1、第 1 页，共 10 页2019 年福建省龙岩市高考数学模拟试卷（文科） （5 月份）一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）1. 集合 A=x|x1，B=x|2 x-30，则 AB=（ ）A. B. C. D. 0,+) 1,+) (1.5,+) 0,1.5)2. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）2+2A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 双曲线 =1 的渐近线方程为（ ）25210A. B. C. D. =12 =22 =2 =24. 在等差数列a n中，a 1+a5+a7+a9+a13=100，a 6-a2=12，则 a1=（ ）A. 1 B
2、. 2 C. 3 D. 45. 如图是某学校研究性课题什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类向题的统计图（每个受访者都只能在问卷的 5 个活动中选择一个），以下结论错误的是（ ）A. 回答该问卷的总人数不可能是 100 个B. 回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多C. 回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少D. 回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择 “学校要求”的少 8 个 )6. 若 a1，则“a xa y”是 “logaxlog ay”的（ ）A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 如图
3、，网格纸的小正方形的边长是 1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，图中的曲线为半圆弧或圆，则该几何体的体积是（ ）A. 253B. 343C. 433D. 258. 函数 f（x） =sin2x+ sinxcosx+ ，则下列结论正确的是（ ）312A. 的最大值为 1 B. 的最小正周期为() () 2C. 的图象关于直线 对称 D. 的图象关于点 对称=() =3 =() (712,0)9. 若正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 ，AB=1，则直线 AB1 与 CD1 所成的角为（ ）3A. B. C. D. 30 45 60 9010. 函数 f（x） = ，若
4、f （2x -2）f （x 2-x+2），则实数 x 的取值范围是（ ）21,121,1A. B. C. R D. 2,1 1,+) (,21,+)11. 宋人扑枣图轴是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上，甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作若他们采用抽签的方式宋人扑枣图轴来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是（ ）A. 34B
5、. 712C. 12D. 51212. 若直线 y=a 分别与直线 y=2x-3，曲线 y=ex-x（x0）交于点 A，B，则|AB|的最小值为（ ）A. B. C. e D. 633 3323 0.5二、填空题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）第 2 页，共 10 页13. 向量 ， 满足 =-1， （2 - ）=3，则| |=_ 14. 若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+2y 的最大值是 _+20+4010 15. 若数列a n满足 a1=1，a n+1-an-1=2n，则 an=_16. F 为椭圆 C： + =1（ab0）的左焦点，直线 y=kx（k 0）与 C 相交于 M
6、，N 两点（其中 M 在第2222一象限），若|FM | |FN|，| MN|=2 ，则 C 的离心率的最大值是_3 22三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分）17. 锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bsinAcosC+csinAcosB= 154（1）求 sinA；（2）若 a=3 ，b=4 ，求 c218. 如图 1，菱形 ABCD 中，AB=2，DAB=60，M 是 AD 的中点，以 BM 为折痕，将ABM 折起，使点A 到达点 A1 的位置，且平面 A1BM平面 BCDM，如图 2，（1）求证：A 1MBD；（2）若 K 为 A1C 的中点，求
