1、2019 年黑龙江省大庆市肇源县第三中学中考数学一模试卷一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口 44 亿，这个数用科学记数法表示为（ ）A4410 8 B4.410 9 C4.410 8 D4.410 102下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A B C D3平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（ ）A对角线相等 B对角线互相平分C对角线互相垂直 D对角形互相垂直平分4下列说法正确的是（ ）数轴上原点两侧的数互为相反数 倒数等于本身的数是 10 是绝对值最小
2、的有理数 两个负数比较大小，绝对值大的反而小A B C D5甲、乙两人参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（ ）A B C D6下面是几个一样的小正方体摆出的立体图形的三视图，由三视图可知小正方体的个数为（ ）A6 个 B5 个 C4 个 D3 个7一组数据 1，2， a 的平均数为 2，另一组数据 l， a，1，2， b 的唯一众数为 l，则数据1， a， b，1，2 的中位数为（ ）A1 B1 C2 D38已知 a， b 是一元二次方程 4kx24 kx+k0 的两个实数根，则 的值为（ ）A2 B0 C2 D49如
3、图， ABC 中， C90， A30， AB 的垂直平分线交 AC 于 D，交 AB 于 E， CD4 cm，则 AC 的长为（ ）A7 cm B10 cm C12 cm D22 cm10已知二次函数 y x2 x+ m1 的图象与 x 轴有交点，则 m 的取值范围是（ ）A m5 B m2 C m5 D m2二填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）11在函数 y + 中，自变量 x 的取值范围是 12若 4x32y8，则 2x+5y 13数据 3，5，4，2，5，1，3，1 的平均数是 ，方差是 ，标准差为 14如图，在等边 ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE AC 于
4、 E， Q 为 BC 延长线上一点，当 PA CQ 时，连 PQ 交 AC 边于 D，且 DE 长为 1，则 BC 长为 15探索规律：7 1+18，7 2+150，7 3+1344，7 4+12402，7 5+116808，7 6+1117650，那么 72017+1 的个位数字为 16如图，在一条南北走向的高速公路左侧有一古塔 C，小亮爸爸驾驶汽车沿高速公路从南向北匀速行驶，上午 9：00 他行驶到 A 点时，测得塔 C 在北偏西 37方向，上午 9：11 行驶到 B 点时，测得塔 C 在南偏西 63.5方向，若汽车行驶的速度为 90km/h，则在行驶的过程中，汽车离塔 C的最近距离约是
5、km（sin37 ，tan37 ，sin63.5 ，tan63.52）17如图， AB 是半径为 6 的 O 的直径， CD 是弦，且 AB CD 于 E，若 COD60，则图中阴影部分的面积是 18若函数 y 的图象在每个象限内 y 的值随 x 值的增大而增大，则 m 的取值范围为 三解答题（共 9 小题，满分 57 分）19计算：1 2+ （3.14） 0|1 |20任何一个正整数 n 都可以进行这样的分解： n pq（ p、 q 是正整数，且 p q），则 n 的所有这种分解中，如果两因数 p， q 之差的绝对值最小，我们就称 pq 是 n 的最佳分解，并规定：F（ n） ，例如 18
6、可以分解成 118，29 或 36，则 F（18） （1）计算： F（24）、 F（270）（2）如果一个三位正整数 t， t10 x+y+600（1 x y9， x， y 为自然数），交换其个位上的数与百位上的数得到的新三位正整数加上原来的三位正整数所得的和恰好能被 11 整除，那么我们称这个数 t 为“心意数”，求所有“心意数”中 F（ t）的最大值21已知有理数3，1（1）在如图所示的数轴上，标出表示这两个数的点，并分别用 A， B 表示；（2）若| m|2，再说数轴上表示 m 的点介于点 A， B 之间；在点 A 右侧且到点 B 距离为 5 的点表示的数为 n计算 m+n mn；解关于
7、 x 的不等式 mx+4 n，并把解集表示在如图所示的数轴上22某中学组织学生去离学校 15km 的农场，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队的速度的 1.2 倍，结果先遣队比大队早到 0.5h，先遣队和大队的速度各是多少？23在今年“五一”小长假期间，某学校团委要求学生参加一项社会调查活动，八年级学生小明想了解他所居住的小区 500 户居民的家庭收入情况，从中随机调查了本小区一定数量居民家庭的收入情况（收入取整数，单位：元），并将调查的数据绘制成如下直方图和扇形图，根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）这次共调查了 个家庭的收入， a ， b ；（2）补全频数分布直方图，样本的中位数落
