1、2019 年中考数学专题练习二次函数综合1 （2018市区模拟）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax 2+bx+c 经过A、B 、C 三点，已知点 A（ 3，0） ，B（0，3） ，C（1， 0） （1）求此抛物线的解析式（2）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点， （不与点 A、B 重合） ，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 F，交直线 AB 于点 E，作 PDAB 于点 D动点 P 在什么位置时，PDE的周长最大，求出此时 P 点的坐标2 （2019房山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线 ykx 4k+4 与抛物线y x2x 交于 A、B 两点（1）直线总经过定点
2、，请直接写出该定点的坐标；（2）点 P 在抛物线上，当 k 时，解决下列问题：在直线 AB 下方的抛物线上求点 P，使得PAB 的面积等于 20；连接 OA，OB，OP，作 PCx 轴于点 C，若POC 和 ABO 相似，请直接写出点 P的坐标3如图，在平面直角坐标系中，已知点 C（0，4） ，点 A、B 在 x 轴上，并且OAOC4OB，动点 P 在过 A、B、C 三点的抛物线上（1）求抛物线的函数表达式；（2）在直线 AC 上方的抛物线上，是否存在点 P，使得PAC 的面积最大？若存在，求出 P 点坐标及PAC 面积的最大值；若不存在，请说明理由（3）在 x 轴上是否存在点 Q，使得ACQ
3、 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由4如图，在平面直角坐标系中，直线 yx+5 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B抛物线 yx 2+bx+c 过 A、B 两点（1）点 A，B 的坐标分别是 A ，B ；（2）求抛物线的解析式；（3）过点 A 作 AC 平行于 x 轴，交抛物线于点 C，点 P 为抛物线上的一动点（点 P 在AC 上方） ，作 PD 平行于 y 轴交 AB 于点 D，问当点 P 在何位置时，四边形 APCD 的面积最大？并求出最大面积5如图，抛物线 yax 2+bx+2 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交x
4、 轴于点 D，直线 BC 经过 B，C 两点，已知 A（1，0） ，B（4，0）（1）求抛物线和直线 BC 的函数解析式；（2）点 F 是线段 BC 上方抛物线上一个动点，过点 F 作 x 轴的垂线与直线 BC 相交于点E，交 x 轴于点 M当点 F 运动到什么位置时，线段 FE 有最大值，请求出线段 FE 的最大值及 F 点坐标；当点 F 运动到什么位置时，四边形 CDBF 有最大面积？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标；（3）动点 P 为抛物线对称轴上一个动点，当PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形时，请直接写出点 P 的坐标6如图，抛物线 yx 2+bx+c（b、c 为
5、常数）与 x 轴相交于点 A（1，0） 、B（3，0） ，与y 轴相交于点 C，其对称轴与 x 轴相交于点 D，作直线 BC（1）求抛物线的解析式（2）设点 P 为抛物线对称轴上的一个动点如图 ，若点 P 为抛物线的顶点，求 PBC 的面积是否存在点 P 使PBC 的面积为 6？若存在，求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由7 （2019沈阳模拟）如图 1，已知抛物线 yx 2+2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，顶点为 D，连接 BC（1）点 G 是直线 BC 上方抛物线上一动点（不与 B、C 重合） ，过点 G 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 E，作 GFB
