2019年浙江省嘉兴市秀洲区中考数学一模试卷（含答案解析）

1、2019 年浙江省嘉兴市秀洲区中考数学一模试卷一、选择题（每小题 3 分，满分 30 分）1 的倒数是（ ）A2016 B C2016 D2下列计算中，正确的是（ ）A a6a2 a3 B （ a+1） 2 a2+1C （ a） 3 a3 D （ ab3） 2 a2b53现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，在 2017 年的“双 11”促销活动中，天猫和淘宝的支付交易额突破，将 1682 亿元用科学记数法表示为（ ）元A0.168210 11 B1.68210 11C1.68210 12 D168210 84如图所示几何体的主视图为（ ）A B C D5若点 A（ m， n）和点 B（5

2、，7）关于 x 轴对称，则 m+n 的值是（ ）A2 B2 C12 D126如图，直线 l1 l2，以直线 l1上的点 A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、 l2于点 B、 C，连接 AC、 BC若 ABC67，则1（ ）A23 B46 C67 D787已知反比例函数 y （ a0）的图象，在每一象限内， y 的值随 x 值的增大而减少，则一次函数 y ax+a 的图象不经过（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限8用圆心角为 120，半径为 6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示） ，则这个纸帽的高是（ ）A cm B3 cm C4 cm D4 cm9若数

3、a 使关于 x 的分式方程 + 4 的解为正数，且使关于 y 的不等式组的解集为 y2，则符合条件的所有整数 a 的和为（ ）A10 B12 C14 D1610滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：计费项目 里程费 时长费 远途费单价 1.8 元/公里 0.3 元/分钟 0.8 元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程 7 公里以内（含 7 公里）不收远途费，超过 7 公里的，超出部分每公里收 0.8 元小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为 6 公里与 8.5 公里如果下车时两人所

4、付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（ ）A10 分钟 B13 分钟 C15 分钟 D19 分钟二、填空题（每小题 4 分，满分 24 分）11若 x 是 3 和 6 的比例中项，则 x 1 2分解因式： x24 13已知二次函数 y ax2+bx3 自变量 x 的部分取值和对应函数值 y 如下表：则在实数范围内能使得 y50 成立的 x 取值范围是 x 2 1 0 1 2 3 y 5 0 3 4 3 0 14如图所示，一个宽为 2cm 的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10” （单位： cm） ，那么该光盘的直径是

5、cm15如图，在平面直角坐标系中，点 A（4 ，0）是 x 轴上一点，以 OA 为对角线作菱形OBAC，使得 BOC60，现将抛物线 y x2沿直线 OC 平移到 y a（ x m） 2+h，那么h 关于 m 的关系式是 ，当抛物线与菱形的 AB 边有公共点时，则 m 的取值范围是 16如图，已知在平面直角坐标系中，点 A（0，3） ，点 B 为 x 轴上一动点，连接 AB，线段AB 绕着点 B 按顺时针方向旋转 90至线段 CB，过点 C 作直线 l y 轴，在直线 l 上有一点 D 位于点 C 下方，满足 CD BO，则当点 B 从（3，0）平移到（3，0）的过程中，点D 的运动路径长为

6、三、解答题17 （6 分） （1）计算：（ 1） 0（ ） 2 + tan30（2）解方程： x22 x9018 （6 分）国学经典进校园，传统文化润心灵某校开设了“围棋入门” 、 “诗歌汉字” 、“翰墨飘香” 、 “史学经典”四门拓展课（每位学生必须且只选其中一门） （1）学校对八年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图，请估计该校八年级 420 名学生选“诗歌汉字”的人数（2） “翰墨飘香”书画社的甲、乙、丙三人的书法水平相当，学校决定从这三名同学中任选两名参加市书法比赛，求甲和乙被选中的概率 （要求列表或画树状图）1 9 （6 分）如图，在方格纸中，点 A， D 都在格点上，作三角

