1、2019 年四川省乐山市市中区中考数学模拟试卷（5 月份）一、选择题：本大题共 10 题，每题 3 分，共 30 分.在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1（3 分）2 的倒数是（ ）A B2 C D22（3 分）如图，由 5 个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）A B C D3（3 分）（a 2） 4 等于（ ）A2a 4 B4a 2 Ca 8 Da 64（3 分）地球上陆地的面积约为 150 000 000km2把“ 150 000 000”用科学记数法表示为（ ）A1.510 8 B1.510 7 C1.510 9 D1.510 65（3 分）一个
2、不透明的信封中装有四张完全相同的卡片上分别画有等边三角形、矩形、菱形、圆，现从中任取一张，卡片上画的恰好既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是（ ）A B C D16（3 分）我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少 12 步），问阔及长各几步“如果设矩形田地的长为 x 步，那么同学们列出的下列方程中正确的是（ ）Ax（x+12）864 Bx（x12）864Cx 2+12x864 Dx 2+12x86407（3 分）如图，AD 是ABC 的角平分线，DEAB 于点 E，S ABC10 ，DE 2，AB 4，则 AC
3、长是（ ）A9 B8 C7 D68（3 分）如图，点 E 是ABC 的内心，AE 的延长线和ABC 的外接圆相交于点 D连接 BD， BE，CE，若CBD33，则BEC（ ）A66 B114 C123 D1329（3 分）如图，ABC 为直角三角形，C90，BC2cm ，A30，四边形DEFG 为矩形， ，EF6cm，且点 C、B、 E、 F 在同一条直线上，点 B 与点E 重合 RtABC 以每秒 1cm 的速度沿矩形 DEFG 的边 EF 向右平移，当点 C 与点 F重合时停止设 RtABC 与矩形 DEFG 的重叠部分的面积为 ycm2，运动时间 xs能反映 ycm2 与 xs 之间函数
4、关系的大致图象是（ ）A BC D10（3 分）如图，将边长为 10 的正三角形 OAB 放置于平面直角坐标系 xOy 中，C 是 AB边上的动点（不与端点 A，B 重合），作 CDOB 于点 D，若点 C，D 都在双曲线 y上（k0，x0），则 k 的值为（ ）A25 B18 C9 D9二、填空题：（本大题共 6 题.每题 3 分，共 18 分）11（3 分）实数 4 的算术平方根是 12（3 分）因式分解：a 3ab 2 13（3 分）函数 的自变量 x 的取值范围是 14（3 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，A60，AB2，扇形 EBF 的半径为 2，圆心角为 60，则图中阴影部分的
5、面积是 15（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E、F 分别是边 BC、CD 的延长线上的动点，且 CEDF，连接 AE、BF，交于点 G，连接 DG，则 DG 的最小值为 16（3 分）如图，抛物线 yax2+bx +c 与 x 轴交于点 A（1，0），顶点坐标（1，n），与 y 轴的交点在（ 0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：3a+b0；1 a ；对于任意实数 m，a+bam 2+bm 总成立；关于 x 的方程 ax2+bx+cn1 有两个不相等的实数根其中正确结论为 （只填序号）三、（本大题共 3 题.每题 9 分，共 27 分）17（9 分）计算：4si
6、n60 |1|+（ 1） 0+18（9 分）解不等式组： 并把它的解集在所给数轴上表示出来19（9 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，ABC 的平分线交 CD 于点 E，ADC 的平分线交 AB 于点 F，证明：四边形 DFBE 是平行四边形四、（本大题共 3 题.每题 10 分，共 30 分）20（10 分）济南某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校 30个班中随机抽取了 4 个班（用 A，B，C ，D 表示），对征集到的作鼎的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图请根据以上信息，回答下列问题：（l）杨老师采用的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”）；（2）请