7、四面体 MA1BK 的体积19. 某手机厂商在销售 200 万台某型号手机时开展“手机碎屏险”活动、活动规则如下：用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”，保费为 x 元，若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕该手机厂商将在这 200 万台该型号手机全部销售完毕一年后，在购买碎屏险且购机后一年内未发生碎屏的用户中随机抽取 1000 名，每名用户赠送 1000 元的红包，为了合理确定保费 x 的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表（其中 y 表示保费为 x 元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例）；（1）根据上面的数据求出 y 关于 x 的回归直线方程；（2）通过大数据分析，在使用该
8、型号手机的用户中，购机后一年内发生碎屏的比例为 0.2%已知更换一次该型号手机屏幕的费用为 2000 元，若该手机厂商要求在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润不少于 70 万元，能否把保费 x 定为 5 元？x 10 20 30 40 50y 0.79 0.59 0.38 0.23 0.01参考公式：回归方程 y=bx+a 中斜率和截距的最小二乘估计分别为 = ， = ，=1=122 参考数据：中 x 的 5 个值从左到右分别记为 x1，x 2，x 3，x 4，x 5，相应的 y 值分别记为y1，y 2，y 3，y 4，y 5，经计算有 （x i- ）（y i- ）=-19.2，其中
9、= ， = 5=1 155=1 155=120. 离心率为 的椭圆 C： + =1（ab0）的右焦点与抛物线 E：y 2=2px（p0）的焦点 F 重合，且点12 2222F 到 E 的准线的距离为 2（1）求 C 的方程；（2）若直线 l 与 C 交于 M， N 两点，与 E 交于 A，B 两点，且 =-4（O 为原点），求MNF 面积的最大值第 3 页，共 10 页21. 函数 f（x） = -a（x -lnx），（1）若 a=e，求 f（x）的单调区间；（2）若 f（x） 0，求 a 的取值范围22. 在直角坐标系 x0y 中，曲线 C1 的参数方程为（ （ 为参数，且 0.51.5，a
10、0），以=+=坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2= ，41+32（1）求 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；（2）若 C1 与 C 的交点为 A，B，且|AB|= ，求 a42323. 函数 f（x） =|x+1|-|x-a|（a0）（1）当 a=2 时，求不等式 f（ x）2 的解集；（2）若不等式 f（x ）2a 的解集为空集，求 a 的取值范围第 4 页，共 10 页答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合 A=x|x1，B=x|2x-30=x|x ，AB=x|x1=1，+）故选：B 先分别求出集合 A 和 B，由此能求出 AB本题考查
11、并集的求法，考查并集定义、不等式性 质等基础知识，考 查运算求解能力，是基础题2.【答案】A【解析】解： = ，复数 对应的点的坐标为（ ），位于第一象限故选：A直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.【答案】C【解析】解：双曲线 =1，可得 a= ，b= ，所以双曲线 =1 的渐近线方程为：y= 故选：C 直接利用双曲线方程，求解渐近线方程即可本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基本知识的考查4.【答案】B【解析】解：a 1+a5+a7+a9+a13=100， 5a7=100， a7=20， a6-
12、a2=12， 4d=12， d=3， a7=a1+6d=20， a1=2， 故选：B 先根据等差数列的性质可得 a7=20，再根据 a6-a2=12 求出公差，即可求出首项本题考查等差数列的定义和性质，考查了运算求解能力，属于基础题5.【答案】D【解析】解：对于选项 A，若回答该问 卷的总人数不可能是 100 个，则选择的同学人数不为整数，故 A 正确， 对于选项 B，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故 B 正确， 对于选项 C，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故 C 正确， 对于选项 D，由统计图可知，选择“ 公益广告”的人数比 选择“学校要求”的少 8
13、%，故 D 错误， 故选：D先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属中档题6.【答案】A【解析】解：若 a1，则“a xa y” 整理得：xy 成立， 若 a1，则“log axlog ay”， 第 5 页，共 10 页整理得：xy0， 所以：由 xy0，整理得 xy， 但 xy，不一定 xy0， 所以：a1，则“a xa y”是“log axlog ay”的必要不充分条件 故选：A直接利用指数不等式和对数不等式的应用和四种条件的应用求出结果本题考查的知识要点：指数不等式和对数不等式的解法的应用，四种条件的应用，主要考察学
