1、2019 年辽宁省辽阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 AxR|0x4，Bx|x10，则 AB（ ）A （1，+） B0，+） C （1，4 D0 ，1）2 （5 分） 1i（ ）A B C D3 （5 分）已知向量 （2，1） ， （m +1，3m ） ，若 ，则| |（ ）A1 B3 C3 D74 （5 分）抛物线 C：y 22px（p0）的焦点为 F，点 A（6，y 0）是 C 上一点，|AF|2p，则 p（ ）A8 B4 C2 D15 （5 分）已知等比数
2、列a n的首项为 1，且 a6+a42（a 3+a1） ，则 a1a2a3a7（ ）A16 B64 C128 D2566 （5 分）若 x1 是函数 f（x）x 3+x2+ax+1 的极值点，则曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线的斜率为（ ）A1 B1 C5 D57 （5 分）某学生 5 次考试的成绩（单位：分）分别为 85，67，m，80，93，其中 m0，若该学生在这 5 次考试中成绩的中位数为 80，则得分的平均数不可能为（ ）A70 B75 C80 D858 （5 分）已知某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B2 C
3、D9 （5 分）已知函数 f（x ）cos 2x+sin2（x+ ） ，则（ ）Af（x）的最小正周期为 ，最小值为Bf（x）的最小正周期为 ，最小值为Cf（x）的最小正周期为 2，最小值为Df（x）的最小正周期为 2，最小值为10 （5 分）已知数列a n的首项 a121，且满足（2n5 ）a n+1（2n3）an+4n216n+15，则a n的最小的一项是（ ）Aa 5 Ba 6 Ca 7 Da 811 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C： 1（a0，b0）的一条渐近线与圆（x 2） 2+（y1） 21 相切，则 （ ）A B C D12 （5 分）已知函数 f（x ）co
4、s x+ln ，若 f（ ）+f （ ）+f（ ）1009 （a+b）ln （a0，b0） ，则 的最小值为（ ）A2 B4 C6 D8二、填空题本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上13 （5 分）已知函数 f（x ） ，若 f（1）a，则 f（a） 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，zx 2y 的最小值是 15 （5 分）已知长方体的外接球的半径为 5，且长方体的表面积为 156，则这个长方体的所有棱长之和为 16 （5 分）某天，小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映 A，B，C ，D，E 五部影
5、片于是他们商量一起看其中的一部影片：小赵说：只要不是 B 就行；小张说：B，C，D，E 都行；小李说：我喜欢 D，但是只要不是 C 就行；小刘说：除了 E 之外，其他的都可以据此判断，他们四人可以共同看的影片为 三、解答题本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第 1721题为必考题每道试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若（1）求 B；（2）若 b1，求ABC 面积的最大值18 （12 分）从某工厂生产的某种零件中抽取 1000 个
6、，检测这些零件的性能指标值，由检测结果得到如下频率分布直方图：（1）求这 100 零件的性能指标值的样本平均数 和样本方差 s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（2）在性能指标值落在区间115，125） ，125 ，135） ，135，145）的三组零件中，用分层抽样的方法抽取 158 个零件，则性能指标值在125，135）的零件应抽取多少个？19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，ACD45，CD2，PAC 是边长为 的等边三角形，PA CD（1）证明：平面 PCD平面 ABCD（2）在线段 PB 上是否存在一点 M，使得 PD平面 MA
7、C？说明理由20 （12 分）设椭圆 C： 1（ab0）的左右焦点分别为 F1，F 2，下顶点为A，O 为坐标原点，点 O 到直线 AF2 的距离为 ， AF1F2 为等腰直角三角形（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，若直线 AM 与直线 AN 的斜率之和为 2，证明：直线 l 恒过定点，并求出该定点的坐标21 （12 分）已知函数 f（x ）（x1）e x（1）求函数 f（x ）的单调区间和零点；（2）若 f（x） axe 恒成立，求 a 的取值范围（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.选修