8、在第 个小组；（3）请你估计该居民小区家庭收入较低（不足 1000 元）的户数大约有多少户？（4）在第 1 组和第 5 组的家庭中，随机抽取 2 户家庭，求这两户家庭人均月收入差距不超过200 元的概率24如图，已知正三角形 ABC 的边长 AB 是 480 毫米一质点 D 从点 B 出发，沿 BA 方向，以每秒钟10 毫米的速度向点 A 运动（1）建立合适的直角坐标系，用运动时间 t（秒）表示点 D 的坐标；（2）过点 D 在三角形 ABC 的内部作一个矩形 DEFG，其中 EF 在 BC 边上， G 在 AC 边上在图中找出点 D，使矩形 DEFG 是正方形（要求所表达的方式能体现出找点
9、D 的过程）；（3）过点 D.B.C 作平行四边形，当 t 为何值时，由点 C.B.D.F 组成的平行四边形的面积等于三角形 ADC 的面积，并求此时点 F 的坐标25如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y x+b 与双曲线 y 相交于 A， B 两点，已知 A（2，5）求：（1） b 和 k 的值；（2） OAB 的面积26某文具商店销售功能相同的 A.B 两种品牌的计算器，购买 2 个 A 品牌和 3 个 B 品牌的计算器共需 156 元；购买 3 个 A 品牌和 1 个 B 品牌的计算器共需 122 元（1）求这两种品牌计算器的单价；（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促
10、销活动，具体办法如下： A 品牌计算器按原价的八折销售， B 品牌计算器超出 5 个的部分按原价的七折销售，设购买 x 个 A 品牌的计算器需要 y1元，购买 x（ x5）个 B 品牌的计算器需要 y2元，分别求出 y1.y2关于 x 的函数关系式；（3）当需要购买 50 个计算器时，买哪种品牌的计算器更合算？27问题提出（1）如图，在 ABC 中， A120， AB AC5，则 ABC 的外接圆半径 R 的值为 问题探究（2）如图， O 的半径为 13，弦 AB24， M 是 AB 的中点， P 是 O 上一动点，求 PM 的最大值问题解决（3）如图所示， AB.AC. 是某新区的三条规划路
11、，其中 AB6 km， AC3 km， BAC60，所对的圆心角为 60，新区管委会想在 路边建物资总站点 P，在 AB， AC 路边分别建物资分站点 E.F，也就是，分别在 、线段 AB 和 AC 上选取点 P、 E.F由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按 P E F P 的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE.EF 和 FP为了快捷、环保和节约成本要使得线段 PE.EF、 FP 之和最短，试求 PE+EF+FP 的最小值（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）四解答题（共 1 小题，满分 9 分，每小题 9 分）28如图，抛物线 y x2+bx+c（ b
12、为常数）与 x 轴交于 A.C 两点，与 y 轴交于 B 点，直线 AB的函数关系式为 y x+ （1）求该抛物线的函数关系式与 C 点坐标；（2）已知点 M（ m，0）是线段 OA 上的一个动点，过点 M 作 x 轴的垂线 l 分别与直线 AB 和抛物线交于 D.E 两点，当 m 为何值时， BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当 BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形时，动点 M 相应位置记为点M，将 OM绕原点 O 顺时针旋转得到 ON（旋转角在 0到 90之间）；探究：线段 OB 上是否存在定点 P（ P 不与 O、 B 重合），无论 ON 如何旋转
13、， 始终保持不变，若存在，试求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由；试求出此旋转过程中，（ NA+ NB）的最小值2019 年黑龙江省大庆市肇源县第三中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1| a|10， n 为整数，据此判断即可【解答】解：44 亿4.410 9故选： B【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a10n，其中 1| a|10，确定 a 与 n 的值是解题的关键2【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解： A.是中心对称
14、图形，不是轴对称图形故错误；B.既是轴对称图形，又是中心对称图形故正确；C.是轴对称图形，不是中心对称图形故错误；D.是轴对称图形，不是中心对称图形故错误故选： B【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合3【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的对角线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解： A.只有矩形，正方形的对角线相等，故本选项错误；B.平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，故本选项正确；C.只有菱形，正方形的对角线互相垂直，故本选项
