1、2019 年北京市怀柔区中考数学一模试卷一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1 （2 分）据央广网消息，近年来，数字技术推动数字贸易兴起，通过采用数字技术，提高员工生产力、降低成本、创造新收益，数字贸易在中国国内创造了高达人民币3200000000000 元的经济效益将 3200000000000 用科学记数法表示应为（ ）A3.210 11 B3.210 12 C3210 12 D0.3210 132 （2 分）如图所示，数轴上点 A 关于原点对称点表示的数是（ ）A2 B2 C2 D03 （2 分）如图，ABCD，DACE 于点
2、A若D 35，则EAB 的度数为（ ）A35 B45 C55 D654 （2 分）如图，是由 4 个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是（ ）A B C D5 （2 分）在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球 2 只，红球 4 只，黑球 3 只，将袋中的球搅匀，随机从袋中取出 1 只球，则取出黑球的概率是（ ）A B C D6 （2 分）如图，ABC 的内切圆O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，且AD2， ABC 的周长为 14，则 BC 的长为（ ）A3 B4 C5 D67 （2 分） 九章算术中记载了这样一个数学问题：今有甲发
3、长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安今乙发已先二日，甲仍发长安问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5 日到齐国；乙从齐国出发，7 日到长安现乙先出发 2 日，甲才从长安出发问甲乙经过多少日相逢？设甲乙经过 x 日相逢，可列方程（ ）A B C D8 （2 分）2019 年 1 月 3 日，嫦娥四号探测器自主着落在月球背面，实现人类探测器首次月背软着陆当时，中国已提前发射的“鹊桥”中继星正在地球、月球延长线上的 L2点（第二拉格朗日点）附近，沿 L2 点的动态平衡轨道飞行，为嫦娥四号着陆器和月球车提供地球、月球中继通信支持，保障嫦娥四号任务的完成与实施如图，已知月球到地球的平均距离约为 38 万公里
4、，L 2 点到月球的平均距离约为 6.5 万公里某刻，测得线段 CL2 与 AL2 垂直，CBL 256，则下列计算鹊桥中继星到地球的距离 AC 方法正确的是（ ）AAC 2（6.5sin56） 2+44.52BAC 2（6.5tan56） 2+44.52CAC 2（6.5cos56） 2 44.52DAC 2（6.5cos56） 2+6.52二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9 （2 分）若代数式 有意义，则 x 的取值范围是 10 （2 分）正多边形的一个外角是 72，则这个多边形的内角和的度数是 11 （2 分）分解因式：xy 22xy+x 12 （2 分）半径为 6cm，圆
5、心角为 40的扇形的面积为 cm 213 （2 分）化简代数式（x1+ ） ，正确的结果为 14 （2 分）如图，在ABC 中，DE AB，DE 分别与 AC，BC 交于 D，E 两点若ABC与DEC 的周长比为 3：2，AC 6，则 DC 15 （2 分）如图，这是怀柔地图的一部分，分别以正东、正北方向为 x 轴、y 轴正方向建立直角坐标系规定：一个单位长度表示 1km，北京生存岛实践基地 A 处的坐标是（2，0） ，A 处到雁栖湖国际会展中心 B 处相距 4km，且 A 在 B 南偏西 45方向上，则雁栖湖国际会展中心 B 处的坐标是 16 （2 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，
6、将ABC 绕顶点 C 顺时针旋转得到ABC，D 是 AB的中点，连接 BD，若 BC2，ABC60，则线段 BD 的最大值为 三、解答题（本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题每小题 5 分，第 27、28题，每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17 （5 分）计算：3tan60（ ） 2 +|2 |18 （5 分）解不等式组 并写出它的所有整数解19 （5 分）下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作图过程已知：线段 AB求作：一个直角三角形 ABC，使线段 AB 为斜边作法：如图，过 A 任意作一条射线 l；在射线 l 上任取两点 D
