1、河北省唐山市路南区 2018 届九年级第三次模拟考试数学试题一、选择题（1-10 小题，每小题 3 分；11-16 小题，每小题 3 分，共 42 分)1下列各数中，比1 小的数为（ ）A0 B0.5 C2 D12下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）A 赵爽弦图 B 科克曲线C 河图幻方 D 谢尔宾斯基三角形3已知空气的单位体积质量为 1.24103 克/厘米 3，1.2410 3 用小数表示为（ ）A0.000124 B0.0124 C0.00124 D0.001244下列计算正确的是（ ）A2 32 42 1 B|3|3 C 2 D2 1 5下列四张正方形硬纸片，剪去阴影
2、部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是（ ）A BC D6下列事件是必然事件的是（ ）A三个有理数的积一定是正数B若 a 与 b 互为相反数，则 a+b0C有理数 a0，则2 a0D若 ABC 的面积是 12，则它的一边长 a 与这边上的高 h 的函数关系式为 a7如图， O 是 ABC 的内切圆，则点 O 是 ABC 的（ ）A三条边的垂直平分线的交点B三条角平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点8如果式子 有意义，那么 x 的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（ ）A BC D9如图，正方形 ABCD 中， AE 垂直于 BE，且 AE3， BE4，则阴影部分的面积
3、是（ ）A16 B18 C19 D2110如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分） ，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为 2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（ ）A5 B6 C8 D1011若 a b ，则 a2 b（2 a b）（ ）A1 B1 C2 D312甲、乙从某地出发，同向而行，甲每小时走 3km，乙每小时走 2km，乙先出发 3 小时，甲再出发追赶乙，设甲要 x 小时才能追上乙，下列方程正确的是（ ）A2 x+233 x B2 x233 x C2 x+333 x D2 x333 x13如图，为了测量河对岸 l1上两棵古树 A、 B 之间的距离，某数学
4、兴趣小组在河这边沿着与 AB 平行的直线 l2上取 C、 D 两点，测得 ACB15， ACD45，若 l1、 l2之间的距离为 50m，则 A、 B 之间的距离为（ ）A50 m B25 m C （50 ） m D （5025 ） m14如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧 CD，点 O 是弧 CD 的圆心） ，其中CD600 米， E 为弧 CD 上一点，且 OE CD，垂足为 F， OF 米，则这段弯路的长度为（ ）A200 米 B100 米 C400 米 D300 米15我国南宋时期的数学家秦九昭提出一种多项式简化算法，例如，计算“当 x8 时，多项式 3x34 x235 x+8
5、 的值” ，按照秦九韶算法，可先将多项式进行改写：原式 x（3 x24 x35）+8 x（3 x4）35+8，按改写后的方式计算：当 x8 时，多项式 3x34 x235 x+81008依据上述方法，当 x8 时，将多项式 x3+2x2+x1 改写求值，下列算法正确的是（ ）A x3+2x2+x1 xx（ x+2）1632B x 3+2x2+x1 xx（ x+2）+11640C x3+2x2+x1 xx（ x+2）+1 1647D x3+2x2+x1 x（ x+2）+1164716如图，矩形 ABCD 中，对角 线 AC， BD 交于点 O， E， F 分别是边 BC， AD 的中点，AB2，
6、 BC4，一动点 P 从点 B 出发，沿着 B A D C 在矩形的边上运动，运动到点C 停止，点 M 为图 1 中某一定点，设点 P 运动的路程为 x， BPM 的面积为 y，表示 y 与x 的函数关系的图象大致如图 2 所示则点 M 的位置可能是图 1 中的（ ）A点 C B点 O C点 E D点 F二、填空题（本大题共 3 个小题：17-18 每小题 3 分，19 题 4 分，共 10 分)17 + 18现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高均为 170cm，方差分别是 S 甲 2， S 乙 2，且 S 甲2 S 乙 2，则两个队的队员的身高较整齐的是 19 （4 分）如图是抛物线形拱桥，
