1、2019 年南阳市卧龙区九年级毕业考试（一模）数学试题一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1 的相反数是（ ）A B C D2下列计算正确的是（ ）A2 a+3b5 ab B （ a3） 2 a6C （ a b） 2 a2 b2 D2 a6a32 a23随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有 210 万，请将“210 万”用科学记数法表示为（ ）A0.2110 7 B2.110 6 C2110 5 D2.110 74下列几何体中，其主视图、俯视图和左视图分别是图中三个图形的是（ ）A BC D5关于二次函
2、数 的图象与性质，下列结论错误的是（ ）A当 x2 时，函数有最大值3B当 x2 时， y 随 x 的增大而增大C抛物线可由 经过平移得到D该函数的图象与 x 轴有两个交点6某班学生积极参加献爱心活动，该班 50 名学生的捐款统计情况如下表：金额/元 5 10 20 50 100人数 4 16 15 9 6则他们捐款金额的中位数和众数分别是（ ）A10，10 B10，20 C20，10 D20，207如图，直线 m n， ABC 的顶点 B， C 分别在直线 n， m 上，且 ACB90，若130，则2 的度数为（ ）A140 B130 C120 D1108不等式组 的所有整数解的和为（ ）A
3、13 B15 C16 D219在一个不透明的口袋里装有 2 个红球，1 个黄球和 1 个白球，它们除颜色不同外其余都相同从口袋中随机摸出 2 个球，则摸到的两个球是一白一黄的概率是（ ）A B C D10如图，在 Rt ABC 中， B90， BC3， AB4，点 D， E 分别是 AB， AC 的中点， CF平分 Rt ABC 的一个外角 ACM，交 DE 的延长线于点 F，则 DF 的长为（ ）A4 B5 C5.5 D6二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11计算： 12若关于 x 的一元二次方程 x23 x+2+m0 无实数根，则 m 的取值范围是 13如图，在 ABCD 中，点
4、O 是对角线 AC， BD 的交点， AC BC，且 AB5， AD3，则OB 14如图，正方 形 ABCD 的面积为 36cm2，点 E 在 BC 上，点 G 在 AB 的延长线上，四边形EFGB 是正方形，以点 B 为圆心， BC 的长为半径画 ，连接 AF， CF，则图中阴影部分的面积为 15如图，在 Rt ABC 中， AC8， BC6，点 D 为斜边 AB 上一点， DE AB 交 AC 于点 E，将 AED 沿 DE 翻折，点 A 的 对应点为点 F如果 EFC 是直角三角形，那么 AD 的长为 三、简答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）16 （8 分）化简： ，并从1，0
5、，1，2 中选择一个合适的数求代数式的值17 （8 分）某校为了解学生每天的自主学习时间，随机调查了部分学生，根据调查结果，作了两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息回答下列问题：（1）求本次调查的学生人数；（2）求扇形统计图中角 的度数；（3）将条形统计图补充完整；（4）若该校约有 1200 名学生，请估算该校学生自主学习时间少于 1.5 小时的人数18 （8 分）如图，在 ACE 中， AC CE， O 经过点 A， C，且与边 AE， CE 分别交于点D， F，点 B 是劣弧 AC 上的一点，且 ，连接 AB， BC， CD求证： CDEABC19 （10 分）如图，一起重机的吊杆 A
6、B 长 36 米，吊杆与水平线的夹角 BAC 可从 30升到 80，若起重机位置不变，不考虑吊杆和吊绳可以伸缩的因素，求起重机在水平和垂直两个方向可以使用的最大距离 （精确到 0.1 米，sin800.98，cos800.17，tan805.67， ）20 （10 分）如图，直线 y kx+b 与反比例函数 的图象分别交于点 A（1，2） ，点B（4， n） ，与 x 轴， y 轴分别交于点 C， D（1）求此一次函数和反比例函数的解析式；（2）求 AOB 的面积21 （10 分）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进 A、 B 两种树苗共 17 棵，已知 A 种树苗每棵 80
7、 元， B 种树苗每棵 60 元（1）若购进 A、 B 两种树苗刚好用去 1220 元，问购进 A、 B 两种树苗各多少棵？（2）若购进 A 种树苗 a 棵，所需费用为 W，求 W 与 x 的函数关系式；（3）若购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用22 （10 分）如图，在 Rt ABC 中， ACB90， ， CD AB 于点 D，点 E 是直线AC 上一动点，连接 DE，过点 D 作 FD ED，交直线 BC 于点 F（1）探究发现：如图 1，若 m n，点 E 在线段 AC 上，则 ；（2）数学思考：如图 2，若点 E 在线段 A