7、形 ABC，使其满足下列条件 （点 B， C 不与点 D 重合）（1）在图甲中，作格点非等腰 ABC，使 AD 为 ABC 的高线（2）在图乙中，作格点钝角 ABC，使 AD 为 ABC 的角平分线20 （8 分）如图，已知 ABC 内接于 O， AB 为 O 的直径， BD AB，交 AC 的延长线于点D（1） E 为 BD 的中点，连结 CE，求证： CE 是 O 的切线；（2）若 AC3 CD，求 A 的大小21 （8 分）如图，一扇窗户垂直打开，即 OM OP， AC 是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点 A 处，另一端 C 在 OP 上滑动，将窗户 OM 按图示方向向内旋转

8、37到达ON 位置，此时，点 A、 C 的对应位置分别是点 B、 D测量出 ODB 为 28，点 D 到点 O的距离为 30cm（1）求 B 点到 OP 的距离；（2）求滑动支架的长 （结果精确到 0.1）（数据：sin280.47，cos280.88，tan280.53，s in 530.8， cos530.6，tan531.33）22 （10 分）某商场计划购进 A， B 两种新型节能台灯共 100 盏，这两种台灯的进价、售价如下表：类型 价格 进价（元/盏） 售价（元/盏）A 型 30 45B 型 50 70（1）若商场预计进货款为 3500 元，则这两种台灯各进多少盏（2）若设商场购进

9、 A 型台灯 m 盏，销售完这批台灯所获利润为 P，写出 P 与 m 之间的函数关系式（3）若商场规定 B 型灯的进货数量不超过 A 型灯数量的 4 倍，那么 A 型和 B 型台灯各进多少盏售完之后获得利润最多？此时利润是多少元23 （10 分）如图 1，在 ABC 中，点 P 为边 AB 所在直线上一点，连结 CP， M 为线段 CP 的中点，若满足 ACP MBA，则称点 P 为 ABC 的“好点” （1）如图 2，当 ABC90时，命题“线段 AB 上不存在“好点”为 （填“真”或“假” ）命题，并说明理由；（2）如图 3， P 是 ABC 的 BA 延长线的一个“好点” ，若 PC4，

10、 PB5，求 AP 的值；（3）如图 4，在 Rt ABC 中， CAB90，点 P 是 ABC 的“好点” ，若AC4， AB5，求 AP 的值24 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y x2+bx+c 的图象与坐标轴交于 A， B， C 三点，其中点 A 的坐标为（3，0） ，点 B 的坐标为（4，0） ，连接AC， BC动点 P 从点 A 出发，在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 作匀速运动；同时，动点 Q 从点 O 出发，在线段 OB 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为 t 秒连接

11、PQ（1）填空： b ， c ；（2）在点 P， Q 运动过程中， APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在 x 轴下方，该二次函数的图象上是否存在点 M，使 PQM 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间 t；若不存在，请说明理由；（4）如图，点 N 的坐标为（ ，0） ，线段 PQ 的中点为 H，连接 NH，当点 Q 关于直线 NH 的对称点 Q恰好落在线段 BC 上时，请直接 写出点 Q的坐标参考答案一、选择题1 的倒数是（ ）A2016 B C2016 D【分析】利用倒数的定义判断即可解： 的倒数是 2016，故选： A【点评】此题考查了倒数，熟练掌握倒

12、数的定义是解本题的关键2下列计算中，正确的是（ ）A a6a2 a3 B （ a+1） 2 a2+1C （ a） 3 a3 D （ ab3） 2 a2b5【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则计算得出答案解： A、 a6a2 a4，故此选项错误；B、 （ a+1） 2 a2+2a+1，故此选项错误；C、 （ a） 3 a3，故此选项正确；D、 （ ab3） 2 a2b6，故此选项错误故选： C【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键3现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，在 2017 年的“双 11”促销活动中，天猫和淘宝的支

13、付交易额突破，将 1682 亿元用科学记数法表示为（ ）元A0.168210 11 B1.68210 11C1.68210 12 D168210 8【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1| a|10， n 为整数确定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时， n 是正数；当原数的绝对值1 时， n 是负数解：将 1682 亿元用科学记数法表示为 1.6821011元，故选： B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1| a|10， n 为整数，表示时关键要正确确

