1、2019 年全国普通高等学校招生考试终极押题卷（全国新课标）理科数学（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知 为虚数单
2、位,复数 ,则 的实部与虚部之差为( )i 1zizA 1 B0C D2 22.如图所示的 Venn 图中， 是非空集合，定义集合 为阴影部分表示的集合若 ，,ABAxyR， ，则 为( )2Axyx30|xy ， BA B2|0x 2|1xC D1|x或 |0x或3.某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图 1 所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图 2 所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（ ）A. B. C. D. 4. 已知向量 ,若 ,则 等于( )(1,3)(6)abmab2A 80 B 160 C 45 D 4105. 程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果 ，
3、则判断框中应填入（ ）1320A B12k 1kC D0 96. 若等差数列 满足递推关系 ，则 （ ）na1na5aA B92 4C D14 137. 已知函数 ，且 ，则 的最小值为（ ）sin3cosfxx124fx12xA B3 C D2 348如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图， （单位：cm） ，则该几何体的表面积为( ) A B5 52C D4 49过圆 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为 、 ，若216xyP22:0OxymAB，实数 （ ）3AOBmA2 B 3C4 D910. 某人 5 次上班图中所花的时间（单位：分钟）分别为 ，已知这组数
4、据的平均数为,10,xy10，方差为 2，则 =（ ）xyA B1 2C D3 411对于函数 ，以下选项正确的是（ ）2()1)(xfeA有 2 个极大值 B有 1 个极小值C1 是极大值点 D1 是极小值点12. 如图，过椭圆 的左、右焦点 分别作斜率为 的直线交椭圆 上半部分于2:1xyab12,F2C两点，记 的面积分别为 ，若 ，则椭圆 离心率为( ),AB12,AOFBS1:7:5SA B2 3C D :.12F2F1y xABO第卷二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13若实数 满足 ,则 的最大值为_,xy0261yx2zxy14. 甲、乙、丙三位同学获
5、得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知，3 人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名；若甲、乙、丙三位同学的预测有且只有一个正确，由此判断获得第一名的同学是_15. 已知变量 ， ，且 ，若 恒成立，则 的最大值为1x20,m12x21xm_16 在四面体 中， 为等边三角形，边长为 ， ,则四面体PABC 3,4,5PABC为 _的 体 积三、解答题（共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 ）（一）必考题：共 60 分。17 （本小题满分 12
6、分）已知在 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对应边，点 为 边的中点， 的面ABC abcABCDBCABC积为 23sinD（）求 的值；sinD（）若 ， ，求 6BCA2b18 （本小题满分 12 分）为了迎接 2019 年高考，了解学生的成绩状况，在一次省质检中，某省教育部门随机抽取了500 名学生的数学考试成绩，统计如下表所示：成绩 X75,8),95),10)5,1),25人数 Y30 120 210 100 40（）计算各组成绩的频率，并填写在表中；成绩 X75,8),95),10)5,1),25人数 Y30 120 210 100 40频率（）已知本次质检数学测试的成绩 2(
7、,)XN:，其中 近似为样本的平均数， 2近似为样本方差 2s，若该省有 10 万考生，试估计数学成绩在 (10,2的人数；（以各组区间的中点值代表该组的取值）（）将频率视为概率，若从该省所有考生中随机抽取 4 人，记这 4 人中成绩在 105,)的人数为 ，求 的分布列以及数学期望.参考数据：若2(,)ZN:，则 ()0.682PZ， (PZ2)0.954， 33).974.19 （本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 中， 。ABC1 190,BACA（）求证： 平面 ；1( )若 D 在 上，满足 ，求 与平面 所成的角的正弦值。112D1B20 （本小题满分 12 分）已知抛物线 的