7、补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中 C 班作品数量所对应的圆心角度数 （3）请估计全校共征集作品的件数（4）如果全枝征集的作品中有 5 件获得一等奖，其中有 3 名作者是男生，2 名作者是女生，现要在获得一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率21（10 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为（4，2）点 M 是边 BC 上的一个动点（不与 B、C 重合），反比例函数 y （k0，x0 ）的图象经过点 M 且与边 AB 交于点 N，连接 MN（1）当点 M 是
8、边 BC 的中点时求反比例函数的表达式；求 OMN 的面积；（2）在点 M 的运动过程中，试证明： 是一个定值22（10 分）已知 x1，x 2 是一元二次方程（a6）x 2+2ax+a0 的两个实数根（1）求 a 的取值范围；（2）求使代数式（x 1+1）（x 2+1）值为负整数的实数 a 的整数值；（3）如果实数 a，b 满足 b + +50，试求代数式 x13+10x22+5x2b 的值五、（本大题共 2 题.每题 10 分，共 20 分）23（10 分）如图，B 地在 A 地的北偏东 56方向上，C 地在 B 地的北偏西 19方向上，原来从 A 地到 C 地的路线为 ABC，现在沿 A
9、 地北偏东 26方向新修了一条直达 C地的公路，路程比原来少了 20 千米求从 A 地直达 C 地的路程（结果保留整数参考数据： 1.4， 1.7）24（10 分）如图 1，已知 AB 是 O 的直径，AC 是O 的弦，过 O 点作 OFAB 交 O于点 D，交 AC 于点 E，交 BC 的延长线于点 F，点 G 是 EF 的中点，连接 CG（1）判断 CG 与 O 的位置关系，并说明理由；（2）求证：2OB 2BCBF ；（3）如图 2，当DCE2F，CE3，DG2.5 时，求 DE 的长六、（本大题共 2 题.25 题 12 分，26 题 13 分，共 25 分）25（12 分）问题：如图
10、，在 RtABC 中，ABAC，D 为 BC 边上一点（不与点B，C 重合），将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到 AE，连接 EC，则线段BC，DC，EC 之间满足的等量关系式为 ；探索：如图，在 RtABC 与 RtADE 中，ABAC，ADAE，将ADE 绕点 A 旋转，使点 D 落在 BC 边上，试探索线段 AD，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图，在四边形 ABCD 中，ABC ACB ADC45若BD9，CD3，求 AD 的长26（13 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 2+bx+c（a0）与 x 轴交于A（2 ，0）、B（4，0）两点
11、，与 y 轴交于点 C，且 OC2OA（1）试求抛物线的解析式；（2）直线 ykx+1（k0）与 y 轴交于点 D，与抛物线交于点 P，与直线 BC 交于点M，记 m ，试求 m 的最大值及此时点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，点 Q 是 x 轴上的一个动点，点 N 是坐标平面内的一点，是否存在这样的点 Q、N，使得以 P、D 、Q 、N 四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点 N 的坐标；如果不存在，请说明理由2019 年四川省乐山市市中区中考数学模拟试卷（5 月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 题，每题 3 分，共 30 分.在每题给出的四个选项中，只有一个选项是
12、符合题目要求的.1（3 分）2 的倒数是（ ）A B2 C D2【分析】根据倒数的定义进行解答即可【解答】解：2 的倒数是 ，故选：A【点评】本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于 1，那么这两个数互为倒数2（3 分）如图，由 5 个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）A B C D【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中【解答】解：从左面看易得第一层有 2 个正方形，第二层最左边有一个正方形故选：B【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图3（3 分）（a 2） 4 等于（ ）A2a 4 B4a 2 Ca 8