15、错误；D.只有菱形，正方形的对角线互相垂直平分，故本选项错误故选： B【点评】本题主要考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的对角线的性质，是基础题，熟记各图形的性质是解题的关键4【分析】根据相反数、倒数、绝对值、有理数的大小比较法则逐个判断即可【解答】解：数轴上原点两侧、并且到原点的距离相等的点表示的数互为相反数，故错误；倒数等于本身的数是1，故错误；0 是绝对值最小的有理数，故正确；两个负数比较大小，绝对值大的反而小，故正确；故选： D【点评】本题考查了相反数、倒数、绝对值、有理数的大小比较法则等知识点，能熟记相反数、倒数、绝对值、有理数的大小比较法则的内容是解此题的关键5【分析】列表得出所
16、有等可能的情况数，找出小明、小华两名学生参加社会实践活动的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：可能出现的结果甲 打扫社区卫生 打扫社区卫生 参加社会调查 参加社会调查乙 打扫社区卫生 参加社会调查 参加社会调查 打扫社区卫生由上表可知，可能的结果共有 4 种，且他们都是等可能的，其中两人同时选择“参加社会调查”的结果有 1 种，则两人同时选择“参加社会调查”的概率为 ，故选： B【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验6【分析】主
17、视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形根据三视图的知识，该几何体的底层应有 3 个小正方体，第二层应有 1 个小正方体【解答】解：综合三视图，这个立体图形的底层应该有 3 个，第二层应该有 1 个小正方体，因此构成这个立体图形的小正方体的个数是 3+14 个故选： C【点评】本题考查了学生对三视图的理解和运用能力，同时也考查了空间想象能力如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案7【分析】根据平均数求得 a 的值，然后根据众数求得 b 的值后再确定新数据的中位数【解答】解：一组数据 1，2， a 的平均数为 2，1+2+ a32解得： a3
18、，数据 l， a，1，2， b 的唯一众数为 l， b1，数据1，3，1，2，1 的中位数为 1故选： B【点评】本题考查了平均数、众数及中位数的定义，解题的关键是正确的利用其定义求得未知数的值8【分析】先利用根与系数的关系得出 a+b1， ab ，再化简 4，最后代值即可得出结论【解答】解： a， b 是一元二次方程 4kx24 kx+k0 的两个实数根， a+b1， ab ， 4 40，故选： B【点评】此题主要考查了根与系数的关系，完全平方数，解本题的关键是化简 49【分析】先根据直角三角形的性质求出 ABC 的度数，再由线段垂直平分线的性质得出AD BD， ABD A30，故可得出 D
19、BC30，所以 BD2 CD8 cm，由此可得出结论【解答】解：连接 BD在 ABC 中， C90， A30， ABC60 AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 D， ABD A30， DBC30 CD4 cm， BD2 CD8 cm， AD8 cm， AC12 cm故选： C【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键10【分析】根据已知抛物线与 x 轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可【解答】解：二次函数 y x2 x+ m1 的图象与 x 轴有交点，（1） 241（ m1）0，解得： m5，故选： A【点评】本题考查
20、了抛物线与 x 轴的交点，能根据题意得出关于 m 的不等式是解此题的关键二填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）11【分析】根据二次根式的性质和的意义知，被开方数大于等于 0【解答】解：根据二次根式有意义得： x10 且 2 x0，解得：2 x1故答案为：2 x1【点评】考查了分式和根号有意义的知识函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数12【分析】将等式的左右两边利用幂的乘方与同底数幂的法则变形为以 2 为底数的幂，从而得出答案【解
21、答】解：4 x32y8，（2 2） x（2 5） y2 3，22x25y2 3，22x+5y2 3，则 2x+5y3，故答案为：3【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，解题的关键是掌握幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法的运算法则13【分析】首先求出各组数据的平均数，再根据方差公式 s2 （ x1） 2+（ x2 ）2+（ x8） 2，直接计算即可【解答】解：数据 3，5，4，2，5，1，3，1 的平均数是：（3+5+4+2+5+1+3+1）83，这组数据的方差 （0+4+1+1+4+4+0+4）2.25标准差为： 1.5故答案为：3，2.25；1.5【点评】本题考查了平均数、