8、焦点为 ，点 在抛物线 上，点 的纵坐标为 8，且 2:0ExpyFPEP9PF（）求抛物线 的方程；（）若点 是抛物线 准线上的任意一点，过点 作直线 与抛物线 相切于点 ，证明：MMnNFN21 （本小题满分 12 分）已知函数 ln0bfxax（）当 时，讨论函数 的单调性；2bf（）当 ， 时，对任意 ， ，都有 成立，求实数 的0a1x2,e12efxfb取值范围（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程22 （本小题满分 10 分）在直角坐标系 中，曲线 的方程为 （ 为参数） 以坐标原点 为
9、极点， 轴正半xOy1Ccosinxy Ox轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 2 2s（）求 ， 交点的直角坐标；1C2（）设点 的极坐标为 ，点 是曲线 上的点，求 面积的最大值A4,3B2CAOB23. （本小题满分 10 分）已知 1fxax（） 时，求不等式 的解集；a3f（）若 的解集包含 ，求 的取值范围3fx1,a2019 年全国普通高等学校招生考试终极押题卷（全国新课标 ）理科数学（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题
10、答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第 卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知 为虚数单位,复数 ,则 的实部与虚部之差为( )i 1zizA 1 B0C D2 2【答案】:D【解析】： 复数 ，1zi,故选 D.112,2,2-=2izii实 部 ， 虚 部 ， 实 部 虚 部2.如图所示的 Venn 图中， 是非空集合，定义集合 为阴影
11、部分表示的集合若 ，,ABABxyR， ，则 为( )2Axyx30|xy ，A B2|0x2|1xC D1|02xx或 1|02xx或【答案】:D【解析】： 02,1,0,12,()ABAxByABxABxC，故选 D.1或3.某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图 1 所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图 2 所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【分析】结合图表，通过计算可得：该学期的电费开支占总开支的百分比为 20%=11.25%，得解【详解】由图 1，图 2 可知：该学期的电费开支占总开支的百分比为20%=11.25%，故选：
12、B【点睛】本题考查了识图能力及进行简单的合情推理，属简单题4. 已知向量 ,若 ,则 等于( )(1,3)(6)abmab2A 80 B 160 C 45 D 410【答案】C【解析】因为 ，所以 630m，解得 2210， 所 以 ， ab，所以ab2244080abab，所以 245ab，故选 C5. 程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果 ，则判断框中应填入（ ）13A B12k 1kC D0 9【答案】D【解析】初始值， ；12,ks执行框图如下： ；不能满足条件，进入循环； ；不能满足条件，进, 132,0sk入循环； ；此时要输出，因此要满足条件，故选 D1320,9sk6. 若
13、等差数列 满足递推关系 ，则 （ ）na1na5aA B92 94C D14 13【答案】B【解析】令 ，得 ；令 ，得 ，两式相加，得 ，所以n54a5n65a54629a，故选 B594a7. 已知函数 ，且 ，则 的最小值为（ ）sin3cosfxx124fx12xA B3 C D2 34【答案】C【解析】 ，13sin3cos2incos2in3fxxx又 ，即 ，124f 12ii4 ， ，122sinsi3xx12sinsi13xx 且 或 且 i in32i 1in3 ， ，或 ， ， 1123xk22xk132xk2xkZ ，23Z显然，当 时， 的最小值为 ，故选 C10k1
14、2x38如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图， （单位：cm） ，则该几何体的表面积为( ) A B5 52C D4 4【答案】B【解析】根据三视图，该几何体为一个圆柱在上半部分的正面截去 圆柱所得，它的表面积为14。故选 B.222111 59过圆 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为 、 ，若26xyP22:0OxymAB，实数 （ ）3AOBmA2 B3C4 D9【答案】A【解析】如图所示，取圆 上一点 ，过 作圆 的两条切线 、 ，216xy4,0P22:0OxymPAB当 时， ，且 ， ； ，则实数 故选3AOB3AAP412AO2mOA10. 某人
