1、2019 年广东省佛山市南海区七校联合体高考数学冲刺试卷（理科） （5 月份）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知复数 z 满足（z+1）i3+2i，则| z|（ ）A B C5 D102 （5 分）若抛物线 x2ay 的焦点到准线的距离为 1，则 a（ ）A2 B4 C2 D43 （5 分）已知集合 Ax| x24x +30 ，Bx|x a0，若 BA，则实数 a 的取值范围为（ ）A （3，+） B3，+） C （，1） D （，14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 zx +2y 的最小
2、值为（ ）A6 B0 C1 D25 （5 分）在梯形 ABCD 中，ABCD，AB4，BCCDDA2，若 E 为 BC 的中点，则 （ ）A B3 C2 D126 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A B C D7 （5 分）已知 ab0，xa+be b，y b+ aea，z b+ae b，则（ ）Axzy Bz xy Czyx Dy zx8 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a11，2S na n+1an，则 S20（ ）A410 B400 C210 D2009 （5 分） 易经是中国传统
3、文化中的精髓如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦） ，每一卦由三根线组成（“ ”表示一根阳线， “ ”表示一根阴线） ，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为（ ）A B C D10 （5 分）已知函数 f（x ） ，g（x）f（x）ax+a，若 g（x）恰有 1 个零点，则 a 的取值范围是（ ）A1，0 1，+ ） B （，10 ，1C1，1 D （， 1 1，+）11 （5 分）已知函数 f（x ）sin（2x ） ，若方程 f（ x） 在（0， ）的解为x1，x 2（x 1x 2） ，则 sin（x 1 x2）（ ）A B C D12 （5
4、分）已知双曲线 C： 1（a0，b0）的一个焦点为 F，点 A，B 是 C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以 AB 为直径的圆过 F 且交 C 的左支于 M，N 两点，若|MN| 2， ABF 的面积为 8，则 C 的渐近线方程为（ ）Ay By Cy2x Dy 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）在等比数列a n中，a 21，a 3a52a 7，则 an 14 （5 分） （1+ ） （12x） 5 的展开式中 x2 的系数为 15 （5 分）已知函数 f（x ）e xe x 1，则关于 x 的不等式 f（2x）+f （x +1）2 的解集为 16
5、 （5 分）已知正三棱柱 ABCA 1B1C1 的所有棱长为 2，点 M，N 分别在侧面 ABB1A1 和ACC1A1 内，BC 1 与 B1C 交于点 P，则MNP 周长的最小值为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）在平面四边形 ABCD 中，ABC ，ADC ，BC2（1）若ABC 的面积为 ，求 AC；（2）若 AD2 ，ACBACD+ ，求 tanACD18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，BCCD，A
6、DCD，PA3 ，ABC 和PBC 均为边长为 2 的等边三角形（1）求证：平面 PBC平面 ABCD；（2）求二面角 CPBD 的余弦值19 （12 分）某公司生产一种产品，从流水线上随机抽取 100 件产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图 1）：产品的质量指数在50，70）的为三等品，在 70，90）的为二等品，在 90，110的为一等品，该产品的三、二、一等品的销售利润分别为每件 1.5，3.5，5.5（单位：元） 以这 100 件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解年营销费用 x（单位：万元）对年销
7、售量 y（单位：万件）的影响，对近 5 年的年营销费用 xi 和年销售量 yi（i 1，2，3，4， 5）数据做了初步处理，得到的散点图（如图 2）及一些统计量的值 ui vi （u i ）（v i ）（u i ） 216.30 24.87 0.41 1.64表中 uilnx i，v ilny i， ui， vi根据散点图判断，yax b 可以作为年销售量 y（万件）关于年营销费用 x（万元）的回归方程（i）建立 y 关于 x 的回归方程；（）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益销售利润营销费用，取 e4.15964）参考公式：对于一组数据（u