7、P 处有一照明灯，水面 OA 宽 4m，从 O、 A 两处双测 P 处，仰角分别为 、，且 tan ，tan ，以 O 为原点， OA 所在直线为 x 轴建立直角坐标系（1） P 点坐标为 ；（2）若水面上升 1m，水面宽为 m三、解答题（本大题共 7 个小题：共 68 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20 （9 分）定义新运算：对于非零的两个实数 a， b，规定 a b 如：23 （1）求 4（6）的值；（2）若 2（2 x1）1，求 x 的值21 （9 分）某校要求 340 名学生进行社会调查，每人须完成 36 份报告调查结束后随机抽查了 20 名学生每人完成报告的份数，并分为
8、四类， A：3 份； B：4 份； C：5 份；D：6 份将各类的人数绘制成扇形图（如图 1）和条形图（如图 2） ，经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误回答问题：（1）写出条形图中存在的错误，并说明理由；（2）写出这 20 名学生每人完成报告份数的众数、中位数；（3）在求这 20 名学生每人完成报告份数的平均数时，小静是这样分析的：第一步求平均数的公式是 ；第二步在该问题中， n4， x13， x24， x35， x46；第三步： 4.5（份）小静的分析是从哪一步开始出现错误的？请你帮她计算出正确的平均数，并估计这 340 名学生共完成报告多少份22 （8 分）发现：414，4 216
9、，4 364，4 4256，4 51024，4 64096，4 716384，4 865536（1）观察上面运算结果的个位数字，写出你发现的规律；（2）依据（1）中的规律，通过计算判断 3（4+1） （4 2+1） （4 4+1）（4 32+1）+1 的结果的个位数字是多少，23 （9 分）证明等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等已知：如图，在 ABC 中， B ，求证： AB 24 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（5，3） ，点 B（3，3） ，过点 A 的直线 y x+m（ m 为常数）与直线 x1 交于点 P，与 x 轴交于点 C
10、，直线 BP 与 x 轴交于点 D（1）求点 P 的坐标；（2）求直线 BP 的解析式，并直接写出 PCD 与 PAB 的面积比；（3）若反比例函数 y （ k 为常数且 k0）的图象与线段 BD 有公共点时，请直接写出 k 的最大值或最小值25 （11 分）图中曲线是抛物线的一部分，我们建立平面直角坐标系如图所示，OA1.25，抛物线的最高点坐标为（1，2.25） ，（1）求图中曲线对应的函数关系式，直接写出自变量 x 的取值范围；（2）图中曲线与 x 轴交点的坐标为 ；（3）若抛物线形状不变，将其平移后仍过 A 点，且与 x 轴正半轴交于点 B， OB3.5，求平移后抛物线的最大高度是多少
11、？26 （12 分）如图 1，已知 MAN60，点 B 在射线 AM 上， AB4，点 P 为直线 AN 上一动点，以 BP 为边作等边 BPQ（点 B， P， Q 按顺时针排列） ，点 O 是 BPQ 的外心（1）当 OB AM 时，点 O MAN 的平分线上（填“在”或“不在” ） ；（2）如图 2，当点 P 在射线 AN 上运动（点 P 与点 A 不重合）时，求证：点 O 在 MAN的平分线上；（3）如图 2，当点 P 在射线 AN 上运动（点 P 与点 A 不重合）时， AO 与 BP 交于点 C，求证： ABO ACP；设 AP m，直接写出 ACAO 的值（用含 m 的式子表示）
12、；（4）若点 D 在射线 AN 上， AD2， K 为 ABD 的内切圆，当 BPQ 的边 BP 与 K 相切时，请直接写出点 A 与点 O 的距离参考答案一、选择题1下列各数中，比1 小的数为（ ）A0 B0.5 C2 D1【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案【解答】解： A、10，故 A 错误；B、10.5，故 B 错误；C、12，故 C 正确；D、11，故 D 错误故选： C【点评】本题考查了有理数大小比较，利用了正数大于 0，0 大于负数，注意 两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小2下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）A 赵爽弦图 B 科克曲
13、线C 河图幻方 D 谢尔宾斯基三角形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解： A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误故选： B【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合3已知空气的单位体积质量为 1.24103 克/厘米 3，1.2410 3 用小数表示为（ ）A0.000124 B0.0