14、定 a 的值以及 n 的值4如图所示几何体的主视图为（ ）A B C D【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案解：从正面看 ，故选： B【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图5若点 A（ m， n）和点 B（5，7）关于 x 轴对称，则 m+n 的值是（ ）A2 B2 C12 D12【分析】直接利用关于 x 轴对称点的性质得出 m， n 的值，进而得出答案解：点 A（ m， n）和点 B（5，7）关于 x 轴对称， m5， n7，则 m+n 的值是：12故选： C【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键6如图，直线 l

15、1 l2，以直线 l1上的点 A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、 l2于点 B、 C，连接 AC、 BC若 ABC67，则1（ ）A23 B46 C67 D78【分析】首先由题意可得： AB AC，根据等边对等角的性质，即可求得 ACB 的度数，又由直线 l1 l2，根据两直线平行，内错角相等，即可求得2 的度数，然后根据平角的定义，即可求得1 的度数解：根据题意得： AB AC， ACB ABC67，直线 l1 l2，2 ABC67， 1+ ACB+2180，11802 ACB180676746故选： B【点评】此题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质此题难度不大，解题的关键是注

16、意掌握两直线平行，内错角相等与等边对等角定理的应用7已知反比例函数 y （ a0）的图象，在每一象限内， y 的值随 x 值的增大而减少，则一次函数 y ax+ a 的图象不经过（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】通过反比例函数的性质可以确定 a0，然后由一次函数的性质即可确定一次函数图象经过的象限解：反比例函数 y （ a0）的图象，在每一象限内， y 的值随 x 值的增大而减少， a0， a0，一次函数 y ax+a 的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限故选： C【点评】本题主要考查了反比例函数图象的性质和一次函数图象的性质8用圆心角为 120，半径为 6cm

17、 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示） ，则这个纸帽的高是（ ）A cm B3 cm C4 cm D4 cm【分析】利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长；让扇形的弧长除以 2 即为圆锥的底面半径，利用勾股定理可得圆锥形筒的高解： L 4（ cm） ；圆锥的底面半径为 422（ cm） ，这个圆锥形筒的高为 4 （ cm） 故选： C【点评】此题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥侧面展开图的弧长 ；圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长；圆锥的底面半径，母线长，高组成以母线长为斜边的直角三角形9若数 a 使关于 x 的分式方程 + 4 的解为正数，且使关于 y 的不等式组的解集为 y2，则符

18、合条件的所有整数 a 的和为（ ）A10 B12 C14 D16【分析】根据分式方程的解为正数即可得出 a6 且 a2，根据不等式组的解集为y2，即可得出 a2，找 出2 a6 且 a2 中所有的整数，将其相加即可得出结论解：分式方程 + 4 的解为 x 且 x1，关于 x 的分式方程 + 4 的解为正数， 0 且 1， a6 且 a2，解不等式得： y2；解不等式得： y a关于 y 的不等式组 的解集为 y2， a22 a6 且 a2 a 为整数， a2、1、0、1、3、4、5，（2）+（1）+0+1+3+4+510故选： A【点评】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程

19、的解为正数结合不等式组的解集为 y2，找出2 a6 且 a2 是解题的关键10滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：计费项目 里程费 时长费 远途费单价 1.8 元/公里 0.3 元/分钟 0.8 元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程 7 公里以内（含 7 公里）不收远途费，超过 7 公里的，超出部分每公里收 0.8 元小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为 6 公里与 8.5 公里如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（ ）A10 分钟 B13 分钟 C1

20、5 分钟 D19 分钟【分析】设小王的行车时间为 x 分钟，小张的行车时间为 y 分钟，根据题意列出小王和小张车费的代数式，两者相等，计算可得出时间差解：设小王的行车时间为 x 分钟，小张的行车时间为 y 分钟，依题可得：1.86+0.3x1.88.5+0.3 y+0.8（8.57） ，10.8+0.3x16.5+0.3 y，0.3（ x y）5.7，x y19故这两辆滴滴快车的行车时间相差 19 分钟故选： D【点评】考查了二元一次方程的应用，解题的关键是仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）11若 x 是 3 和 6