13、 Da 6【分析】根据幂的乘方的性质：（a m） na mn（m，n 是正整数），即可求得答案【解答】解：（a 2） 4a 8故选：C【点评】此题考查了幂的乘方此题比较简单，注意幂的乘方法则：底数不变，指数相乘4（3 分）地球上陆地的面积约为 150 000 000km2把“ 150 000 000”用科学记数法表示为（ ）A1.510 8 B1.510 7 C1.510 9 D1.510 6【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是
14、正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：150 000 0001.510 8，故选：A【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值5（3 分）一个不透明的信封中装有四张完全相同的卡片上分别画有等边三角形、矩形、菱形、圆，现从中任取一张，卡片上画的恰好既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是（ ）A B C D1【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断，根据概率的公式计算【解答】解：在等边三角形、矩形、菱形、圆中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有矩形、菱形、圆共
15、3 个，卡片上画的恰好既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ；故选：C【点评】本题考查的是概率的计算、中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合6（3 分）我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少 12 步），问阔及长各几步“如果设矩形田地的长为 x 步，那么同学们列出的下列方程中正确的是（ ）Ax（x+12）864 Bx（x12）864Cx 2+12x864 Dx 2+12x8640【分析】如果设矩形田地
16、的长为 x 步，那么宽就应该是（x12）步，根据面积为 864，即可得出方程【解答】解：设矩形田地的长为 x 步，那么宽就应该是（x12）步根据矩形面积长宽，得：x（x12）864故选：B【点评】本题为面积问题，掌握好面积公式即可进行正确解答；矩形面积矩形的长矩形的宽7（3 分）如图，AD 是ABC 的角平分线，DEAB 于点 E，S ABC10 ，DE 2，AB 4，则 AC 长是（ ）A9 B8 C7 D6【分析】根据角平分线性质求出 DF，根据三角形面积公式求出ABD 的面积，求出ADC 面积，即可求出答案【解答】解：过 D 作 DFAC 于 F，AD 是ABC 的角平分线，DEAB，D
17、EDF 2，S ADB ABDE 424，ABC 的面积为 10，ADC 的面积为 1046， ACDF6， AC26，AC6故选：D【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键8（3 分）如图，点 E 是ABC 的内心，AE 的延长线和ABC 的外接圆相交于点 D连接 BD， BE，CE，若CBD33，则BEC（ ）A66 B114 C123 D132【分析】根据圆周角定理可求CAD33，再根据三角形内心的定义可求BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求EBC+ECB ，再根据三角形内角和定理可求BEC 的度数【解答】解：在O 中，
18、CBD33，CAD33，点 E 是ABC 的内心，BAC66，EBC+ ECB（18066）257，BEC18057123故选：C【点评】考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到EBC+ECB 的度数9（3 分）如图，ABC 为直角三角形，C90，BC2cm ，A30，四边形DEFG 为矩形， ，EF6cm，且点 C、B、 E、 F 在同一条直线上，点 B 与点E 重合 RtABC 以每秒 1cm 的速度沿矩形 DEFG 的边 EF 向右平移，当点 C 与点 F重合时停止设 RtABC 与矩形 DEFG 的重叠部分的面积为 ycm2，运动时间 xs能反映 ycm2
19、与 xs 之间函数关系的大致图象是（ ）A BC D【分析】由勾股定理求出 AB、AC 的长，进一步求出ABC 的面积，根据移动特点有三种情况（1）（2）（3），分别求出每种情况 y 与 x 的关系式，利用关系式的特点（是一次函数还是二次函数）就能选出答案【解答】解：已知C90 ，BC 2cm，A30，AB4，由勾股定理得：AC2 ，四边形 DEFG 为矩形，C90，DEGF 2 ，C DEF90，ACDE，此题有三种情况：（1）当 0x2 时，AB 交 DE 于 H，如图DEAC， ，即 ，解得：EH x，所以 y xx x2，xy 之间是二次函数，所以所选答案 C 错误，答案 D 错误，a