8、C 上，则 （用含 m， n 的代数式表示） ；当点 E 在直线 AC 上运动时，中的结论是否仍然成立？请仅就图 3 的情形给出证明；（3）拓展应用：若 AC ， BC2 ， DF4 ，请直接写出 CE 的长23 （11 分）如图 1，抛物线 y ax2+bx+2 与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点C， AB4，矩形 OBDC 的边 CD1，延长 DC 交抛物线于点 E（1）求抛物线的解析式；（2）如图 2，点 P 是直线 EO 上方抛物线上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交直线EO 于点 G，作 PH EO，垂足为 H设 PH 的长为 l，点 P 的横坐标为 m，求 l
9、 与 m 的函数关系式（不必写出 m 的取值范围） ，并求出 l 的最大值；（3）如果点 N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点 M，使得以 M， A， C， N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题1 的相反数是（ ）A B C D【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案解： 的相反数是： 故选： B【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键2下列计算正确的是（ ）A2 a+3b5 ab B （ a3） 2 a6C （ a b） 2 a2 b2 D2 a6a32 a2【分析】根据同类项的定义、
10、幂的乘方、完全平方公式和整式的除法逐一计算即可判断解： A、2 a 与 3b 不是同类项，不能合并，此选项错误；B、 （ a3） 2 a6 ，此选项正确；C、 （ a b） 2 a22 ab+b2，此选项错误；D、2 a6a32 a3，此选项错误；故选： B【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同类项的定义、幂的乘方、完全平方公式和整式的除法等法则3随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有 210 万，请将“210 万”用科学记数法表示为（ ）A0.2110 7 B2.110 6 C2110 5 D2.
11、110 7【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1| a|10， n 为整数确定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时， n 是正数；当原数的绝对值1 时， n 是负数解：210 万2.110 6，故选： B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1| a|10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4下列几何体中，其主视图、俯视图和左视图分别是图中三个图形的是（ ）A BC D【分析】根据三视图想象立体图形，从主视图可以看出左边的一列有两个，左
12、视图可以看出右边一列有两个，俯视图中左边的一列有两个，综合起来可得解解：从主视图可以看出左边的一列有两个，右边的两列只有一行（第二行） ；从左视图可以看出右边的一列有两个，左边的一列只有一行（第二行） ；从俯视图可以看出左边的一列有两个，右边的两列只有一行（第一行） 故选： A【点评】本题考查由三视图想象立体图形做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意5关于二次函数 的图象与性质，下列结论错误的是（ ）A当 x2 时，函数
13、有最大值3B当 x2 时， y 随 x 的增大而增大C抛物线可由 经过平移得到D该函数的图象与 x 轴有两个交点【分析】利用二次函数的最值以及开口方向和增减性分别判断得出即可解： A当 x2 时，函数有最大值为3，故此选项正确，不符合题意；B当 x2 时， y 随 x 的增大而减小， x2 时， y 随 x 的增大而增大，故此选项正确，不符合题意；C抛物线可由 经过平移得到，故此选项正确，不符合题意；D该函数的图象与 x 轴无交点，故此选项错误，符合题意；故选： D【点评】此题主要考查了二次函数的性质，利用函数解析式正确得出二次函数的性质是解题关键6某班学生积极参加献爱心活动，该班 50 名学
14、生的捐款统计情况如下表：金额/元 5 10 20 50 100人数 4 16 15 9 6则他们捐款金额的中位数和众数分别是（ ）A10，10 B10，20 C20，10 D20，20【分析】根据中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间两个数的平均数；根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，进行判断即可解：共有 50 个数，中位数是第 25、26 个数的平均数，中位数是（20+20）220；金额 10 元出现的次数最多，众数为 10，故选： C【点评】此题考查了中位数与众数，解题时注意：中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两