6、C 于点 F，点 M、N 是线段 BC 上两个动点，且MNEF，连接 DM、GN当GEF 的周长最大时，求 DM+MN+NG 的最小值；（2）如图 2，连接 BD，点 P 是线段 BD 的中点，点 Q 是线段 BC 上一动点，连接DQ，将DPQ 沿 PQ 翻折，且线段 DP 的中点恰好落在线段 BQ 上，将AOC 绕点O 逆时针旋转 60得到A OC，点 T 为坐标平面内一点，当以点Q、A、C、T 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 T 的坐标8 （2018江都区二模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax 2+bx+3 与 x 轴交于点 A（ 3，0） 、C（1，0） ，与 y
7、轴交于点 B（1）求此抛物线的解析式；（2）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点（不与点 A、B 重合） ，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为点 F，交直线 AB 于点 E，作 PDAB 于点 D过点 P 在什么位置时， PDE 的周长最大，求出此时 P 点的坐标；连接 PA，以 PA 为边作正方形 APMN，当顶点 M 或 N 恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的 P 点的坐标9 （2019广东模拟）如图，在矩形 OABC 中，点 O 为原点，点 A 的坐标为（0，8） ，点C 的坐标为（6，0） 抛物线 y x2+bx+c 经过点 A、C，与 AB 交于点 D（1）求抛物线的函数解析
8、式；（2）点 P 为线段 BC 上一个动点（不与点 C 重合） ，点 Q 为线段 AC 上一个动点，AQCP，连接 PQ，设 CPm ，CPQ 的面积为 S求 S 关于 m 的函数表达式；当 S 最大时，在抛物线 y x2+bx+c 的对称轴 l 上，若存在点 F，使DFQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由10 （2019天河区模拟）在平面直角坐标系 xOy 中抛物线 yx 2+bx+c 经过点 A、B、C，已知 A（ 1，0） ，C（0，3） （1）求抛物线的表达式；（2）如图 1，P 为线段 BC 上一点，过点 P 作 y 轴平行线，交抛物线于点
9、D，当BCD的面积最大时，求点 P 的坐标；（3）如图 2，抛物线顶点为 E，EFx 轴于 F 点，N 是线段 EF 上一动点，M（m ，0）是 x 轴上一动点，若MNC90，直接写出实数 m 的取值范围11 （2019锦江区模拟）如图，抛物线 yax 2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于A（3 ，0）与 B（1，0） ，与直线 ykx（k 0）交于点 C（2，3） （1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，点 E 是抛物线上（x 轴下方）的一个动点，过点 E 作 x 轴的平行线与直线OC 交于点 F，试判断在点 E 运动过程中，以点 O，B，E ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形，若能
10、，请求出点 E 的坐标；若不能，请说明理由（3）如图 2，点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DM 交 x 轴于点 M，当点 E 在抛物线上 B，D 之间运动时，连接 EA 交 DM 于点 N，连接 BE 并延长交 DM 于点 P，猜想在点 E 的运动过程中，MN+MP 的和是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由12 （2018 秋宜兴市期末）如图，二次函数 yax 22ax+c 的图象交 x 轴于 A、B 两点（其中点 A 在点 B 的左侧） ，交 y 轴正半轴于点 C，且 OB3OA ，点 D 在该函数的第一象限内的图象上（1）求点 A、点 B 的坐标；（2）若BDC 的最
11、大面积为 平方单位，求点 D 的坐标及二次函数的关系式；（3）若点 D 为该函数图象的顶点，且 BDC 是直角三角形，求此二次函数的关系式13如图 1，抛物线与 y 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，连接 AC、BC ，点 D 是线段 AB 上一点，且 ADCA，连接 CD（1）如图 2，点 P 是直线 BC 上方抛物线上的一动点，在线段 BC 上有一动点 Q，连接PC、PD、PQ ，当 PCD 面积最大时，求 PQ+ CQ 的最小值；（2）将过点 D 的直线绕点 D 旋转，设旋转中的直线 l 分别与直线 AC、直线 CO 交于点M、N，当CMN