8、1，v 1） ， （u 2，v 2） ， （u n，v n） ，其回归直线 v+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， 20 （12 分）已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 C： 1 的上焦点，C 上一点 A 在 x 轴上方，且| OA| （1）求直线 AF 的方程；（2）B 为直线 AF 与 C 异于 A 的交点，C 的弦 MN，AB 的中点分别为 P，Q，若O，P，Q 在同一直线上，求OMN 面积的最大值21 （12 分）已知函数 f（x ）（x+a）ln （x +1）ax （1）若 a2，求 f（x ）的单调区间；（2）若 a2，1x0，求证：f （x）2x（1e x ） （二）选考题
9、：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2（1）求 l 的普通方程和 C 的直角坐标方程；（2）若 C 上恰有 2 个点到 l 的距离等于 ，求 l 的斜率选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知函数 f（x ）|x +2|+|x4| （1）求不等式 f（x ）3x 的解集；（2）若 f（x） k|x 1|对任意 xR 恒成立，求 k 的取值
10、范围2019 年广东省佛山市南海区七校联合体高考数学冲刺试卷（理科） （5 月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知复数 z 满足（z+1）i3+2i，则| z|（ ）A B C5 D10【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【解答】解：由（z+1 ）i3+2i，得 z+1 ，则 z13i，|z| 故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题2 （5 分）若抛物线 x2ay 的焦点到准线的距离为 1，则 a（
11、）A2 B4 C2 D4【分析】根据抛物线的几何性质可得【解答】解：x 2ay 2 y，p| |1，a2，故选：C【点评】本题考查了抛物线的性质，属基础题3 （5 分）已知集合 Ax| x24x +30 ，Bx|x a0，若 BA，则实数 a 的取值范围为（ ）A （3，+） B3，+） C （，1） D （，1【分析】由一元一次不等式和一元二次不等式解出集合 A，B，根据 BA，可得参数 a的取值范围【解答】解：集合 Ax| x3 或 x1 ，集合 B x|xa，由 BA，可得 a1，故选：D【点评】本题考查集合间的关系以及一元二次不等式的解法，属于基础题4 （5 分）若 x，y 满足约束条
12、件 ，则 zx +2y 的最小值为（ ）A6 B0 C1 D2【分析】画出约束条件表示的平面区域，利用目标函数找出最优解，即可求出目标函数的最小值【解答】解：画出 x，y 满足约束条件 表示的平面区域，如图所示；化目标函数为 y x+ z，由图可知，当直线 y x+ z 过点 B 时，直线在 y 轴上的截距最小，由 ，解得 A（3，1） ；z 的最小值为 3211故选：C【点评】本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题5 （5 分）在梯形 ABCD 中，ABCD，AB4，BCCDDA2，若 E 为 BC 的中点，则 （ ）A B3 C2 D12【分析】通过对梯形的分析，得到梯形的高，进而建立
13、坐标系，通过数量积的坐标运算得到结果【解答】解：依题意，梯形 ABCD 为等腰梯形，过 C，D 分别做 AB 的垂线，交 AB 于 F，G则 CDFG2，AFBG 1又三角形 ADF 为直角三角形，AD2，AF1由勾股定理得 DF以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，建立如图坐标系则 A（0，0） ，B（4，0） ，C（3， ）E（ ， ）（3， ） ， （ ， ） 12故选：D【点评】本题考查了向量的数量积运算、向量的坐标运算，中点坐标公式等知识，属于基础题6 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A
14、B C D【分析】根据三视图知该几何体是圆锥体的一部分，结合图中数据求得该锥体的体积【解答】解：根据三视图知，该几何体是圆锥体的一部分，如图所示；则底面圆的半径为 OA2，圆心角为 AOB ，高为 OP3；所以该锥体的体积为：V 223 故选：B【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题7 （5 分）已知 ab0，xa+be b，y b+ aea，z b+ae b，则（ ）Axzy Bz xy Czyx Dy zx【分析】解法一：用特殊值代入法，判断 x、y 与 z 的大小顺序；解法二：根据不等式的性质和指数函数的单调性判断 x、y 与 z 的大小顺序【解答】解：解法一：由题
15、意，令 a2，b1，则 x2+e，y1+2e 2，z1+2e；显然有 1+2e21+2e2+e，即 xzy 解法二：ab0 时，e ae b，ae aae bbe b，b+ae ab+ae ba+be b，这里 ab0，zx（ba）+（ab）e b（ab） （e b1）0，即 xzy故选：A【点评】本题考查了函数值大小比较问题，是基础题8 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a11，2S na n+1an，则 S20（ ）A410 B400 C210 D200【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用等差数列的前 n 项和公式的应用求出结果【解答】解：数列a n的