15、个数的平均数） 7如图，直 线 m n， ABC 的顶点 B， C 分别在直线 n， m 上，且 ACB90，若130，则2 的度数为（ ）A140 B130 C120 D110【分析】先根据平行线的性质求出3 的度数，再由 ACB90得出4 的度数，根据补角的定义即可得出结论解：如图： m n，130，3130 ACB90，4 ACB3903060，2180418060120故选： C【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等8不等式组 的所有整数解的和为（ ）A13 B15 C16 D21【分析】先求出每 个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组
16、的解集即可解：解不等式得： x6，解不等式得： x ，不等式组的解集为 x6，不等式组的整数解为 0，1，2，3，4，5，所有整数解的和为：0+1+2+3+4+515，故选： B【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键9在一个不透明的口袋里装有 2 个红球，1 个黄球和 1 个白球，它们除颜色不同外其余都相同从口袋中随机摸出 2 个球，则摸到的两个球是一白一黄的概率是（ ）A B C D【分析】先画树状图求出所有等可能的结果数，再找出从口袋中随机摸出 2 个球，摸到的两个球是一白一黄的结果数，然后 根据概率公式求解解：根据
17、题意画树状图如下：共有 12 种等可能的结果数，其中从口袋中随机摸出 2 个球，摸到的两个球是一白一黄的结果数为 2，所以从口袋中随机摸出 2 个球，则摸到的两个球是一白一黄的概率是： 故选： D【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还 是不放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比10如图，在 Rt ABC 中， B90， BC3， AB4，点 D， E 分别是 AB， AC 的中点， CF平分 Rt ABC 的一个外角 ACM，交 DE 的延长线
18、于点 F，则 DF 的长为（ ）A4 B5 C5.5 D6【分析】根据勾股定理求出 AC，根据三角形中位线定理求出 DE、 EC，根据等腰三角形的性质求出 EF，计算即可解： B90， BC3， AB4， AC 5， D， E 分别是 AB， AC 的中点， DE BC ， EC AC ， DE BC， FCM EFC， CF 平分 Rt ABC 的一个外角 ACM， FCM FCE， EFC FCE， EF EC ， DF DE+EF4，故选： A【点评】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的外角性质，掌握三角形的中位线平行于第三边 ，并且等于第三边的一半是解题的关键二、填空题（每小题 3
19、分，共 15 分）11计算： 7 12 【分析】利用乘方的意义和二次根式的乘法法则运算解：原式82 +9 1216 +9 127 12故答案为7 12【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍12若关于 x 的一元二次方程 x23 x+2+m0 无实数根，则 m 的取值范围是 m 【分析】利用判别式的意义得到（3） 24（2+ m）0，然后解不等式即可解：根据题意得（3） 24（2+ m）0，解得 m 故答案为 m 【点评】本题考查了根的判别式：
20、一元二次方程 ax2+bx+c0（ a0）的根与 b24 ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方程无实数根13如图，在 ABCD 中，点 O 是对角线 AC， BD 的交点， AC BC，且 AB5， AD3，则OB 【分析】根据平行四边形的性质得到 BC AD3，根据勾股定理求出 AC，得出 OC，再由勾股定理求出 OB 即可解：四边形 ABCD 是平行四边形， BC AD3， OB OD， OA OC， AC BC， AC 4， OC AC2， OB ；故答案为： 【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平
21、行四边形的性质，由勾股定理求出 AC 得出 OC 是解决问题的关键14如图，正方形 ABCD 的面积为 36cm2，点 E 在 BC 上，点 G 在 AB 的延长线上，四边形EFGB 是正方形，以点 B 为圆心， BC 的长为半径画 ，连接 AF， CF，则图中阴影部分的面积为 9 cm2 【分析】根据正方形的性质得出 G ABC CEF90，AB BC6， EF BE GF BG，设 EF BE GF BG a，则阴影部分的面积 S S 扇形BAC+S 正方形 EFGB+S CEF S AGF，代入求出即可解：四边形 ABCD 和四边形 EFGB 是正方形，且正方形 ABCD 的面积为 36