7、，E；分别以点 D，E 为圆心，DB，EB 长为半径作弧，两弧相交于点 P；作射线 BP 交射线 l 于点 C所以ABC 就是所求作的直角三角形思考：（1）按上述方法，以线段 AB 为斜边还可以作 个直角三角形；（2）这些直角三角形的直角顶点 C 所形成的图形是 ，理由是 20 （5 分）已知关于 x 的方程 x22x +m20 有两个不相等的实数根（1）求 m 的取值范围；（2）如果 m 为正整数，且该方程的根都是整数，求 m 的值21 （5 分）在四边形 ABCD 中，ABDC，ABAD，对角线 AC，BD 交于点 O，AC 平分BAD，过点 C 作 CEDB 交 AB 的延长线于点 E，
8、连接 OE（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；（2）若DAB60，且 AB4，求 OE 的长22 （5 分）如图，AB 为O 的直径，点 C，D 在O 上，且点 C 是 的中点连接 AC，过点 C 作O 的切线 EF 交射线 AD 于点 E（1）求证：AEEF ；（2）连接 BC若 AE ，AB5，求 BC 的长23 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ykx+ b（k0） ，经过点（6，0） ，且与坐标轴围成的三角形的面积是 9，与函数 y （x0）的图象 G 交于 A，B 两点（1）求直线的表达式；（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点记图象 G 在点 A、B 之间的部分与线段
9、AB 围成的区域（不含边界）为 W当 m2 时，直接写出区域 W 内的整点的坐标 ；若区域 W 内恰有 3 个整数点，结合函数图象，求 m 的取值范围24 （6 分）2019 年初，电影流浪地球和绿皮书陆续热播，为了解某大学 1800 名学生对两部电影的喜爱程度，调查小组随机抽取了该大学 20 名学生对两部电影打分，过程如下收集数据 20 名大学生对两部电影的打分结果如下：流浪地球78 75 99 98 79 67 88 78 76 98 88 79 97 91 78 80 93 90 99 99绿皮书88 79 68 97 85 74 96 84 92 97 89 81 91 75 80 8
10、5 91 89 97 92整理、描述数据绘制了如下频数分布直方图和统计表，请补充完整（说明：60x70 表示一般喜欢，70x80 表示比较喜欢，80x90 表示喜欢，90x100 表示超级喜欢）电影 平均数 众数 中位数流浪地球 86.5 99绿皮书 86.5 88.5分析数据、推断结论（1）估计该大学超级喜欢电影绿皮书的有 人；（2）你认为观众更喜欢这两部电影中的 （填流浪地球或绿皮书 ） ，理由是 25 （6 分）如图 1，正方形 ABCD 中，AB5，点 E 为 BC 边上一动点，连接 AE，以 AE为边，在线段 AE 右侧作正方形 AEFG，连接 CF、DF设 BEx （当点 E 与点
11、 B 重合时，x 的值为 0） ，DF y 1，CF y 2小明根据学习函数的经验，对函数 y1、y 2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量、观察、计算，得到了 x 与 y1、y 2 的几组对应值；x 0 1 2 3 4 5y1 5.00 4.12 3.61 4.12 5.00y2 0 1.41 2.83 4.24 5.65 7.07（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y 1） ，（x，y 2） ，并画出函数 y1，y 2 的图象；（3）结合函数图象 2，解决问题：当CDF 为等腰三
12、角形时，BE 的长度约为 cm26 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx 22ax+a 2+2 的顶点 C，过点B（0， t）作与 y 轴垂直的直线 l，分别交抛物线于 E， F 两点，设点 E（x 1，y 1） ，点F（x 2，y 2） （x 1x 2） （1）求抛物线顶点 C 的坐标；（2）当点 C 到直线 l 的距离为 2 时，求线段 EF 的长；（3）若存在实数 m，使得 x1m 1 且 x2m+5 成立，直接写出 t 的取值范围27 （7 分）如图，等边ABC 中，P 是 AB 上一点，过点 P 作 PDAC 于点 D，作PE BC 于点 E，M 是 AB 的中点