12、 为等腰三角形时，直接写出 CM 的长14 （2019青浦区一模）在平面直角坐标系 xOy 中，将抛物线 yx 2 平移后经过点A（1 ，0） 、B（4，0） ，且平移后的抛物线与 y 轴交于点 C（如图） （1）求平移后的抛物线的表达式；（2）如果点 D 在线段 CB 上，且 CD ，求CAD 的正弦值；（3）点 E 在 y 轴上且位于点 C 的上方，点 P 在直线 BC 上，点 Q 在平移后的抛物线上，如果四边形 ECPQ 是菱形，求点 Q 的坐标15如图，在平面直角坐标系中，直线 ykx 与抛物线 yax 2+bx+ 交于点 A、C，与y 轴交于点 B，点 A 的坐标为（2，0） ，点
13、C 的横坐标为8（1）请直接写出直线和抛物线的解析式；（2）点 D 是直线 AB 上方的抛物线上一动点（不与点 A、C 重合） ，作 DEAC 于点E设点 D 的横坐标为 m求 DE 的长关于 m 的函数解析式，并写出 DE 长的最大值；（3）平移AOB，使平移后的三角形的三个顶点中有两个在抛物线上，请直接写出平移后的点 A 对应点 A的坐标16 （2019松江区一模）如图，抛物线 y x2+bx+c 经过点 A（2，0） ，点B（0， 4） （1）求这条抛物线的表达式；（2）P 是抛物线对称轴上的点，联结 AB、PB，如果PBOBAO，求点 P 的坐标；（3）将抛物线沿 y 轴向下平移 m
14、个单位，所得新抛物线与 y 轴交于点 D，过点 D 作DEx 轴交新抛物线于点 E，射线 EO 交新抛物线于点 F，如果 EO2OF，求 m 的值17 （2019深圳模拟）如图，直线 yx+4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B抛物线y x2+bx+c 经过 A，B 两点，与 x 轴的另外一个交点为 C（1）填空：b ，c ，点 C 的坐标为 （2）如图 1，若点 P 是第一象限抛物线上的点，连接 OP 交直线 AB 于点 Q，设点 P 的横坐标为 mPQ 与 OQ 的比值为 y，求 y 与 m 的数学关系式，并求出 PQ 与 OQ 的比值的最大值（3）如图 2，若点 P 是第四象限的
15、抛物线上的一点连接 PB 与 AP，当PBA+CBO 45时求PBA 的面积18如图，抛物线 yx 2+bx+c 经过点 A（1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C，点P 为其顶点，对称轴 l 与 x 轴交于点 D，抛物线上 C、E 两点关于对称轴 l 对称（1）求抛物线的函数表达式；（2）点 G 是线段 OC 上一动点，是否存在这样的点 G，使ODG 与CGE 相似，若存在，请求出点 G 坐标，若不存在请说明理由（3）平移抛物线，其顶点 P 在直线 yx +3 上运动，移动后的抛物线与直线 yx+3 的另一交点为 M，与原对称轴 l 交于点 Q，当PMQ 是以 PM 为直角边的直
16、角三角形时，请写出点 Q 的坐标19如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x2+bx+c，经过点 A（1，3） 、B（0，1） ，过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 C（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）如图 1，点 M 是第一象限中 BC 上方抛物线上的一个动点，过点作 MHBC 于点H，作 MEx 轴于点 E，交 BC 于点 F，在点 M 运动的过程中， MFH 的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，连接 AB，在 y 轴上取一点 P，使ABP 和ABC 相似，请求出符合要求的点 P 坐标20如图，抛物线 C1：y ax 2+b
17、x10 经过点 A（1.0）和点，B（5，0） ，与 y 轴交于点C（1）求抛物线 C1 的解析式（2）若抛物线 C1 关于 y 轴对称的抛物线记作 C2，平行于 x 轴的直线记作 l：yn试结合图形回答：当 n 为何值时 l 与 C1 和 C2 共有：2 个交点；3 个交点；4 个交点（3）在直线 BC 上方的抛物线 C1 上任取一点 P，连接 PB，PC ，请问：PBC 的面积是否存在最大值？若存在，求出取这个最大值时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由21 （2018东营）如图，抛物线 ya（x1） （x 3） （a 0）与 x 轴交于 A、B 两点，抛物线上另有一点 C 在 x 轴下方
