2019年山东省临沂市兰陵县中考数学一模试卷（含答案解析）

1、2019 年山东省临沂市兰陵县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（3 分）4 的算术平方根是（ ）A2 B2 C2 D2（3 分）如图，AF 是BAC 的平分线，DF AC，若135，则BAF 的度数为（ ）A17.5 B35 C55 D703（3 分）下列运算正确的是（ ）Aa 2+2a3a 3 B（2a 3） 24a 5C（a+2）（a1）a 2+a2 D（a+b） 2a 2+b24（3 分）若正多边形的一个外角是 60，则该正多边形的内角和为（ ）A360 B540 C720 D9005（

2、3 分）一元一次不等式组 的最大整数解是（ ）A1 B0 C1 D26（3 分）如图，该几何体的左视图是（ ）A BC D7（3 分）某车间 20 名工人每天加工零件数如表所示：每天加工零件数4 5 6 7 8人数 3 6 5 4 2这些工人每天加工零件数的众数、中位数分别是（ ）A5，5 B5，6 C6，6 D6，58（3 分）有甲、乙两辆车，小明和小兰两人可任意选坐一辆车，则两人同坐甲车的概率为（ ）A B C D9（3 分）如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为 2 米，旗杆底部与平面镜的水平距离为 12米，若小明的眼

3、晴与地面的距离为 1.5 米，则旗杆的高度为（ ）A9 B12 C14 D1810（3 分）学校为创建“书香校园”，购买了一批图书已知购买科普类图书花费 10000元，购买文学类图书花费 9000 元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵 5 元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少 100 本求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是 x 元，则可列方程为（ ）A 100 B 100C 100 D 10011（3 分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值应是（ ）A110 B158 C168 D17812（3 分）

4、如图，ABCD，且 ABCDE、F 是 AD 上两点，CEAD ，BFAD若CEa，BF b ，EF c ，则 AD 的长为（ ）Aa+ c Bb+c Cab+c Da+bc13（3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点O，BD 2AD ， E、F、G 分别是 OC、OD、AB 的中点，下列结论：BEAC ；四边形 BEFG 是平行四边形；EFGGBE；EGEF，其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D414（3 分）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，OAB30，若点 A 在反比例函数 y （x0）的图象上，则经过点 B 的反比例函数解析式为（ ）Ay By

5、 Cy Dy 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）15（3 分）计算： + 16（3 分）已知（x+y ） 225，x 2+y215，则 xy 17（3 分）如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，tanC ，BAC105，AC2，那么 BC 的长度为 18（3 分）如图，在ABC 中，延长 BC 至 D，使得 CD BC，过 AC 的中点 E 作EF CD（点 F 位于点 E 右侧），且 EF2CD，连接 DF，若 AB8，则 DF 的长为 19（3 分）如图，把一个面积为 1 的正方形等分成两个面积为 的长方形，接着把面积为 的长方形等分成两个面积为 的长方形

6、，再把面积为 的长方形等分两个面积为的长方形，如此下去，利用图中所示的规律计算： 三、解答题（本大题共 7 小题，共 63 分）20（7 分）计算：（ ）21（7 分）某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：17 18 16 13 24 15 28 26 18 1922 1716 19 32 30 16 14 15 2615 32 23 17 15 15 28 28 16 19频数分布表组别 一 二 三 四 五 六 七销售额 13x16 16x1

7、9 19x22 22x25 25x28 28x31 31x34频数 7 9 3 a 2 b 2数据分析表平均数 众数 中位数20.3 c 18请根据以上信息解答下列问题：（1）填空：a ，b ，c ；（2）若将月销售额不低于 25 万元确定为销售目标，则有 位营业员拿不到奖励；（3）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由22（7 分）如图，沿 AC 方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从 AC 上的一点 B 取ABD 120，BD 520m ，D 30那么另一边开挖点 E 离D 多远正好使 A，C，E 三点在一直线上（ 取 1.732，

8、结果取整数）？23（9 分）如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，点 E 在AB 上，以 AE 为直径的O 经过点 D（1）求证：直线 BC 是O 的切线；（2）若B30，AC3，求图中阴影部分的面积24（9 分）甲骑电动车、乙骑摩托车都从 M 地出发，沿一条笔直的公路匀速前往 N 地，甲先出发一段时间后乙再出发甲，乙两人到达 N 地后均停止骑行，已知 M，N 两地相距 km，设甲行驶的时间为 x（h），甲、乙两人之同的距离为 y（km），表示 y 与 x函数关系的图象如图所示请你解决以下问题：（1）求线段 BC 所在直线的函数表达式；（2）分别求甲，乙的速度

