1、2019 年普通高等学校统一招生考试终极押题卷（全国新课标）理科数学（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 如图， 为
2、全集， 、 、 是 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）UMPSUA B()MPS ()MPSC DU UC2. 在复平面内，复数 对应的点到直线 的距离是( )21zi1yxA12B2C D13. 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即 日均值在2.5PM 2.5PM/ 以下空气质量为一级，在 / 空气量为二级，超过 / 为超标如图3g3m357g:3m7g3m是某地 5 月 1 日至 10 日的 （单位： / )的日均值折线图，则下列说法不正确的是（ 2.PM）A. 这 天中有 天空气质量为一级B. 从 日到 日 日均值逐渐降低2.5PMC. 这 天中 日均值的
3、中位数是D. 这 天中 日均值最高的是 5 月 日.4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B23 43C D 255下列函数中同时具有性质:“最小正周期是 ,图象关于 对称,在 上是增函数”3x,63的函数是( )A. B. sin26yx cos2yxC. D. i 66. 执行下面的程序框图，如果输入 ， ，则输出的 （ ）1abSA7 B20C22 D547. 已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，则（ ）fxR0,A B0.63log12fff 0.6332log1fffC D0.62lfff0.6lfff8.
4、多项式的展开式中 的系数为（ ）8341xx2xA B48641280C D1280469在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ， ，则B ABCabc273c2BC的值为（ ）cos2A B73 59C D49 7410设 ， 是双曲线 的两个焦点， 是 上一点，若 ，1F2 2:10,xyCabPC126PFa且 的最小内角为 ，则 的离心率为（ ）P 30A B2 32C D3 611. 某人 5 次上班图中所花的时间（单位：分钟）分别为 ，已知这组数据的平均数为,910,xy10，方差为 2，则 =（ ）xyA B1 2C D3 412. 在四面体 中， 为等边三角形，边
5、长为 ， ,则四面体PABC 33,4,5PABC为（ ）的 体 积A B3 2C D1 10第卷二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 已知向量 ， ，满足 ，且 ，则 _ab2a(1,3)bab在 方 向 上 的 投 影 为14若实数 满足 ,则 的最大值为_,xy061yx2zxy15. 已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为_()xfe(2)1)2fxf16 某 工 厂 现 将 一 棱 长 为 的 四 面 体 毛 坯 件 ， 切 割 成 一 个 圆 柱 体 零 件 ， 则 该 圆 柱 体 体 积 的3最 大 值 为 _三、解答题（共 70 分解答应写出必要的
6、文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 ）（一）必考题：共 60 分。17 （本小题满分 12 分）已知数列 是等差数列， ， ，数列 的前 项和为 ，且 na23a56nbnS2nbS（）求数列 、 的通项公式；nb（）记 ，若数列 的前 项和为 ，证明： 21nncancnT12n18 （本小题满分 12 分）正方体 的棱长为 1， 是边 的中点，点 在正方体内部或正方体的面上，且1ABCDE1DCF满足： 面 。/EF1ABC（）求动点 的轨迹在正方体内形成的平面区域的面积；（）设直线 与动点 的轨迹
7、所在平面所成的角记为 ，求 1DFcosED1 C1B1A1D CBA19 （本小题满分 12 分）为了迎接 2019 年高考，了解学生的成绩状况，在一次省质检中，某省教育部门随机抽取了 500 名学生的数学考试成绩，统计如下表所示：成绩 X75,8),95),10)5,1),25人数 Y30 120 210 100 40（）计算各组成绩的频率，并填写在表中；成绩 X75,8),95),10)5,1),25人数 Y30 120 210 100 40频率（）已知本次质检数学测试的成绩 2(,)XN:，其中 近似为样本的平均数， 2近似为样本方差 2s，若该省有 10 万考生，试估计数学成绩在 (