18、，且使 OCAOBC（1）求线段 OC 的长度；（2）设直线 BC 与 y 轴交于点 M，点 C 是 BM 的中点时，求直线 BM 和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线 BC 下方抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 ABPC 面积最大？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由22如图，直线 y x+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 yax 2+ x+c 经过B、C 两点（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是直线 BC 上方抛物线上的一动点，过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 M，交 x 轴于点 F，设 E 的横坐标为 m，请用含 m 的
19、代数式表示线段 EM 的长；（3）在（2）的条件下，若 B，E，M 为顶点的三角形与BOC 相似，请直接写出 m 的值23已知：抛物线 y x2+bx+c 交 x 轴于点 A（1， 0）和点 B，交 y 轴于点C（0，2）（1）求抛物线的表达式；（2）点 P 为第一象限抛物线上一点，是否存在使PBC 面积最大的点 P？若不存在，请说明理由；若存在，求出点 P 的坐标；（3）点 D 坐标为（1，1） ，连接 AD，将线段 AD 绕平面内某一点旋转 180 度得线段MN（点 M、N 分别与点 A、D 对应） ，使点 M、N 都在抛物线上，求点 M、N 的坐标24 （2018深圳模拟）如图，点 A
20、的坐标为（4，0） ，点 B 的坐标为（0，2） ，把点 A绕点 B 顺时针旋转 90得到的点 C 恰好在抛物线 yax 2 上，点 P 是抛物线 yax 2 上的一个动点（不与点 O 重合） ，把点 P 向下平移 2 个单位得到动点 Q，则：（1）直接写出 AB 所在直线的解析式、点 C 的坐标、a 的值；（2）连接 OP、AQ，当 OP+AQ 获得最小值时，求这个最小值及此时点 P 的坐标；（3）是否存在这样的点 P，使得QPOOBC，若不存在，请说明理由；若存在，请你直接写出此时 P 点的坐标25 （2019邗江区校级一模）如图，抛物线 yax 2+（a+4）x+4（a0）与 x 轴交于
21、点A（3， 0） ，与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 E（m ， 0） （0m3） ，过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PMAB 于点 M（1）求 a 的值和直线 AB 的函数表达式；（2）设PMN 的周长为 C1， AEN 的周长为 C2，若 2，求 m 的值；（3）在 y 轴上有一点 F（0，t ） ，若AFB45，请直接写出 t 的取值范围26 （2019镇江模拟）如图 1，已知抛物线 y +x+4 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C（1）点 A 的坐标为 ，点 C 的坐标为 ；（2）如图
22、 2，点 M 在抛物线 y +x+4 位于 A、C 两点间的部分（与 A、C 两点不重合） ，过点 M 作 PMAC，与 x 轴正半轴交于点 P，连接 PC，过点 M 作 MN 平行于 x 轴，交 PC 于点 N若点 N 为 PC 的中点，求出 PM 的长；当 MNNP 时，求 PC 的长以及点 M 的坐标27 （2019张家港市模拟）如图 1，抛物线 C1：y x 2ax 与 C2x 2+bx 相交于点O、C，C 1 与 C2 分别交 x 轴于点 B、A，且 B 为线段 AO 的中点（1）点 A 的坐标为（ ， ） ，点 B 的坐标为（ ， ） ， 的值为 ；（2）若 OCAC，求OAC 的
23、面积；（3）在（2）的条件下，设抛物线 C2 的对称轴为 l，顶点为 M（如图 2） ，点 E 在抛物线 C2 上点 O 与点 M 之间运动，四边形 OBCE 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点 E 的坐标；若不存在，请说明理由28 （2019番禺区一模）如图，抛物物 yax 2 过点（ ，2） ，点 P（h，k）是抛物线上在第一象限内的动点连结 OP，过点 O 作 OP 的垂线交抛物线于另一点 N，连结 PN，交 y 轴于点 M，作 PAx 轴于点 A，NB x 轴于点 B（1）求 a 的值，写出抛物线的对称轴；（2）如图 ，当 h 时，在 y 轴上找一点 C，使OCN 是等