14、生的运算能力和转换能力，属于基础题型7.【答案】C【解析】解：由三视图可知几何体下部为半球，上部为大圆柱中挖去一个小圆柱由三视图可知半球的半径为 2，大圆柱的底面半径为 2，高为 3，小 圆柱的底面半径为 1，高为3，故几何体的体积为 +223-123= 故选：C 由三视图可知几何体下部为半球，上部为大圆柱中挖去一个小圆柱本题考查了常见几何体的三视图与体积计算，属于中档题8.【答案】C【解析】解：函数 f（x）=sin2x+ sinxcosx+ ，= ，= ，所以：函数的最小正周期为 ，函数的最大值为 2，最小值为 0，当 x= 时 ，f（ ）=1，函数的 图象关于（ ）对称，当 x= ，整理
15、得： f（ ）=2所以：函数的 图象关于 对称故选：C 首先把函数的关系式转换为正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题9.【答案】C【解析】解：正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 ，AB=1，AA1= ，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（1，0，0），B1（1，1， ），C（0，1，0），D1（0，0，），=（0，1， ）， =（0，-1， ），设直线 AB1 与 CD1 所成的角为 ，则
16、 cos= = = ，=60，直线 AB1 与 CD1 所成的角为 60故选：C 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 AB1 与 CD1 所成的角本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系，考查运算求解能力，考查空间想象能力，是中档题10.【答案】D【解析】第 6 页，共 10 页解：函数 f（x）= ，画出函数 f（x）的图象知，f（x）关于 x=1 对称，且在1，+）上是单调减函数；f （2x-2）f（x2-x+2），且 x2-x+2= + 1 恒成立，|2x-2-1|x2-x+2-
17、1，即 |2x-3|x2-x+1，当 x 时，不等式化为：2x-3x 2-x+1，即 x2-3x+40，解得 xR，即 x ；当 x 时，不等式化为：3-2xx 2-x+1，即 x2+x-20，解得 x-2 或 x1，即 x-2 或 1x ；综上，f（2x-2）f（x 2-x+2）时，实数 x 的取值范围是（-，-21，+）故选：D判断函数单调性和对称性，根据对称性和单调性得出 2x-2 和 x2-x+2 距离对称轴的远近关系，列不等式求出解集本题考查了函数对称性判断与应用，绝对值不等式的解法，属于中档题11.【答案】B【解析】解：依题意，基本事件的总数为 =24，设事件 A 表示甲不模仿“爬
18、”且乙不模仿“ 扶”，若甲模仿“扶”，则 A 包含 1 =6 个基本事件；若甲模仿“捡”或“顶” 则 A 包含 2 =8 个基本事件，综上 A 包含 6+8=14 个基本事件，所以 P（A）= = ，故选：B 依题意，基本事件的总数为 =24，设事件 A 表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“ 扶”，则事件 A 包含 1 +2 =14 个基本事件，故 P（A）可求本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题12.【答案】B【解析】解：作出两个曲线的图象如图，设 A（x1，a），B=（x2，a），则 x1x 2，则 2x1-3=e -x2，即 x1= （e -x2+3），则|AB|=x 1-x2= （e -
19、x2+3）-x2= （-3x2+e +3），设 f（x）= （ex-3x+3），x0，函数的导数 f（x）= （-3+ex），由 f（x）0 得 xln3，f （x）为增函数，由 f（x）0 得 0xln3，f（x）为减函数，即当 x=ln3 时 ，f（x）取得最小值，最小值为 f（ln3）= （3+3-3ln3）=3- ln3，故选：B 设 A（x1，a），B=（x2，a），建立方程关系用 x1 表示 x2，则|AB|=x 1-x2，构造函数求函数的导数，研究函数的最值即可本题主要考查函数与方程的应用，设出坐标，利用两点间的距离公式，构造函数，求函数的 导数，利用导数求函数的最值是解决本题的
