1、2019 年云南省红河州弥勒市中考数学二模试卷一、填空题（6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1（3 分）2 的相反数是 2（3 分）把多项式 9xx 3 分解因式的结果为 3（3 分）五边形的内角和为 4（3 分）代数式 有意义的条件是 5（3 分）如图，点 A，B 是反比例函数 y （x0）图象上的两点，过点 A，B 分别作ACx 轴于点 C，BDx 轴于点 D，连接 OA，BC ，已知点 C（2，0），BD2，S BCD3，则 SAOC 6（3 分）如图，是一张长方形纸片 ABCD，已知 AB8，AD7，E 为 AB 上一点，AE 5现要在该长方形中画一个等腰三角形 AEP，使点 P
2、 落在长方形 ABCD 的某一条边上，则所能作出的所有等腰三角形 AEP 中，底边最长能为 二、选择题（8 小题，每小题 4 分，共 32 分）7（4 分）如图是由 3 个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）A B C D8（4 分）下列四个数 ，0 ， ， 中，无理数有（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个9（4 分）作为世界文化遗产的长城，其总长大约为 6700000m将 6700000 用科学记数法表示为（ ）A6.710 5 B6.710 6 C0.6710 7 D6710 810（4 分）如图，已知 ab，直角三角板的直角顶点在直线 b 上，若160，则下列结论错
3、误的是（ ）A260 B360 C4120 D54011（4 分）某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋 15 双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示：鞋的尺码/cm 23 23.5 24 24.5 25销售量/双 1 3 3 6 2则这 15 双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为（ ）A24.5，24.5 B24.5，24 C24，24 D23.5，2412（4 分）下列对一元二次方程 x2+x30 根的情况的判断，正确的是（ ）A有两个不相等实数根 B有两个相等实数根C有且只有一个实数根 D没有实数根13（4 分）如图，在扇形 AOB 中AOB90，正方形 CDEF 的顶点 C
4、是 的中点，点 D 在 OB 上，点 E 在 OB 的延长线上，当正方形 CDEF 的边长为 2 时，则阴影部分的面积为（ ）A24 B48 C28 D4414（4 分）如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点 A 的坐标为（3，0），经过A、O 两点作半径为 的C ，交 y 轴的负半轴于点 B过 B 点作C 的切线交 x 轴于点D，则 D 点的坐标为（ ）A（ ，0） B（5，0） C（ ， 0） D（ ，0）三、解答题（9 小题，共 70 分）15（5 分）计算：2 2+2cos45|2 |+16（6 分）先化简，再求值（ ） ，其中 a，b 满足a+b 017（7 分）为了推进球类运动的
5、发展，某校组织校内球类运动会，分篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球五项，要求每位学生必须参加一项并且只能参加一项，某班有一名学生根据自己了解的班内情况绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图某班参加球类活动人数统计表项目 篮球 足球 排球 羽毛球 乒乓球人数 m 6 8 6 4请根据图表中提供的信息，解答下列问题：（1）图表中 m ，n ；（2）若该校学生共有 1000 人，则该校参加羽毛球活动的人数约为 人；（3）该班参加乒乓球活动的 4 位同学中，有 3 位男同学（分别用 A，B，C 表示）和 1位女同学（用 D 表示），现准备从中选出两名同学参加双打比赛，用树状图或列表法求出恰好选出一男一
6、女的概率18（8 分）为更新果树品种，某果园计划新购进 A、B 两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共 45 棵，其中 A 种苗的单价为 7 元/棵，购买 B 种苗所需费用y（元）与购买数量 x（棵）之间存在如图所示的函数关系（1）求当 x20 时 y 与 x 的函数关系式；（2）若在购买计划中，B 种苗的数量不超过 35 棵，但不少于 A 种苗的数量，请设计购买方燃，使总费用最低，并求出最低费用19（7 分）如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用 10 节大小不同的空心套管连接而成闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第 1 节套管的长度（如图 1 所示）：使用时，可将鱼竿的每一节
7、套管都完全拉伸（如图 2 所示）图 3 是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图已知第 1 节套管长 50cm，第 2 节套管长 46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少 4cm完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为 xcm（1）请直接写出第 5 节套管的长度；（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为 311cm，求 x 的值20（8 分）如图 1，在ABC 中，设A、B、C 的对边分别为 a，b，c，过点 A 作ADBC ，垂足为 D，会有 sinC ，则SABC BCADBCACsin C absinC ，即 SABC absi
8、nC同理 SABC bcsinASABC acsinB通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理余弦定理：如图 2，在ABC 中，若A、B、C 的对边分别为 a，b，c，则a2b 2+c22bc cosAb2a 2+c22ac cosBc2a 2+b22abcosC用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图 3，在DEF 中，F60，D 、E 的对边分别是 3 和 8求 SDEF 和DE2解：S DEF EFDFsin F ；DE2EF 2+DF22EF DFcosF （2）如图 4，在ABC 中，已知 ACBC ，C60，ABC、BCA 、ACB分别是以 AB、BC、 AC
9、为边长的等边三角形，设ABC、ABC、BCA、ACB的面积分别为 S1、S 2、S 3、S 4，求证：S 1+S2S 3+S421（8 分）如图，抛物线 yax 2+bx（a0）交 x 轴正半轴于点 A，直线 y2x 经过抛物线的顶点 M已知该抛物线的对称轴为直线 x2，交 x 轴于点 B（1）求 M 点的坐标及 a，b 的值；（2）P 是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接 OP，BP设点 P 的横坐标为 m，OBP 的面积为 S，当 n 为多少时，s 22（9 分）已知：如图，AC 是 O 的直径，BC 是O 的弦，点 P 是 O 外一点，PBAC（1）求证：PB 是O 的切线
