1、 高中 数学选修 2-2 知识点 第一章 导数及其应用 一 导数概念的引入 1. 导 数 的 物 理 意 义 ： 瞬 时 速 率 。 一 般 的 ， 函 数 ()y f x 在 0xx 处 的 瞬 时 变 化 率 是000 ( ) ( )limx f x x f xx ， 我们称它为函数 ()y f x 在 0xx 处的导数，记作 0()fx 或0|xxy ， 即 0()fx = 000( ) ( )limxf x x f xx 2. 导数的几何意义：曲线的切线 .通过图像 ,我们可以看出当点 nP 趋近于 P 时，直线 PT 与曲线相切。容易知道，割线 nPP 的斜率是 00( ) ( )n
2、nnf x f xk xx ，当点 nP 趋近于 P 时，函数 ()y f x 在 0xx 处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 000 0( ) ( )lim ( )nx nf x f xk f xxx 3. 导函数：当 x 变化时， ()fx 便是 x 的一个函数，我们称它为 ()fx的导函数 . ()y f x 的导函数有时也记作 y ,即0 ( ) ( )( ) li mx f x x f xfx x 二 .导数的计算 1）基本初等函数的导数公式 : 1 若 ()f x c (c 为常数 )，则 ( ) 0fx ； 2 若 ()f x x ,则 1()f x x ; 3 若 ( )
3、sinf x x ,则 ( ) cosf x x 4 若 ( ) cosf x x ,则 ( ) sinf x x ; 5 若 () xf x a ,则 ( ) lnxf x a a 6 若 ()xf x e ,则 () xf x e 7 若 ( ) logxafx ,则 1() lnfx xa 8 若 ( ) lnf x x ,则 1()fxx 2）导数的运算法则 1. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x 3. 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
4、f x f x g x f x g xg x g x 3）复合函数求导 ()y f u 和 ()u gx ,称则 y 可以表示成为 x 的函数 ,即 ( ( )y f g x 为一个复合函数 ( ( ) ( )y f g x g x 三 .导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数 : 一般的 ,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间 (, )ab 内，如果 ( ) 0fx ，那么函数 ()y f x 在这个区间 单调递增； 如果 ( ) 0fx ，那么函数 ()y f x 在这个区间单调递减 . 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况 . 求函数 ()y
5、 f x 的极值的方法是 : (1) 如果在 0x 附近的左侧 ( ) 0fx ,右侧 ( ) 0fx ,那么 0()fx 是极大值 ; (2) 如果在 0x 附近的左侧 ( ) 0fx ,右侧 ( ) 0fx ,那么 0()fx 是极小值 ; 4.函数的最大 (小 )值与导数 函数极大值与最大值之间的关系 . 求函数 ()y f x 在 , ab 上的最大值与最小值的步骤 （ 1） 求函数 ()y f x 在 (, )ab 内的极值； （ 2） 将函数 ()y f x 的各极值与端点处的函数值 ()fa， ()fb比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值 . 四 .生活中的优化问题 利用
6、导数的知识 ,求函数的最大 (小 )值 ,从而解决实际问题 第二章 推理与证明 1、归纳推理 把从个别事实中推演出一般性结论的推理 ,称为归纳推理 (简称归纳 ). 简言之 ,归纳推理是 由部分到整体、由特殊到一般 的推理。 归纳推理的一般步骤： 通过观察个别情况发现某些相同的性质； 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（ 猜 想 ）； 证明 （视题目要求，可有可无） . 2、类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 （简称类比） 简言之， 类比推理是 由特殊到特殊 的推理 . 类比推理的一般步骤： 找出两类对象之
7、间可以确切表述的相似特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想。 3、合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理 . 归纳推理和类比推理统称为合情推理 ，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理 . 4、演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理 简言之， 演绎推理是 由一般到特殊 的推理 . 演绎推理的一般模 式 “三段论”， 包括 大前提 -已知的一般原理； 小前提 -所研究的特殊情况； 结论 -据一 般原理，对特殊情况做出的判断 5、直接证明与间接
8、证明 综合法： 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立 .要点： 顺推证法；由因导果 . 分析法： 从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止 . 要点： 逆推证法；执果索因 . 反证法： 一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立 .的证明方法 .它是一种间接的证明 方法 . 反证法法证明一个命题的一般步骤： (1)（反设）假设命题的结论不成立 ； (2)（ 推理 ）根据假设进行推理 ,直到导出
9、矛盾为止 ； (3)（归谬）断言假设不成立 ； (4)（结论）肯定原命题的结论成立 . 6、数学归纳法 数学归纳法 是 证明关于正整数 n 的命题 的一种方法 . 用数学归纳法证明命题的步骤 ; （ 1）（归纳奠基）证明当 n 取第一个值 *00()n n N 时命题成立； （ 2）（ 归纳递推） 假设 *0( , )n k k n k N 时命题成立，推证当 1nk时命题也成立 . 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从 0n 开始的所有正整数 n 都成立 . 第三章 数系 的扩充与复数的引入 一 :复数的概念 (1) 复数 :形如 ( , )a bi a R b R 的数叫做复数， a
10、和 b 分别叫它的实部和虚部 . (2) 分类 :复数 ( , )a bi a R b R 中 ,当 0b ,就是实数 ; 0b ,叫做虚数 ;当 0, 0ab时 ,叫做纯虚数 . (3) 复数相等 :如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等 . (4) 共轭复数 :当两个复数实部相等 ,虚部互为相反数时 ,这两个复数互为共轭复数 . (5) 复平面 :建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 ,x 轴叫做实轴， y 轴除去原点的部分叫做虚轴。 (6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 2相关公式 dcbadicbia 且, 00 babia 22 bab
11、iaz z a bi zz， 指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数） . 3复数运算 复数加减法： idbcadicbia ； 复数的乘法： a b i c d i a c b d b c a d i ； 复数的除法： a bi c dia bic di c di c di 2 2 2 2 2 2a c b d b c a d i a c b d b c a d ic d c d c d （类似于无理数除法的 分母有理化 虚数除法的 分母实数化 ） 4.常见的运算规律 (1 ) ; ( 2 ) 2 , 2 ;z z z z a z z b i 22 22( 3 ) ; ( 4 ) ; ( 5 )z z z z a b z z z z z R 4 1 4 2 4 3 4 4( 6 ) , 1 , , 1 ;n n n ni i i i i i 22 1 1 1( 7 ) 1 ; ( 8 ) , ,11 2i i ii i i i iii )9( 设 2 31 i 是 1 的立方虚根，则 01 2 ， 1, 332313 nnn
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