13、，连接 ME，MD （1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段 BE，AD 与 AB 的数量关系，并加以证明；（3）求证：MDME28 （7 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 G 上任意一点 M，给出如下定义：图形 G 关于原点 O 的中心对称图形为 G，点 M 在 G上的对应点为 M，若MPM90，则称点 P 为图形 G，G的“直角点” ，记作 Rt（G，P，G） 已知点 A（ 2，0） ，B（2，0） ，C （0，2 ） （1）如图 1，在点 P1（1，1） ，P 2（0，3） ，P 3（0，2）这三个点中，Rt（ OA，P，OA）是 ；（2）如图 2，D 的圆心为 D（
14、1，1） ，半径为 1，在直线 y x+b 上存在点 P，满足Rt（ D，P，D） ，求 b 的取值范围；（3）T 的半径为 ，圆心（t ， t） ，若T 上存在点 P，满足 Rt（ABC，P，ABC） ，直接写出T 的横坐标的取值范围2019 年北京市怀柔区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1 【解答】解：将 32000 0000 0000 用科学记数法表示应为 3.21012故选：B2 【解答】解：数轴上点 A 表示2，点 A 关于原点对称的点为 2，故选：A3 【解答】解：ABCD，BADD3
15、5，DACE，DAE90，EAB 55故选：C4 【解答】解：根据图形可得主视图为：故选：D5 【解答】解：取出黑球的概率为 故选：B6 【解答】解：O 与 AB，BC ，CA 分别相切于点 D， E，FAFAD 2，BDBE，CECF ，ABC 的周长为 14，AD+ AF+BE+BD+CE+CF142（BE+CE）10BC5故选：C7 【解答】解：设甲乙经过 x 日相逢，可列方程：+ 1故选：B8 【解答】解：在直角三角形 BCL2 中，CBL 256，BL 26.5，CL 2 BL2tan56，在直角三角形 ACL2 中， ，AC 2（6.5tan56 ） 2+44.52，故选：B二、填
16、空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9 【解答】解：由代数式 有意义，得x20，解得 x2，故答案为：x210 【解答】解：多边形的边数：360725，正多边形的内角和的度数是：（52）180540故答案为：54011 【解答】解：xy 22xy+ x，x（y 22y+1） ，x（y1） 212 【解答】解：由题意得，n40，R6cm，故 4cm 2故答案为：413 【解答】解：（x1+ ）2x，故答案为：2x14 【解答】解：EDAB ，CDECAB， ，AC6，CD4，故答案为 415 【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，过点 B 作 BCx 轴于 C，作 BDy 轴于D，则 BDO
17、CA 处到雁栖湖国际会展中心 B 处相距 4km，A 在 B 南偏西 45方向上，AB4km，BACABC45ACBCAC 2+BC2AB 216，ACBC2 OCOA+AC2 +2B（2 ，2 ） 故答案是：（2 ，2 ） 16 【解答】解：连接 CD，在 Rt ABC 中，ACB 90，BC2，ABC60，A30，ABAB 2BC4，DBDA ，CD AB2，BDCD+CB4，BD 的最大值为 4，故答案为 4三、解答题（本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题每小题 5 分，第 27、28题，每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17 【
18、解答】解：原式3 92 +2718 【解答】解： ，解不等式 ，得 x2，解不等式 ，得 x1，不等式组的解集为2x1，不等式组的整数解有2、1、019 【解答】解：（1）以线段 AB 为斜边还可以作无数个直角三角形；（2）这些直角三角形的直角顶点 C 所形成的图形是以 AB 为直径的圆（点 A、B 除外） ，理由是直径所对的圆周角为直角；故答案为无数；以 AB 为直径的圆（点 A、B 除外） ；直径所对的圆周角为直角20 【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根44（m2）0m3；（2）m3 且 m 为正整数，m1 或 2当 m1 时，原方程为 x22x10它的根不是整数，不符合题意，舍去