8、 4-4：极坐标与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x+y+a0，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；（2）若直线 （ R）与 l 的交点为 M，与 C 的交点为 A，B，且点 M 恰好为线段 AB 的中点，求 a选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x） |x+a|+|x|（1）当 a1 时，求不等式 f（x ）3 的解集；（2）设关于 x 的不等式 f（x）3 有解，求 a 的取值范围2019 年辽宁省辽阳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题
9、：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 【解答】解：集合 AxR |0x40，4 ，Bx| x10 （1，+） ，则AB 0，+ ） ，故选：B2 【解答】解： 1i 故选：C3 【解答】解：向量 （2，1） ， （m +1，3m ） ， ， 2（m+1）3m0，解得 m2， （3，6） ，| | 3 故选：B4 【解答】解：抛物线 C：y 22px（p0）的准线方程 x ，点 A 在 C 上，|AF|2p，可得：6+ 2p，解得：p4故选：B5 【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，a 6+a42（a 3+a1） ，q
10、 5+q32（q 2+1） ，解得 q32则 a1a2a3a7q 0+1+6q 212 7128故选：C6 【解答】解：函数 f（x ）x 3+x2+ax+1，f（x ）3x 2+2x+a，因为 x1 是函数 f（x）的极值点，所以 f（1）5+a0，得 a5，f（x）3x 2+2x5（3x +5） （x1）此时由不等式 f（x ）0，解得 x1，x ，所以 f（x）在区间（ ，1）单调递减，在区间（， ） ， （1，+）单调递增，x1 是函数 f（ x）的极小值点，满足题意，所以 f（x） 3x2+2x5，所以切点为（0，f （0） ） ，切线斜率 k5，故选：C7 【解答】解：某学生 5
11、次考试的成绩（单位：分）分别为 85，67，m，80，93，其中m0，该学生在这 5 次考试中成绩的中位数为 80，m80，得分的平均数： 81，得分的平均数不可能为 85故选：D8 【解答】解：根据三视图知该几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，画出直观图如图所示，则该几何体的体积为VV 三棱柱 +V 三棱锥 113+ 1132故选：B9 【解答】解：函数 f（x ）cos 2x+sin2（x+ ） + 1+ cos2x cos（2x+ ）1+ cos2x+ sin2x1+ cos（2x ） ，故函数 f（x）的最小正周期为 ，最小值为 1 ，故选：A10 【解答】解：由题意，可知：4
12、n 216n+15（2n3） （2n5） ，（2n5）a n+1（2n3）a n+（2n3） （2n5） ，等式两边同时除以（2n3） （2n5） ，可得：，可设 bn ，则 ，b n+1b n+1，即：b n+1b n1b 1 数列b n是以7 为首项，1 为公差的等差数列b n7+（n1）1n8，n N*a n（n8） （2n5）2n 221n+40可把 an 看成关于 n 的二次函数，则根据二次函数的性质，可知：当 n5 或 n6 时，a n 可能取最小值当 n5 时，a 525 2215+4015，当 n6 时，a 626 2216+4014当 n5 时，a n 取得最小值故选：A11
13、 【解答】解：双曲线 C： 1（a0，b0）的一条渐近线为 y x，即为 axby0，圆（x2） 2+（y 1） 21 的圆心（2，1） ，半径为 1，由直线和圆相切可得， 1，化为 a2+b24a 24ab+ b2，可得 3a4b， 故选：B12 【解答】解：因为函数 f（ x）cos x+ln ，所以 f（x）+f（x ）cos（ x）+cosx+ln +ln 2ln ，设 Sf（ ）+f（ ）+ f（ ） ，所以 Sf（ ）+f（ ）+f（ ） ，+得：2S20182ln，所以 S2018ln，所以 f（ ）+f（ ）+ f（ ）1009（a+b）ln 2018ln，所以 a+b2， （
14、a0，b0） ，则 （a+b） （ ） （2+ ） （2+2 ）2，则 的最小值为 2，故选：A二、填空题本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上13 【解答】解：函数 f（x） ，f（1）a，af（1）log 4（1+1） ，f（a）f（ ）4 故答案为： 14 【解答】解：由 zx2y 得 y x ，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分 ABC）平移直线 y x ，由图象可知当直线 y x ，过点 B 时，直线 y x 的截距最大，此时 z 最小，由 ，解得 B（0，2） 代入目标函数 zx2y ，得 z022目标函数 zx2y 的最小值是2故答案为
