1、2019 年广东省汕头市潮阳一中等七校联合体高考数学冲刺试卷（理科） （5 月份）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 Mx |x240，N x|log2x1 ，则（ RM）N（ ）A B （0，2） C （2，2） D 2，2）2 （5 分）若复数 z 满足（1+i）z|3+4i |，则 z 的虚部为（ ）A5 B C D53 （5 分）已知抛物线方程为 x22y，则其准线方程为（ ）Ay1 By1 Cy Dy 4 （5 分）已知非零向量 满足 ，且 ，则向量 的夹角为（ ）A B C D5
2、 （5 分）函数 为奇函数，则 （ ）A2 B1 C D6 （5 分） 九章算术 “竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面 3 节的容积之积 3 升，下面 3 节的容积之积为 9 升，则第 5 节的容积为（ ）A2 升 B 升 C3 升 D 升7 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A12 B14 C16 D208 （5 分）2021 年广东新高考将实行 3+1+2 模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有 12 种选课模式今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概
3、率（ ）A B C D9 （5 分）设 x、y 满足不等式组 ，则 的最大值为（ ）A3 B1 C4 D510 （5 分）如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱已知起始柱上套有 n 个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动，若将 n 个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为 p（n） ，则 p（4）（ ）A33 B31 C17 D1511
4、 （5 分）已知函数 ，若函数 g（x）f（x）x2m+1 在区间2，4 内有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是（ ）A m| m B m|1m Cm|1m 或 m1 D m| m 或 m112 （5 分）已知点 O 为双曲线 C 的对称中心，直线 l1，l 2 交于点 O 且相互垂直，l 1 与 C交于点 A1，B 1，l 2 与 C 交于点 A2，B 2，若使得| A1B1| A2B2|成立的直线 l1，l 2 有且只有一对，则双曲线 C 的离心率的取值范围是（ ）A （1，2 B （1， C D （ ）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）设函
5、数 ，则 f （5）的值为 14 （5 分）侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为 15 （5 分）已知锐角 A 满足方程 3cosA8tanA0，则 cos2A 16 （5 分）定义在封闭的平面区域 D 内任意两点的距离的最大值称为平面区域 D 的“直径” 已知锐角三角形的三个顶点 A，B，C ，在半径为 1 的圆上，且BAC ，分别以ABC 各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和 ABC 构成平面区域 D，则平面区域 D 的“直径”的最大值是 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、2
6、3 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60 分17 （12 分）已知锐角ABC 面积为 S，A，B，C 所对边分别是a，b，c ，A，C 平分线相交于点 O， 且 ，求：（1）B 的大小；（2）AOC 周长的最大值18 （12 分）已知斜三棱柱 ABCA 1B1C1 的侧面 ACC1A1 与底面 ABC 垂直，侧棱与底面所在平面成 60角，AA 1A 1C，AC BC ，AC4，BC2（1）求证：平面 ABB1A1平面 A1BC；（2）求二面角 BA 1B1C 的余弦值19 （12 分）如图，点 T 为圆 O：x 2+y21 上一动点，过点 T 分别作 x 轴，y 轴的垂线，垂足分别
7、为 A，B，连接 BA 延长至点 P，使得 ，点 P 的轨迹记为曲线 C（1）求曲线 C 的方程；（2）若点 A，B 分别位于 x 轴与 y 轴的正半轴上，直线 AB 与曲线 C 相交于 M，N 两点，|AB|1 ，试问在曲线 C 上是否存在点 Q，使得四边形 OMQN 为平行四边形，若存在，求出直线 l 方程；若不存在，说明理由20 （12 分）某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量 y（单位：kg）和与它“相近 ”的株数 x 具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过 lm） ，并分别记录了相近株数为 0，1，2，3，4 时每株产量的相关数据如下：x
8、0 1 2 3 4y 15 12 11 9 8（1）求出该种水果每株的产量 y 关于它“相近”株数 x 的回归方程；（2）有一种植户准备种植该种水果 500 株且每株与它“相近”的株数都为 m（m N*） ，计划收获后能全部售出，价格为 10 元/kg ，如果收入（收入产量 x 价格）不低于25000 元，则 m 的最大值是多少？（3）该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点（直线的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为 1m，已知该梯形地块周边无其他树木影响，若从所种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程预测它的产量的分布列与数学期望附：