22、cm2， G ABC CEF90， AB BC6， EF BE GF BG，设 EF BE GF BG a，则阴影部分的面积 S S 扇形 BAC+S 正方形 EFGB+S CEF S AGF +a2+ a（6 a） （6+ a） a9，故答案为 9 cm2【点评】本题考查了正方形的性质以及扇形面积的计算，解此题的关键是能表示出阴影部分的面积15如图，在 Rt ABC 中， AC8， BC6，点 D 为斜边 AB 上一点， DE AB 交 AC 于点 E，将 AED 沿 DE 翻折，点 A 的对应点为点 F如果 EFC 是直角三角形，那么 AD 的长为 或 5 【分析】根据勾股定理得到 AB1
23、0，如图 1，若 CFE90，根据余角的性质得到1+2 B+ A90，根据折叠的性质得到 A2， AE EF，根据勾股定理得到AE ，根据相似三角形的性质得到 AD ；当 ECF90时，点 F 与 B 重合，得到AD AB5；当 CEF90时，根据平行线的性质得到 AFE B，推出 AC BC（与题设矛盾） ，这种情况不存在，于是得到结论解：在 Rt ABC 中， AC8， BC6， AB10，如图 1，若 CFE90，在 Rt ABC 中， ACB90，1+2 B+ A90，将 AED 沿 DE 翻折，点 A 的对应点为点 F， A2， AE EF，1 B， CF BC6， CE2 EF2+
24、CF2， CE2（8 CE） 2+62， CE ， AE ， ADE ACB90， ADE ACB， ， AD ；当 ECF90时，点 F 与 B 重合， AD AB5；当 CEF90时，则 EF BC， AFE B， A AFE， A B， AC BC（与题设矛盾） ，这种情况不存在，综上所述：如果 EFC 是直角三角形，那么 AD 的长为 或 5故答案为： 或 5【点评】此题考查了直角三角形的性质、折叠的性质，勾股定理，此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用三、简答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）16 （8 分）化简： ，并从1，0，1，2 中选择一个合适的数求代数式
25、的值【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 x2 代入计算即可求出值解：原式 ，当 x2 时，原式 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键17 （8 分）某校为了解学生每天的自主学习时间，随机调查了部分学生，根据调查结果，作了两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息回答下列问题：（1）求本次调查的学生人数；（2）求扇形统计图中角 的度数；（3）将条形统计图补充完整；（4）若该校约有 1200 名学生，请估算该校学生自主学习时间少于 1.5 小时的人数【分析】 （1）根据 1 小时的人数和所占的百分比，即可求
26、出总人数；（2）用 0.5 小时的人数除以抽查的人数，再乘以 360 度，即可求出圆心角 的度数；（3）用 1.5 小时的人数所占的百分比乘以抽查的人数即可求出 1.5 小时的人数，从而补全统计图；（4）用总人数乘以该校生自主学习时间少于 1.5 小时所占的百分比，即可求出该校学生自主学习时间少于 1.5 小时的人数解：（1）1230%40（名） ，答：共调查了 40 名学生；（2）圆心角 的度数是 360 54；（3）自主学习时间等于 1.5 小时的 有 4035%14（名） ；条形统计图如图所示：（4）1200 540（名） 故该校学生自主学习时间少于 1.5 小时的有 540 名学生【点
27、评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小也考查了利用样本估计总体18 （8 分）如图，在 ACE 中， AC CE， O 经过点 A， C，且与边 AE， CE 分别交于点D， F，点 B 是劣弧 AC 上的一点，且 ，连接 AB， BC， CD求证： CDEABC【分析】连接 DF，根据圆内接四边形的性质得到 CAE DFE、 B CDE，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到 BC DE，根据全等三角形的判定定理证明即可证明：连接 DF， AC CE
28、， CAE E，四边形 ACFD 内接于 O， CAE DFE， DFE E， DF DE， ， BC DF， BC DE，四边形 ABCD 内接于 O， B CDE，在 CDE 和 ABC 中， CDE ABC（ SAS） 【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键19 （10 分）如图，一起重机的吊杆 AB 长 36 米，吊杆与水平线的夹角 BAC 可从 30升到 80，若起重机位置不变，不考虑吊杆和吊绳可以伸缩的因素，求起重机在水平和垂直两个方向可以使用的最大距离 （精确到 0.1 米，sin800.98，cos