22、方差和标准差公式，解题的关键是牢记公式并能熟练运用，此题比较简单，易于掌握14【分析】过 P 作 PF BC 交 AC 于 F，得出等边三角形 APF，推出 AP PF QC，根据等腰三角形性质求出 EF AE，证 PFD QCD，推出 FD CD，推出 DE AC 即可【解答】解：过 P 作 PF BC 交 AC 于 F PF BC， ABC 是等边三角形， PFD QCD， APF 是等边三角形， AP PF AF， PE AC， AE EF， AP PF， AP CQ， PF CQ在 PFD 和 QCD 中， ， PFD QCD（ AAS）， FD CD， AE EF， EF+FD AE
23、+CD， AE+CD DE AC， DE1， AC2故答案为：2【点评】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中15【分析】观察不难发现，每 4 个数为一个循环组依次进行循环，用 2017 除以 4，余数是几则与第几个的个位数相同【解答】解：7 1+18，7 2+150，7 3+1344，7 4+12402，7 5+116808，7 6+1117650，201745041，7 2017+1 的个位数字与 71+1 的个数数相同
24、，是 8故答案为：8【点评】本题考查了尾数特征的应用，观察得到每 4 个数为一个循环组依次进行循环是解题的关键16【分析】如图作 CH AB 于 H设 BH x，根据 CH BHtan63.5 AHtan37，构建方程即可解决问题【解答】解：如图作 CH AB 于 H由题意 AB90 ，设 BH x， CH BHtan63.5 AHtan37，2 x （ x），解得 x ， CH2 x9（ km），故答案为 9【点评】本题考查解直角三角形方向角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程17【分析】根据图形可知图中阴影部分的面积是扇形
25、OCB 的面积，利用扇形面积解答即可【解答】解： AB CD 于 E， COD60， COB30，图中阴影部分的面积扇形 OCB 的面积 ，故答案为：3【点评】此题考查扇形面积公式，关键是根据图形可知图中阴影部分的面积是扇形 OCB 的面积18【分析】先根据反比例函数的性质列出关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围即可【解答】解：函数 y 的图象在每个象限内 y 的值随 x 值的增大而增大， m20，解得 m2故答案为 m2【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数 y （ k0）中，当 k0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大是解答此题的
26、关键三解答题（共 9 小题，满分 57 分）19【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：原式1+ +41（ 1）1+ +41 +13【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键20【分析】（1）把 24 因式分解为 124，212，38，46 再由定义即可得 F（24），同理可得 F（270）；（2）根据心意数的定义，求出三位数的心意数，再根据 F（ t）的概念计算即可【解答】解：（1）241242123846，其中 4 与 6 的差的绝对值最小， F（24） ；270127021353905549301027，其中 10 与 27
27、的差的绝对值最小， F（270） ；（2） t10 x+y+600，交换其个位上的数与百位上的数得到的新三位正整数是 10x+100y+6 或100x+60+y，10 x+y+600+（10 x+100y+6）20 x+101y+606，10 x+y+600+（100 x+60+y）110 x+2y+660，交换其个位上的数与百位上的数得到的新三位正整数加上原来的三位正整数所得的和恰好能被 11 整除，110 x+2y+660 恰好能被 11 整除，1 x9，1 y9，当 x2， y5 时，“心意数”中 F（ t）的有最大值，此时 t102+5+600625，即 F（625） 【点评】此题是因
28、式分解的应用，设计一个新题型来考察学生的因式分解能力，解决第（2）小题时，能根据“心意数”的定义，找出三位数中的所有的“心意数”是关键21【分析】（1）利用数轴表示出 A， B 点位置；（2）根据题意得出 m2， n6，代入计算即可；利用不等式的基本性质解不等式即可【解答】解：（1）如图 1，；（2）由题意得， m2， n6， m+n mn2+6（2）64（12）16；2 x+46，2 x64，2 x2，x1，表示在数轴上如图 2：【点评】本题考查的是数轴、解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键22【分析】首先设大队的速度为 x 千米/时，则先遣队的速度是 1.2x 千米/时，