24、腰三角形，求点 C 的坐标；（3）如图 ，连结 AM，BM，试猜想线段 AM 与线段 BM 之间的位置关系，并证明结论29 （2019苏州二模）如图，已知二次函数 yax 26ax16a（a0）的图象与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于 B、C 两点，其对称轴与 x 轴交于点 D，连接 AC（1） 线段 BC 的长为 ；点 A 的坐标为 （用 a 的代数式表示） （2）设 M 是抛物线的对称轴上的一点，以点 A、C、M 为顶点的三角形能否成为以 AC为斜边且有一个锐角是 30的直角三角形？若能，求出 a 的值； 若不能，请说明理由（3）若 a ，点 P 为 x 轴上方的抛物线上的一个动点，连接
25、 PA、PC，若所得PAC 的面积为 S，则 S 取何值时，相应的点 P 有且只有 2 个？30 （2019长沙一模）如图，已知直线 ykx6 与抛物线 yax 2+bx+c 相交于 A，B 两点，且点 A（ 1，4）为抛物线的顶点，点 B 在 x 轴上（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点 P，使POB 与POC 全等？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 Q 是 y 轴上一点，且ABQ 为直角三角形，求点 Q 的坐标31 （2019广东一模）在直角坐标平面内，直线y x+2 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、C抛物线 y +bx+c
26、 经过点 A 与点 C，且与 x 轴的另一个交点为点 B点 D 在该抛物线上，且位于直线 AC 的上方（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结 BC、BD，且 BD 交 AC 于点 E，如果ABE 的面积与ABC 的面积之比为4：5，求DBA 的余切值；（3）过点 D 作 DFAC，垂足为点 F，联结 CD若CFD 与AOC 相似，求点 D 的坐标32 （2019扬州一模）如图，一次函数 y x2 的图象交 x 轴于点 A，交 y 轴于点B，二次函数 y x2+bx+c 的图象经过 A、B 两点，与 x 轴交于另一点 C（1）求二次函数的关系式及点 C 的坐标；（2）如图 ，若点 P 是直线 A
27、B 上方的抛物线上一点，过点 P 作 PDx 轴交 AB 于点D，PEy 轴交 AB 于点 E，求 PD+PE 的最大值；（3）如图 ，若点 M 在抛物线的对称轴上，且AMB ACB，求出所有满足条件的点 M 的坐标33 （2019徐汇区一模）如图，在平面直角坐标系中，顶点为 M 的抛物线C1：y ax2+bx（a0）经过点 A 和 x 轴上的点 B，AOOB 2，AOB120（1）求该抛物线的表达式；（2）联结 AM，求 SAOM ；（3）将抛物线 C1 向上平移得到抛物线 C2，抛物线 C2 与 x 轴分别交于点 E、F（点 E在点 F 的左侧） ，如果MBF 与AOM 相似，求所有符合条
28、件的抛物线 C2 的表达式34 （2018常熟市模拟）如图，在平面直角坐标系 xOy 中抛物线ymx 22mx 3m（m0 ）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） （1）点 A 的坐标为 抛物线的对称轴为 （2）经过点 A 的直线 l：ykx+b 与 y 轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为D且 AD5AC求直线 l 的函数表达式（其中 k、b 用含 m 的式子表示） ；设 P 是抛物线的对称轴上的一点点 Q 在抛物线上以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 p 的坐标，若不能，请说明理由35 （2019衢州一模）如图，已知直线 yx+3 与
29、x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两点，抛物线 yx 2+bx+c 经过 A，B 两点，点 P 在线段 OA 上，从点 O 出发，以 1 个单位/秒的速度匀速运动；同时，点 Q 在线段 AB 上，从点 A 出发，向点 B 以 个单位/秒的速度匀速运动，连接 PQ，设运动时间为 t 秒（1）求抛物线的解析式；（2）当 t 为何值时，APQ 为直角三角形；（3）过点 P 作 PEy 轴，交 AB 于点 E，过点 Q 作 QFy 轴，交抛物线于点 F，连接EF，当 EFPQ 时，求点 F 的坐标36 （2019武侯区模拟）如图，已知抛物线 yx 2+bx+c 与一直线相交于 A（1，0） 、C（2，