19、；当 m2 时，原方程为 x22x0x（x2）0x 10，x 22符合题意综上所述，m221 【解答】证明：（1）ABDC，CABACDAC 平分BAD ，CABCADCADACD，DADCABAD ，ABDC四边形 ABCD 是平行四边形ABAD ，四边形 ABCD 是菱形；（2）四边形 ABCD 是菱形，DAB60，OAB30，AOB 90AB4，OB2，AOOC2CEDB，四边形 DBEC 是平行四边形CEDB4，ACE90 22 【解答】 （1）证明：连接 OCOAOC，12点 C 是 的中点1332AEOCEF 是O 的切线，OCEF AEEF；（2）解：AB 为O 的直径，ACB9
20、0AEEF，AEC90又13，AECACB ，AC 2AEAB 516AC4AB5，BC 323 【解答】解：如图：（1）设直线与 y 轴的交点为 C（0，b） ，直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 9 6b9b3k0，b3直线 ykx+b 经过点（6，0）和（0，3） ，直线的表达式为 y x+3；（2） 当 m2 时，两函数图象的交点坐标为方程组 的解，A（3 ， ） ，B（3+ ， ） ，观察图象可得区域 W 内的整点的坐标为（3，1） ；当 y 图象经过点（1，1）时，则 m1当 y 图象经过点（2，1）时，则 m2观察图象可得区域 W 内的整点有 3 个时 1m 224 【解答】解：
21、（1）补全流浪地球的分布直方图如下：填统计表如下：电影 平均数 众数 中位数流浪地球 86.5 99 88绿皮书86.5 97 88.5估计该大学超级喜欢电影绿皮书的有 1800 720（名） ，故答案为：720（2）答案不唯一，喜欢绿皮书理由：在被调查者中，喜欢绿皮书的中位数高于喜欢的流浪地球中位数；为绿皮书打分在 80 分以上的有 16 人，而为流浪地球打分在 80 分以上的只有12 人故答案为：绿皮书 ，在被调查者中，喜欢绿皮书的中位数高于喜欢的流浪地球中位数25 【解答】解：（1）补全表格如下：x 0 1 2 3 4 5y1 5.0 4.12 3.61 3.61 4.12 5.00y2
22、 0 1.41 2.83 4.24 5.65 7.07（2）函数图象如下：（3）结合函数图象 2，解决问题：当CDF 为等腰三角形时，BE 的长度约为 2.5906，故答案为：2.5926 【解答】解：（1）yx 22ax +a2+2（x a） 2+2，抛物线顶点 C 的坐标为（a ，2） （2）10，抛物线开口向上，又点 C（a，2）到直线 l 的距离为 2，直线 l 垂直于 y 轴，且与抛物线有交点，直线 l 的解析式为 y4当 y4 时，x 22ax +a2+24，解得：x 1a ，x 2a+ ，点 E 的坐标为（a ，4） ，点 F 的坐标为（a+ ，4） ，EFa+ （a ）2 （3
23、）当 yt 时， x22ax+a 2+2t，解得：x 1a ，x 2a+ ，EF2 又存在实数 m，使得 x1m 1 且 x2m+5 成立， ，解得：2t1127 【解答】解：（1）补全图形如图：（2）线段 BE，AD 与 AB 的数量关系是：AD+ BE AB，ABC 是等边三角形，AB 60PDAC，PE BC，APDBPE30，AD AP，AD APAD+ BE （AP +BP） AB；（3）取 BC 中点 F，连接 MFMF AC MF ACMFB ACB60AMFE60AM AB，ABAC，MFMAEF+BE BC，AD+ BE ABEFAD MADMFE （SAS） MD ME28
24、 【解答】解：（1）A（2，0） ，点 A 关于原点 O 的对称点 A（2，0） ，此时 A与 B 重合，如图 1，M 与 M是点 O 的对称点，有AP 3BMP 1M90，Rt （OA，P， OA）是：P 1 和 P3；故答案为：P 1 和 P3；（2）如图 2，作直线 y x，取一点 P，作 PQx 轴于 Q，设 P（x ， x） ，cosPOQ ，POQ 60 ，如图 3，作D 关于原点 O 的对称图形 D，以 +1 为半径，作O，在上和下作O 的切线： y x+b，当 b 0 时，设直线 MN 与O 的切点为 E，连接 OE，则 OEMN，RtOEN 中， ENO30 ，OE +1，ONb2OE2 +2，当 b 0 时，同理得： b2 2，满足 Rt（D，P，D） ，则2 2b2 +2；（3）作 C 关于点 O 的对称点 C（0，2 ） ，以 O 为圆心，以 OC 为半径作 O，作直线 y x，则 T 在此直线上，当 O 与 T 相外切时，设切点为 P，此时CPC90，满足 Rt（ABC，P，ABC） ，过 T 作 TRx 轴于 R，则 OT2 + 3 ，TOR30，TR ，OR ，同理当 T 在第三象限时，如图 5，同理得 OR ，T 的横坐标的取值范围是： t
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