9、；（3）填空：点 A 的坐标是 25（11 分）如图，正方形 ABCD 中，AB2 ，O 是 BC 边的中点，点 E 是正方形内一动点，OE2，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90得 DF，连接 AE，CF（1）如图 1，求证：AECF；（2）如图 2，若 A，E，O 三点共线，求点 F 到直线 BC 的距离26（13 分）如图 1，已知抛物线 yax 2+bx+30（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点B（3 ，0），与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M，请问在对称轴上是否存在点 P，使CMP 为等腰三角形？若存在，请求出

10、所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由2019 年山东省临沂市兰陵县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（3 分）4 的算术平方根是（ ）A2 B2 C2 D【分析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果【解答】解：2 的平方为 4，4 的算术平方根为 2故选：A【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根

11、的概念易与平方根的概念混淆而导致错误2（3 分）如图，AF 是BAC 的平分线，DF AC，若135，则BAF 的度数为（ ）A17.5 B35 C55 D70【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得FAC1，再根据角平分线的定义可得BAF FAC【解答】解：DFAC，FAC135，AF 是BAC 的平分线，BAF FAC35，故选：B【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键3（3 分）下列运算正确的是（ ）Aa 2+2a3a 3 B（2a 3） 24a 5C（a+2）（a1）a 2+a2 D（a+b） 2a 2+b2【分析】根据多项式的乘法法则、幂的乘方与

12、积的乘方、完全平方公式、合并同类项法则一一判断即可；【解答】解：A、错误不是同类项不能合并；B、错误应该是（2a 3） 24a 6；C、正确；D、错误应该是（a+b） 2a 2+2ab+b2；故选：C【点评】本题考查多项式的乘法法则、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、合并同类项法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型4（3 分）若正多边形的一个外角是 60，则该正多边形的内角和为（ ）A360 B540 C720 D900【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和；根据一个外角得 60，可知对应内角为 120，

13、很明显内角和是外角和的 2 倍即 720【解答】解：该正多边形的边数为：360606，该正多边形的内角和为：（62）180720故选：C【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键5（3 分）一元一次不等式组 的最大整数解是（ ）A1 B0 C1 D2【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可【解答】解：解不等式 得： x1，解不等式 得： x2，不等式组的解集为1x2，不等式组的最大整数解是 1，故选：C【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的

14、关键6（3 分）如图，该几何体的左视图是（ ）A BC D【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案【解答】解：如图所示，其左视图为： 故选：A【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到而且是存在的线是虚线7（3 分）某车间 20 名工人每天加工零件数如表所示：每天加工零件数4 5 6 7 8人数 3 6 5 4 2这些工人每天加工零件数的众数、中位数分别是（ ）A5，5 B5，6 C6，6 D6，5【分析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可【解答】解：由表知数据 5 出现次数最多，所以众数为 5；因为共有 20 个数据，所以中位数为第 10、11

15、个数据的平均数，即中位数为 6，故选：B【点评】本题考查了众数和中位数的定义用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数8（3 分）有甲、乙两辆车，小明和小兰两人可任意选坐一辆车，则两人同坐甲车的概率为（ ）A B C D【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个人同坐甲车的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有 4 种等可能结果，其中两人

16、同坐甲车的只有 1 种情况，所以两人同坐甲车的概率为 ，故选：C【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比9（3 分）如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为 2 米，旗杆底部与平面镜的水平距离为 12米，若小明的眼晴与地面的距离为 1.5 米，则旗杆的高度为（ ）A9 B12 C14 D18【分析】如图，BC2m，CE 12m，AB1.5m ，利用题意得ACB

17、DCE，则可判断ACBDCE，然后利用相似比计算出 DE 的长【解答】解：如图，BC2m，CE 12m，AB1.5m ，由题意得ACBDCE，ABCDEC，ACBDCE， ，即 ，DE9即旗杆的高度为 9m故选：A【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度10（3 分）学校为创建“书香校园”，购买了一批图书已知购买科普类图书花费 10000元，购买文学类图书花费 9000 元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵 5 元，且购买科普书的数量比

