2019年湖南省永州市双牌县中考数学一模试卷（含答案解析）

1、2019 年湖南省永州市双牌县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）1. - 的倒数的相反数是（ ）12A. B. 2 C. D. 2 12 122. 某市今年约有 140000 人报名参加初中学业水平考试，用科学记数法表示 140000 为（ ）A. B. C. D. 14104 14103 1.4104 1.41053. 在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. 直角三角形 B. 正五边形C. 正方形 D. 平行四边形4. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 23=6 2()=22 22+32=54|2019|=20195. 一个

2、几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（ ）A. B. C. D. 6. 小明把一副含 45，30 的直角三角板如图摆放，其中 C=F=90，A=45， D=30，则+ 等于（ ）A. 180B. 210C. 360D. 2707. 从 1、2、3 三个数中任取两个，组成两位数，则在组成的两位数中是奇数的概率为（ ）A. B. C. D. 23 14 12 348. ABC 中， A=30，C=90，作 ABC 的外接圆如图，若 的长为 12cm，那么 的长是（ ）A. 10cmB. 9cmC. 8cmD. 6cm9. 函数 y1=|x|， 当 y1y 2 时，x 的范围是（ ）2=13+

3、43A. 2D. 210. 在平面直角坐标系中，将抛物线 y=x2-4 先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）A. B. C. D. =(+2)2+2 =(2)22 =(2)2+2=(+2)22二、填空题（本大题共 8 小题，共 32.0 分）11. 分解因式：a 3-12a2+36a=_12. 分式方程 - =0 的解为_4 1+213. 在环保整治行动中，某市环保局对辖区内的单位进行了抽样调查，他们的综合得分如下：95，85，83，95，92，90，96，则这组数据的中位数是_，众数是_14. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（-1， ），以原点 O

4、 为中心，将点 A 顺3时针旋转 90得到点 A，则点 A坐标为_15. 已知等腰三角形的腰与底边的长分别是一元二次方程 x2-6x+8=0 的解，则该三角形的面积是_16. 如图，在ABC 中， B 与C 的平分线交于点 O，过点 O 作 DEBC，分别交 AB、AC 于点D、E若 AB=5，AC=4，则ADE 的周长是_17. 观察下列等式：2 1=2，2 2=4，2 3=8，2 4=16，2 5=32，2 6=64，根据这个规律，则21+22+23+22019 的末尾数字是_18. 如图示二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴在 y 轴的右侧，其图象与 x 轴交于点 A（-1，0）与点

5、 C（x 2，0），且与 y 轴交于点 B（0，-2），小强得到以下结论：0a2；-1b0； c=-1；当|a|=| b|时 x2 -1；以上结论中正确结论的序5号为_三、计算题（本大题共 1 小题，共 10.0 分）19. 为推进郴州市创建国家森林城市工作，尽快实现“让森林走进城市，让城市拥抱森林”的构想，今年三月份，某县园林办购买了甲、乙两种树苗共 1000 棵，其中甲种树苗每棵 40 元，乙种树苗每棵 50 元，据相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为 85%和90%（1）若购买甲、乙两种树苗共用去了 46500 元，则购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若要使这批树苗的成活率不低于

6、88%，则至多可购买甲种树苗多少棵？四、解答题（本大题共 8 小题，共 76.0 分）20. 计算：2sin30+（-3.14） 0+|1- |+（ ） -1+（-1） 201921221. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，交反比例函数于 C、D 两点，DEx 轴于点 E，已知 C 点的坐标是（6，-1），DE=3 （1）求反比例函数与一次函数的解析式（2）根据图象直接回答：当 x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值（3）求OAD 的面积 SOAD22. 先化简（1- ） ，再从不等式 2x-16 的正整数解中选一个适当的数代