8、10,2的人数；（以各组区间的中点值代表该组的取值）（）将频率视为概率，若从该省所有考生中随机抽取 4 人，记这 4 人中成绩在 105,)的人数为，求 的分布列以及数学期望.参考数据：若2(,)ZN:，则 ()0.682PZ， (PZ2)0.954， (33)0.974PZ.20 （本小题满分 12 分）已知椭圆2:1(0)xyCab的左、右焦点分别为 12F、 ，过点 2且垂直于 x轴的直线截椭圆形成的弦长为 ，且椭圆 C的离心率为 2，过点 1的直线 l与椭圆 C交于 ,MN两点.（）求椭圆 的标准方程；（）若点 (2,0)R，且 MRNur，则当 取得最小值时，求直线 l的方程.21
9、（本小题满分 12 分）已知函数 有两个不同的零点2()ln(1),()fxaxax（）求 的取值范围；（）设 是 的两个零点，证明：12,()f 12.xa（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程22 （本小题满分 10 分）在平面直角坐标系中，曲线 1C的参数方程为2cosinxry( 0， 为参数) ，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1C经过点,3P，曲线 2C的极坐标方程为2(cos)6（）求曲线 1C的极坐标方程；（）若 1(,)A，2(,)B是曲线 2C上两点，求2
10、21|OAB的值选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23. （本小题满分 10 分）已知函数 ()|1|24|fxx.（）解不等式： f；（）若关于 x 的不等式 在 上无解，求实数 的取值范围.2()xxm0,3m2019 年普通高等学校统一招生考试终极押题卷（全国新课标 ）理科数学（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回
11、答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 如图， 为全集， 、 、 是 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）UMPSUA B()MPS ()MPSC DU UC【答案】C【分析】先根据图中的阴影部分是 MP 的子集，但不属于集合 S，属于集合 S 的补集，然后用关系式表示出来即可【解析】图中的阴影部分是： MP 的子集，不属于集合 S，属于集合 S 的补集,即是 的子UC集，则阴影部分所表示的集合是 故选：C()UMP【点
12、睛】本题主要考查了 Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题2. 在复平面内，复数 对应的点到直线 的距离是( )21zi1yxA12B2C D1【答案】B【解析】 所以复数 对应的点为(1,1)，点(1,1)到直线 yx1 的距离2(1)iii21i为 ，故选 B.213. 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即 日均值在.5PM 2.5PM/ 以下空气质量为一级，在 / 空气量为二级，超过 / 为超标如图3g3m357g:3m7g3m是某地 5 月 1 日至 10 日的 （单位： / )的日均值折线图，则下列说法不正确的是（ 2.PM）A. 这
13、 天中有 天空气质量为一级B. 从 日到 日 日均值逐渐降低2.5PMC. 这 天中 日均值的中位数是.D. 这 天中 日均值最高的是 5 月 日2.5【答案】C【分析】认真观察题中所给的折线图，对照选项逐一分析，求得结果.【解析】这 10 天中第一天，第三天和第四天共 3 天空气质量为一级，所以 A 正确；从图可知从 日到 日 日均值逐渐降低，所以 B 正确；从图可知，这 天中 日均值最高的是 5 月 日，所以 D 正确；由图可知，这 天中 日均值的中位数是 ，所以 C 不正确；故选 C.【点睛】该题考查的是有关利用题中所给的折线图，描述对应变量所满足的特征，在解题的过程中，需要逐一对选项进
14、行分析，正确理解题意是解题的关键.4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B23 43C D 25【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体由两个同底的圆锥拼接而成，圆锥的底面半径 ，高 ，1r2h所以该几何体的体积为 ，故选 B21433V5下列函数中同时具有性质:“最小正周期是 ,图象关于 对称,在 上是增函数”3x,63的函数是( )A. B. sin26yx cos2yxC. D. i 6【答案】A【解析】由最小正周期是 ，排除 C,由图象关于 对称，当 时，函数取=23x3x得最大值或最小值，排除 D,由在 上是增函数，,6