20、 0，开口向上；（2）当 2x6 时，如图，此时 y 22 2 ，（3）当 6x8 时，如图，设ABC 的面积是 s1，FNB 的面积是 s2，BFx 6，与（1）类同，同法可求 FN X6 ，ys 1s 2， 22 （x6）（ X6 ）， x2+6 x16 ， 0，开口向下，所以答案 A 正确，答案 B 错误，故选：A【点评】本题主要考查了一次函数，二次函数的性质三角形的面积公式等知识点，解此题的关键是能根据移动规律把问题分成三种情况，并能求出每种情况的 y 与 x 的关系式10（3 分）如图，将边长为 10 的正三角形 OAB 放置于平面直角坐标系 xOy 中，C 是 AB边上的动点（不与
21、端点 A，B 重合），作 CDOB 于点 D，若点 C，D 都在双曲线 y上（k0，x0），则 k 的值为（ ）A25 B18 C9 D9【分析】根据等边三角形的性质表示出 D，C 点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特征得出答案【解答】解：过点 D 作 DEx 轴于点 E，过 C 作 CFx 轴于点 F，如图所示可得：ODE 30BCD30 ，设 OEa，则 OD2a，DE a，BDOB OD102a，BC2BD 204a，ACABBC4a10，AF AC 2a5，CF AF （2a5），OFOAAF152a，点 D（a， a），点 C152a， （2a5） 点 C、D 都在双曲线 y
22、上（k0，x 0），a a（152a） （2a5），解得：a3 或 a5当 a5 时，DOOB，ACAB，点 C、D 与点 B 重合，不符合题意，a5 舍去点 D（3，3 ），k33 9 故选：D【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质，解题的关键是找出点 D、C 的坐标二、填空题：（本大题共 6 题.每题 3 分，共 18 分）11（3 分）实数 4 的算术平方根是 2 【分析】依据算术平方根根的定义求解即可【解答】解：2 24，4 的算术平方根是 2故答案为：2【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键12（3 分）因式分解：a 3
23、ab 2 a（a+b）（ab） 【分析】观察原式 a3ab 2，找到公因式 a，提出公因式后发现 a2b 2 是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得【解答】解：a 3ab 2a（a 2b 2）a（a+b）（ab）【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）13（3 分）函数 的自变量 x 的取值范围是 x3 【分析】根据被开方数非负列式求解即可【解答】解：根据题意得，x30，解得 x3故答案为：x3【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表
24、达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负14（3 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，A60，AB2，扇形 EBF 的半径为 2，圆心角为 60，则图中阴影部分的面积是 【分析】根据菱形的性质得出DAB 是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出ABGDBH，得出四边形 GBHD 的面积等于ABD 的面积，进而求出即可【解答】解：如图，连接 BD四边形 ABCD 是菱形，A60，ADC120，1260，DAB 是等边三角形，AB2，ABD 的高为 ，扇形 BEF 的半径为 2，圆心角为 60，4+560，3+ 560，34，设 AD、BE 相交于点
25、G，设 BF、DC 相交于点 H，在ABG 和DBH 中， ，ABGDBH（ASA），四边形 GBHD 的面积等于ABD 的面积，图中阴影部分的面积是：S 扇形 EBFS ABD 2 故答案是： 【点评】此题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形 EBFD 的面积等于ABD 的面积是解题关键15（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E、F 分别是边 BC、CD 的延长线上的动点，且 CEDF，连接 AE、BF，交于点 G，连接 DG，则 DG 的最小值为 1 【分析】先由图形确定：当 O、G 、D 共线时，DG 最小；根据正方形的性质证明 A
26、BE BCF（SAS），可得AGB90，利用勾股定理可得 OD 的长，从而得 DG 的最小值【解答】解：四边形 ABCD 是正方形ABBC， ABCBCD 90，且 CEDF ，CFBE，在ABE 和BCF 中，ABE BCF（SAS），BAE CBF，CBF+ ABF 90BAE +ABF90AGB90点 G 在以 AB 为直径的圆上，由图形可知：当 O、G、D 在同一直线上时，DG 有最小值，如图所示：正方形 ABCD，BC2，AO1OGODDG 1故答案为： 1【点评】本题考查了正方形的性质、三角形的三边关系及圆的性质，确定出 DG 最小时点 G 的位置是解题关键，也是本题的难点16（3