14、124 C0.00124 D0.00124【分析】科学记数法的标准形式为 a10n（1| a|10， n 为整数） 本题把数据“1.24103 中 1.24 的小数点向左移动 3 位就可以得到【解答】解：把数据“1.2410 3 中 1.24 的小数点向左移动 3 位就可以得到为 0.001 24故选 D【点评】本题考查写出用科学记数法表示的原数将科学记数法 a10 n表示的数， “还原”成通常表示的数，就是把 a 的小数点向左移动 n 位所得到的数把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法4下列计算正确的是（ ）A2
15、 32 42 1 B|3|3 C 2 D2 1 【分析】直接利用绝对值的性质以及立方根的性质和负指数幂的性质分别化简进而得出答案【解答】解： A、2 32 48168，故此选项错误；B、|3|3，故此选项错误；C、 2，故此选项错误；D、2 1 ，正确故选： D【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键5下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是（ ）A BC D【分析】根据长方体的组成，通过结合立体图形与平面图形的相互转化，分别分析得出即可【解答】解： A、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；B、剪去阴影部分后，无法组
16、成长方体，故此选项不合题意；C、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；D、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；故选： C【点评】此题主要考查了展开图折叠成几何体，培养了学生的空间想象能力6下列事件是必然事件的是（ ）A三个有理数的积一定是正数B若 a 与 b 互为相反数，则 a+b0C有理数 a0，则2 a0D若 ABC 的面积是 12，则它的一边长 a 与这边上的高 h 的函数关系式为 a【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断【解答】解： A、三个有理数的积一定是正数是随机事件；B、若 a 与 b 互为相反数，则 a+b0 是必然事件；C、有理数 a0，
17、则2 a0 是不可能事件；D、若 ABC 的面积是 12，则它的一边长 a 与这边上的高 h 的函数关系式为 a 是不可能事件；故选： B【点评】本题主要考查随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件7如图， O 是 ABC 的内切圆，则点 O 是 ABC 的（ ）A三条边的垂直平分线的交点B三条角平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点【分析】根据三角形的内切圆得出点 O 到三边的距离相等，即可得出结论【解答】解： O 是
18、ABC 的内切圆，则点 O 到三边的距离相等，点 O 是 ABC 的三条角平分线的交点；故选： B【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心；熟练掌握三角形的内切圆的圆心性质是关键8如果式子 有意义，那么 x 的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（ ）A BC D【分析】根据式子 有意义和二次根式的概念，得到 2x+60，解不等式求出解集，根据数轴上表示不等式解集的要求选出正确选项即可【解答】解：由题意得，2 x+60，解得， x3，故选： C【点评】本题考查度数二次根式的概念、一元一次不等式的解法以及解集在数轴上的表示方法，正确列出不等式是解题的关键，注意在表示解集时“” ， “”要用实心圆点表
19、示；“” ， “”要用空心圆点表示9如图，正方形 ABCD 中， AE 垂直于 BE，且 AE3， BE4，则阴影部分的面积是（ ）A16 B18 C19 D21【分析】由已知得 ABE 为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长 AB，用 S 阴影部分 S 正方形 ABCD S ABE求面积【解答】解： AE 垂直于 BE，且 AE3， BE4，在 Rt ABE 中， AB2 AE2+BE225， S 阴影部分 S 正方形 ABCD S ABE AB2 AEBE25 3419故选： C【点评】本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质关键是判断 ABE 为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解10