7、入求值11 24+42123. 为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级 100 名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表组别 分数段 频次 频率A 60x70 17 0.17B 70x 80 30 aC 80x 90 b 0.45D 90x 100 8 0.08请根据所给信息，解答以下问题：（1）表中 a=_，b=_；（2）请计算扇形统计图中 B 组对应扇形的圆心角的度数；（3）已知有四名同学均取得 98 分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛

8、，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率24. 如图，在平行四边形 ABCD 中，边 AB 的垂直平分线交 AD 于点 E，交 CB 的延长线于点 F，连接 AF，BE （1）求证：AGE BGF；（2）试判断四边形 AFBE 的形状，并说明理由25. 在等腰ABC 中，AC=BC，以 BC 为直径的 O 分别与AB，AC 相交于点 D，E，过点 D 作 DFAC，垂足为点F（1）求证：DF 是O 的切线；（2）分别延长 CB，FD，相交于点 G， A=60，O 的半径为 6，求阴影部分的面积26. 如图，已知抛物线 y=ax2+ x+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴

9、交于 C 点，且 A（2，0），85C（0，-4），直线 l：y =- x-4 与 x 轴交于点 D，点 P 是抛物线 y=ax2+ x+c 上的一动点，过点12 85P 作 PEx 轴，垂足为 E，交直线 l 于 F（1）试求该抛物线表达式；（2）如图（1），若点 P 在第三象限，四边形 PCOF 是平行四边形，求 P 点的坐标；（3）如图（2），连接 AC求证： ACD 是直角三角形27. 如图所示，（1）正方形 ABCD 及等腰 RtAEF 有公共顶点 A，EAF=90，连接 BE、DF将 RtAEF 绕点 A 旋转，在旋转过程中，BE、DF 具有怎样的数量关系和位置关系？结合图（1）给

10、予证明；（2）将（1）中的正方形 ABCD 变为矩形 ABCD，等腰 RtAEF 变为 RtAEF，且AD=kAB，AF=kAE，其他条件不变（ 1）中的结论是否发生变化？结合图（ 2）说明理由；（3）将（2）中的矩形 ABCD 变为平行四边形 ABCD，将 RtAEF 变为 AEF，且BAD=EAF=a，其他条件不变（2）中的结论是否发生变化？结合图（ 3），如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用 k 表示出线段 BE、DF 的数量关系，用 a 表示出直线 BE、DF形成的锐角 答案和解析1.【答案】B【解析】解：- 的倒数是-2 ，-2 的相反数是 2，故选：B 根据乘积为 1 的两个数

11、互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键2.【答案】D【解析】解：将 140000 用科学记数法表示为：1.410 5 故选：D科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时， n 是负数此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a|10， n 为 整数，表示时关键要正确确定 a 的值 以及 n 的值3.【答案】C【解析】解

12、：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本 选项错误； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本 选项正确； D、不是 轴对 称图形，是中心对称图形，故本选项错误 故选：C 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合4.【答案】D【解析】解：选项 A，为 同底数幂相乘，则 a2a3=a2+3=a5，故 选项错误 选项 B，去括号法 则运算，则-2（a-b ）=-2a+2

13、b，故选项错误 选项 C，合并同 类项运算，则 2x2+3x2=5x2，故 选项错误 选项 D，绝对值 的化简， 则|-2019|=2019， 选项正确 故选：D根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不 变指数相加；对各选项分析判断后利用排除法求解本题考查合并同类项、同底数幂的乘法，熟 练掌握运算性质和法则是解题的关键5.【答案】C【解析】解：根据俯视图为三角形，主视图以及左视图都是矩形，可得这个几何体为三棱柱， 故选：C 如图所示，根据三视图的知识可使用排除法来解答本题考查了由三视图判断几何体的知识，考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查6.【答案】B

14、【解析】解： =1+D，=4+F，+=1+D+4+F=2+D+3+F=2+3+30+90=210，故选：B 根据三角形的外角的性质分别表示出 和 ，计算即可本题考查的是三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键7.【答案】A【解析】解：共有 6 种情况，是奇数的有 4 种情况，所以 组成的两位数是偶数的概率= = ，故选：A列举出所有情况，看末位是 1 和 3 的情况占所有情况的多少即可本题考查了树状图法求概率以及概率公式；如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ，注意本题是不放