29、800.17，tan805.67， ）【分析】分别求出 BAC30和 80时， AC， BC 的长即可判断解：当 CAB30时， ACB90， AB36 m， BC 3618（ m） ， AC18 31.14（ m） ，当 BAC80时， BC ABsin8035.28（ m） ，AC ABcos806.12（ m） ，起重机在水平可以使用的最大距离31.146.1225.0（ m） ，起重机在垂直方向可以使用的最大距离35.281817.3（ m） 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题20 （10 分）如图，直线 y kx+b 与反比例函数 的图
30、象分别交于点 A（1，2） ，点B（4， n） ，与 x 轴， y 轴分别交于点 C， D（1）求此一次函数和反比例函数的解析式；（2）求 AOB 的面积【分析】 （1）先将点 A 的坐标代入反比例函数解析式，求出 m 的值，再根据反比例函数解析式求出 n 的值，得到 B 点坐标，然后将 A、 B 两点的坐标代入 y kx+b，利用待定系数法求出一次函数的解析式；（2）先求出 C 点坐标，再根据 S AOB S AOC S BOC列式计算即可解：（1）将点 A（1，2）代入 中，得 2 ，解得 m2所以反比例函数解析式为 y 将 B（4， n）代入 y 中，得 n ；则 B 点坐标为（4， ）
31、 将 A（1，2） 、 B（4， ）分别代入 y kx+b 中，得 ，解得 一次函数的解析式为 y x+ ；（2）当 y0 时， x+ 0，解得 x5， C 点坐标（5，0） ， OC5S AOC S AOC S BOC OC|yA| OC|yB| 52 55 【点评】本题考 查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积难度适中21 （10 分）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进 A、 B 两种树苗共 17 棵，已知 A 种树苗每棵 80 元， B 种树苗每棵 60 元（ 1）若购进 A、 B 两种树苗刚好用去 1220 元
32、，问购进 A、 B 两种树苗各多少棵？（2）若购进 A 种树苗 a 棵，所需费用为 W，求 W 与 x 的函数关系式；（3）若购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用【分析】 （1）假设购进 A 种树苗 x 棵，则购进 B 种树苗（17 x）棵，利用购进 A、 B 两种树苗刚好用去 1220 元，结合单价，得出等式方程求出即可；（2）根据题意可得等量关系：费用 W A 种树苗 a 棵的费用+ B 种树苗（17 a）棵的费用可得函数关系式；（3）根据题意可得：购买 9 棵 A 种树苗，8 棵 B 种树苗时，费用最少，然后再结合树苗的费用计算出
33、费用即可解：（1）设购进 A 种树苗 x 棵，则购进 B 种树苗（17 x）棵，根据题意得：80x+60（17 x ）1220，解得： x10，17 x7，答：购进 A 种树苗 10 棵， B 种树苗 7 棵；（2） W 与 a 的函数关系式： W80 a+60（17 a）20 a+1020；（3）由题意得：购买 9 棵 A 种树苗，8 棵 B 种树苗时，费用最少，W809+6081200，答：购买 9 棵 A 种树苗，8 棵 B 种树苗时，费用最少，需要 1200 元【点评】此题主要考查了一次函数和一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式22 （10
34、 分）如图，在 Rt ABC 中， ACB90， ， CD AB 于点 D，点 E 是直线AC 上一动点，连接 DE，过点 D 作 FD ED，交直线 BC 于点 F（1）探究发现：如图 1，若 m n，点 E 在线段 AC 上，则 1 ；（2）数学思考：如图 2，若点 E 在线段 AC 上，则 （用含 m， n 的代数式表示） ；当点 E 在直线 AC 上运动时，中的结论是否仍然成立？请仅就图 3 的情形给出证明；（3）拓展应用：若 AC ， BC2 ， DF4 ，请直接写出 CE 的长【分析】 （1）先用等量代换判断出 ADE CDF， A DCB，得到 ADE CDF，再判断出 ADC
35、CDB 即可；（2）方法和（1）一样，先用等量代换判断出 ADE CDF， A DCB，得到ADE CDF，再判断出 ADC CDB 即可；（3）由（2）的结论得出 ADE CDF，判断出 CF2 AE，求出 DE，再利用勾股定理，计算出即可解：（1）当 m n 时，即： BC AC， ACB90， A+ ABC90， CD AB， DCB+ ABC90， A DCB， FDE ADC90， FDE CDE ADC CDE，即 ADE CDF， ADE CDF， ， A DCB， ADC BDC90， ADC CDB， 1， 1（2） ACB90， A+ ABC90， CD AB， DCB+
36、ABC90， A DCB， FDE ADC90， FDE CDE ADC CDE，即 ADE CDF， ADE CDF， ， A DCB， ADC BDC90， ADC CDB， ，成立如图， ACB90， A+ ABC90，又 CD AB， DCB+ ABC90， A DCB， FDE ADC90， FDE+ CDE ADC+ CDE，即 ADE CDF， ADE CDF， ， A DCB， ADC BDC90， ADC CDB， ， （3）由（2）有， ADE CDF， ， ， CF2 AE，在 Rt DEF 中， DE2 ， DF4 ， EF2 ，当 E 在线段 AC 上时，在 Rt C