21、的比例中项，则 x 3 【分析】根据比例中项的概念，得 x236，即可求出 x 的值解： x 是 3 和 6 的比例中项， x23618，解得 x3 故答案为；3 【点评】本题考查了比例线段，用到的知识点是比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项，求比例中项根据比例的基本性质进行计算12分解因式： x24 （ x+2） （ x2） 【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可解： x24（ x+2） （ x2） 故答案为：（ x+2） （ x2） 【点评】本题考查了平方差公式因式分解能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反13已知二次函数 y ax2+bx3

22、 自变量 x 的部分取值和对应函数值 y 如下表：则在实数范围内能使得 y50 成立的 x 取值范围是 x2 或 x4 x 2 1 0 1 2 3 y 5 0 3 4 3 0 【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数的对称性得出 y5 的自变量 x 的值即可解： x0， x2 的函数值都是3，相等，二次函数的对称轴为直线 x1， x2 时， y5， x4 时， y5，根据表格得，自变量 x1 时，函数值逐点减小，当 x1 时，达到最小，当 x1 时，函数值逐点增大，抛物线的开口向上， y50 成立的 x 取值范围是 x2 或 x4故答案为： x2 或 x4【点评】本题考查了二次

23、函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图表信息，求出对称轴解析式是解题的关键此题也可以确定出抛物线的解析式，再解不等式或利用函数图形来确定14如图所示，一个宽为 2cm 的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10” （单位： cm） ，那么该光盘的直径是 10 cm【分析】本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解解：如图，设圆心为 O，弦为 AB，切点为 C如图所示则 AB8 cm， CD2 cm连接 OC，交 AB 于 D 点连接 OA尺的对边平行，光盘与外边缘

24、相切， OC AB AD4 cm设半径为 Rcm，则 R24 2+（R2） 2，解得 R5，该光盘的直径是 10cm故答案为：10【点评】此题考查了切线的性质及垂径定理，建立数学模型是关键15如图，在平面直角坐标系中，点 A（4 ，0）是 x 轴上一点，以 OA 为对角线作菱形OBAC，使得 BOC60，现将抛物线 y x2沿直线 OC 平移到 y a（ x m） 2+h，那么h 关于 m 的关系式是 h m ，当抛物线与菱形的 AB 边有公共点时，则 m 的取值范围是 m 【分析】连接 BC 交 OA 于 M，由四边形 OBAC 是菱形，得到 OA BC， OM AM OA2， BOA BO

25、C30，求得 BM2，于是得到 B（2 ，2） ， C（2 ，2） ，求得直线 OC 的解析式为： y x，得到 y（ x m） 2 m，把 A（4 ，0）B（2 ，2）代入 y（ x m） 2 m 即可得到结论解：连接 BC 交 OA 于 M，四边形 OBAC 是菱形， OA BC， OM AM OA2 ， BOA BOC30， BM2， B（2 ，2） ， C（2 ，2） ，直线 OC 的解析式为： y x，抛物线 y x2沿直线 OC 平移， h m， y a（ x m） 2+h 为 y（ x m） 2 m，当抛物线与菱形的 AB 边有公共点时，把 A（4 ，0）代入 y（ x m） 2

26、 m 得 0（4 m） 2 m，解得m3 ， m ，3 ， m ，把 B（2 ，2）代入 y（ x m） 2 m 得，2（2 m） 2 m，解得 m ， m ， ， m ， m ，故答案是： h m； m 【点评】本题考查了二次函数与几何变换，菱形的性质，解直角三角形，平移的性质，正确的理解题意是解题的关键16如图，已知在平面直角坐标系中，点 A（0，3） ，点 B 为 x 轴上一动点，连接 AB，线段AB 绕着点 B 按顺时针方向旋转 90至线段 CB，过点 C 作直线 l y 轴，在直线 l 上有一点 D 位于点 C 下方，满足 CD BO，则当点 B 从（3，0）平移到（3，0）的过程中

27、，点D 的运动路径长为 3+3 【分析】如图，当点 B 从（3，0）平移到（3，0）的过程中， C 从 C1（0，3）运动到 C2（6，3） ， D 从 D1（0，6） D2（3，0） D3（6，0） 求出 D1D2 3， D2D33，即可解决问题解：如图，当点 B 从（3，0）平移到（3，0）的过程中， C 从 C1（0，3）运动到C2（6，3） ， D 从 D1（0，6） D2（3，0） D3（6，0） D1D2 3 ， D2D33，点 D 的运动路径长为 3+3 ，故答案为 3+3 【点评】本题考查坐标与图形的变化，旋转变换平移变换等知识，解题的关键是正确寻找点 D 的运动轨迹，属于中考