29、由题意可知先遣队用的时间+0.5 小时大队用的时间【解答】解：设大队的速度为 x 千米/时，则先遣队的速度是 1.2x 千米/时，+0.5，解得： x5，经检验 x5 是原方程的解，1.2x1.256答：先遣队的速度是 6 千米/时，大队的速度是 5 千米/时【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄懂题意，表示出大队和先遣队各走 15 千米所用的时间，根据时间关系：先遣队比大队早到 0.5h 列出方程解决问题23【分析】（1）用第 1 组的频数除以它所占百分比即可得到调查的总家庭数，再用第 2 组的频数除以总家庭数得到 a 的值，接着计算出第 3 组的频数，然后计算出第 5 组的频数，再
30、计算出b 的值；（2）根据中位数的定义可判断样本的中位数落在第 3 个小组；然后补全频数分布直方图；（3）用 500 乘以前面 2 组的频率和即可估计该居民小区家庭收入较低（不足 1000 元）的户数；（4）设第 1 组的 2 户用 A.B 表示，第 5 组的 3 户用 A.B.c 表示，画树状图展示所有 20 种等可能的结果数，再找出这两户家庭人均月收入差距不超过 200 元的结果数，然后根据概率公式计算【解答】解：（1）25%40（个），所以这次共调查了 40 个家庭；a64015%，第三组的家庭个数4045%18（个），b（40261892）407.5%，（2）第 20 个数和第 21
31、个数都落在第三组，所以样本的中位数落在第三个小组，如图，故答案为 40，15%，7.5%；三；（3）500（5%+15%）100（户），所以估计该居民小区家庭收入较低（不足 1000 元）的户数大约有 100 户；（4）设第 1 组的 2 户用 A.B 表示，第 5 组的 3 户用 A.B.c 表示，画树状图为：共有 20 种等可能的结果数，其中这两户家庭人均月收入差距不超过 200 元的结果数为 8，所以这两户家庭人均月收入差距不超过 200 元的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根
32、据概率公式求出事件 A 或 B 的概率也考查了统计图和用样本估计总体24【分析】运用相似三角形及平行四边形的性质求解【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，作 DE x 轴于 E，则 t 秒后， DB10 t又 ABC 是正三角形，故 B60在 Rt DEB 中， DE DBsin B10 t 5 t，BE DBcos B10 t 5 t即： ；（2）先画一个正方形，再利用位似图形找出点 D，具体作法阅图利用正三角形与矩形是轴对称图形或利用相似三角形的性质求得 DG48010 t， DE 然后由 48010 t求出 t 96（2 ）（毫米）所以当点 D 与点 B 的距离等于 10t960（
33、2 ）毫米时，矩形是正方形（3）如图所示：当点 F 在第一象限时，这个平行四边形是 CBDF；当点 F 在第二象限时，这个平行四边形是 BCDF“；当点 F 在第三象限时，这个平行四边形是 CDBF但平行四边形 BCDF“的面积、平行四边形 CDBF的面积都与平行四边形 CBDF 的面积相等（等底等高）平行四边形 CBDF 的底 BC480，相应的高是 ，则面积是 ；三角形 ADC 的底AD48010 t，相应的高是 240则面积是 120 （48010 t）由 120 （48010 t），解得 t16所以当 t16 秒时，由点 C.B.D.F 组成的平行四边形的面积等于三角形 ADC 的面积
34、此时，点 F 的坐标是 F（560，80 ）， F（400，80 ）F（400，80 ）【点评】本题考查对相似三角形的运用能力和平行四边形的性质掌握程度25【分析】（1）由直线 y x+b 与双曲线 y 相交于 A， B 两点， A（2，5），即可得到结论；（2）过 A 作 AD y 轴于 D， BE y 轴于 E 根据 y x+3， y ，得到 B（5，2），C（3，0），求出 OC3，然后根据三角形的面积公式即可得到结论【解答】解：（1）直线 y x+b 与双曲线 y 相交于 A， B 两点，已知 A（2，5），52+ b，5 解得： b3， k10（2）如图，过 A 作 AD y 轴于
35、D，过 B 作 BE y 轴于 E， AD2 b3， k10， y x+3， y 由 得： 或 ， B 点坐标为（5，2） BE5设直线 y x+3 与 y 轴交于点 C C 点坐标为（0，3） OC3 S AOC OCAD 323，S BOC OCBE 35 S AOB S AOC+S BOC 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形面积的计算，正确的识别图形是解题的关键26【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；（2）根据题意用含 x 的代数式表示出 y1.y2即可；（3）把 x50 代入两个函数关系式进行计算，比较得到答案【解答】解：（1）设 A.B