15、5 次上班图中所花的时间（单位：分钟）分别为 ，已知这组数据的平均数为,910,xy10，方差为 2，则 =（ ）xyA B1 2C D3 4【答案】:D【解析】：解析：这是一道最新数学素养考题的体现，据题意有 ，按一般220(1)()8xy同学的常规思路解出 ，导致运算量大而出错，其实由点到直线的距离公式知：,xy xy代表直线 与圆 的交点到直线 的距离的 倍，2xy2022(1)(0)8xy0xy2所以 = 。故选 D.xy4xyr11对于函数 ，以下选项正确的是（ ）2()1)(xfeA有 2 个极大值 B有 1 个极小值C1 是极大值点 D1 是极小值点【答案】:C【解析】：232(
16、)1)()45)x xfefex3 23458()(),(11x xxef有 个 极 小 值 ， 个 极 大 值 ， 其 中 为 极 大 值 点 .故选 C.12. 如图，过椭圆 的左、右焦点 分别作斜率为 的直线交椭圆 上半部分于2:1xyCab12,F2C两点，记 的面积分别为 ，若 ，则椭圆 离心率为( ),AB12,AOFBS1:7:5SA B2 3C D12F2F1y xABO【答案】:C【解析】：作点 B 关于原点的对称点 B1，则有 ，所以 。将直线 方程1275AByS175ABy1A，代入椭圆方程后，由韦达定理解得 ， ，三式联立，24yxc 1248Abca1428ABba
17、可解得离心率 。故选 C12ea第 卷二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13若实数 满足 ,则 的最大值为_,xy0261yx2zxy【答案】：2【解析】：作出线性可行域如图，当 y=2x 过点 A（2,2）时，纵截距最小，此时 z 最大，最大值为.14. 甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知，3 人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名；若甲、乙、丙三位同学的预测有且只有一个正确，由此判断获得第一名的同学是_【答案】：乙【解析】：甲、乙、丙的排名及预测对错如下表：甲 对、错 乙 对、错 丙 对、错1 2 3 1
18、3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 所以满足条件的甲、乙、丙排名依次为第三名，第一名，第二名，故答案为乙。15. 已知变量 ， ，且 ，若 恒成立，则 的最大值为1x20,m12x21xm_【答案】： e【解析】 ，即 化为 ，故 在 上为增函数，21x212lnlx12lnxlnxf0,，故 的最大值为 .2ln0ef me16 在四面体 中， 为等边三角形，边长为 ， ,则四面体PABC3,4,5PABC为 _的 体 积【答案】： 1【解析】：如图作 PH 垂直于平面 ABC 于 H 点， 3,4,5PABC2222 0,3,3,PABCPABCHABHAB， ,又 面
19、2 2, =9- =16-,HhRthRthA设 在 中 有 ， 同 理 在 中 有 在 中 由 余 弦 定 理 得 ：2202 2341cos3-9163,HhA， 即1341,PABCV三、三、解答题（共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 ）（一）必考题：共 60 分。17 （本小题满分 12 分）已知在 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对应边，点 为 边的中点， 的面ABC abcABCDBCABC积为 23sinADB（1）求 的值；sinA（2）若 ， ，求 6C2
20、b【答案】 （1） ；（2） 33【解析】 （1）由 的面积为 且 为 的中点可知： 的面积为 ，AB2sinADBCABD 26sinAB由三角形的面积公式可知 ，在 中22213sin6iABC由正弦定理可得 ，所以 6 分3sinsi1A 1sn3（2） ，又因为 为 的中点，所以 ，即 ，6BCADBC26CDBA在 中，由正弦定理可得 ，所以 ，D sinsisisinD由（1）可知 ，所以 ， ，1sini3A 1n3BAin1， ，在直角 中 ， ，所以 ，0,BA2BD 2si3BA1B3D， ，在 中用余弦定理，可得2C6AC， 1cos13263baB3b12 分18 （本
21、小题满分 12 分）为了迎接 2019 年高考，了解学生的成绩状况，在一次省质检中，某省教育部门随机抽取了500 名学生的数学考试成绩，统计如下表所示：成绩 X75,8),95),10)5,1),25人数 Y30 120 210 100 40（1）计算各组成绩的频率，并填写在表中；成绩 X75,8),95),10)5,1),25人数 Y30 120 210 100 40频率（2）已知本次质检数学测试的成绩 2(,)XN:，其中 近似为样本的平均数， 2近似为样本方差 2s，若该省有 10 万考生，试估计数学成绩在 (10,2的人数；（以各组区间的中点值代表该组的取值）（3）将频率视为概率，若从
22、该省所有考生中随机抽取 4 人，记这 4 人中成绩在 105,)的人数为 ，求 的分布列以及数学期望.参考数据：若2(,)ZN:，则 ()0.682PZ， (PZ2)0.954， 33).974.【答案】：见解析【解析】：（1）填表如下：成绩 X75,8),95),10)5,1),25人数 Y30 120 210 100 40频率 0.06 0.24 0.42 0.2 0.082 分（2）依题意， 80.690.241.210.20.81x， 故 24.14s ， 故 2(10,)XN:，故 .5.68(02)0.13592PX， 故所求人数为.359359=(人 ). 6 分（3）依题意，任
