1、2019 年四川省内江市中考数学模拟试卷（四）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分 ）1 （3 分）下列四个数：2，0.6， ， 中，绝对值最小的是（ ）A2 B0.6 C D2 （3 分）2018 年 2 月 18 日清袁枚的一首诗苔被乡村老师梁俊和山里的孩子小梁在经典永流传的舞台重新唤醒， “白日不到处，青春恰自来苔花如米小，也学牡丹开 ”若苔花的花粉直径约为 0.0000084 米，用科学记数法表示 0.00000848.410 n，则 n 为（ ）A5 B6 C5 D63 （3 分）下列说法中正确的是（ ）A一个游戏的中奖概率是 10%，则做 10 次这样的
2、游戏一定会中奖B为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式C若甲组数据的方差 S 甲 2 0.01，乙组数据的方差 S 乙 20.1，则乙组数据比甲组数据稳定D一组数据 8，3，7，8，8 ，9，10 的众数和中位数都是 84 （3 分）将一张宽度相等的长方形纸条按如图所示的方式折叠一下，如果1140，那么2 的度数是（ ）A100 B110 C120 D1405 （3 分）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是（ ）A B C D6 （3 分） “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防
3、水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D7 （3 分）我国淡水资源短缺问题十分突出，节约用水已成为各地的一件大事某校初三学生为了调查居民用水情况，随机抽查了某小区 10 户家庭的月用水量，结果如表所示：月用水量（t） 3 4 5 10户数 4 2 3 1这 10 户家庭月用水量的平均数、中位数及众数是（ ）A4.5，3，4 B3，4.5，4 C4.5，4，3 D4，4.5，38 （3 分）下列运算中，正确的是（ ）Aa 4a2a 8 Ba 10a2a 5C （3ab） 29a 2b2 D （ab） 2a 2b 29 （3
4、 分）我国古代数学著作孙子算经中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何 ”设鸡 x 只，兔 y 只，可列方程组为（ ）A BC D10 （3 分）关于 x，y 的方程组 的解满足 2x+3y7，则 m 的取值范围是（ ）Am Bm0 Cm Dm 711 （3 分）如图，ABC 三个顶点分别在反比例函数 y ，y 的图象上，若C90，ACy 轴，BC x 轴，S ABC 8，则 k 的值为（ ）A3 B4 C5 D612 （3 分）如图所示在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆O1、O 2、O 3，组成一条平滑的曲线，点 P 从原点 O 出发沿这
5、条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，则第 2019 秒时，点 P 的坐标是（ ）A （2018，0） B （2019，1） C （2019，1） D （2020，0）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）分解因式：2xy 2+4xy+2x 14 （5 分）函数 的自变量 x 的取值范围是 15 （5 分）如图，AB 是圆 O 的直径，弦 CDAB，BCD30，CD4 ，则 S 阴影 16 （5 分）ABC 是一张等腰直角三角形纸板，C90 ，ACBC2，在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第 1 次剪取，记所得正方形面积为 S1（如图 1） ；在
6、余下的 RtADE 和 RtBDF 中，分别剪取一个尽可能大的正方形，得到两个相同的正方形，称为第 2 次剪取，并记这两个正方形面积和为 S2（如图 2） ；继续操作下去；第2019 次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 44 分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）17 （7 分） +（ ） 1 | 2|18 （9 分）如图，ABC 中，ABAC ，AD 是ABC 的角平分线，点 F 为 AC 的中点，连接 FD 并延长到点 E，使 FDDE，连接 BF，CE 和 BE（1）求证：BEFC；（2）判断并证明四边形 BECF 的形状；（3）为ABC 添加