15、：215 【解答】解：设长方体的长宽高分别为 a，b，c，则长方体的外接球的半径为 5，即长方体的体对角线长度为 10， 2r10，即 a2+b2+c2100且长方体的表面积为 156，所以 2（ab+bc+ac）156，这个长方体的所有棱长之和为 4（a+b+c）4 44 41664，故填：6416 【解答】解：由题意，小赵说：只要不是 B 就行，故排除 B；小张说：B，C，D，E 都行，故排除 A；小李说：我喜欢 D，但是只要不是 C 就行，故排除 C；小刘说：除了 E 之外，其他的都可以，故排除 E；故他们四人可以共同看的影片为：D 故答案为：D三、解答题本大题共 5 小题，共 70 分
16、解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第 1721题为必考题每道试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分17 【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1） 由余弦定理可得： ，2 分可得： ，3 分可得： sinAcosBcos BsinC+sinBcosCsin（B+C ）sinA，可得：cosB ，B （2）由余弦定理：b 2a 2+c22accosB，可得：1a 2+c2 ac，7 分1a 2+c2 ac2ac ac，9 分可得：ac ，10 分S ABC acsinB ，可得ABC 面积的最大值 12 分18 【解答】解：（1）这 10
17、0 零件的性能指标值的样本平均数：1000.00210+1100.00910+1200.02210+1300.03310+1400.02410+1500.00810+1600.00210130样本方差 s2（100130） 20.02+（110130） 20.09+（120130）20.22+（130130） 20.33+（140130） 20.24+（150130）20.08+（160130） 20.02150（2）在性能指标值落在区间115，125） ，125 ，135） ，135，145）的三组零件中，用分层抽样的方法抽取 158 个零件，则性能指标值在125，135）的零件应抽取： 1
18、58 66（个） 19 【解答】 （1）证明：取 CD 的中点 E，连接 PE，AE，ACD45，CD2，AC ，AD ，ACD 是等腰直角三角形，ADAC，AECD，又 PACD，PA AEA，CD平面 PAE，又 PE平面 PAE，CDPE PE 1，又 AE CD1，PA ，PE 2+AE2PA 2，PEAE，又 AE平面 ABCD，CD平面 ABCD，CD AE E，PE平面 ABCD，又 PE平面 PCD，平面 PCD平面 ABCD（2）当 M 为 PB 的中点时，PD 平面 MAC证明：连接 BD 交 AC 于 O，连接 OM，四边形 ABCD 是平行四边形，O 是 BD 的中点，
19、又 M 是 PB 的中点，OM PD，又 OM平面 MAC，PD 平面 MAC，PD平面 MAC20 【解答】 （1）解：由AF 1F2 为等腰直角三角形，得 a ，又 O 到直线 AF2 的距离为 ，bc1，则 a ，则椭圆 C 的标准方程为 ；（2）证明：当直线 l 的斜率不存在时，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则 x1x 2，y 2 y 1，由 ，得 x11，此时直线方程为 x1；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 方程：ykx+m，由 ，得（1+2k 2）x 2+4kmx+2（m 21）0， ，依题意：k AM+kAN 2，y 1kx 1+m，y 2kx 2+m
20、， 2， ，则mk+1直线 l 方程为：y kx+mkxk+1k（x1）+1，过定点（1，1） 综上，直线 l 恒过定点（1， 1） 21 【解答】解：（1）函数 f（x ）（x1）e xf（x）e x+（x 1）e xxe x，由 f（x）xe x0 时，x 0，由 f（x）0 ，得 x0，f（x ）的增区间为0 ，+） ，当 f（x）0 时，x0，f（x ）的减区间为（，0，由 f（x）（x1）e x0，得 x1，函数 f（x）的零点是 x1（2）f（x） axe 恒成立，即 yf （x）的图象恒不在 yaxe 的图象下方，当它们相切时，设切点（x 0，y 0） ，x e a，且 a ，联
21、立解得 x01，ae，由图可知 0aea 的取值范围0，e（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：极坐标与参数方程22 【解答】解：（1）由 x+y+a0 得 cos+sin+a0；由 消去参数 得 x2+y22y80， 22 sin 80（2） 的直角坐标方程为 y x，联立 得 M（ a， a） ，直线 y x 的参数方程为 （t 为参数）代入 x2+（y1） 29，整理得：t 2（1+a）t+ a2+ 80，设 A，B 对应的参数为 t1，t 2，则 t1+t21+a，因为 M 为 AB 的中点，所以 t1+t20，1+ a0，a1选修 4-5：不等式选讲23 【解答】解：（1）当 a1 时，|x +1|+|x|3 或 或 ，解得：2x1，所以不等式 f（x ）3 的解集为（2，1） （2）f（x） |x+a|+|x|x +ax|a| ，即 f（x） min| a|，又 f（x）3 有解等价于 f（x） min3，| a|3，3a3所以 a 的取值范围是3a3
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