23、取 1 人，成绩在 105,)的概率为 15， 1(4,)5B:，4256(0)(P， 13426()C()P，22419()C()， 341()()5， 4()(56P，10 分所以 的分布列为 0 1 2 3 4P25696512511 分故 45E.12分19 （本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 中， 。ABC1 190,BACA（1）求证： 平面 ；1( 2 )若 D 在 上，满足 ，求 与平面 所成的角的正弦值。112D1B【答案】：见解析【解析】：（1）根据已知条件易得 ， 由 面 ，得1AB1C1AB1AC所以 平面 。 6 分1AB1C（2）以 A1B1,A1C1 为 x
24、,y 轴建立直角坐标系，设 AB=a，则 ， ， ，0,a,012,0,03aD所以 ，设面 的法向量为 ，则2,3aAD1ABCn1,0可计算得到7cos,n所以 与平面 所成的角的正弦值为 。 12 分AD1BC2720 （本小题满分 12 分）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，点 的纵坐标为 8，且 2:0ExpyFPEP9PF（1）求抛物线 的方程；（2）若点 是抛物线 准线上的任意一点，过点 作直线 与抛物线 相切于点 ，证明：MMnNFN【答案】 （1） ；（2）见解析4xy【解析】 （1）由题意可知，抛物线的准线方程为 ，2py又点 的纵坐标为 8，且 ，于是 ， ，故抛
25、物线 的方程P9PF89E为 4 分24xy（2）设点 ， ， ， ， ，,1Mm0,Nxy0214yx1yx切线方程为 ，即 ，6 分02y0令 ，可解得 ， ，8 分104x20,1xM又 ， ， 10 分0,F20x， 0,FNxy 12222000044xMNy FMN分21 （本小题满分 12 分）已知函数 ln0bfxax（1）当 时，讨论函数 的单调性；2bf（2）当 ， 时，对任意 ， ，都有 成立，求实数 的0ab1x2,e12efxfb取值范围【答案】 （1）见解析；（2） 0,【解析】 （1）函数 的定义域为 fx,当 时， ， 2b2lnfa2xaf当 时， ，函数 在
26、 上单调递增 0a0x0,当 时，令 ，解得 ， f2ax当 时， ，函数 在 上单调递减；02ax0fxf0,当 时， ，函数 在 上单调递增ffx,2a综上所述，当 ， 时，函数 在 上单调递增；2b0af0,当 ， 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增6fx,2a,2a分（2）对任意 ， ，都有 成立，1x2,e12efxf ， 成立，7 分1maxinffffmaxin2ff ， 时， ， 0ablbf1bf当 时， ，当 时， ，1x0fx10fx 在 单调递减，在 单调递增，f,e,e， ， ，8 分min1fxfbfebf设 ， ， ee2bgbf02e20bbg 在 递增，
27、 ， ，可得 ，0,g1effmaxebff ，即 ，10 分e12be10b设 ， ， 在 恒成立e1b0be10b, 在 单调递增，且 ，不等式 的解集为 0,e10b,1实数 的取值范围为 12 分b0,1（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程22 （本小题满分 10 分）在直角坐标系 中，曲线 的方程为 （ 为参数） 以坐标原点 为极点， 轴正半xOy1Ccosinxy Ox轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 2 2s（1）求 ， 交点的直角坐标；1C2（2）设点 的极坐标为 ，点 是
28、曲线 上的点，求 面积的最大值A4,3B2CAOB【答案】 （1） ， ；（2） ,21,3【解析】 （1） ， ， ， 21:Cxy2:cos2cos2xy联立方程组得 ，解得 ， ，2xy132xy213xy所求交点的坐标为 ， 5 分13,2,（2）设 ，则 ,Bcos 的面积AO 11in4sin4cosin2233SAOB，当 时， 10 分2cos361maxS选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23. （本小题满分 10 分）已知 1fxax（1） 时，求不等式 的解集；a3f（2）若 的解集包含 ，求 的取值范围3fx1,a【答案】 （1） ；（2） 3x或 ,【解析】 （1） ， ，a,112,xfx，则 或 ，不等式的解集为 5 分3fx23x32x或（2） 的解集包含 ，即为 在 上恒成立f1,f1,， 1,x1xaxax故 ，即为 ，即 3f132所以 ， ，2ax3ax又因为 ， ，则 10 分1,11,a
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