28、常考题型三、解答题（共 8 小题，满分 66 分）17 （6 分） （1）计算：（ 1） 0（ ） 2 + tan30（2）解方程： x22 x90【分析】 （1）根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行计算；（2）利用配方法解方程解：（1）原式14+ 14+12；（2） x22 x9，x22 x+110，（ x1） 210，x1 ，所以 x11+ ， x21 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成（ x+m） 2 n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法18 （6 分）国学经典进校园，传统文化润心灵某校开设了“围棋入门” 、 “诗歌汉

29、字” 、“翰墨飘香” 、 “史学经典”四门拓展课（每位学生必须且只选其中一门） （1）学校对八年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图，请估计该校八年级 420 名学生选“诗歌汉字”的人数（2） “翰墨飘香”书画社的甲、乙、丙三人的书法水平相当，学校决定从这三名同学中任选两名参加市书法比赛，求甲和乙被选中的概率 （要求列表或画树状图）【分析】 （1）用总人数乘以对应部分所占比例即可得；（2）根据题意画树状图得出所有等可能的结果数和甲、乙被选中的结果数，然后根据概率公式求解即可解：（1）估计该校八年级 420 名学生选“诗歌汉字”的人数为 （人） ；（2）根据题意画树状图如下：由上图可知，

30、共有 6 种等可能的结果，其中甲和乙被选中的有 2 种情况，甲和乙被选中的概率为 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率也考查了统计图19 （6 分）如图，在方格纸中，点 A， D 都在格点上，作三角形 ABC，使其满足下列条件 （点 B， C 不与点 D 重合）（1）在图甲中，作格点非等腰 ABC，使 AD 为 ABC 的高线（2）在图乙中，作格点钝角 ABC，使 AD 为 ABC 的角平分线【分析】 （1）根据题意作出图形即可；（2）根据题意作出图形即可

31、解：（1）如图所示： ABC 即为所求；（2）如图所示： ABC 即为所求【点评】本题考查了作图复杂作图和三角形中线的定义、勾股定理的逆定理，掌握三角形中线定义和勾股定理的逆定理是关键20 （8 分）如图，已知 ABC 内接于 O， AB 为 O 的直径， BD AB，交 AC 的延长线于点D（1） E 为 BD 的中点，连结 CE，求证： CE 是 O 的切线；（2）若 AC3 CD，求 A 的大小【分析】 （1）连接 OC，根据等腰三角形的性质得到 A1，根据三角形的中位线的性质得到 OE AD，得到23，根据全等三角形的性质得到 OCE ABD90，于是得到 CE 是 O 的切线；（2）

32、由 AB 为 O 的直径，得到 BC AD，根据相似三角形的性质得到 BC2 ACCD，得到tan A ，于是得到结论解：（1）连接 OC， OA OC， A1， AO OB， E 为 BD 的中点， OE AD，13， A2，23，在 COE 与 BOE 中， ， COE BOE， OCE ABD90， CE 是 O 的切线；（2） AB 为 O 的直径， BC AD， AB BD， ABC BDC， ， BC2 ACCD， AC3 CD， BC2 AC2，tan A ， A30【点评】本题考 查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，三角函数

33、的定义，正确的作出辅助线是解题的关键21 （8 分）如图，一扇窗户垂直打开，即 OM OP， AC 是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点 A 处，另一端 C 在 OP 上滑动，将窗户 OM 按图示方向向内旋转 37到达ON 位置，此时，点 A、 C 的对应位置分别是点 B、 D测量出 ODB 为 28，点 D 到点 O的距离为 30cm（1）求 B 点到 OP 的距离；（2）求滑动支架的长 （结果精确到 0.1）（数据：sin280.47，cos280.88，tan280.53，sin 530.8，cos530.6，tan531.33）【分析】 （1）在 Rt BOE 中，得到 OE