27、 分）如图，抛物线 yax2+bx +c 与 x 轴交于点 A（1，0），顶点坐标（1，n），与 y 轴的交点在（ 0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：3a+b0；1 a ；对于任意实数 m，a+bam 2+bm 总成立；关于 x 的方程 ax2+bx+cn1 有两个不相等的实数根其中正确结论为 （只填序号）【分析】利用抛物线开口方向得到 a0，再由抛物线的对称轴方程得到 b2a，则3a+ba，于是可对进行判断；利用 2c 3 和 c3a 可对进行判断；利用二次函数的性质可对进行判断；根据抛物线 yax 2+bx+c 与直线 yn1 有两个交点可对进行判断【解答】解：抛物线开口向
28、下，a0，而抛物线的对称轴为直线 x 1，即 b2a，3a+b3a2aa0，所以 错误；2c3，而 c3a，23a3，1a ，所以正确；抛物线的顶点坐标（1，n），x1 时，二次函数值有最大值 n，a+b+cam 2+bm+c，即 a+bam 2+bm，所以 正确；抛物线的顶点坐标（1，n），抛物线 yax 2+bx+c 与直线 yn1 有两个交点，关于 x 的方程 ax2+bx+cn 1 有两个不相等的实数根，所以正确故答案为：【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二
29、次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b异号时，对称轴在 y 轴右常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点：抛物线与 y 轴交于（0，c）抛物线与 x 轴交点个数由判别式确定：b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有2 个交点；b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；b 24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点三、（本大题共 3 题.每题 9 分，共 27 分）17（9 分）计算：4sin60 |1|+（ 1） 0+【分析】将特殊锐角三角函数值代入、计算绝对值、零指数幂、化简二次根式，再进一步计算可得【解答】解：原式4 1+1+42
30、 +46 【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握特殊锐角三角函数值、绝对值性质、零指数幂、二次根式性质18（9 分）解不等式组： 并把它的解集在所给数轴上表示出来【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可【解答】解：解不等式，得：x1，解不等式 ，得： x4，所以不等式组的解集为 1x4，将解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键19（9 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，ABC 的平分线交 CD 于点 E，ADC 的平分线交 AB 于点 F，证明：
31、四边形 DFBE 是平行四边形【分析】可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形已知了 DEBF，关键是求 DEBF，那么就要求出 AFCE，可通过三角形 ADF 和三角形 CBE 来求证【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ADCB，AC，ADCABC 又ADF ADC，CBE ABC ，ADFCBEADFCBEAFCEABAFCDCE 即 DEFB 又DEBF，四边形 DFBE 是平行四边形【点评】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法四、（本大题共 3 题.每题 10 分，共 30 分）20（10 分）济南某中学在参
32、加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校 30个班中随机抽取了 4 个班（用 A，B，C ，D 表示），对征集到的作鼎的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图请根据以上信息，回答下列问题：（l）杨老师采用的调查方式是 抽样调查 （填“普查”或“抽样调查”）；（2）请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中 C 班作品数量所对应的圆心角度数 150 （3）请估计全校共征集作品的件数（4）如果全枝征集的作品中有 5 件获得一等奖，其中有 3 名作者是男生，2 名作者是女生，现要在获得一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率【分