30、3）两点，与 y 轴交于点 N，其顶点为 D（1）求抛物线及直线 AC 的函数关系式；（2）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求APC 的面积的最大值及此时点 P 的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点 M，使ANM 的周长最小若存在，请求出 M 点的坐标和ANM 周长的最小值；若不存在，请说明理由37 （2019高新区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 22ax3a（a0）与x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，经过点 A 的直线 l：ykx +b 与 y 轴交于点C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD4AC （1）直接写出点 A 的坐标，并用含
31、a 的式子表示直线 l 的函数表达式（其中 k、b 用含a 的式子表示） （2）点 E 为直线 l 下方抛物线上一点，当ADE 的面积的最大值为 时，求抛物线的函数表达式；（3）设点 P 是抛物线对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A、D 、P、Q 为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由38 （2019滨州模拟）如图已知抛物线 yax 23ax4a（a0）的图象与 x 轴交于A、B 两点（A 在 B 的左侧） ，与 y 的正半轴交于点 C，连结 BC，二次函数的对称轴与x 轴的交点 E（1）抛物线的对称轴与 x 轴的交点 E 坐标为 ，点 A 的坐标为 ；
32、（2）若以 E 为圆心的圆与 y 轴和直线 BC 都相切，试求出抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，如图Q（m ，0）是 x 的正半轴上一点，过点 Q 作 y 轴的平行线，与直线 BC 交于点 M，与抛物线交于点 N，连结 CN，将CMN 沿 CN 翻折，M的对应点为 M在图 中探究：是否存在点 Q，使得 M恰好落在 y 轴上？若存在，请求出 Q 的坐标；若不存在，请说明理由39如图，抛物线 y x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，点 A 的坐标为（1，0） ，与 y 轴交于点 C（0，2） ，直线 CD：yx+2 与 x 轴交于点 D动点 M 在抛
33、物线上运动，过点 M 作 MPx 轴，垂足为 P，交直线 CD 于点 N（1）求抛物线的解析式；（2）当点 P 在线段 OD 上时，CDM 的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）点 E 是抛物线对称轴与 x 轴的交点，点 F 是 x 轴上一动点，点 M 在运动过程中，若以 C、E、F、M 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 F 的坐标答案与解析1 （2018市区模拟）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax 2+bx+c 经过A、B 、C 三点，已知点 A（ 3，0） ，B（0，3） ，C（1， 0） （1）求此抛物线的解析式（2）点 P 是
34、直线 AB 上方的抛物线上一动点， （不与点 A、B 重合） ，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 F，交直线 AB 于点 E，作 PDAB 于点 D动点 P 在什么位置时，PDE的周长最大，求出此时 P 点的坐标【分析】 （1）将 A（3，0） ，B（0，3） ，C （1，0）三点的坐标代入 yax 2+bx+c，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；（2）先证明AOB 是等腰直角三角形，得出BAO45，再证明PDE 是等腰直角三角形，则 PE 越大，PDE 的周长越大，再运用待定系数法求出直线 AB 的解析式为yx+3，则可设 P 点的坐标为（x ，x 22x+3） ，E 点的坐标为（x