15、3对于 A, ,2,sin(2),636263xxyx在 上 为 增 函 数 ， 满 足 条 件 .对于 B, ,0,cos(),3xxyx 在 上 为 减 函 数 ， 不 满 足 条 件 .故选 A.6. 执行下面的程序框图，如果输入 ， ，则输出的 （ ）1abSA7 B20C22 D54【答案】B【解析】 1,0, 2,3,27,5840160.abskabks初 始 值 第 一 次 循 环 : 第 二 次 循 环 :第 三 次 循 环 :s， 输 出 s故选：B7. 已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，则（ ）fxR,A B0.63log12fff 0.6332log1f
16、ffC D0.62lfff0.6lfff【答案】C【解析】根据题意，函数 是定义在 上的偶函数，则 ，fxR3ff，有 ，又由 在 上单调递增，33log1lff0.6332log1l27fx0,则有 ，故选 C0.62log1fff8.多项式的展开式中 的系数为（ ）834xx2xA B48641280C D128046【答案】A【解析】根据二项式的展开式，可以得到第一个括号里出 项，第二个括号里出 项，或者第一3x1x个括号里出 ，第二个括号里出 ，具体为 ，化简得到4x21x231742688CC2x，故选 A21809在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ， ，则BC B
17、Cabc273c2B的值为（ ）cos2A B73 59C D49 74【答案】B【解析】由正弦定理可得： ，即sinibcBC，sini2ico277cos33bCc275coss19C，故选 B10设 ， 是双曲线 的两个焦点， 是 上一点，若 ，1F2 2:10,xyabP126PFa且 的最小内角为 ，则 的离心率为（ ）P 30CA B2 32C D3 6【答案】C【解析】因为 ， 是双曲线的两个焦点， 是双曲线上一点，且满足 ，1F2 P126PFa不妨设 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知 ，P 12Fa所以 ， ， ，12c14a2PF， ， 为 最小边，a2F12的最小
18、内角 ，根据余弦定理，12P 130，21212cosPF即 ，223464aca， ，所以 ，故选 C30c3cea11. 某人 5 次上班图中所花的时间（单位：分钟）分别为 ，已知这组数据的平均数为,910,xy10，方差为 2，则 =（ ）xyA B1 2C D3 4【答案】D【解析】这是一道最新数学素养考题的体现，据题意有 ，按一般同学220(1)()8xy的常规思路解出 ，导致运算量大而出错，其实由点到直线的距离公式知：,xy xy代表直线 与圆 的交点到直线 的距离的22022(1)(0)8xy0倍，所以 = 。故选 D.xy4xyr:12. 在四面体 中， 为等边三角形，边长为
19、， ,则四面体PABC 3,4,5PABC为（ ）的 体 积A B3 2C D1 10【答案】C【解析】如图作 PH 垂直于平面 ABC 于 H 点， 3,4,5PABC2222 0,3,3,PABPACBCPHABCHAB， ,又 面2 2, =9- =16-,HhRthRth:设 在 中 有 ， 同 理 在 中 有 在 中 由 余 弦 定 理 得 ：2202 2341cos3-9163,Hh:， 即故选 C21341,PABCV第卷二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 已知向量 ， ，满足 ，且 ，则 _ab2a(1,3)bab在 方 向 上 的 投 影 为【
20、答案】1【解析】2cos2, cos1.ababab 据 投 影 概 念 得 在 方 向 上 的 投 影 为14若实数 满足 ,则 的最大值为_,xy0261yx2zxy【答案】2【解析】作出线性可行域如图，当 y=2x 过点 A（2,2）时，纵截距最小，此时 z 最大，最大值为.15. 已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为_()1xfex(2)1)2fxf【答案】 3【解析】令 则 为 上的单增奇函数，()1,gxf()xgeR1(2)2()1)0(2)1)3ff gxx16 某 工 厂 现 将 一 棱 长 为 的 四 面 体 毛 坯 件 ， 切 割 成 一 个 圆 柱 体 零 件 ， 则