20、如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分） ，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为 2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（ ）A5 B6 C8 D10【分析】由题意得出拼成的四边形的面积是正六边形面积的六分之一，求出正六边形的面积，即可得出结果【解答】解：根据题意得：正六边形的面积6212，故纸片的剩余部分拼成的五边形的面积12210；故选： D【点评】本题主要考查的是正多边形的性质、三角形面积的计算；熟记正六边形的性质是解决问题的关键11若 a b ，则 a2 b（2 a b）（ ）A1 B1 C2 D3【分析】原式整理后，利用完全平方公式化简，将已 知等式代入计算
21、即可求出值【解答】解： a b ，原式 a22 ab+b2（ a b） 23，故选： D【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键12甲、乙从某地出发，同向而行，甲每小时走 3km，乙每小时走 2km，乙先出发 3 小时，甲再出发追赶乙，设甲要 x 小时才能追上乙，下列方程正确的是（ ）A2 x+233 x B2 x233 x C2 x+333 x D2 x333 x【分析】设甲要 x 小时才能追上乙，根据甲、乙行驶的路程相等列出方程【解答】解：设甲要 x 小时才能追上乙，依题意得：2 x+233 x故选： A【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正
22、确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程13如图，为了测量河对岸 l1上两棵古树 A、 B 之间的距离，某数学兴趣小组在河这边沿着与 AB 平行的直线 l2上取 C、 D 两点，测 得 ACB15， ACD45，若 l1、 l2之间的距离为 50m，则 A、 B 之间的距离为（ ）A50 m B25 m C （50 ） m D （5025 ） m【分析】如图，过点 A 作 AM DC 于点 M，过点 B 作 BN DC 于点 N则 AM BN通过解直角 ACM 和 BCN 分别求得 CM、 CN 的长度，则易得 MN AB【解答】解：如图，过点 A 作 AM DC 于点 M，过点 B 作 B
23、N DC 于点 N则 AB MN， AM BN在直角 ACM， ACM45， AM50 m， CM AM50 m在直角 BCN 中， BCN ACB+ ACD60， BN50 m， CN （ m） ， MN CM CN50 （ m） 则 AB MN（50 ） m故选： C【点评】本题考查了解直角三角形的应用解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题14如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧 CD，点 O 是弧 CD 的圆心） ，其中CD600 米， E 为弧 CD 上一点，且 OE CD，垂足为 F， OF 米，则这段弯路的长度为（ ）A200 米 B1
24、00 米 C400 米 D300 米【分析】设这段弯路的半径为 R 米， OF 米，由垂径定理得CF CD 600300由勾股定理可得 OC2 CF2+OF2，解得 R 的值，进而得出这段弧所对圆心角，求出弧长即可【解答】解：设这段弯路的半径为 R 米OF 米， OE CD CF CD 600300根据勾股定理，得 OC2 CF2+OF2即 R2300 2+（300 ） 2解之，得 R600，sin COF ， COF30，这段弯路的长度为： 200（ m） 故选： A【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，根据已知得出圆的半径以及圆心角是解题关键15我国南宋时期的数学家秦九昭提出一种多项式简化
25、算法，例如，计算“当 x8 时，多项式 3x34 x235 x+8 的值” ，按照秦九韶算法，可先将多项式进行改写：原式 x（3 x24 x35）+8 x（3 x4）35+8，按改写后的方式计算：当 x8 时，多项式 3x34 x235 x+81008依据上述方法，当 x8 时，将多项式 x3+2x2+x1 改写求值，下列算法正确的是（ ）A x3+2x2+x1 xx（ x+2）1632B x3+2x2+x1 xx（ x+2）+11640C x3+2x2+x1 xx（ x+2）+11647D x3+2x2+x1 x（ x+2）+11647【分析】仿照题中的方法将原式改写，把 x 的值代入计算即
26、可求出值【解答】解： x3+2x2+x1 xx（ x+2）+11，当 x8 时，原式647，故选： C【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，弄清题中的方 法是解本题的关键16如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC， BD 交于点 O， E， F 分别是边 BC， AD 的中点，AB2， BC4，一动点 P 从点 B 出发，沿着 B A D C 在矩形的边上运动，运动到点C 停止，点 M 为图 1 中某一定点，设点 P 运动的路程为 x， BPM 的面积为 y，表示 y 与x 的函数关系的图象大致如图 2 所示则点 M 的位置可能是图 1 中的（ ）A点 C B点 O C点 E D点 F【分
