽略不计；方案二：在 D 处换乘客车返回 B 城试通过计算，分析小王选择哪种方式能更快到达 B 城？解：探究：由已知得，y 180t（0t ） ，y 2900100
24、t （0t9），45当 y1240 时，即 80t240，t3，y29001003 600 ；发现：（1）AC AB 900300km，13客车到达 C 点需要的时间：80t300，解得 t3.75；出租车到达 C 点需要的时间：900100t300，解得 t63.75，63.752.25，客车先到达 C，再过 2.25 小时出租车到达；（2）两车相距 100 千米，分两种情况：y2 y1100，即 900100t80t100，解得 t ；409y1 y2100，即 80t（900100t）100，解得 t 5综上所述：两车相距 100 千米时，时间 t 为 或 小时；409决策：两车相遇，即 80t100t900，解得 t5，此时 AD805400（千米），BD900400500（千米）方案一：t 1（2CDBD）1007（小时） ；方案二：t 2BD8050080 6.25（小时）t1t 2，方案二更快
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