16、前 n 项和为 Sn，且 a11，2S n an+1an，当 n1 时，解得：a 22，当 n2 时，2S n1 a nan1 得：a n+1a n1 2，当 n 为奇数时，数列a n是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，故：a n2n1，当 n 为偶数时，数列a n是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，故：a n2n，所以当 n 为正整数时：a nn则： 故选：C【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前 n 项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型9 （5 分） 易经是中国传统文化中的精髓如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑
17、八卦） ，每一卦由三根线组成（“ ”表示一根阳线， “ ”表示一根阴线） ，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为（ ）A B C D【分析】从八卦中任取两卦，基本事件总数 n 28，利用列举法求出这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线包含的基本事件有 10 种，由此能求出这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率【解答】解：从八卦中任取两卦，基本事件总数 n 28，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线包含的基本事件有 10 种，分别为：（乾，坤） ， （兑，艮） ， （兑，震） ， （兑，坎） ， （巽，艮） ，（巽、震） ， （巽、坎） ， （离，艮） ， （
18、离、震） ， （离、坎） ，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为 P 故选：D【点评】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10 （5 分）已知函数 f（x ） ，g（x）f（x）ax+a，若 g（x）恰有 1 个零点，则 a 的取值范围是（ ）A1，0 1，+ ） B （，10 ，1C1，1 D （， 1 1，+）【分析】根据条件先判断 x1 是函数 g（x）的一个零点，等价于当 x1 时，函数f（x）a（x1） ，没有其他根，利用参数分离法，利用数形结合进行求解即可【解答】解：由 g（x）f（x）ax+a0 得 f（x）a（x1） ，f（1）13+2
19、 0，g（1）f（1）a+a0，即 x1 是 g（x）的一个零点，若 g（x）恰有 1 个零点，则当 x1 时，函数 f（x）a（x1） ，没有其他根，即 a ，没有根，当 x1 时，设 h（x ） x2，此时函数 h（x）为增函数，则 h（1）1，即此时 h（x）1，当 x1 时，h（x ） ，h（x ） 0，此时 h（x）为减函数，此时 h（x）0，且 h（1）1，即 0h（x）1，作出函数 h（x）的图象如图：则要使 a ，没有根，则 a1 或1a0，即实数 a 的取值范围是1， 01，+） ，故选：A【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，结合数形结合是解决本题的关键综合
20、性较强，有一定的难度11 （5 分）已知函数 f（x ）sin（2x ） ，若方程 f（ x） 在（0， ）的解为x1，x 2（x 1x 2） ，则 sin（x 1 x2）（ ）A B C D【分析】由已知可得 ，结合 x1x 2 求得 x1 的范围，再由 sin（x 1x 2）sin（ ）cos（ ）求解【解答】解：0x， （ ， ） ，又x 1，x 2 是 sin（2x ） 的两根，可知 ， ，sin（x 1x 2）sin（ ）cos（ ） ，x 1x 2， ，0x 1 ，则 （ ， ） ，故 cos（ ） ，sin（x 1x 2） 故选：A【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考
21、查 yAsin（x+）型函数的图象和性质，是中档题12 （5 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0）的一个焦点为 F，点 A，B 是 C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以 AB 为直径的圆过 F 且交 C 的左支于 M，N 两点，若|MN| 2， ABF 的面积为 8，则 C 的渐近线方程为（ ）Ay By Cy2x Dy 【分析】设双曲线的另一个焦点为 F，由双曲线的对称性，可得四边形 AFBF是矩形，可得 SABF S ABF ，即 bc 8，再根据|MN|2，可得 b2c，即可求出【解答】解：设双曲线的另一个焦点为 F，由双曲线的对称性，可得四边形 AFBF是矩形，S ABF S A