15、回实验8.【答案】C【解析】解：C=90，AB 是直径A=30，B=60弧 AC 和弧 BC 的比即为它们所对的圆心角的度数比，即为 2：1又 的长为 12cm， 的 长是 12 =8（cm）故选：C 根据弧长公式，可知弧 AC 和弧 BC 的比即为它们所对的圆心角的度数比，再根据弧AB 的长即可求解在同圆中，根据弧长公式，知两条弧的长度之比等于两条弧所对的圆心角的度数比9.【答案】C【解析】解：由图象可知：在（-1， 1）左边，（ 2，2）的右边，y 1y 2， x-1 或 x2 故选：C 此题可根据两交点坐标直接取 y2 图象处于 y1 图象下方时 x 所满足的值即可本题考查了函数的图象对

16、于有相应的函数值来求自变量的取值范围，应该从交点入手思考10.【答案】B【解析】解：函数 y=x2-4 向右平移 2 个单位，得：y=（x-2 ）2-4； 再向上平移 2 个单位，得：y=（x-2） 2-4+2，即 y=（x-2）2-2； 故选：B 根据二次函数的解析式平移的规律：左加右减，上加下减进行解答即可本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减的规律是解答此题的关键11.【答案】a（a-6） 2【解析】解：原式=a（a 2-12a+36）=a（a-6）2， 故答案为：a（ a-6）2原式提取 a，再利用完全平方公式分解即可此题考查了提公因式法与公式法

17、的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键12.【答案】x=-83【解析】解：去分母，得 4x+8-x=0，移项、合并同类项，得 3x=-8，方程两边同时除以 3，得 x=- 经检验，x=- 是原方程的解故答案为：x=- 根据解方式方程的步骤一步步求解，即可得出 x 的值，将其代入原方程验证后即可得出结论本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法及步骤是解题的关键13.【答案】92 95【解析】解：这组数据从小到大排列为：83，85， 90，92，95，95，96则中位数是：92； 众数是 95 故答案是：92，95环保整治行动中，某市环保局对辖区内的单位进行了抽样调查，他们的综合得分

18、如下：95，85，83，95，92，90，96，则这组数据的中位数本题考查了众数、中位数的定义，注意中位数是大小处于中间未知的数，首先把数从小到大排列14.【答案】（ ，1）3【解析】解：如图所示，过 A 作 ABx 轴于 B，过 A作 ACx 轴于 C，AOA=90=ABO=OCA，BAO+AOB=90=AOC+AOB，BAO=COA，又AO=OA，AOBOAC，AC=BO=1，CO=AB= ，点 A坐标为（ ，1），故答案为：（ ，1）过 A 作 ABx 轴于 B，过 A作 ACx 轴于 C，依据 AOBOAC，即可得到AC=BO=1，CO=AB= ，进而得出点 A坐标为（ ，1）本题考查

19、了坐标与图形的变化-旋转，根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，得出AOBOAC 是解题的关键15.【答案】 15【解析】解：x 2-6x+8=0，（x-4）（x-2）=0，x1=4，x2=2，由三角形的三边关系可得：腰长是 4，底边是 2，底边上的高为 = ，该三角形的面积是 2 = ，故答案为： 用因式分解法可以求出方程的两个根分别是 4 和 2，根据等腰三角形的三边关系即可得出腰应该是 4，底是 2，然后根据等腰三角形的性 质以及勾股定理可得高，即可得到 该三角形的面积本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，用十字相乘法因式分解求出方程的两个根是解决问题的关键16.【答案