20、关键13.【答案】1【解析】解：向量 ， 满足 =-1， （2 - ）=3，可得 2 - =3， ，即| |=1故答案为：1第 7 页，共 10 页直接利用向量的数量积，化简求解即可本题考查向量的数量积的应用考查转化思想以及计算能力14.【答案】11【解析】解：由 x，y 满足约束条件 ，作出可行域如图，联立 ，解得 B（1，5），化目标函数 z=x+2y，由图可知，当直线 z=x+2y 过 B 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为：11故答案为：11由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合的得到最优解， 联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案本题考查简单
21、的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15.【答案】2 n+n-2【解析】解：数列a n满足 a1=1，an+1-an-1=2n，可得 a2-a1=21+1，a3-a2=22+1，a4-a3=23+1，an-an-1=2n-1+1，累加可得 an=2+22+23+2n+n= +n=2n+n-2故答案为：2 n+n-2利用数列的递推关系式以及数列求和，转化求解即可本题考查数列的求和，递推关系式的应用，考 查计算能力16.【答案】 31【解析】解：如图，设椭圆右焦点为 F，由 |MN|=2 =2c，可知 MN=FF，则四边形 MFNF为矩形，且 FN=MF，则 MF+MF=2a，MF2
22、+MF2=4c2，解得 MF=a+ ，MF=a- ，由|FM| |FN|，得 ，整理得： ，即 0 C 的离心率的最大 值是 故答案为： 由题意画出图形，可得四边形 MFNF为矩形，且 FN=MF，由已知结合椭圆定义得关于 a，c 的不等式，则答案可求本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档 题17.【答案】（本题满分为 12 分）解：（1）bsinA cosC+csinAcosB= ，154由正弦定理可得：sin BsinAcosC+sinCsinAcosB= sinA， 2 分154sinA0，sinBcosC+sinCcosB= ， 3 分154sin（
23、B+C）= ，5 分154sinA=sin（B+C）= 6 分154第 8 页，共 10 页（2）ABC 为锐角三角形，A 为锐角，sinA= ，154cosA= ，8 分14a=3 ，b=4，由余弦定理可得：（ 3 ） 2=42+c2-2 ，10 分2 2 414c2-2c-2=0，又 c0，c= 12 分3+1【解析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理结合 sinA0，可求sinA 的值 （2）利用同角三角函数基本关系式可求 cosA 的值，根据余弦定理可得 c2-2c-2=0，即可解得 c的值本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内
24、角和定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基 础题18.【答案】（1）证明：在图 1 中，四边形ABCD 是菱形， DAB=60，M 是 AD 的中点，ADBM，故在图 2 中，BMA 1M，平面 A1BM平面 BCDM，平面 A1BM平面BCDM=BM，A1M平面 BCDM，又 BD平面 BCDM，A1MBD（2）解：在图 1 中，ABCD 是菱形，ADBM，ADBC，BMBC，且 BM= ，3在图 2 中，连接 CM，则 V = SBCMA1M= = ，113 1312231 33K 是 A1C 的中点，V =V = V = V = 1
25、112112136【解析】（1）在图 1 中证明 BMAD，在 图 2 中根据面面垂直的性质即可得出 A1M平面 BCDM，故而结论出来；（2）计算 V ，则 V =V = V = V 本题考查了面面垂直的性质，线面垂直的判定，考 查棱锥的体积计算，属于中档 题19.【答案】解：（1）由已知得 ，=30， =0.4， ，5=1()()=19.25=1()2=1000 ，y 关于 x 的回归方程为 y=-0.0192x+0.976；（2）能把保费 x 定为 5 元理由如下：若保费 x 定为 5 元，则估计 y=-0.01925+0.976=0.88估计该手机厂商在这次活动中因销售该“手机碎屏险”
26、产生的利润为20000000.885-20000000.880.2%2000-10001000=0.76106（元）=76（万元）70（万元）把保费 x 定为 5 元【解析】（1）由已知表格中的数据求得 ，可得线性回归方程；（2）求出保费 x 定为 5 元该手机厂商在这次活动中因销售该“手机碎屏险” 产生的利润，与 70万元比较得答案本题考查回归方程的求法，考查计算能力，是中档 题20.【答案】解：（1）因为点 F 到 E 的准线的距离为 2，则 p=2，F（1，0）由 ，解得 a=2，b= ，=1=122=2+2 3C 的方程为 + =1，2423（2）由（1）可知抛物线 E 的方程为 y2