22、BF ，即 bc8，由 ，可得 y ，则|MN | 2，即 b2c，b2，c4，a 2 ，C 的渐近线方程为 y x，故选：B【点评】本题考查了双曲线的简单性质，三角形的面积，双曲线的渐近线方程，属于中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）在等比数列a n中，a 21，a 3a52a 7，则 an 【分析】利用通项公式即可得出【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，a 21，a 3a52a 7，a 1q1， q62 ，a 12，q 则 an 故答案为： 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14 （5 分） （1+
23、 ） （12x） 5 的展开式中 x2 的系数为 40 【分析】把（12x） 5 按照二项式定理展开，可得（1+ ） （12x） 5 的展开式中 x2 的系数【解答】解：（1+ ） （12x） 5（1+ ）（110x+40x 280x 3+80x432x 5） ，故展开式中 x2 的系数为 408040，故答案为：40【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题15 （5 分）已知函数 f（x ）e xe x 1，则关于 x 的不等式 f（2x）+f （x +1）2 的解集为 （ ） 【分析】根据函数的单调性，去掉对应法则得到关于 x 的不等式，解出
24、即可【解答】解：令 g（x）e xe x ，g（x）e x+ex 0，g（x）在 R 递增，故 f（2x）+f（x +1）2，即 g（2x）1+g（x +1）12，故 g（2x）g（x +1）g（x 1） ，故 2xx1，解得：x ，故答案为：（ ，+） 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查转化思想，是一道常规题16 （5 分）已知正三棱柱 ABCA 1B1C1 的所有棱长为 2，点 M，N 分别在侧面 ABB1A1 和ACC1A1 内，BC 1 与 B1C 交于点 P，则MNP 周长的最小值为 3 【分析】利用点 P 关于两侧面的对称点，将三角形周长的问题，转化到同一直线上，可得【解答】
25、解，如图为正三棱柱的俯视图关于侧面 AA1B1B 和侧面 AA1C1C 的对称点分别为 P1，P 2，连接 P1P2，则当M，N，P 1，P 2 共线时，MNP 周长最小由于在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，点 P 是BC1 和 B1CD 交点，所以 P 是侧面 BB1C1C 的中心，故当MNP 周长最小时 M，N 分别为侧面 AA1B1B 和侧面 AA1C1C 的中心MNMPNP 1MNP 周长的最小值为：1+1+13故填：3【点评】本题难点在于如何将三角形周长转化到同一直线上，看做两点之间，线段最短的问题，属于中档题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17
26、21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）在平面四边形 ABCD 中，ABC ，ADC ，BC2（1）若ABC 的面积为 ，求 AC；（2）若 AD2 ，ACBACD+ ，求 tanACD【分析】 （1）由已知结合三角形的面积公式 SABC 可求 AB，在ABC 中，再由余弦定理，AC 2AB 2+BC22ABBCcos ABC 可求 AC；（2）设ACD，则可表示 ACB，ABC 中，由正弦定理可得，可求 tan，即可求解【解答】解：（1）ABC 中，ABC ，BC 2，S ABC AB3ABC
27、中，由余弦定理可得，AC 2AB 2+BC22ABBCcosABC9 7AC ；（2）设ACD，则ACB RtACD 中， AD2 ，AC ABC 中，BACACBABC由正弦定理可得，2sin（ ）sin化简可得，2sin costan ，tanACD 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用，还考查了转化的能力，试题具有一定的综合性18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，BCCD，ADCD，PA3 ，ABC 和PBC 均为边长为 2 的等边三角形（1）求证：平面 PBC平面 ABCD；（2）求二面角 CPBD 的余弦值【分析】 （1）取 BC 的
28、中点 O，连结 OP，OA ，推导出 AOBC，OPBC，OPOA，由此能证明 OP平面 ABCD，OP 平进面 PBC，即可得出结论（2）以 O 为坐标原点，OA，OB，OP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 CPB D 的余弦值【解答】证明：（1）取 BC 的中点 O，连结 OP，OA ，ABC，PBC 均为边长为 2 的等边三角形，AOBC，OPBC，且 OAOP 3，AP3 ，OP 2+OA2AP 2，OPOA，OABCO，OA 平面 ABCD，BC平面 ABCD，OP平面 ABCD，OP平面 PBC，所以面 PBC平面 ABCD解：（2）BC