35、，x+3） ，那么PE（x 22x +3）（x +3）（x+ ） 2+ ，根据二次函数的性质可知当 x时，PE 最大，PDE 的周长也最大将 x 代入x 22x +3，进而得到 P 点的坐标【解答】解：（1）抛物线 yax 2+bx+c 经过点 A（3，0） ，B（0，3） ，C（1，0） ， ，解得 ，抛物线的解析式为 yx 22x +3；（2）A（3，0） ，B（0，3） ，OAOB 3，AOB 是等腰直角三角形，BAO45PFx 轴，AEF 904545，又PDAB，PDE 是等腰直角三角形，PE 越大，PDE 的周长越大设直线 AB 的解析式为 ykx+b，则，解得 ，即直线 AB 的
36、解析式为 yx +3设 P 点的坐标为（x ，x 2 2x+3） ，E 点的坐标为（x，x+3） ，则 PE（x 22x +3）（x +3）x 23x（x+ ） 2+ ，所以当 x 时，PE 最大，PDE 的周长也最大当 x 时，x 22x +3 （ ） 22（ ）+3 ，即点 P 坐标为（ ， ）时，PDE 的周长最大【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的性质，三角形的周长，综合性较强，难度适中2 （2019房山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线 ykx 4k+4 与抛物线y x2x 交于
37、A、B 两点（1）直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标；（2）点 P 在抛物线上，当 k 时，解决下列问题：在直线 AB 下方的抛物线上求点 P，使得PAB 的面积等于 20；连接 OA，OB，OP，作 PCx 轴于点 C，若POC 和 ABO 相似，请直接写出点 P的坐标【分析】 （1）变形为不定方程 k（x4）y 4，然后根据 k 为任意不为 0 的实数得到x40，y40，然后求出 x、y 即可得到定点的坐标；（2）通过解方程组 得 A（6，3） 、B（4，8） ；如图 1，作 PQy 轴，交 AB 于点 Q，设 P（x ， x2x） ，则 Q（x， x+6） ，则PQ（ x+6）（ x
38、2x） ，利用三角形面积公式得到 SPAB （x1） 2+20，然后解方程求出 x 即可得到点 P 的坐标；设 P（x， x2x ） ，如图 2，利用勾股定理的逆定理证明AOB90，根据三角形相似的判定，由于AOBPCO，则当 时，CPOOAB，即 ；当 时，CPOOBA，即 ，然后分别解关于 x 的绝对值方程即可得到对应的点 P 的坐标【解答】解：（1）ykx4k+4k（x 4）+4，即 k（x4）y 4，而 k 为任意不为 0 的实数，x40，y40，解得 x4，y4，直线过定点（4，4） ；（2）当 k 时，直线解析式为 y x+6，解方程组 得 或 ，则 A（6，3） 、B（4，8）
39、；如图 1，作 PQy 轴，交 AB 于点 Q，设 P（x ， x2x） ，则 Q（x， x+6） ，PQ（ x+6）（ x2x） （x1） 2+ ，S PAB （6+4）PQ （x1） 2+ 20，解得 x12，x 24，点 P 的坐标为（4，0）或（2，3） ；设 P（x， x2x ） ，如图 2，由题意得：AO3 ，BO4 ，AB5 ，AB 2AO 2+BO2，AOB90，AOBPCO，当 时，CPOOAB，即 ，整理得 4| x2x| 3|x |，解方程 4（ x2x ）3x 得 x10（舍去） ，x 27，此时 P 点坐标为（7， ） ；解方程 4（ x2x ）3x 得 x10（舍去
40、） ，x 21，此时 P 点坐标为（1， ） ；当 时，CPOOBA，即 ，整理得 3| x2x| 4|x |，解方程 3（ x2x ）4x 得 x10（舍去） ，x 2 ，此时 P 点坐标为（ ， ） ；解方程 3（ x2x ）4x 得 x10（舍去） ，x 2 ，此时 P 点坐标为（ ， ）综上所述，点 P 的坐标为：（7， ）或（1， ）或（ ， ）或（ ， ） 【点评】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定方法；会利用待定系数法求抛物线解析式，通过解方程组求两函数图象的交点坐标，会解一元二次方程；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决思想问
41、题3如图，在平面直角坐标系中，已知点 C（0，4） ，点 A、B 在 x 轴上，并且OAOC4OB，动点 P 在过 A、B、C 三点的抛物线上（1）求抛物线的函数表达式；（2）在直线 AC 上方的抛物线上，是否存在点 P，使得PAC 的面积最大？若存在，求出 P 点坐标及PAC 面积的最大值；若不存在，请说明理由（3）在 x 轴上是否存在点 Q，使得ACQ 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）先确定 A（4，0） ，B（1，0） ，再设交点式 ya（x+1） （x4） ，然后把C 点坐标代入求出 a 即可；（2）作 PDy 轴，如图，易得直线 A