34、，在 Rt BDE 中，得到 DE，列方程即可得到结论；（2）根据三角函数的定义即可得到结论解：（1）在 Rt BOE 中， OE ，在 Rt BDE 中， DE ，则 + 30，解得 BE11.4（ cm） 故 B 点到 OP 的距离大约为 11.4cm；（2）在 Rt BDE 中， BD 24.2 cm 故滑动支架的长约为 24.2cm【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键22 （10 分）某商场计划购进 A， B 两种新型节能台灯共 100 盏，这两种台灯的进价、售价如下表：类型 价格 进价（ 元/盏） 售价（元/盏）A 型 30 45B 型 50 70（1）若

35、商场预计进货款为 3500 元，则这两种台灯各进多少盏（2）若设商场购进 A 型台灯 m 盏，销售完这批台灯所获利润为 P， 写出 P 与 m 之间的函数关系式（3）若商场规定 B 型灯的进货数量不超过 A 型灯数量的 4 倍，那么 A 型和 B 型台灯各进多少盏售完之后获得利润最多？此时利润是多少元【分析】 （1）设商场应购进 A 型台灯 x 盏，表示出 B 型台灯为（100 x）盏，然后根据进货款 A 型台灯的进货款+ B 型台灯的进货款列出方程求解即可；（2）根据题意列出函数解析式即可；（3）设商场销售完这批台灯可获利 P 元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出 m 的取值范

36、围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值解：（1）设商场应购进 A 型台灯 x 盏，则 B 型台灯为（100 x）盏，根据题意得，30 x+50（100 x）3500，解得 x75，所以，1007525，答：应购进 A 型台灯 75 盏， B 型台灯 25 盏；（2）设商场销售完这批台灯可获利 P 元，则 P（4530） m+（7050） （100 m） ，15 m+200020 m，5 m+2000，即 P5 m+2000，（3） B 型台灯的进货数量不超过 A 型台灯数量的 4 倍，100 m4 m， m20， k50， P 随 m 的增大而减小， m20 时， P 取得最大值，为52

37、0+20001900（元）答：商场购进 A 型台灯 20 盏， B 型台灯 80 盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为 1900 元【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性， （3）题中理清题目数量关系并列式求出 m 的取值范围是解题的关键23 （10 分）如图 1，在 ABC 中，点 P 为边 AB 所在直线上一点，连结 CP， M 为线段 CP 的中点，若满足 ACP MBA，则称点 P 为 ABC 的“好点” （1）如图 2，当 ABC90时，命题“线段 AB 上不存在“好点”为 真 （填“真”或“假” ）命题，并说明理由；（2）如图 3， P 是 ABC 的 B

38、A 延长线的一个“好点” ，若 PC4， PB5，求 AP 的值；（3）如图 4，在 Rt ABC 中， CAB90，点 P 是 ABC 的“好点” ，若AC4， AB5，求 AP 的值【分析】 （1）由 MPB MBP ACP 可判断；（2）证 PAC PMB 得 ，由 M 为 PC 中点知 MP2，代入计算可得；（3）分点 P 在线段 AB 上、点 P 在线段 AB 延长线上和点 P 在线段 BA 延长线上三种情况分别求解可得解：（1）命题“线段 AB 上不存在“好点”为真命题，理由如下：如图，当 ABC90时， M 为 PC 中点， BM PM，则 MPB MBP ACP，所以在线段 A

39、B 上不存在“好点” ；故答案为：真；（2） P 为 BA 延长线上一个“好点” ； ACP MBP； PAC PMB； ，即 PMPC PAPB； M 为 PC 中点， MP2；245 PA； （3）如图， P 为线段 AB 上的“好点” ，则 ACP MBA，作 AP 中点 D，连接 MD； M 为 CP 中点； MD 为 CPA 中位线； MD2， MD CA； DMP ACP MBA； DMP DBM； DM2 DPDB 即 4 DP（5 DP） ；解得 DP1， DP4（不在 AB 边上，舍去；） AP2；（1） ， P 为线段 AB 延长线上的“好点” ，则 ACP MBA，作 A