21、 该 圆 柱 体 体 积 的3最 大 值 为 _【答案】27【解析】如图：圆柱 与正四面体的各面均相切，设与面相切于 F 点，则 E 是 BC 的中点，且12OA、E、F 三点共线， 三点共线， 三点共线，12,A2,DEO023sin6,AEDOABC:为 正 的 中 心 ，而 设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则2113O， 22,EO有 ,圆柱的体积为()rhr，令1223232(1) ()OVrrrr3 11()(,=2-6),(0,)()0,(,)(033f f frfr 则 （ 当 时 ， 当 时 ,当且仅档 121 2() .7OrfrV时 ， 最 大 ， 即 最 大 ， 最 大
22、 值 为三、解答题（共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 ）（一）必考题：共 60 分。17 （本小题满分 12 分）已知数列 是等差数列， ， ，数列 的前 项和为 ，且 na23a56nbnS2nbS（）求数列 、 的通项公式；nb（）记 ，若数列 的前 项和为 ，证明： 21nncancnT12n【答案】见解析【解析】 （1）由已知得 ，解得 ，所以 2 分1346d12,ad1na当 时， ， （1） 3 分1n12b12b，当 时， （2）5 分1nnS当 时 ， n
23、1nb由（1） ， （2 ）得 6 分2nb（）由() 知，所以 8 分3(1)2nc10 分12()2nc01223111()()()3452)2(2()nnnnT T 11 分12 分12n【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列概念、通项公式、判定，一般数列的前 项和n与 的关系等基础知识同时考查裂项相消法求数列的前 n 项和的探究方法及整体思想，nSa运算求解能力等18 （本小题满分 12 分）正方体 的棱长为 1， 是边 的中点，点 在正方体内部或正方体的面上，且1ABCDE1DCF满足： 面 。/EF（）求动点 的轨迹在正方体内形成的平面区域的面积；（）设直线 与动点 的轨迹所在平面
24、所成的角记为 ，求 1BFcosED1 C1B1A1D CBA【答案】见解析【解析】解：（）如图，在正方体内作出截面 EFGHIJ， （或画出平面图形）4 分它的形状是一个边长为 正六边形5 分2可以计算出它的面积为 6 分34JIHGFED1 C1B1A1D CBA（）法一：如图，连 交 于 点，连 ，11AOB所求面/面 ， 所求角= 与面 所成的角，CD1AC面 面 ， 线 在面 的投影为 ，1AB11 O即为所求的角11 分DO在 中，由余弦定理知112cos3DBO所以， 12 分2cos3OED1 C1B1A1D CBA法二：以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立直角坐标系，xy1Dz
25、则 8 分11(,0),(0,)(,)C可求出平面 的法向量为 ，又 10 分1AB1,n1(,)Bcos,3nD所以， 12 分2【点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识同时考查空间向量的应用，考查空间想象能力和运算求解能力19 （本小题满分 12 分）为了迎接 2019 年高考，了解学生的成绩状况，在一次省质检中，某省教育部门随机抽取了500 名学生的数学考试成绩，统计如下表所示：成绩 X75,8),95),10)5,1),25人数 Y30 120 210 100 40（1 ）计算各组成绩的频率，并填写在表中；成绩 X75,8),95),10)5,1),25人数 Y30
26、 120 210 100 40频率（2 ）已知本次质检数学测试的成绩 2(,)XN:，其中 近似为样本的平均数， 2近似为样本方差 2s，若该省有 10 万考生，试估计数学成绩在 (10,2的人数；（以各组区间的中点值代表该组的取值）（3 ）将频率视为概率，若从该省所有考生中随机抽取 4 人，记这 4 人中成绩在 105,)的人数为 ，求 的分布列以及数学期望.参考数据：若2(,)ZN:，则 ()0.682PZ， (PZ2)0.954， 33).974.【答案】见解析【解析】（1 ）填表如下：成绩 X75,8),95),10)5,1),25人数 Y30 120 210 100 40频率 0.0