29、CD，ABC 为等边三角形，ACD ，ADCD ， ， ，在ADC 中，由正弦定理得 ，CD2，以 O 为坐标原点，OA，OB，OP 所在直线分别为 x，y， z 轴，建立空间直角坐标系，则 P（0，0，3） ，B（0， ，0） ，D （2， ，0） ，（0， ，3） ， （2，2 ，0） ，设平面 PBD 的法向量 （x，y ，z） ，则 ，取 z1，得 （3， ，1） ，依题意，平面 PBC 的一个法向量 （1，0，0） ，cos 二面角 CPBD 的余弦值为 【点评】本题考查线面垂直的证明及面面垂直，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解
30、能力，是中档题19 （12 分）某公司生产一种产品，从流水线上随机抽取 100 件产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图 1）：产品的质量指数在50，70）的为三等品，在 70，90）的为二等品，在 90，110的为一等品，该产品的三、二、一等品的销售利润分别为每件 1.5，3.5，5.5（单位：元） 以这 100 件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解年营销费用 x（单位：万元）对年销售量 y（单位：万件）的影响，对近 5 年的年营销费用 xi 和年销售量 yi（i 1，2，3，4， 5）数据做了初步处理，
31、得到的散点图（如图 2）及一些统计量的值 ui vi （u i ）（v i ）（u i ） 216.30 24.87 0.41 1.64表中 uilnx i，v ilny i， ui， vi根据散点图判断，yax b 可以作为年销售量 y（万件）关于年营销费用 x（万元）的回归方程（i）建立 y 关于 x 的回归方程；（）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益销售利润营销费用，取 e4.15964）参考公式：对于一组数据（u 1，v 1） ， （u 2，v 2） ， （u n，v n） ，其回归直线 v+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， 【
32、分析】 （1）分别求出一，二，三等品的频率，求出分布列及其数学期望即可；（2） （i）求出相关系数，求出回归方程即可；（ ii）设年收益为 z 万元，求出 z，设 t，f（t）256tt 4，求出函数的导数，根据函数的单调性求出 z 的最大值即可【解答】解：（1）设每件产品的销售利润为 元，则 的所有可能的取值是 1.5，3.5，5.5，由直方图可得，一，二，三等品的频率分别是：0.4，0.45，0.15，故 P（1.5）0.15，P（3.5）0.45，P（5.5）0.4，故随机变量 的分布列为： 1.5 3.5 5.5P 0.15 0.45 0.4故 E（）1.50.15+3.50.45+5
33、.50.44，故每件产品的平均销售利润为 4 元；（2） （i）由 y axb 得：lnyln（ax b）lna +blnx，令 ulnx，vlny，clna，则 vc+bu，由表中数据得： 0.25，则 0.25 4.159，故 4.159+0.25u，即 ln 4.159+0.25lnxln （e 4.159 ） ，e 4.15964，故 64 ，故所求回归方程是：y64 ；（ii）设年收益为 z 万元，则 z（F）yx256 x，设 t ，f（t）256tt 4，则 f（t）2564t 44（64t 4） ，当 t（0，4）时，f（t）0，f（t ）在（0，4）递增，当 t（4，+）时，
34、f（t）0，f（t ）在（4，+）递减，故 t4 即 x256 时，z 的最大值是 768，故该厂应投入 256 万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大值 768 万元【点评】本题考查了分布列问题，考查转化思想以及函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题20 （12 分）已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 C： 1 的上焦点，C 上一点 A 在 x 轴上方，且| OA| （1）求直线 AF 的方程；（2）B 为直线 AF 与 C 异于 A 的交点，C 的弦 MN，AB 的中点分别为 P，Q，若O，P，Q 在同一直线上，求OMN 面积的最大值【分析】 （1）根据 x0
35、2+y025， + 1， ，求出点 A 的坐标，即可求出直线AF 的方程（2）当 A 在第一象限时，直线 AF：y x+ ，根据点差可得 kMNkOP ，同理可得 kABkOQ ，可得 kMNk AB 设直线 MN 的方程为 y x+m，联立方程组，得 3x2+4mx+2m220，由此利用根的判断式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、基本不等式，能求出OMN 面积取最大值，再根据对称性可得当点 A 在第二象限时三角形的面积【解答】解：（1）设 A（x 0，y 0） ， （y 00） ，|OA | ，x 02+y025， 点 A 在椭圆上， + 1，由解得 ，或 ，点 A 的坐标为（ ， ）