18、购买文学书的数量少 100 本求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是 x 元，则可列方程为（ ）A 100 B 100C 100 D 100【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少 100 本得出等式进而得出答案【解答】解：设科普类图书平均每本的价格是 x 元，则可列方程为： 100故选：B【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键11（3 分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值应是（ ）A110 B158 C168 D178【分析】观察不难发现，左上角、左下角、右上角为三个连续的偶数，右

19、下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去左上角的数的差，根据此规律先求出阴影部分的两个数，再列式进行计算即可得解【解答】解：根据排列规律，10 下面的数是 12，10 右面的数是 14，8240，22462，44684，m121410158故选：B【点评】本题是对数字变化规律的考查，仔细观察前三个图形，找出四个数之间的变化规律是解题的关键12（3 分）如图，ABCD，且 ABCDE、F 是 AD 上两点，CEAD ，BFAD若CEa，BF b ，EF c ，则 AD 的长为（ ）Aa+ c Bb+c Cab+c Da+bc【分析】只要证明ABFCDE，可得 AFCEa，BFDEb，推出ADAF

20、+DF a+（bc ） a+bc；【解答】解：ABCD，CEAD ，BFAD，AFB CED90，A+D90，C +D90，AC，ABCD，ABF CDE，AFCEa， BFDEb，EFc，ADAF+DFa+（bc ） a+bc，故选：D【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型13（3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点O，BD 2AD ， E、F、G 分别是 OC、OD、AB 的中点，下列结论：BEAC ；四边形 BEFG 是平行四边形；EFGGBE；EGEF，其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4

21、【分析】由平行四边形的性质可得ABCD，AD BC，BO DO BD，AOCO，ABCD，即可得BODO AD BC，由等腰三角形的性质可判断 ，由中位线定理和直角三角形的性质可判断 ，由平行四边形的性质可判断 ，即可求解【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形ABCD，ADBC，BO DO BD，AOCO，ABCDBD2ADBODO AD BC，且点 E 是 AC 中点BEAC，正确E、F、分别是 OC、OD 中点EFDC，CD2EFG 是 AB 中点， BEACAB2BG 2GE，且 CD AB，CD ABBGEFGE，EFCDAB四边形 BGFE 是平行四边形，正确，四边形 BGFE

22、是平行四边形，BGEF，GFBE，且 GEGEBGEFEG（SSS）正确故选：D【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键14（3 分）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，OAB30，若点 A 在反比例函数 y （x0）的图象上，则经过点 B 的反比例函数解析式为（ ）Ay By Cy Dy 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出 ，进而得出 SAOD 3，即可得出答案【解答】解：过点 B 作 BCx 轴于点 C，过点 A 作 ADx 轴于点 D，BOA90，BOC+AOD90，AOD +OA

23、D90，BOCOAD，又BCOADO90，BCOODA， tan30 ， ， ADDO xy3，S BCO BCCO SAOD 1，经过点 B 的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y 故选：C【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数数的性质，正确得出SAOD 2 是解题关键二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）15（3 分）计算： + 7 【分析】先利用二次根式的乘法法则计算，然后化简后合并即可【解答】解：原式 +52 +57 故答案为 7 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合

24、并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍16（3 分）已知（x+y ） 225，x 2+y215，则 xy 5 【分析】把第一个等式左边利用完全平方公式化简，将第二个等式代入计算即可求出所求【解答】解：把（x+y ） 225，化简得：x 2+y2+2xy25，将 x2+y215 代入得： 15+2xy25，解得：xy5，故答案为：5【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键17（3 分）如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，tanC ，BAC105，AC2，那么 BC 的长度为 1+ 【分析】根据

25、已知条件得到C30，根据三角形的内角和得到CAD60，解直角三角形即可得到结论【解答】解：tanC ，C30，AD 是 BC 边上的高，ADBADC90，CAD60，AC2，AD AC1，CD AD ，BAC105，BADABD45在 Rt ADB 中，BDAD 1，BC1+ 故答案为：1+ 【点评】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键18（3 分）如图，在ABC 中，延长 BC 至 D，使得 CD BC，过 AC 的中点 E 作EF CD（点 F 位于点 E 右侧），且 EF2CD，连接 DF，若 AB8，则 DF 的长为 4 【分析】取 BC 的