7、一个条件，则四边形 BECF 是矩形（填空即可，不必说明理由）19 （9 分）某校为了解全校 2400 名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查、问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选、将调查得到的结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整） （1）这次调查中，一共抽取了 名学生；（2）补全条形统计图；（3）估计全校所有学生中有多少人乘坐公交车上学？（4）小明在上学的路上要经过 2 个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的、求小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率（请用“画树状图”或“列表”的方
8、法写出分析过程） 20 （9 分）如图，在一笔直的海岸线上有 A、B 两上观测站，A 在 B 的正东方向，BP6（单位：km ） 有一艘小船停在点 P 处，从 A 测得小船在北偏西 60的方向，从 B测得小船在北偏东 45的方向（1）求 A、B 两观测站之间的距离；（2）小船从点 P 处沿射线 AP 的方向进行沿途考察，求观测站 B 到射线 AP 的最短距离21 （10 分）如图，一次函数 yax1 的图象与反比例函数 y 的图象交于 A，B 两点，与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，已知 OA ， tanAOC （1）求 a，k 的值及点 B 的坐标；（2）观察图象，请直接写出不等式
9、 ax1 的解集；（3）在 y 轴上存在一点 P，使得PDC 与ODC 相似，请你求出 P 点的坐标四、填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分 ）22 （6 分）设 x1，x 2 是方程 x2+x30 的两个根，那么 x134x 22+19 的值为 23 （6 分）使得关于 x 的分式方程 1 的解为负整数，且使得关于 x 的不等式组 有且仅有 5 个整数解的所有 k 的和为 24 （6 分）如图，ABC 中，ABAC 4，C 72， D 是 AB 中点，点 E 在 AC 上，DEAB，则 cosA 25 （6 分）如图，已知 A（ ，y 1） ，B（2，y 2）为反比例函数
10、 y 图象上的两点，动点P（x，0）在 x 轴正半轴上运动，当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时，点 P 的坐标是 五、解答题（本大题共 3 小题，每小题 12 分，共 36 分）26 （12 分）阅读下列材料：如图 1，在ABC 中，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，可以得到：SABC absinC acsinB bcsinA证明：过点 A 作 ADBC，垂足为 D在 Rt ABD 中，sinBADcsin BS ABC aAD acsinB同理：S ABC absinCSABC bcsinAS ABC absinC acsinB bcsinA（1）通过上述材料证明： （2）运用
11、（1）中的结论解决问题：如图 2，在ABC 中，B15，C60，AB20 ，求 AC 的长度（3）如图 3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择 A、B、C 三个测量点，在 B点测得 A 在北偏东 75方向上，沿笔直公路向正东方向行驶 18km 到达 C 点，测得 A在北偏西 45方向上，根据以上信息，求 A、B、C 三点围成的三角形的面积（本题参考数值：sin150.3 ，sin120 0.9， 1.4 ，结果取整数）27 （12 分）如图，在ABC 中，ABAC ，以 AB 为直径的O 分别交 AC、BC 于点D、E，点 F 在 AC 的延长线上，且CBF CAB （1）求证：直线 BF
12、 是O 的切线；（2）若 AB5，sinBAD ，求 AD 的长；（3）试探究 FB、FD 、FA 之间的关系，并证明28 （12 分）如图，已知直线 ykx3 与 x 轴交于点 A（4，0） ，与 y 轴交于点 C，抛物线经过点 A 和点 C，动点 P 在 x 轴上以每秒 1 个长度单位的速度由抛物线与 x 的另一个交点 B 向点 A 运动，点 Q 由点 C 沿线段 CA 向点 A 运动且速度是点 P 运动速度的 2 倍（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；（2）如果点 P 和点 Q 同时出发，运动时间为 t（秒） ，试问当 t 为何值时，以 A，P，Q为顶点的三角形与AOC 相似；（3）
13、在直线 CA 上方的抛物线上是否存在一点 D，使得ACD 的面积最大若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由2019 年四川省内江市中考数学模拟试卷（四）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分 ）1 【解答】解：|2| 2， |0.6|0.6，| | ，| | ， ，所以绝对值最小的是 ，故选：C2 【解答】解：0.00000848.410 6 ，则 n 为6故选：B3 【解答】解：A、一个游戏的中奖概率是 10%，则做 10 次这样的游戏一定会中奖，说法错误；B、为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用抽样调查的方式，故此选项错误；C、若甲