9、回归方程 + x 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， 21 （12 分）已知函数 f（x ）e x（x+lnx+a） （e 为自然对数的底数，a 为常数，且a1） （）判断函数 f（x ）在区间 （1，e）内是否存在极值点，并说明理由；（）若当 aln2 时，f（x）k（k Z）恒成立，求整数 k 的最小值（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上.选修4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C： （ 为参数） ，
10、在以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为cos（ ）2（1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；（2）求曲线 C 与直线 l 交点的极坐标（0，02） 23已知 xR 使不等式| x 1|x2| t 成立（1）求满足条件的实数 t 的集合 T；（2）若 m1，n1，tT ，不等式 log3mlog3nt 恒成立，求 mn 的取值范围2019 年广东省汕头市潮阳一中等七校联合体高考数学冲刺试卷（理科） （5 月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
11、符合题目要求的.1 【解答】解：x 240，x2 或 x2，M（，2）（2， +） ，log 2x1， 0x2，N（0，2） ， RM 2，2，（ RM）N（0，2） 故选：B2 【解答】解：由（1+i）z |3+4i | ，得 z ，z 的虚部为 故选：C3 【解答】解：由抛物线方程为 x22y，可得抛物线的焦点在 y 轴负半轴上，则其准线方程为 y ，2p2，p1， ，则抛物线的直线方程为 y 故选：C4 【解答】解：根据题意 2+ 0 2cos 故选：C5 【解答】解：由于函数 为奇函数，则 ，得 a1，因此， 故选：D6 【解答】解：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列
12、，上面 3 节的容积之积 3 升，下面 3 节的容积之积为 9 升， ，解得 a1q ，q 3 ，第 5 节的容积为： 故选：D7 【解答】解：根据三视图知，该几何体是直三棱柱去掉一个三棱锥，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为：VV 三棱柱 V 三棱锥 42 6 42 320 故选：D8 【解答】解：今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则基本事件总数 n 6，他们选课相同包含的基本事件 m1，他们选课相同的概率 p 故选：D9 【解答】解：作出 x、y 满足不等式组 对应的平面区域如图：1+5 的几何意义为区域内的点与原点的斜率，由图象知 OA 的斜率最大
13、，由 得 A（ ， ） ，由 z1+5 4，则 z 的最大值为 z4，故选：C10 【解答】解：设把圆盘从起始柱全部移到目标柱上最少需要移动的次数记为 p（n） ，则把起始柱上的（除最底下的）圆盘从起始柱移动到辅助柱最少需要移动的次数记为p（n1） ，则有 P（n）2P（n1）+1，则有 P（n）+12P（n1） +1，又 P（1）1，即 是以 P（1）+12 为首项，2 为公比的等比数列，由等比数列通项公式可得：P（n）+12 n，所以 P（n）2 n1，即 P（4）2 4115，故选：D11 【解答】解：当2x1 时，f （x） +1x+1+1x+2，当1x0 时，f（x） +1（x+1）
14、+1x，当 0x1 时，2x 21，此时 f（x）2f （x2）2（x2+2）2x，当 1x2 时，1x 20，此时 f（x）2f （x2）2（x2）2x +4，当 2x3 时，0x 21，此时 f（x）2f （x2）4（x2）4x 8，当 3x4 时，1x 22，此时 f（x）2f （x2）2（x2+2）2x ，当 0x1 时，2x 21，此时 f（x）2f （x2）22（x2）+44x+16，由 g（x）f（ x）x2m+1 0，得 2m1f （x）x ，设 h（x）f（ x）x，x 2，4 ，作出 h（x）在 2，4上的图象如图：要使 2m1 与 h（x）有三个交点，则 2m11 或22
15、m10，即 m1 或 m ，即实数 m 的取值范围是m| m 或 m1 ，故选：D12 【解答】解：不妨设双曲线的方程是 1（a0，b0） ，由|A 1B1| A2B2|及双曲线的对称性知 A1，A 2，B 1，B 2 关于 x 轴对称，如图，又满足条件的直线只有一对，当直线与 x 轴夹角为 45时，双曲线的渐近线与 x 轴夹角大于 45，双曲线与直线才能有交点 A1，A 2，B 1，B 2，且满足条件的直线只有一对，可得 tan451，即有 e ，则双曲线的离心率的范围是（ ，+） 故选：D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 【解答】解：函数 ，f （5）f（