33、析】（1）杨老师从全校 30 个班中随机抽取了 4 个班，属于抽样调查（2）由题意得：所调查的 4 个班征集到的作品数为：6 24（件），C 班作品的件数为：2446410（件）；继而可补全条形统计图；（3）先求出抽取的 4 个班每班平均征集的数量，再乘以班级总数可得；（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名学生性别相同的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）杨老师从全校 30 个班中随机抽取了 4 个班，属于抽样调查故答案为：抽样调查（2）所调查的 4 个班征集到的作品数为：6 24 件，C 班有 24（4+6+4）10 件，补全条形图如图所示，扇形统
34、计图中 C 班作品数量所对应的圆心角度数 360 150；故答案为：150；（3）平均每个班 6 件，估计全校共征集作品 630180 件（4）画树状图得：共有 20 种等可能的结果，两名学生性别相同的有 8 种情况，恰好选取的两名学生性别相同的概率为 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小同时考查了概率公式21（10 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为（4，2）点
35、M 是边 BC 上的一个动点（不与 B、C 重合），反比例函数 y （k0，x 0）的图象经过点 M 且与边 AB 交于点 N，连接 MN（1）当点 M 是边 BC 的中点时求反比例函数的表达式；求 OMN 的面积；（2）在点 M 的运动过程中，试证明： 是一个定值【分析】（1）由矩形的性质及 M 是 BC 中点得出 M（2，4），据此可得反比例函数解析式；先求出点 N 的坐标，从而得出 CMBM2，AN BN1，再根据 SOMN S 矩形OABCS OAN S COM S BMN 计算可得（2）设 M（a，2），据此知反比例函数解析式为 y ，求出 N（4， ），从而得BM4a，BN 2 ，
36、再代入计算可得【解答】解：（1）点 B（4，2），且四边形 OABC 是矩形，OCAB 2，BCOA4，点 M 是 BC 中点，CM2，则点 M（2，2），反比例函数解析式为 y ；当 x4 时，y 1，N（4，1），则 CMBM2，ANBN1，S OMN S 矩形 OABCS OAN S COM S BMN42 41 22 213；（2）设 M（a，2），则 k2a，反比例函数解析式为 y ，当 x4 时，y ，N（4， ），则 BM4a，BN2 ， 2【点评】本题是反比例函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质、割补法求三角形的面积22（10 分）已知 x1
37、，x 2 是一元二次方程（a6）x 2+2ax+a0 的两个实数根（1）求 a 的取值范围；（2）求使代数式（x 1+1）（x 2+1）值为负整数的实数 a 的整数值；（3）如果实数 a，b 满足 b + +50，试求代数式 x13+10x22+5x2b 的值【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式0，即可得出关于 a 的一元一次不等式组，解之即可得出 a 的取值范围；（2）利用根与系数的关系可得出 x1+x2 ，x 1x2 ，结合（x 1+1）（x 2+1）的值为负整数可得出 为负整数，解之即可得出 a 的值；（3）由被开方数非零及 b + +50 可得出 a，b 的值，将 a 的值代入原
38、一元二次方程，利用根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x1+x210，x 1x25，x 1210x 1+5，将其代入 x13+10x22+5x2b 中即可求出结论【解答】解：（1）关于 x 的一元二次方程（a6）x 2+2ax+a0 有两个实数根， ，解得：a0 且 a6（2）x 1，x 2 是一元二次方程（a6）x 2+2ax+a0 的两个实数根，x 1+x2 ，x 1x2 ，（x 1+1）（x 2+1）x 1+x2+x1x2+1 + +1 为负整数，6a1，2，3，6，a7，8，9，12（3）b + +50，a5，b50，方程x 2+10x+50，x 1+x210， x1x25，x 12