27、6 0.24 0.42 0.2 0.082 分（2 ）依题意， 80.690.241.210.0.81x， 故 240.610.24.10.240.81s， 故 2(1,)XN:，故 956().359PX， 故所求人数为0.3590359=(人 ). 6 分（3 ）依题意，任取 1 人，成绩在 105,)的概率为 15， 1(4,)5B:，4256(0)(P， 13426()C()P，22419()C()， 341()()5， 4()(56P，10 分所以 的分布列为 0 1 2 3 4P25696512511 分故 145E.12 分20 （本小题满分 12 分）已知椭圆2:1(0)xyC
28、ab的左、右焦点分别为 12F、 ，过点 2且垂直于 x轴的直线截椭圆形成的弦长为 ，且椭圆 C的离心率为 2，过点 1的直线 l与椭圆 C交于 ,MN两点.（1 ）求椭圆 的标准方程；（2 ）若点 (,0)R，且 MRNur，则当 取得最小值时，求直线 l的方程.【答案】见解析【解析】（1 ）联立 2,1xcyab解得2ba，故2. 又 2ca， 2bc，解得， ，故椭圆 C的标准方程为21xy.4 分（2 ）设 1(,)Mxy， 2(,)Ny，故 12(,)(,)RMNxyur .当直线 l垂直于 x轴时，12， 12，且 1，此时 211173,(,9Ryru.6 分当直线 l不垂直于
29、x轴时，设直线 :(1)lykx，联立 2(),ykx整理得 22(1)40k，所以 1224k，21kx，8分故 2121212()()RMNxxkxur 22 222112 4()4()1kkk 22737()k.综上所述， 的最小值为 7，此时直线 l的方程为1x.12分21 （本小题满分 12 分）已知函数 有两个不同的零点2()ln(1),()fxaxaxR（）求 的取值范围；（）设 是 的两个零点，证明：12,()f 12.xa【答案】见解析【解析】()函数 f(x)的定义域为 ，0， xaax122()f 1分 当 0a时，易得 ()f，则 f(x)在 ， 上单调递减，则 f()
30、至多有一个零点，不符合题意，舍去。 . 2 分 当 0a时，令 0(x)f得 a，则列表如下：x ， a ,a()f+ 0 - 极大值 所以 1ln)()(f(x)ma aff极 大 值 只需 0g 4 分设 x1-ln(x) 因为 0g 则 g()在 ， 上单调递增。又因为 ,()所以 x时 0; 1x时 0g()。所以 1a综上 时函数有两个零点 6 分（）由()可知 f(x)有两个不同的零点，所以 1a，且当 ax0时 f()是增函数不妨设 ,21则 ,021a设 ),-f(2x)F(2 8 分则 xaxaaxaxa 221()F 10 分20时， 0()所以 f()单调递增 11 分又
31、 F(a)所以 x,所以 x-2a 因为 1，所以 11f)(因为 2f)(所以 2-因为 axax2,12，所以 f(x)在 ,a上单调递减 ，所以 ,21xa所以 1 12 分（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程22 （本小题满分 10 分）在平面直角坐标系中，曲线 1C的参数方程为2cosinxry( 0， 为参数) ，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1C经过点,3P，曲线 2C的极坐标方程为2(cos)6（1）求曲线 1C的极坐标方程；（2）若 1(,)A，2(,)
32、B是曲线 2C上两点，求221|OAB的值【答案】见解析【解析】 （1）将曲线 1C的参数方程cosinxry化为普通方程为22()xyr，即2240xyr，由22， ，可得曲线 1C的极坐标方程为22cos，因为曲线 1C经过点(,)3P，所以224cos403r，解得 r（负值舍去），所以曲线 1的极坐标方程为 cos5 分（2）因为 1(,)A，2(,)B在曲线2:()6C上，所以1(cos)6，22cos()cos，所以22211cos2cs| 63OAB10 分选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23. （本小题满分 10 分）已知函数 ()|1|24|fxx.（1 ）解不等式： f；（2 ）若关于 x 的不等式 在 上无解，求实数 的取值范围.2()xxm0,3m【答案】见解析【解析】 （1）依题意， 2|1|4|x，当 x时，原式化为 2，即 30x，解得 321x；当 12时，原式化为 214x，即 5，解得 ；当 x时，原式化为 2xx，即 30x，无解.综上所述，所求不等式的解集为 31(,).5 分（2 ）由题意可知， 0,3x时， 2|1|xxm恒成立当 0x时， 2m，得 2in()；当 3时， x，得 mi+4x.综上所述，实数 m 的取值范围为(,410 分
浙公网安备33030202001339号