27、析】从图 2 中可看出当 x6 时，此时 BPM 的面积为 0，说明点 M 一定在 BD 上，选项中只有点 O 在 BD 上，所以点 M 的位置可能是图 1 中的点 O【解答】解： AB2， BC4，四边形 ABCD 是矩形，当 x6 时，点 P 到达 D 点，此时 BPM 的面积为 0，说明点 M 一定在 BD 上，从选项中可得只有 O 点符合，所以点 M 的位置可能是图 1 中的点 O故选： B【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是找出当 x6 时，此时BPM 的面积为 0，说明点 M 一定在 BD 上这一信息二、填空题（本大题共 3 个小题：17-18 每小题 3 分，1
28、9 题 4 分，共 10 分，把答案写在题中横线上)17 + 3 【分析】原式化为最简二次根式，合并即可得到结果【解答】解：原式 +2 3 故答案为：3【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键18现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高均为 170cm，方差分别是 S 甲 2， S 乙 2，且 S 甲2 S 乙 2，则两个队的队员的身高较整齐的是 甲 【分析】根据方差小的身高稳定判断即可【解答】解：现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高均为 170cm，方差分别是 S 甲 2， S乙 2，且 S 甲 2 S 乙 2，则两个队的队员的身高较整齐的是甲，故答案为：甲【点评】此题考查
29、了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量19 （4 分）如图是抛 物线形拱桥， P 处有一照明灯，水面 OA 宽 4m，从 O、 A 两处双测 P处，仰角分别为 、，且 tan ，tan ，以 O 为原点， OA 所在直线为 x 轴建立直角坐标系（1） P 点坐标为 （3， ） ；（2）若水面上升 1m，水面宽为 2 m【分析】 （1）过点 P 作 PH OA 于 H，通过解 Rt OHP、Rt AHP 求得点 P 的横纵坐标；（2）若水面上升 1m 后到达 BC 位置，如图，运用待定系数法可求出抛物线的解析式，然后求出 y1 时 x 的值，就可解决问题【解答】解：（1）过点 P 作 PH
30、OA 于 H，如图设 PH3 x，在 Rt OHP 中，tan ， OH6 x在 Rt AHP 中，tan ， AH2 x， OA OH+AH8 x4， x ， OH3， PH ，点 P 的坐标为（3， ） ；故答案是：（3， ） ；（2）若水面上升 1m 后到达 BC 位置，如图，过点 O（0，0） ， A（4，0）的抛物线的解析式可设为 y ax（ x4） ， P（3， ）在抛物线 y ax（ x4）上，3 a（34） ，解得 a ，抛物线的解析式为 y x（ x4） 当 y1 时， x（ x4）1，解得 x12+ ， x22 ， BC（2+ ）（2 ）2 故答案是：2 【点评】本题主要二
31、次函数的应用、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题三、解答题（本大题共 7 个小题：共 68 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20 （9 分）定义新运算：对于非零的两个实数 a， b，规定 a b 如：23 （1）求 4（6）的值；（2）若 2（2 x1）1，求 x 的值【分析】 （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）已知等式利用题中的新定义化简，求出 x 的值即可【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式 ；（2）根据题中的新定义化简得： 1，去分母得：6 x32，解得： x ，经检验 x 是
32、分式方程的解【点评】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键21 （9 分）某校要求 340 名学生进行社会调查，每人须完成 36 份报告调查结束后随机抽查了 20 名学生每人完成报告的份数，并分为四类， A：3 份； B：4 份； C：5 份；D：6 份将各类的人数绘制成扇形图（如图 1）和条形图（如图 2） ，经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误回答问题：（1）写出条形图中存在的错误，并说明理由；（2）写出这 20 名学生每人完成报告份数的众数、中位数；（3）在求这 20 名学生每人完成报告份数的平均数时，小静是这样分析的：第一步求平均数的公式是 ；第二步