39、10x 1+5，原式x 12x1+10x22+5x2b ，（10x 1+5）x 1+10x22+5x250，10（x 12+x22） +5（ x1+x2）50，10（x 1+x2） 220x 1x2+5（ x1+x2）50，1010 220（5）+51050，1100【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、一元二次方程的定义以及二次根式，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式0，找出关于 a 的一元一次不等式组；（2）利用根与系数的关系结合（x 1+1）（x 2+1）的值为负整数，找出为负整数；（3）利用被开方数非负，找出 a，b 的值五、（本大题共 2 题.每题 10 分，
40、共 20 分）23（10 分）如图，B 地在 A 地的北偏东 56方向上，C 地在 B 地的北偏西 19方向上，原来从 A 地到 C 地的路线为 ABC，现在沿 A 地北偏东 26方向新修了一条直达 C地的公路，路程比原来少了 20 千米求从 A 地直达 C 地的路程（结果保留整数参考数据： 1.4， 1.7）【分析】过点 B 作 BDAC 于点 D，设 BDx ，依据沿 A 地北偏东 26方向新修了一条直达 C 地的分路，路程比原来少了 20 千米，即可得到 AB+BCAC20，进而得出2x+ x（ x+x）20，求得 x 的值即可得到从 A 地直达 C 地的路程【解答】解：如解图，过点 B
41、 作 BDAC，垂足为 D，设 BDx，在 Rt ABD 中，BAD562630，AB 2x，AD x，在 Rt BCD 中，C26+1945，BC x，CD x，AC x+x，由题意得 AB+BCAC20，2x+ x（ x+x）20 ，解得 x28.6，AC2.728.677.2277 （千米）从 A 地直达 C 地的路程约为 77 千米【点评】本题考查了方向角，解直角三角形的综合运用，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线24（10 分）如图 1，已知 AB 是 O 的直径，AC 是O 的弦，过 O 点作 OFAB 交 O于点 D，交 AC 于点 E，
42、交 BC 的延长线于点 F，点 G 是 EF 的中点，连接 CG（1）判断 CG 与 O 的位置关系，并说明理由；（2）求证：2OB 2BCBF ；（3）如图 2，当DCE2F，CE3，DG2.5 时，求 DE 的长【分析】（1）连接 CE，由 AB 是直径知ECF 是直角三角形，结合 G 为 EF 中点知AEOGECGCE，再由 OAOC 知OCAOAC ，根据 OFAB 可得OCA+GCE90，即 OCGC，据此即可得证；（2）证ABCFBO 得 ，结合 AB2BO 即可得；（3）证 ECDEGC 得 ，根据 CE3，DG 2.5 知 ，解之可得【解答】解：（1）CG 与 O 相切，理由如
43、下：如图 1，连接 CE，AB 是O 的直径，ACBACF90，点 G 是 EF 的中点，GFGE GC，AEOGECGCE，OAOC，OCAOAC，OFAB，OAC+AEO90，OCA+GCE90，即 OCGC，CG 与O 相切；（2）AOEFCE 90，AEOFEC，OAEF，又BB，ABCFBO， ，即 BOABBC BF，AB2BO ，2OB 2BCBF ；（3）由（1）知 GCGEGF，FGCF，EGC2F，又DCE2F，EGCDCE，DECCEG，ECDEGC， ，CE3，DG2.5， ，整理，得：DE 2+2.5DE90，解得：DE2 或 DE4.5（舍），故 DE2【点评】本题
44、是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点六、（本大题共 2 题.25 题 12 分，26 题 13 分，共 25 分）25（12 分）问题：如图，在 RtABC 中，ABAC，D 为 BC 边上一点（不与点B，C 重合），将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到 AE，连接 EC，则线段BC，DC，EC 之间满足的等量关系式为 BCDC+EC ；探索：如图，在 RtABC 与 RtADE 中，ABAC，ADAE，将ADE 绕点 A 旋转，使点 D 落在 BC 边上，试探索线段 AD，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图，在四边形 ABCD 中，ABC ACB ADC45若BD9，CD3，求 AD 的长【分析】（1）证明BADCAE，根据全等三角形的性质解答；（2）连接 CE，根据全等三角形的性质得到 BDCE，ACEB，得到DCE90，根据勾股定理计算即可；（3）作 AEAD，使 AEAD，连接 CE，DE，证明BADCAE，得到BDCE9，根据勾股定理计算即可【解答】解：（1）BCDC+EC ，理由如下：BACDAE90，BACDACDAEDAC，即BADCAE，在BAD 和CAE 中，BADCAE，BDCE，BC
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