37、EF 中， CF2 AE2（ AC CE）2（ CE） ， EF2，根据勾股定理得， CE2+CF2 EF2， CE2+2（ CE） 240 CE2 ，或 CE （舍）而 AC CE，此种情况不存在，当 E 在 AC 延长线上时，在 Rt CEF 中， CF2 AE2（ AC+CE）2（ +CE） ， EF2 ，根据勾股定理得， CE2+CF2 EF2， CE2+2（ +CE） 240， CE ，或 CE2 （舍） ，如图 1，当点 E 在 CA 延长线上时，CF2 AE2（ CE AC）2（ CE ） ， EF2 ，根据勾股定理得， CE2+CF2 EF2， CE2+2（ CE ） 240，
38、 CE2 ，或 CE （舍）即： CE2 或 CE 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解本题的关键，求 CE 是本题的难点23 （11 分）如图 1，抛物线 y ax2+bx+2 与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点C， AB4，矩形 OBDC 的边 CD1，延长 DC 交抛物线于点 E（1）求抛物线的解析式；（2）如图 2，点 P 是直线 EO 上方抛物线上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交直线EO 于点 G，作 PH EO，垂足为 H设 PH 的长为 l，点 P 的横坐标为 m，求 l 与 m 的函数关系式（不必写出 m
39、的取值范围） ，并求出 l 的最大值；（3）如果点 N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点 M，使得以 M， A， C， N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）由条件可求得 A、 B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可先求得 E 点坐标，从而可求得直线 OE 解析式，可知 PGH45，用 m 可表示出 PG 的长，从而可表示出 l 的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）分 AC 为边和 AC 为对角线，当 AC 为边时，过 M 作对称轴的垂线，垂足为 F，则可证得 MFN AOC，可求得
40、 M 到对称轴的距离，从而可求得 M 点的横坐标，可求得 M 点的坐标；当 AC 为对角线时，设 AC 的中点为 K，可求得 K 的横坐标，从而可求得 M 的横坐标，代入抛物线解析式可求得 M 点坐标解：（1）矩形 OBDC 的边 CD1， OB1， AB4， OA3， A（3，0） ， B（1，0） ，把 A、 B 两点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，抛物线解析式为 y x2 x+2；（2）在 y x2 x +2 中，令 y2 可得 2 x2 x+2，解得 x0 或x2， E（2，2） ，直线 OE 解析式为 y x，由题意可得 P（ m， m2 m+2） ， PG y 轴， G（ m，
41、 m） ， P 在直线 OE 的上方， PG m2 m+2（ m） m2 m+2 （ m+ ） 2+ ，直线 OE 解析式为 y x， PGH COE45， l PG （ m+ ） 2+ （ m+ ） 2+ ，当 m 时， l 有最大值，最大值为 ；（3）当 AC 为平行四边形的边时，则有 MN AC，且 MN AC，如图，过 M 作对称轴的垂线，垂足为 F，设 AC 交对称轴于点 L，则 ALF ACO FNM，在 MFN 和 AOC 中 MFN AOC（ AAS） ， MF AO3，点 M 到对称轴的距离为 3，又 y x2 x+2，抛物线对称轴为 x1，设 M 点坐标为（ x， y） ，
42、则| x+1|3，解得 x2 或 x4，当 x2 时， y ，当 x4 时， y ， M 点坐标为（2， ）或（4， ） ；当 AC 为对角线时，设 AC 的中点为 K， A（3，0） ， C（0，2） ， K（ ，1） ，点 N 在对称轴上，点 N 的横坐标为1，设 M 点横坐标为 x，根据中点坐标公式： x+（1）2（ ）3，解得 x2，此时 y2， M（2，2） ；综上可知点 M 的坐标为（2， ）或（4， ）或（2，2） 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中求得 A、 B 的坐标是解题的关键，在（2）中确定出 PG 与 l 的关系是解题的关键，在（3）中确定出 M 的位置是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中
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