40、P 中点 D，此时， D 在线段 AB 上，如图，连接 MD； M 为 CP 中点； MD 为 CPA 中位线； MD2， MD CA； DMP ACP MBA； DMP DBM DM2 DPDB 即 4 DP（5 DA） DP（5 DP） ；解得 DP1（不在 AB 延长线上，舍去） ， DP4 AP8；（2） ， P 为线段 AB 延长线上的“好点” ，作 AP 中点 D，此时， D 在 AB 延长线上，如图，连接 MD；此时， MBA MDB DMP ACP，则这种情况不存在，舍去； P 为线段 BA 延长线上的“好点” ，则 ACP MBA， PAC PMB； PMB PAC90 BM

41、 垂直平分 PC 则 BC BP ；综上所述， AP2 或 AP8 或 【点评】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握直角三角形的性质、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质等知识点24 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y x2+bx+c 的图象与坐标轴交于 A， B， C 三点，其中点 A 的坐标为（3，0） ，点 B 的坐标为（4，0） ，连接AC， BC动点 P 从点 A 出发，在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 作匀速运动；同时，动点 Q 从点 O 出发，在线段 OB 上 以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一

42、点随之停止运动，设运动时间为 t 秒连接 PQ（1）填空： b ， c 4 ；（2）在点 P， Q 运动过程中， APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在 x 轴下方，该二次函数的图象上是否存在点 M，使 PQM 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间 t；若不存在，请说明理由；（4）如图，点 N 的坐标为（ ，0） ，线段 PQ 的中点为 H，连接 NH，当点 Q 关于直线 NH 的对称点 Q恰好落在线段 BC 上时，请直接写出点 Q的坐标【分析】 （1）设抛物线的解析式为 y a（ x+3） （ x4） 将 a 代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出 b、

43、c 的值；（2）连结 QC先求得点 C 的坐标，则 PC5 t，依据勾股定理可求得AC5， CQ2 t2+16，接下来，依据 CQ2 CP2 AQ2 AP2列方程求解即可；（3）过点 P 作 DE x 轴，分别过点 M、 Q 作 MD DE、 QE DE，垂足分别为 D、 E， MD 交x 轴与点 F，过点 P 作 PG x 轴，垂足为点 G，首先证明 PAG ACO，依据相似三角形的性质可得到 PG t， AG t，然后可求得 PE、 DF 的长，然后再证明 MDP PEQ，从而得到 PD EQ t， MD PE3+ t，然后可求得 FM 和 OF 的长，从而可得到点 M的坐标，然后将点 M

44、 的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（4）连结： OP，取 OP 的中点 R，连结 RH， NR，延长 NR 交线段 BC 与点 Q首先依据三角形的中位线定理得到 RH QO t， RH OQ， NR AP t，则 RH NR，接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明 NH 是 QNQ的平分线，然后求得直线NR 和 BC 的解析式，最后求得直线 NR 和 BC 的交点坐标即可解：（1）设抛物线的解析式为 y a（ x+3） （ x4） 将 a 代入得： y x2+x+4， b ， c4（2）在点 P、 Q 运动过程中， APQ 不可能是直角三角形理由如下：连结 QC在点 P、 Q 运动过

45、程中， PAQ、 PQA 始终为锐角，当 APQ 是直角三角形时，则 APQ90将 x0 代入抛物线的解析式得： y4， C（0，4） AP OQ t， PC5 t，在 Rt AOC 中，依据勾股定理得： AC5，在 Rt COQ 中，依据勾股定理可知：CQ2 t2+16，在 Rt CPQ 中依据勾股定理可知： PQ2 CQ2 CP2，在 Rt APQ 中，AQ2 AP2 PQ2， CQ2 CP2 AQ2 AP2，即（3+ t） 2 t2 t2+16（5 t） 2，解得： t4.5由题意可知：0 t4， t4.5 不合题意，即 APQ 不可能是直角三角形（3）如图所示：过点 P 作 DE x 轴，分别过点 M、 Q 作 MD DE、 QE DE，垂足分别为 D、 E， MD 交 x 轴与点 F，过点 P 作 PG x 轴，垂足为点 G，则 PG y 轴， E D90 PG y 轴， PAG ACO， ，即 ， PG t， AG t， PE GQ GO+O