16、2）f（1）（1） 22 1 故答案为： 14 【解答】解：如图，正三棱锥 PABC 中，O 为底面中心，不妨设 PC1，侧面为等腰直角三角形，BC ，OC ，OP ，sinPCO ，故答案为： 15 【解答】解：锐角 A 满足方程 3cosA8tanA0，可得： 3cos2A8sinA，cos 2A+sin2A1，3sin 2A+8sinx30，解得：sinA ，或3（舍去） ，cos2A12sin 2A12 故答案为： 16 【解答】解：在ABC 中，由正弦定理可得 2，BC ，由余弦定理设 ABc ，ACb，3b 2+c22bc cos ，即 3b 2+c23bc ，即 3bc（b+c
17、） 23，即（b+c） 233（ ） 2，b+c2 ，当且仅当 bc 的等号成立，如图各别中点设为 D，E， F 为三个半圆的圆心，假设圆 D 和圆 E 上两点 G，F 之间连线最长，则必过 D，E，任意任取两点 I，J，连接 DI，DJ ，EJ ，则 FGDF +DE+DGDI+DE+ EJDI +DJIJ，连线最大，则必过任意两圆的圆心 FGDF +DE+DG （b+c+ ） ，当且仅当 bc 等号成立，故答案为：三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：6
18、0 分17 【解答】解：（1） ， ，故：，（2）设AOC 周长为 l， OAC ，则 （ ， ） ，OA，OC 分别为A，C 的平分线，B ， ，由正弦定理得： ，可得：l4sin+4sin （ ）+2 ，（ ， ） ， ， ， ，当 时，AOC 周长的最大值为 18 【解答】证明：（1）平面 ACC1A1平面 ABC 且平面 ACC1A1平面 ABCAC，且 BCAC，BC平面 ACC1A1又AA 1A 1C，AA 1平面 A1BC，BC AA 1，AA 1平面 ABB1A1平面 ABB1A1平面 A1BC（5 分）（2）已知斜三棱柱 ABCA 1B1C1 的侧面 ACC1A1 与底面 A
19、BC 垂直，侧棱与底面所在平面成 60，A 1AC60又AA 1A 1C，如图建立空间直角坐标系 ，C（0，0，0） ，B（0，2，0） ，A（4，0，0） ，由 ，得 ，设平面 BA1B1，平面 CA1B1 的法向量分别为 ， ， ，得 ，得 ，二面角 BA 1B1C 的余弦值为 （12 分）19 【解答】解：（1）设 T（x 0，y 0） ，P（x ，y） ，由 A（x 0，0） ， B（0，y 0）由题意 ，即 A 为 PB 的中点x2x 0，y y 0，即 x0 x，y 0y，x 02+y021故点 P 的轨迹 C 的方程为 +y21，（2）由题意知 l 的斜率存在且不为零，设直线 l
20、 的方程为 ykx+t，|AB| 1，（ ） 2+t21，即 +t21， 联立 ，消 y 可得（4k 2+1）x 2+8ktx+4（t 21）0，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，x 1+x2 ，x 1x2 ，y 1+y2k（x 1+x2）+2 t ，四边形 OMQN 为平行四边形，故 Q（ ， ） ， （ ） 2+（ ） 21，整理可得 4t24k 2+1，将代入 可得 4k4+k2+1 0，该方程无解，故这样的直线不存在20 【解答】解：（1）由题意可得， 2， 11（1 分）24+（1）1+00+1 （2）+2（3）17（2） 2+（1） 2+02+12+2210b （
21、3 分） 112 ， x（4 分）（2）设每株的产量为 ykg，根据题意可得 10500y25000y5（5 分）令 x5 可得，x 即 m 最大值是 5（7 分）（3）由回归方程可得，当 x1 时，y当 x2 时，y11，当 x3 时，y当 x4 时，yP（y ）P（y 11） ，P（y ）P（y ）即 y 的分布列为 P 12.7 11 9.3 7.6yE（y） （11 分）即产量的期望 （12 分）21 【解答】解：（） ，令 ，则 f（x ）e xg（x） ，恒成立，所以 g（x）在（1，e）上单调递减，所以 g（x）g（1）a10，所以 f（x）0 在（1，e）内无解所以函数 f（x
22、）在区间（ 1，e）内无极值点（）当 aln2 时，f（x）e x（x+lnx+ln 2） ，定义域为（ 0，+） ，令 ，由（）知，h（x）在（0，+）上单调递减，又 ，h（1）ln210，所以存在 ，使得 h（x 1）0，且当 x（0，x 1）时，h（x）0，即f（x）0，当 x（x 1，+）时，h（x）0，即 f（x ）0所以 f（x）在（ 0，x 1）上单调递增，在（x 1，+）上单调递减，所以 由 h（x 1）0 得 ，即 ，所以 ，令 ，则 恒成立，所以 r（x）在 上单调递增，所以 ，所以 f（x）max0，又因为 ，所以1f（x ） max0，所以若 f（x ）k（kZ）恒成立
23、，则 k 的最小值为 0（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上.选修4-4：坐标系与参数方程22 【解答】解：（1）已知曲线 C： （ 为参数） ，转换为直角坐标方程为：x 2+（y1） 21，直线 l 的极坐标方程为 cos（ ）2转换为直角坐标方程为：xy+20（2）由（1）得： ，解得： 或转换为极坐标为（ ） （2， ） 23 【解答】解：（1）由|x1| x2| | x1x+2|1，即有1|x1| x2|1，可得|x1| |x2| 的最大值为 1，xR 使不等式| x1| x2|t 成立，可得 t1，T t|t1；（2）m1，n1，tT ，不等式 log3mlog3nt 恒成立，可得 1log 3mlog3n，又 m，n1，可得 log3m0， log3n0，log 3（mn）0，则 log3mlog3n（ ） 2 （log 3（mn ） ） 2，当且仅当 mn 取得等号，则 log3（mn）2，可得 mn 9
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