20、】9【解析】解：在 ABC 中， B 与C 的平分线交于点 O， DBO=CBO，ECO=BCO， DEBC， DOB=CBO，EOC=BCO， DBO=DOB，ECO=EOC， OD=BD，OE=CE， AB=5，AC=4， ADE 的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9 故答案为：9由在ABC 中， B 与C 的平分线交于点 O，过点 O 作 DEBC，易证得DOB 与EOC是等腰三角形，即 DO=DB，EO=EC，继而可得ADE 的周长等于 AB+AC，即可求得答案此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质

21、此题难度适中，注意证得DOB 与EOC 是等腰三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用17.【答案】4【解析】解：2 1=2，22=4，23=8，24=16，25=32；26=64， 20194=5043， 504（2+4+8+6）+2+4+8=10094， 21+22+23+24+25+22019 的末尾数字为 4， 故答案为：4根据已知算式得出规律，求出 504（2+4+8+6）+2+4+8 的结果，即可得出答案本题考查了尾数特征和数字变化类，能根据已知算式得出规律是解此题的关键18.【答案】【解析】解：由 A（-1，0），B（0，-2），得 b=a-2，开口向上，a0；

22、对称轴 在 y 轴右侧，- 0，- 0，a-20，a2；0a2；正确；抛物线 与 y 轴交于点 B（0，-2），c=-2，故错误；抛物线图 象与 x 轴交于点 A（-1，0），a-b-2=0，0a2，0b+22，-2b 0，故 错误；|a|=|b|，二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴在 y 轴的右 侧，二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x= ，x2=2 -1，故正确故答案为：根据抛物线与 y 轴交于点 B（0，-2），可得 c=-2，依此判断；由抛物线图象与 x 轴交于点 A（-1，0），可得 a-b-2=0，依此判断；由|a|=|b| 可得二次函数 y=ax2+bx+c 的对

23、称轴为 x= ，可得 x2=2，比较大小即可判断；从而求解本题考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a0），二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小，当 a0 时，抛物线向上开口；当 a 0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置，当 a 与 b 同号时（即 ab0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0），对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物 线与 y 轴交点抛物线与 y 轴交于（0，c）；抛物线与 x 轴交点个数由决定，=b 2-4ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； =b

24、2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；=b 2-4ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点19.【答案】解：（1）设购买甲、乙两种树苗各 x 棵和 y 棵，根据题意得：，40+50=46500+=1000解得： ，=350=650答：购买甲、乙两种树苗各 350 棵和 650 棵；（2）设至多可购买甲种树苗 x 棵，则购买乙种树苗为（1000-x ）棵，根据题意得，88%，85%+90%(1000)1000解得 x400，答：至多可购买甲种树苗 400 棵【解析】（1）设购买甲、乙两种树苗各 x 棵和 y 棵，根据甲、乙两种 树苗共 1000 颗和甲、乙两种树苗共用去了 46500

25、元，列出方程组， 进行求解即可； （2）设至多可购买甲种树苗 x 棵，则购买乙种树苗为（1000-x）棵，根据这批树苗的成活率不低于 88%，列出不等式，求解即可此题主要考查了二元一次方程组的应用和不等式的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的数量关系，列出方程组和不等式20.【答案】解：原式=2 +1+ -1+2-112 2=2+ 2【解析】本题运用了实数的运算法则和三角函数的特殊值，注意运算的准确性本题运用了实数的运算法则和三角函数的特殊值，注意运算的准确性21.【答案】解：（1）设反比例函数为 y= ，点 C（6，-1 ）在反比例函数的图象上，m=6（-1）=-6，反比例函数的关系式为 y

26、=- ，6点 D 在反比例函数 y=- 上，且 DE=3，6y=3，代入求得：x=-2，点 D 的坐标为（-2，3）C、D 两点在直线 y=kx+b 上， ，6+=12+=3解得： ，=12=2一次函数的关系式为 y=- x+212（2）由图象可知：当 x-2 或 0x6 时，一次函数的值大于反比例函数的值（3）把 y=0 代入 y=- x+2 解得 x=4，即 A（4，0）12SOAD= 43=612【解析】（1）先由点 C 的坐标求出反比例函数的关系式，再由 DE=3，求出点 D 的坐标，把点 C，点 D 的坐标代入一次函数关系式求出 k，b 即可求一次函数的关系式 （2）由图象可知：一次