36、两种品牌的计算器的单价分别为 x、 y 元，由题意得，解得 答： A.B 两种品牌的计算器的单价分别为 30 元、32 元；（2） y124 x，y2160+（ x5）320.722.4 x+48；（3）当 x50 时， y124 x1200，y222.4 x+481168，11681200，买 B 品牌的计算器更合算【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用和一次函数的应用，正确找出等量关系列出方程组并正确解出方程组、掌握一次函数的性质是解题的关键27【分析】（1）设 O 是 ABC 的外接圆的圆心，易证 ABO 是等边三角形，所以AB OA OB5；（2）当 PM AB 时，此时 PM 最大
37、，连接 OA，由垂径定理可知： AM AB12，再由勾股定理可知： OM5，所以 PM OM+OP18，（3）设连接 AP， OP，分别以 AB.AC 所在直线为对称轴，作出 P 关于 AB 的对称点为 M， P 关于AC 的对称点为 N，连接 MN，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，连接 PE.PF，所以 AM AP AN，设AP r，易求得： MN r，所以 PE+EF+PF ME+EF+FN MN r，即当 AP 最小时， PE+EF+PF 可取得最小值【解答】解：（1）设 O 是 ABC 的外接圆的圆心， OA OB OC， A120， AB AC5， ABO 是等边三角形， A
38、B OA OB5，（2）当 PM AB 时，此时 PM 最大，连接 OA，由垂径定理可知： AM AB12， OA13，由勾股定理可知： OM5， PM OM+OP18，（3）设连接 AP， OP分别以 AB.AC 所在直线为对称轴，作出 P 关于 AB 的对称点为 M， P 关于 AC 的对称点为 N，连接 MN，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，连接 PE.PF， AM AP AN， MAB PAB， NAC PAC， BAC PAB+ PAC MAB+ NAC60， MAN120 M、 P、 N 在以 A 为圆心， AP 为半径的圆上，设 AP r，易求得： MN r， PE ME
39、， PF FN， PE+EF+PF ME+EF+FN MN r，当 AP 最小时， PE+EF+PF 可取得最小值， AP+OP OA， AP OA OP，即点 P 在 OA 上时， AP 可取得最小值，设 AB 的中点为 Q， AQ AC3， BAC60， AQ QC AC BQ3， ABC QCB30， ACB90，由勾股定理可知： BC3 ， BOC60， OB OC3 ， OBC 是等边三角形， OBC60， ABO90由勾股定理可知： OA3 ， OP OB3 ， AP r OA OP3 3 ， PE+EF+PF MN r3 9 PE+EF+PF 的最小值为（3 9） km【点评】本
40、题考查圆的综合问题，涉及轴对称的性质，勾股定理，垂径定理，等边三角形的性质与判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识四解答题（共 1 小题，满分 9 分，每小题 9 分）28【分析】（1）根据已知条件得到 B（0， ）， A（6，0），解方程组得到抛物线的函数关系式为： y x2 x+ ，于是得到 C（1，0）；（2）由点 M（ m，0），过点 M 作 x 轴的垂线 l 分别与直线 AB 和抛物线交于 D.E 两点，得到D（ m， m+ ），当 DE 为底时，作 BG DE 于 G，根据等腰三角形的性质得到EG GD ED， GM OB ，列方程即可得到结论；（3）根据已知条件得到 ON
41、 OM4， OB ，由 NOP BON，特殊的当 NOP BON时，根据相似三角形的性质得到 ，于是得到结论；根据题意得到 N 在以 O 为圆心，4 为半径的半圆上，由知， ，得到 NP NB，于是得到（ NA+ NB）的最小值 NA+NP，此时 N， A， P 三点共线，根据勾股定理得到结论【解答】解：（1）在 y x+ 中，令 x0，则 y ，令 y0，则 x6， B（0， ）， A（6，0），把 B（0， ）， A（6，0）代入 y x2+bx+c 得， ，抛物线的函数关系式为： y x2 x+ ，令 y0，则 0 x2 x+ ， x16， x21， C（1，0）；（2）点 M（ m，0
42、），过点 M 作 x 轴的垂线 l 分别与直线 AB 和抛物线交于 D.E 两点， D（ m， m+ ），当 DE 为底时，如图 1，作 BG DE 于 G，则 EG GD ED， GM OB ， DM+DG GM OB， m+ + （ m2 m+ m ） ，解得： m14， m20（不合题意，舍去），当 m4 时， BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形；（3）存在，如图 2 ON OM4， OB ， NOP BON，当 NOP BON 时， ， 不变，即 OP ON 43， P（0，3）； N 在以 O 为圆心，4 为半径的半圆上，由知， ， NP NB，（ NA+ NB）的最小值 NA+NP，此时 N， A， P 三点共线，（ NA+ NB）的最小值 3 【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求抛物线的解析式，函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键
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