26、中点 G，连接 EG，根据三角形的中位线定理得：EG 4，设 CDx，则 EFBC2 x，证明四边形 EGDF 是平行四边形，可得 DFEG4【解答】解：取 BC 的中点 G，连接 EG，E 是 AC 的中点，EG 是ABC 的中位线，EG AB 4，设 CDx，则 EFBC2x，BGCGx，EF2xDG，EFCD，四边形 EGDF 是平行四边形，DFEG 4，故答案为：4【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，作辅助线构建三角形的中位线是本题的关键19（3 分）如图，把一个面积为 1 的正方形等分成两个面积为 的长方形，接着把面积为 的长方形等分成两个面积为 的长方形，再

27、把面积为 的长方形等分两个面积为的长方形，如此下去，利用图中所示的规律计算： 【分析】结合图象发现计算方法： ， ，即计算面积等于总面积减去剩余面积【解答】解：根据图示可知， 1 故答案为 【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键三、解答题（本大题共 7 小题，共 63 分）20（7 分）计算：（ ）【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果【解答】解：原式 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键21（7 分）某商场服装部为了调动营业员

28、的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：17 18 16 13 24 15 28 26 18 1922 1716 19 32 30 16 14 15 2615 32 23 17 15 15 28 28 16 19频数分布表组别 一 二 三 四 五 六 七销售额 13x16 16x19 19x22 22x25 25x28 28x31 31x34频数 7 9 3 a 2 b 2数据分析表平均数 众数 中位数20.3 c 18请根据以上信息解答下列问题：（1）填空：a 3 ，b

29、 4 ，c 15 ；（2）若将月销售额不低于 25 万元确定为销售目标，则有 22 位营业员拿不到奖励；（3）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由【分析】（1）从表中数出落在 22x25 和 28x31 范围内的数据个数得到 a、b 的值，利用众数定义确定 c 的值；（2）利用频数分布表，后面三组的频数和为获得奖励的营业员的数量；（3）利用中位数的意义进行回答【解答】解：（1）在 22x25 范围内的数据有 3 个，在 28x31 范围内的数据有4 个，15 出现的次数最大，则众数为 15；故答案为：3，4，15；（2）月销售额不低于 25 万元为后面三

30、组数据，即有 8 位营业员获得奖励，则拿不到奖励的有 22 人；故答案为：22；（3）想让一半左右的营业员都能达到销售目标，我认为月销售额定为 18 万合适因为中位数为 18，即大于 18 与小于 18 的人数一样多，所以月销售额定为 18 万，有一半左右的营业员能达到销售目标【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数也考查了样本估计整体、平均数和中位数22（7 分）如图，沿 AC 方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从 AC 上的一点 B 取ABD 120，BD 520m ，D 30那么另一边开挖点 E 离D 多远正好使 A，C，E 三点在一直线上（ 取

31、 1.732，结果取整数）？【分析】根据三角形内角与外角的关系可求出AED 的度数，再根据勾股定理即可求出DE 的长【解答】解：ABD120，D 30，AED1203090，在 Rt BDE 中，BD520m， D 30，BE BD260m，DE 260 450（m ）答：另一边开挖点 E 离 D450m，正好使 A，C ，E 三点在一直线上【点评】本题考查三角形的外角性质与勾股定理的应用关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用23（9 分）如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，点 E 在AB 上，以 AE 为直径的O

32、 经过点 D（1）求证：直线 BC 是O 的切线；（2）若B30，AC3，求图中阴影部分的面积【分析】（1）连接 OD，由 AD 平分BAC ，可知OADCAD，易证ODA OAD，所以ODACAD，所以 ODAD，由于C 90，所以ODB 90，从而可证直线 BC 是O 的切线；（2）根据含 30 度角的直角三角形性质可求出 AB 的长度，然后求出AOD 的度数，然后根据扇形的面积公式即可求出答案【解答】解：（1）连接 OD，AD 平分BAC，OAD CAD ，OAOD ，ODA OAD，ODA CAD ，ODAD ，C90，ODB 90 ，ODBC，直线 BC 是O 的切线；（2）由B30

33、，C90 ，ODB90，得：AB2AC 6，OB 2OD ，AOD120，DAC30，OAOD ，OB2OA ，OAOD 2 ，由DAC30，得 DC ，S 阴影 S 扇形 OADS OAD 4 2 【点评】本题考查圆的综合问题，涉及角平分线的性质，平行线的判定与性质，含 30度角的直角三角形的性质，扇形面积公式等，需要学生灵活运用所学知识24（9 分）甲骑电动车、乙骑摩托车都从 M 地出发，沿一条笔直的公路匀速前往 N 地，甲先出发一段时间后乙再出发甲，乙两人到达 N 地后均停止骑行，已知 M，N 两地相距 km，设甲行驶的时间为 x（h），甲、乙两人之同的距离为 y（km），表示 y 与