42、C 的解析式为 yx+4，设 P（x，x 2+3x+4）（0x4） ，则 D（x，x+4） ，再用 x 表示出 PD，接着根据三角形面积公式得到 SPAC PD42x 2+8x，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）先计算出 AC4 ，再分类讨论：当 QAQC 时，易得 Q（0，0） ；当 CQCA时，利用点 Q 与点 A 关于 y 轴对称得到 Q 点坐标；当 AQAC4 时可直接写出 Q点的坐标【解答】解：（1）C（0， 4） ，OC4，OAOC4OB，OA4，OB1，A（4，0） ，B（1，0） ，设抛物线解析式为 ya（x +1） （x 4） ，把 C（0，4）代入得 a1（ 4）4，解
43、得 a1，抛物线解析式为 y（x +1） （x 4） ，即 yx 2+3x+4；（2）作 PDy 轴，如图，易得直线 AC 的解析式为 yx+4，设 P（x ，x 2+3x+4） （0x 4） ，则 D（x，x +4） ，PDx 2+3x+4（x+4）x 2+4x，S PAC PD42x 2+8x2（x 2） 2+8，当 x2 时，S PAC 有最大值，最大值为 8，此时 P 点坐标为（ 2，6） ；（3）存在OAOC4，AC4 ，当 QAQC 时，Q 点在原点，即 Q（0，0） ；当 CQCA 时，点 Q 与点 A 关于 y 轴对称，则 Q（4， 0） ；当 AQAC4 时，Q 点的坐标（
44、4+4 ，0）或（44 ，0） ，综上所述，Q 点的坐标为（0 ，0）或（4，0）或（4+4 ，0）或（44 ，0） 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图形上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题4如图，在平面直角坐标系中，直线 yx+5 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B抛物线 yx 2+bx+c 过 A、B 两点（1）点 A，B 的坐标分别是 A （0，5） ，B （5，0） ；（2）求抛物线的解析式；（3）过点 A 作 AC 平行于 x 轴，交抛物线于点 C，点 P 为抛
45、物线上的一动点（点 P 在AC 上方） ，作 PD 平行于 y 轴交 AB 于点 D，问当点 P 在何位置时，四边形 APCD 的面积最大？并求出最大面积【分析】 （1）yx +5，令 y0，则 x5，令 y0，则 x5，即可求解；（2）将点 A、B 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（3）利用 S 四边形 APCD ACPD，即可求解【解答】解：（1）yx +5，令 y0，则 x5，令 y0，则 x5，即点 A、B 的坐标分别为（0，5） 、 （5，0） ，故：答案为（0，5）和（5，0） ；（2）将点 A、B 的坐标代入二次函数表达式得： ，解得： ，即抛物线的表达式为：yx 2+4x+
46、5；（3）抛物线的对称轴为 x 2，则点 C 的坐标为（4，5） ，设点 P 的坐标为（x ，x 2+4x+5） ，则点 D 坐标为（x， x+5）ACPD，S 四边形 APCD ACPD2（x 2+4x+5+x5）2x 2+10x，a20，S 四边形 APCD 有最大值，当 x 时，其最大值为： ，此时点 P 的坐标（ ， ） 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系5如图，抛物线 yax 2+bx+2 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交x 轴于点 D，直线 BC 经过 B，C 两点，已知 A（1，0） ，B（4，0）（1）求抛物线和直线 BC 的函数解析式；（2）点 F 是线段 BC 上方抛物线上一个动点，过点 F 作 x 轴的垂线与直线 BC 相交于点E，交 x 轴于点 M当点 F 运动到什么位置时，线段 FE 有最大值，请求出线段 FE 的最大值及 F 点坐标；当点 F 运动到什么位置时，四边形 CDBF 有最大面积？求出四边形 CDBF 的最大
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