33、在该问题中， n4， x13， x24， x35， x46；第三步： 4.5（份）小静的分析是从哪一步开始出现错误的？请你帮她计算出正确的平均数，并估计这 340 名学生共完成报告多少份【分析】 （1）条形统计图中 B 的人数错误，应为 2030%；（2）根据中位数 、众数的定义以及条形统计图及扇形统计图所给的数据，即可求出答案；（3）小静的分析是从第二步开始出现错误的；根据平均数的计算公式先求出正确的平均数，再乘以 340 即可得出答案【解答】解：（1） B 错误，理由为：2030%67；（2）众数为 5 份，中位数为 5 份；（3）第二步； 4.65（份） ，估计这 340 名学生共完成报
34、告 4.653401581（份） 【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图，用到的知识点是平均数、中位数、众数以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键22 （8 分）发现：414，4 216，4 364，4 4256，4 51024，4 64096，4 716384，4 865536（1）观察上面运算结果的个位数字，写出你发现的规律；（2）依据（1）中的规律，通过计算判断 3 （4+1） （4 2+1） （4 4+1）（4 32+1）+1 的结果的个位数字是多少，【分析】 （1）注意 4 的指数的奇偶性与个位数字的关系；（2）利用平方差公式进行计算，然后利用（1）中的规律解答【解答】解：（1
35、）414，4 216，4 364，4 4256，4 51024，4 64096，4 716384，4 865536观察上面运算结果发现：当 4 的指数是奇数时，运算结果的个位数字是 4；当 4 的指数是偶数时，运算结果的个位数字是 6；（2）3（4+1） （4 2+1） （4 4+1）（4 32+1）+1（41）（4+1） （4 2+1） （4 4+1）（4 32+1）+1（4 21）（4 2+1） （4 4+1）（4 32+1）+1（4 41） （4 4+1）（4 32+1）+14 64可知 464的个位数字是 6，故 3（4+1） （4 2+1） （4 4+1）（4 32+1）+1 的结果
36、的个位数字是 6【点评】本题考查了平方差公式的应用，题型较好，难度适中，是一道不错的题目，通过此题能培养学生的观察能力23 （9 分）证明等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等已知：如图，在 ABC 中， B C ，求证： AB AC 【分析】根据等腰三角形的判定方法可知：已知缺少的条件为 B C，要证的结论为AB AC，过点 A 作 AD 平分 ABC，交 BC 于点 D，由 BAD CAD、 B C 及 AD AD可证出 ABD ACD，再利用全等三角形的性质可证出 AB AC【解答】已知：如图，在 ABC 中， B C，求证： AB AC证明：过点
37、A 作 AD 平分 ABC，交 BC 于点 D，如图所示在 ABD 和 ACD 中， ， ABD ACD（ AAS） ， AB AC【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理 AAS 证出 ABD ACD 是解题的关键24 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（5，3） ，点 B（3，3） ，过点 A 的直线 y x+m（ m 为常数）与直线 x1 交于点 P，与 x 轴交于点 C，直线 BP 与 x 轴交于点 D（1）求点 P 的坐标；（2）求直线 BP 的解析式，并直接写出 PCD 与 PAB 的面积比；（3）若反比例函数 y （ k
38、 为常数且 k0）的图象与线段 BD 有公共点时，请直接写出 k 的最大值或最小值【分析】 （1）把 A 的坐标代入 y x+m，求得 m 的值，然后把 x1 代入，即可求得 P的坐标；（2）设直线 BP 的解析式为 y ax+b，根据待定系数法即可求得直线 BP 的解析式，然后根据三角形面积的比等于对应高的比的平方求得即可；（3）分两种情况分别讨论：当 k0 时，反比例函数在第二象限，函数图象经过 B 点时，k 的值最小，此时 k9；当 k0 时，反比例函数在第一象限， k 的值最大，直线 BP的解析式和反比例函数解析式联立，消元 y 得到关于 x 的一元二次方程，根据反比例函数与线段 BD
39、 有公共点，得到根的判别式大于等于 0，即可确定出 k 的范围【解答】解：（1） 过点 A（5，3） ，3 5+m，解得 m ，直线为 y x+ ，当 x1 时， P（1，1） ；（2）设直线 BP 的解析式为 y ax+b根据题意，得直线 BP 的解析式为 y x+ ， p（1，1） ， A（5，3） ， B（3，3） ， （ ） 2 ；（3）当 k0 时，反比例函数在第二象限，函数图象经过 B 点时， k 的值最小，此时k9；当 k0 时，反比例函数在第一象限， k 的值最大，联立得： ，消去 y 得： x+ ，整理得： x23 x+2k0，反比例函数与线段 BD 有公共点，3 2412