34、x函数关系的图象如图所示请你解决以下问题：（1）求线段 BC 所在直线的函数表达式；（2）分别求甲，乙的速度；（3）填空：点 A 的坐标是 （ ，10） 【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得线段 BC 所在直线的函数表达式；（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲和乙的速度；（3）由（2）的结论可以求得点 A 的坐标并写出点 A 表示的实际意义【解答】解：（1）设线段 BC 所在直线的函数表达式为 ykx+b（k0），B（ ，0），C（ ， ）在直线 BC 上，得 ，即线段 BC 所在直线的函数表达式为 y20x ；（2）设甲的速度为 m km/h，乙的速度为 n km/h，得 ，故甲

35、的速度为 30 km/h，乙的速度为 50km/h，（3）点 A 的纵坐标是：30 ，即点 A 的坐标为（ ，10）故答案为：（ ，10）【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答25（11 分）如图，正方形 ABCD 中，AB2 ，O 是 BC 边的中点，点 E 是正方形内一动点，OE2，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90得 DF，连接 AE，CF（1）如图 1，求证：AECF；（2）如图 2，若 A，E，O 三点共线，求点 F 到直线 BC 的距离【分析】（1）由旋转的性质可得EDF90，DEDF，由正方形的性质可得A

36、DC90，DEDF，可得ADECDF，由“SAS”可证ADECDF，可得AECF；（2）由勾股定理可求 AO 的长，可得 AECF3，通过证明ABOCPF，可得，即可求 PF 的长，即可求点 F 到直线 BC 的距离【解答】证明：（1）将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90得 DF，EDF90，DE DF四边形 ABCD 是正方形ADC90，DEDFADCEDFADECDF，且 DEDF ，ADCDADECDF（SAS ）AECF，（2）解：如图 2，过点 F 作 FPBC 交 BC 延长线于点 P，则线段 FP 的长度就是点 F 到直线 BC 的距离点 O 是 BC 中点，且 ABBC2B

37、O ，AO 5OE2AEAO OE3ADECDFAECF3， DAO DCFBAOFCP，且ABOFPC90ABOCPFPF点 F 到直线 BC 的距离为【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明ABOCPF 是本题的关键26（13 分）如图 1，已知抛物线 yax 2+bx+30（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点B（3 ，0），与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M，请问在对称轴上是否存在点 P，使CMP 为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由

38、；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）已知抛物线过 A、B 两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了 M 点的坐标，由于C 是抛物线与 y 轴的交点，因此 C 的坐标为（0，3），根据 M、C 的坐标可求出 CM 的距离然后分三种情况进行讨论：当 CPPM 时，当 CMMP 时，当 CMCP 时，可分别得出 P 的坐标；（3）根据轴对称最短路径问题解答【解答】解：（1）抛物线 yax 2+bx+30（a0）

39、与 x 轴交于点 A（1，0）和点B（3，0）， ，解得： 所求抛物线解析式为：yx 22x +3；（2）存在，如图 1，抛物线解析式为：yx 22x +3，其对称轴为 ，设 P 点坐标为（1，a），C（0，3），M（1，0），PM2a 2，CM 2（1） 2+32，CP 2（1） 2+（3a） 2，分类讨论：（1）当 PCPM 时，（1） 2+（3a） 2a 2，解得 ，P 点坐标为：P 1（1， ）；（2）当 MCMP 时，（1） 2+32a 2，解得 ，P 点坐标为： 或 ；（3）当 CMCP 时，（1） 2+32（1） 2+（3a） 2，解得 a6，a0（舍），P 点坐标为：P 4（1

40、，6）综上所述存在符合条件的点 P，其坐标为 或 或P（1，6）或 （3）存在，Q（1，2），理由如下：如图 2，点 C（0， 3）关于对称轴 x1 的对称点 C的坐标是（2，3），连接 AC，直线 AC与对称轴的交点即为点 Q设直线 AC函数关系式为： ykx+ t（k0）将点 A（1，0），C（2， 3）代入，得 ，解得 ，所以，直线 AC函数关系式为： yx+1将 x1 代入，得 y2，即 Q（1，2）【点评】本题主要考查了二次函数的综合知识，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解