36、 ，或（ ， ） ，F（0， ） ，直线 AF 的方程为 y x+ 或 y x+ （2）当 A 在第一象限时，直线 AF：y x+ ，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则 ，两式相减得 （x 1+x2） （x 1 x2）+ （y 1+y2） （y 1y 2） 0，MN 不过原点， ，k MNkOP ，同理可得 kABkOQ ，O，P，Q 在同一直线上，k OP kOQ，k MNk AB设直线 MN 的方程为 y x+m，由 ，消 y 可得得 5x22mx+2m 2180，则（2m） 245（2m 218）0 得 m210，则 x1+x2 ， x1x2 ，|MN | ，O 到
37、MN 的距离 d |m|，S OMN |MN|d |m| 3当且仅当 10m 2m 2，即 m25 时，得 m ，OAB 面积取得最大值 3，OMN 面积的最大值为 3，当点 A 在第二象限时，由对称性可得，OMN 面积的最大值为 3综上OMN 面积的最大值为 3【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查根的判断式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、基本不等式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题21 （12 分）已知函数 f（x ）（x+a）ln （x +1）ax （1）若 a2，求 f（x ）的单调区间；（2）若 a2，1x0，求证：f （x）2x（1e
38、 x ） 【分析】 （1）代入 a 的值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为证明 ex1，设 h（x） ex，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（1）f（x ）的定义域是（1，+） ，a2 时，f（x）（ x+2）ln （1+x）2x ，f（x）ln（1+x ） ，故 f（x） ，故 f（x）在（ 1，0）递减，在（0，+）递增，故 f（x）f（0）0，故 f（x）在（ 1，+）递增，无递减区间；（2）设 g（x）ln（1+x）x，则 g（x） ，故 g（x）在（1，0）递增，在（0，+）递减，故 g（x）g（0）0，故 a2 时，f（x ）xln （1
39、+x）+a（ln （1+x）x ）xln（1+x）2（ln（1+x）x） ，即 f（x）（x2）ln（1+x）+2 x，要证明 f（x） 2x（1e x ） ，只需证明（x2）ln（1+x）2xe x ，由（1）知，f（x ）在（1，+）递增，故 x（1，0 ）时， （x+2）ln （1+x）故只需证明 e x ，即证明 ex1，设 h（x） ex，则 h（x） 0，故 h（x）在（1，0）递增，故 h（x）h（0）1，故原不等式成立【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一
40、题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2（1）求 l 的普通方程和 C 的直角坐标方程；（2）若 C 上恰有 2 个点到 l 的距离等于 ，求 l 的斜率【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换（2）利用点到直线的距离的公式的应用求出结果【解答】解：（1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，转换为直角坐标方程为：ytan x曲线 C 的极坐标方程为
41、2 ，转换为直角坐标方程为：x 2+4y24，（2）由于曲线 C 上恰有 2 个点到 l 的距离等于 ，则：该点为椭圆的左右顶点，即：（2，0）和（2，0） ，则：点（2，0）到直线 ytan xkx 的距离 d ，解得：k1，故直线的斜率为：k1，【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知函数 f（x ）|x +2|+|x4| （1）求不等式 f（x ）3x 的解集；（2）若 f（x） k|x 1|对任意 xR 恒成立，求 k 的取值范围【分析】
42、 （1）通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为 k|1+ |+|1 |，根据绝对值不等式的性质求出 k 的范围即可【解答】解：（1）当 x4 时，x+2+ x43x，解得：x2，故 x4，当 x2 时，x 2x +4 3x，解得：x ，故此不等式无解，当2x4 时，x +2x +43x ，解得：x2，故 2x 4，综上，不等式的解集是2，+） ；（2）由 f（x） k|x 1|，得|x+2|+|x4| k|x 1|，当 x1 时，60 恒成立，故 kR，当 x1 时，k |1+ |+|1 |，|1+ |+|1 |1+ +1 |2，当且仅当（1+ ） （1 ）0 即 x4 或 x2 时， “”成立，故 k2，综上，k 的范围是（，2【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题
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