40、k0，解得： k ，故当 k0 时，最小值为9；当 k0 时，最大值为 ；【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解本题的关键25 （11 分）图中曲线是抛物线的一部分，我们建立平面直角坐标系如图所示，OA1.25，抛物线的最高点坐标为（1，2.25） ，（1）求图中曲线对应的函数关系式，直接写出自变量 x 的取值范围；（2）图中曲线与 x 轴交点的坐标为 （2.5，0） ；（3）若抛物线形状不变，将其平移后仍过 A 点，且与 x 轴正半轴交于点 B， OB3.5，求平移后抛物线的最大高度是多少？【分析
41、】 （1）由抛物线的顶点坐标可设图中曲线对应的函数关系式为 y a（ x1）2+2.25，代入点 A 的坐标，即可求出 a 值，此题得解；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出曲线与 x 轴交点的坐标；（3）由抛物线形状不变且过点 A 可设平移后的抛物线解析式为 y x2+mx+1.25，代入点 B 的坐标可得出 m 的值，再利用配方法即可求出平移后抛物线的最大高度【解答】解：（1）设图中曲线对应的函数关系式为 y a（ x1） 2+2.25， OA1.25， a+2.251.25， a1，图中曲线对应的函数关系式为 y（ x1） 2+2.25（0 x2.5） （2）当 y0 时，（ x
42、1） 2+2.250，解得： x10.5， x22.5，图中曲线与 x 轴交点的坐标为（2.5，0） 故答案为：（2.5，0） （3）抛物线的解析式为 y（ x1） 2+2.25 x2+2x+1.25，抛物线形状不变，将其平移后仍过 A 点，设平移后的抛物线解析式为 y x2+mx+1.25将 B（3.5，0）代入 y x2+mx+1.25 中，得：12.25+3.5 m+1.250，解得： m ，平移后抛物线的解析式为 y x2+ x+1.25（ x ） 2+ ，平移后抛物线的最大高度是 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象上点的
43、坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出曲线对应的函数关系式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出曲线与 x 轴的交点坐标；（3）利用待定系数法求出平移后抛物线的解析式26 （12 分）如图 1，已知 MAN60，点 B 在射线 AM 上， AB4，点 P 为直线 AN 上一动点，以 BP 为边作等边 BPQ（点 B， P， Q 按顺时针排列） ，点 O 是 BPQ 的外心（1）当 OB AM 时，点 O 在 MAN 的平分线上（填“在”或“不在” ） ；（2）如图 2，当点 P 在射线 AN 上运动（点 P 与点 A 不重
44、合）时，求证：点 O 在 MAN的平分线上；（3）如图 2，当点 P 在射线 AN 上运动（点 P 与点 A 不重合）时， AO 与 BP 交于点 C，求证： ABO ACP；设 AP m，直接写出 ACAO 的值（用含 m 的式子表示） ；（4）若点 D 在射线 AN 上， AD2， K 为 ABD 的内切圆，当 BPQ 的边 BP 与 K 相切时，请直接写出点 A 与点 O 的距离【分析】 （1）先求得 BOP120，在四边形 ABOP 中依据四边形的内角和是 360可求得 APO 的度数，然后依据角平分线的逆定理证明即可；（2）连接 OB、 OP、 OA，由 A60， BOP120，可证
45、明 A、 B、 O、 P 四点共圆，然后依据同圆和等圆中相等的弦所对的圆周角相等可得到 BAO PAO；（3）连接 OB、 OP、 AO先证明 BOA BPA， BAO PAO，从而可得到 ABOACP，由相似三角形的性质可知 ACAO ABPA，从而可求得答案；（4）如图 4 所示：当点 P 与点 D 重合时先证明三角形 AOB 为直角三角形，然后依据特殊锐角三角函数值可求得 AO 的长；如图 5 所示：当点 A 与点 P 重合时先证明 AOD为直角三角形，然后依据特殊锐角三角函数值可求得 AO 的长；如图 6 所示：证明 OBD ABD30，从而得到点 A 与点 O 重合【解答】解：（1）在理由：如图 1 所示：连接 OP点 O 为等边 BQP 的外心， BOP2 BQP120， OB OP OB AM， ABO90 A+ ABO+ BOP+ OP A180， OPA90 OP AN OP OB， OP AN， OB AM，点 O 在 MAN 的平分线上故答案为：在（2）当点 A 与点 P 不重合时，如图 2 所示：连接 OB、 OP、 OA点 O 是等边三角形 BOQ 的外心， BOP120， OP OB BAP60， BA
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