27、函数的值小于反比例函数的值； （3）根据三角形面积公式即可求得本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式22.【答案】解：（1- ） = = ，11 24+421 21(+1)(1)(2)2 +122x-1 6，2x7，x ，72把 x=3 代入上式得：原式= =43+132【解析】先把括号里的式子进行通分，再把后面的式子根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解，然后约分，再求出不等式的解集，最后代入一个合适的数据代入即可此题考查了分式的化简求值以及一元一次不等式的解法，用到的知识点是通分、完全平方公式、平方差公式以及一元一次不等式的解法，熟练掌握公式与解法

28、是解题的关键23.【答案】0.3 45【解析】解：（1）本次调查的总人数为 170.17=100（人），则 a= =0.3，b=1000.45=45（人），故答案为：0.3，45；（2）3600.3=108，答：扇形统计图中 B 组对应扇形的圆心角为 108；（3）将同一班级的甲、乙学生记为 A、B，另外两学生记为 C、D，列树形图得：共有 12 种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选 中的情况有 2 种，甲、乙两名同学都被选中的概率 为 = （1）首先根据 A 组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得 a、b；（2）B 组 的频率乘以 360即可求得答案；（2）列树形图后即可将

29、所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小24.【答案】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AEG=BFG，EF 垂直平分 AB，AG=BG，在AGE 和BGF 中， ，= AGEBGF（AAS）；（2）解：四边形 AFBE 是菱形，理由如下：AGEBGF，AE=BF，ADBC，四边形 AFBE 是平行四边形，又 EFAB，四边形 AFBE 是菱形【解析】（1）由平行四边形的性质得出

30、ADBC，得出AEG=BFG，由 AAS 证明AGEBGF即可； （2）由全等三角形的性质得出 AE=BF，由 ADBC，证出四边形 AFBE 是平行四边形，再根据 EFAB，即可得出结论本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、全等三角形的判定与性质、 线段垂直平分线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键25.【答案】（1）证明：连接 OD，如图所示：AC=BC，OB =OD，ABC=A，ABC=ODB，A=ODB，ODAC，DFAC，DFOD，OD 是 O 的半径，DF 是O 的切线；（2）解：AC =BC， A=60，ABC 是等边三角形，ABC=60，OD=

31、OB，OBD 是等边三角形，BOD=60，DFOD，ODG=90，G=30，DG= OD=6 ，3 3阴影部分的面积= ODG 的面积-扇形 OBD 的面积= 66 - =18 -612 36062360 3【解析】（1）连接 OD，由等腰三角形的性质证出 A=ODB，得出 ODAC，证出 DFOD，即可得出结论；（2）证明OBD 是等边三角形，由等边三角形的性质得出 BOD=60，求出G=30，由直角三角形的性质得出 OG=2OD=26=12，由勾股定理得出 DG=6 ，阴影部分的面积=ODG 的面积-扇形 OBD 的面积，即可得出答案本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判

32、定，勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，是一道 综合题， 难度中等26.【答案】解：（1）依题意，抛物线经过 A（2，0），C（0，-4），则 c=-4将点 A 代入得 0=4a+ 2-4，解得 a=85 15抛物线的解析式是 y= x2+ x-415 85（2）设 P 点的坐标是（x ， x2+ x-4），则 F（x ，- x-4）15 85 12PF=（ - x-4）-（ x2+ x-4）=- x2- x12 15 85 15 2110四边形 OCPF 是平行四边形OC=FP，OC PF- x2- x=415 2110即 2x2+21x+40=0解得 x1=-8 x2=-2