27、=4x，要使直线 l 与抛物线 E 交于两点，则直线 l 的斜率不为 0，可设 l 的方程为 x=my+n，第 9 页，共 10 页由 可得 y2-4my-4n=0，=+2=4=（-4m） 2+16n0，可得 m2+n0，设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则 y1+y2=4m，y 1y2=-4n，x1x2= = =n2，21221616216 =-4，x1x2+y1y2=-4，即 n2-4n=4，解得 n=2，故直线 l 的方程为 x=my+2，直线 l 过椭圆 C 的右顶点（2，0），不妨设 M（2，0），N（x 3，y 3），则- y3 ，且 y30，3 3MNF 面积 S=
28、 |MF|y3|12 32故MNF 面积的最大值为 32【解析】（1）由题意可得由 ，解得 a=2，b= ，即可求出椭圆的方程，（2）根据韦达定理，向量的运算可得故直线 l 的方程 为 x=my+2，再表示出三角形的面积，即可求出MNF 面积的最大值本题考查椭圆和抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，面积的运算， 转化思想是关键，属于中档题21.【答案】解：（1）f（ x）= ，（x （0， +）(1)()2a=e 时，f（x）= (1)()2令 g（x）=e x-ex，g（x ）= ex-e，可得 x=1 时，函数 g（x）取得极小值即最小值，g（1）=0g（ x）g（1）=0x（
29、0，1）时，f（x ）0，此时函数 f（x）单调递减；x（1，+）时，f（x）0，此时函数f（x）单调递增（2）由（1）可知：e xex，x0 时，ln exlnex，可得：x-lnx10当 ae 时，f（x）= -a（x -lnx） -e（x-lnx ）， 令 h（x）= -e（x -lnx），由（ 1）可知：h（x）h（1）=0f（x）0，满足题意当 ae 时，f（ 1）=e-a0，不满足题意，舍去综上可得：a 的取值范围是（-，e 【解析】（1）f（x）= ，（x（0，+）a=e 时，f （x）= 令 g（x）=ex-ex，利用导数研究其单调性可得 g（x）g（1）=0即可得出函数 f（
30、x）单调性（2）由（1）可知：e xex，可得 x0 时，lne xlnex，可得：x-lnx1 0当 ae时，f（x）= -a（x-lnx） -e（x-lnx），令 h（x）= -e（x-lnx），利用 导数研究其单调性即可得出当 ae 时，f（1）=e-a0，不满足题意，舍去本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、放缩法、分 类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题22.【答案】解：（1）利用 sin2+cos2=1 消去参数 ，得 C1 的普通方程为（x-a） 2+y2=a2（0x a），由 2= 得 2+32sin2=4，将 2=x2+y2
31、，y =sin 代入上式并整理得 C2 的直角坐标方程为： +y2=141+32 24（2）根据对称性知，A 和 B 关于 x 轴对称，不妨设 A（x 0， y0），0x 0a，y 00，因为|AB|= ，所以 y0= |AB|= ，423 12 223代入 C2 的直角坐标方程得 x0= ，23又 A（ ， ）在 C1 上，所以（ -a） 2+ =a2，解得 a=123 223 23 89【解析】（1）利用 sin2+cos2=1 消去参数 ，得 C1 的普通方程为（x-a） 2+y2=a2（0xa），由 2=得 2+32sin2=4，将 2=x2+y2，y=sin 代入上式并整理得 C2
32、的直角坐标方程为：+y2=1（2）根据对称性知，A 和 B 关于 x 轴对称，再根据|AB|可得 A 的纵坐标后，代入 C2 的直角坐标第 10 页，共 10 页可得 A 的横坐标，从而可得 A 的坐标，再代入 C1 可解得本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题23.【答案】解：（1）当 a=2 时，不等式 f（x ）2，即| x+1|-|x-2|2，当 x-1 时，原不等式可化为-x-1+x-22，即-32，此时原不等式无解；当-1x 2 时，原不等式可化为 x+1+x-22，解得 x2；32当 x2 时，原不等式可化为 x+1-x+22，解得 x2，综上，原不等式的解集为x| x ；32
33、（2）由 f（x） 2a 的解集为空集得|x+1|-|x-a|2a 的解集为空集，所以|x+1|-|x-a| 2a 恒成立，因为 a0，所以 f（x ）=| x+1|-|x-a|（x+1）-（x-a）|=a+1，所以当且仅当 ，即 xa 时， f（x） min=a+1，(+1)()0|+1|所以 a+12a，解得 a1，即 a 的取值范围是（1，+）【解析】（1）分 3 段去绝对值解不等式可得； （2）由 f（x）2a 的解集为空集得 |x+1|-|x-a|2a 的解集为空集，所以|x+1|-|x-a| 2a 恒成立，再根据绝对值不等式的性质求得最大值，代入可解得本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题
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