14、组数据的方差 S 甲 2 0.01，乙组数据的方差 S 乙 20.1，则甲组数据比乙组数据稳定，故此选项错误；D、一组数据 8，3，7，8，8 ，9，10 的众数和中位数都是 8，正确故选：D4 【解答】解：根据折叠的性质，可得1 的补角为540，根据三角形外角定理有5+32，而34，2+4180，2240180，解可得：2110故选：B5 【解答】解：如图所示：故选：A6 【解答】解：A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；C是轴对称图形，不是中心对称图形；D既是轴对称图形，又是中心对称图形；故选：D7 【解答】解：平均数为：（34+42+53+10
15、）（4+2+3+1）4.5 吨；中位数为 4 吨；众数为 3 吨；故选：C8 【解答】解：A、a 4a2a 6，故本选项错误；B、a 10a2a 8，故本选项错误；C、 （3ab） 29a 2b2，故本选项正确；D、 （ab） 2a 22ab+b 2，故本选项错误；故选：C9 【解答】解：由题意可得，故选：D10 【解答】解： ，得： 2x+3y3m+6，2x+3y7，3m+67，解得：m ，故选：C11 【解答】解：设点 C 的坐标为（ m， ） ，则点 A 的坐标为（m， ） ，点 B 的坐标为（km， ） ，AC ，BCkmm（k1）m ，S ABC ACBC （k1） 28，k5 或
16、k3反比例函数 y 在第一象限有图象，k5故选：C12 【解答】解：点运动一个半圆用时为 秒201910092+12019 秒时，P 在第 1010 个的半圆的中点处点 P 坐标为（2019，1）故选：C二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 【解答】解：原式2x（y 2+2y+1）2x （y+1） 2，故答案为：2x（y +1） 2 14 【解答】解：根据题意得：2x10，解得：x ；故答案为：x 15 【解答】解：如图，假设线段 CD、AB 交于点 E，AB 是O 的直径，弦 CDAB，CEED2 ，又BCD30，DOE 2 BCD60， ODE 30，OEDE
17、 cot602 2，OD2OE4，S 阴影 S 扇形 ODBS DOE +SBEC OEDE+ BECE 2 +2 故答案为 16 【解答】解：四边形 ECFD 是正方形，DEECCFDF，AEDDFB 90，ABC 是等腰直角三角形，AB 45，AEDE EC DFBFEC CF，ACBC2，DEDF 1，S AED +SDBF S 正方形 ECFDS 11；同理：S 2 即是第二次剪取后剩余三角形面积和，Sn 即是第 n 次剪取后剩余三角形面积和，第一次剪取后剩余三角形面积和为：2S 11S 1，第二次剪取后剩余三角形面积和为：S 1S 21 S 2，第三次剪取后剩余三角形面积和为：S 2
18、S 3 S 3，第 n 次剪取后剩余三角形面积和为：S n1 S nS n 则 s2019 ；故答案为： 三、解答题（本大题共 5 小题，共 44 分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）17 【解答】解：原式2 +2 （2 ）2 +2（2+ ）2+2 +22 2+2 218 【解答】 （1）证明：ABAC，AD 是ABC 的角平分线，BDCD，FDDE ，BDE CDF ，BDECDF（SAS ） ，BECF；（2）解：四边形 BECF 是平行四边形，理由：BDCD，EDFD，四边形 BECF 是平行四边形；（3）当 ABBC 时，四边形 BECF 是矩形，ABBCAC，BDCD BC，DF
19、DE AC，BCEF，四边形 BECF 是矩形19 【解答】解：（1）被抽到的学生中，骑自行车上学的学生有 24 人，占整个被抽到学生总数的 30%，抽取学生的总数为 2430%80（人） 故答案为：80；（2）被抽到的学生中，步行的人数为 8020%16 人，补全直方图如下：（3）被抽到的学生中，乘公交车的人数为 80（24+16+10+4）26，全校所有学生中乘坐公交车上学的人数约为 2400780 人（4）画树状图如下：由树状图知，共有 9 种等可能结果，其中到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数为2，所以到第二个路口时第一次遇到红灯的概率为 20 【解答】解：（1）如图，过点 P 作 P
20、DAB 于点 D在 Rt PBD 中，BDP90，PBD904545，BDPD 6km在 Rt PAD 中，ADP90，PAD906030，AD PD6 km，PA12ABBD +AD（6+6 ）km；（2）如图，过点 B 作 BFAC 于点 F，则BAP 30，AB（6+6 ） ，BF AB（3+3 ）km观测站 B 到射线 AP 的最短距离为（3+3 ）km21 【解答】解：（1）过 A 作 AEx 轴，交 x 轴于点 E，在 Rt AOE 中，OA ，tanAOC ，设 AEx，则 OE3x ，根据勾股定理得：OA 2OE 2+AE2，即 109x 2+x2，解得：x1 或 x1（舍去）