33、.5P 点的坐标为（-8，-4），（-2.5，- ）274（3）当 y=0 时，- x-4=0，得12x=-8，即 D（-8，0）当 x=0 时，0-4=y，即C（0，-4）当 y=0 时， x2+ x-4=015 85解得 x 1=-10 x2=2，即 B（-10，0），A（2，0）AD=10AC2=22+42=20CD2=82+42=80AD2=AC2+CD2ACD=90ACD 是直角三角形【解析】（1）利用待定系数法即可求 a、c 的值，从而求得抛物线的表达式（2）设 P 点的坐 标是（x， x2+ x-4），则 F（x，- x-4），由 OCPF 是平行四边形得OC=FP，OCPF，从

34、而- x2- x=4，求解即可得 P 的横坐标，代入解析式即可得 P 的坐标（3）分别求出点 A、C、D 的坐标，可以根据勾股定理的逆定理即可判断本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系27.【答案】解：（1）DF 与 BE 互相垂直且相等证明：延长 DF 分别交 AB、BE 于点 P、G（1 分）在正方形 ABCD 和等腰直角 AEF 中AD=AB，AF=AE ，BAD=EAF=90FAD=EABFADEAB（2 分）AFD=AEB，DF=BE（3 分）AFD+

35、AFG=180，AEG+AFG=180，EAF=90，EGF=180-90=90，DFBE（5 分）（2）数量关系改变，位置关系不变DF= kBE，DF BE（7 分）延长 DF 交 EB 于点 H，AD=kAB，AF= kAE =k， =k =BAD=EAF=aFAD=EABFADEAB（9 分） =k=DF=kBE（10 分）FADEAB，AFD=AEB，AFD+AFH=180，AEH+AFH=180，EAF=90，EHF=180-90=90，DFBE（5 分）（3）不改变DF=kBE，=180-a（7 分）证法（一）：延长 DF 交 EB 的延长线于点 H，AD=kAB，AF= kAE

36、=k， =k =BAD=EAF=aFAD=EABFADEAB（9 分） =k=DF=kBE（10 分）由FADEAB 得AFD= AEBAFD+AFH=180AEB+AFH=180四边形 AEHF 的内角和为 360，EAF+EHF=180EAF=，EHF=a+=180=180-a（12 分）证法（二）：DF=kBE 的证法与证法（一）相同延长 DF 分别交 EB、AB 的延长线于点 H、G由FADEAB 得ADF =ABEABE=GBH，ADF =GBH，=BHF=GBH+G=ADF+G在ADG 中，BAD+ADF+ G=180，BAD=aa+=180=180-a（12 分）证法（三）：在平

37、行四边形 ABCD 中 ABCD 可得到ABC+ C=180EBA+ABC+CBH=180C=EBA+CBH在BHP、CDP 中，由三角形内角和等于 180可得 C+CDP=CBH+BHPEBA+CBH+CDP=CBH+BHPEBA+CDP=BHP由FADEAB 得ADP= EBAADP+CDP=BHP 即ADC= BHPBAD+ADC=180，BAD=a，BHP=a+=180=180-a（12 分）（有不同解法，参照以上给分点，只要正确均得分）【解析】（1）根据旋转的过程中线段的长度不变，得到 AF=AE，又BAE 与DAF 都与BAF 互余，所以BAE= DAF，所以FADEAB，因此 B

38、E 与 DF 相等，延长 DF 交 BE 于 G，根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于 360求出 EGF=90，所以DFBE；（2）等同（1）的方法，因为矩形的邻边不相等，但根据题意，可以得到对应边成比例，所以FADEAB，所以 DF=kBE，同理，根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于 360求出 EHF=90，所以 DFBE； （3）与（2）的证明方法相同，但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360求出EAF+ EHF=180，所以 DF 与 BE 的夹角 =180-本题（1）中主要利用三角形全等的判定和性质以及正方形的性质进行证明；（2）（3）利用相似三角形的判定和性质证明，要解决本题， 证明三角形全等和三角相似是解题的关键，也是难点所在