21、 ，OE3，AE1，即 A（3，1） ，将 A 坐标代入一次函数 yax1 中，得：13a1，即 a ，将 A 坐标代入反比例解析式得：1 ，即 k3，联立一次函数与反比例解析式得： ，消去 y 得： x1 ，解得：x 或 x3，将 x 代入得：y 112，即 B（ ，2） ；（2）由 A（3，1） ，B（ ，2） ，根据图象得：不等式 x1 的解集为 x0 或 x3；（3）显然 P 与 O 重合时， PDCODC；当 PCCD，即PCD90 时，PCO+DCO 90，PCDCOD90，PCDCDO ，PDCCDO，PCO+CPO90，DCOCPO，POCCOD90，PCOCDO， ，对于一次
22、函数解析式 y x1，令 x0，得到 y1；令 y0，得到 x ，C（ ，0） ，D（0，1） ，即 OC ，OD1， ，即 OP ，此时 P 坐标为（0， ） ，综上，满足题意 P 的坐标为（0， ）或（0，0） 四、填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分 ）22 【解答】解：x 1，x 2 是方程 x2+x30 的两个实数根，x 1+x21；又x 13x 1x12x 1（3x 1）3x 1x 123x 13+x 14x 13，x223x 2，x 134x 22+194x 1312+4x 2+194（x 1+x2） 15+19415+190故答案为：023 【解答】解：解分
23、式方程 1，可得 x12k，分式方程 1 的解为负整数，12k0，k ，又x1，12k1，k1，解不等式组 ，可得 ，不等式组 有 5 个整数解，1 2，解得 0k4， k4 且 k1，k 的值为 1.5 或 2 或 2.5 或 3 或 3.5，符合题意的所有 k 的和为 12.5，故答案为：12.524 【解答】解：在ABC 中，ABAC ，C 72，ABCC72，A180CABC36D 是 AB 中点， DEAB，AEBE，ABE A 36，BECA+ABE72 C ，BEBCAE设 BCx，则 CEACAE 4xABCBEC，C C，ABCBEC， ，即 ，解得：x 12 2，x 22
24、2（舍去） ，cosA 故答案为： 25 【解答】解：把 A（ ，y 1） ，B（2，y 2）代入反比例函数 y 得：y 12，y 2 ，A（ ，2） ，B（2， ） 在ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|APBP |AB，延长 AB 交 x 轴于 P，当 P 在 P点时，PAPBAB，即此时线段 AP 与线段 BP 之差达到最大，设直线 AB 的解析式是 yax+ b（a0）把 A、B 的坐标代入得： ，解得： ，直线 AB 的解析式是 yx + ，当 y0 时，x ，即 P（ ，0） ；故答案为：（ ，0） 五、解答题（本大题共 3 小题，每小题 12 分，共 36 分）26 【解答】
25、解：（1） absinC acsinB，bsinCcsinB， ，：同理得： ， ；（4 分）（2）由题意得：B15，C60，AB 20 ， ，即 ， ，AC400.312；（8 分）（3）由题意得：ABC907515，ACB 904545，A1801545120，由 得： ，AC6，S ABC ACBCsinACB 6180.738 （12 分）27 【解答】 （1）证明：如图 1，连接 AE，AB 为O 的直径，AEB 90，ABAC，BAE CAE CAB，CBF CAB，BAE CBF，BAE +CBA 90，CBF+ CBA90，即 ABBF，直线 BF 是O 的切线；（2）解：如图
26、 2，连接 BD，AB 为O 的直径，ADB90，sinBAD ，即 ，解得，BD4，由勾股定理得，AD 3；（3）解：FB 2FD FA，理由如下：如图 2，ABF90，BD AF ，由射影定理得，FB 2FD FA28 【解答】解：（1）直线 ykx3 与 x 轴交于点 A（4，0） ，04k3，解得：k ，直线解析式为 y x3，由直线 y x3 与 y 轴交于点 C，可知 C（0，3） ， 42+4m30，解得 m ，抛物线的解析式为 y x2+ x3；（2）对于抛物线 y x2+ x3，令 y0，则 0 x2+ x3，解得：x 11，x 24，B（1，0） ，AB3，AO 4，CO
27、3， AC5，AP3t ，AQ 52t，若 Q1P1A 90，则 P1Q1CO，AP 1Q1 AOC， ， ，解得：t ；若 Q2P2A 90，P 2AQ2 OAC，AP 2Q2 ACO， ， ，解得：t ；综上：当 t 的值为 或 时，以 P、Q、A 为顶点的三角形与AOC 相似；（3）存在，如图 2：过 D 作 DFx 轴，垂足为 E，交 AC 于点 F，S ADF DFAE，S CDF DFEO，S ACD S ADF +SCDF DF（AE+EO） 4（DE+EF）2（ x2+ x3 x+3） x2+6x，S ACD （x2） 2+6（0x4） ，又 024 且二次项系数 0，当 x2 时，S ACD 的面积最大，而当 X2 时，y ，满足条件的 D 点坐标为 D（2， ）
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