10、；（2）若 OPBC，且 OP8 ，BC2求 O 的半径23（12 分）问题背景：折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法，最著名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法，现在被数学界称之为芳贺折纸三定理其中，芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下（如图 1）：操作 1：將正方形 ABCD 对折，使点 A 与点 D 重合，点 B 与点 C 重合再将正方形ABCD 展开，得到折痕 EF；操作 2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点 C 与点 E 重合，边 BC
11、翻折至 BE 的位置，得到折痕 MN，BE 与 AB 交于点 P则 P 即为 AB 的三等分点，即AP：PB2：1解决问题（1）在图 1 中，若 EF 与 MN 交于点 Q，连接 CQ求证：四边形 EQCM 是菱形；（2）设正方形边长为 1，求线段 MC 的长度（3）利用线段 MC 的长度，证明 P 点是 AB 的三等分点（即证明 AP：PB2：l）发现感悟若改变 E 点在正方形纸片 ABCD 的边 AD 上的位置，重复“问题背景”中操作 2 的折纸过程，请你根据上面得到的结论，思考并解决如下问题：（不写过程，直接回答）（4）如图 2若 DE：AE 2：1则 AP：PB ；（5）如图 3，若
12、DE：AE 3：1则 AP：PB ；2019 年云南省红河州弥勒市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1（3 分）2 的相反数是 2 【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可【解答】解：2 的相反数是：（2）2，故答案为：2【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0不要把相反数的意义与倒数的意义混淆2（3 分）把多项式 9xx 3 分解因式的结果为 x （x+3）（x 3） 【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可【解答】
13、解：原式x（x 29）x （x+3）（x3），故答案为：x（x +3）（x 3）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键3（3 分）五边形的内角和为 540 【分析】根据多边形的内角和公式（n2）180计算即可【解答】解：（52）180540故答案为：540【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键，是基础题4（3 分）代数式 有意义的条件是 x1 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可求解【解答】解：由题意得 1x0，解得 x1故答案为：x1【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义
14、的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键5（3 分）如图，点 A，B 是反比例函数 y （x0）图象上的两点，过点 A，B 分别作ACx 轴于点 C，BDx 轴于点 D，连接 OA，BC ，已知点 C（2，0），BD2，S BCD3，则 SAOC 5 【分析】由三角形 BCD 为直角三角形，根据已知面积与 BD 的长求出 CD 的长，由OC+CD 求出 OD 的长，确定出 B 的坐标，代入反比例解析式求出 k 的值，利用反比例函数 k 的几何意义求出三角形 AOC 面积即可【解答】解：BDCD，BD2，S BCD BDCD3，即 CD3，C（2，0），即 OC2，ODOC+CD
15、2+3 5，B（5，2），代入反比例解析式得：k10，即 y ，则 SAOC 5，故答案为：5【点评】此题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数 k 的几何意义是解本题的关键6（3 分）如图，是一张长方形纸片 ABCD，已知 AB8，AD7，E 为 AB 上一点，AE 5现要在该长方形中画一个等腰三角形 AEP，使点 P 落在长方形 ABCD 的某一条边上，则所能作出的所有等腰三角形 AEP 中，底边最长能为 【分析】分情况讨论：当 APAE5 时，则AEP 是等腰直角三角形，得出底边PE AE5 即可；当 PEAE5 时，求出 BE，由勾股
16、定理求出 PB，再由勾股定理求出等边 AP 即可；当 PAPE 时，底边 AE5；即可得出结论【解答】解：如图所示：当 APAE5 时，BAD90，AEP 是等腰直角三角形，底边 PE AE5 ；当 PEAE5 时，BEABAE853， B90，PB 4，底边 AP 4 ；当 PAPE 时，底边 AE5；综上所述：等腰三角形 AEP 的底边长为 5 或 4 或 5；底边最长能为 4故答案为：4【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进行分类讨论是解决问题的关键二、选择题（8 小题，每小题 4 分，共 32 分）7（4 分）如图是由 3 个
17、大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）A B C D【分析】根据左视图就是从物体的左边进行观察，得出左视图有 1 列，小正方形数目为2【解答】解：如图所示：它的左视图是：故选：D【点评】此题主要考查了三视图的画法中左视图画法，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形8（4 分）下列四个数 ，0 ， ， 中，无理数有（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【分析】根据无理数的定义得到所给数中无理数有 ， 【解答】解：四个数 ，0， ， 中，无理数有 ， ，一共 2 个故选：C【点评】本题考查了无理数：无限不循环小数叫无理数常见有：字母表示的无理数，如 等
18、；开方开不尽的数，如 2 等；无限不循环小数，如 0.101001000100001（每两个 1 之间多一个 0）等9（4 分）作为世界文化遗产的长城，其总长大约为 6700000m将 6700000 用科学记数法表示为（ ）A6.710 5 B6.710 6 C0.6710 7 D6710 8【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a| 10，n 为整数，据此判断即可【解答】解：67000006.710 6故选：B【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a10n，其中1|a| 10，确定 a 与 n 的值是解题的关键10（4 分）如图，已知 a
19、b，直角三角板的直角顶点在直线 b 上，若160，则下列结论错误的是（ ）A260 B360 C4120 D540【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，以及对顶角相等等知识分别求出2，3，4，5 的度数，然后选出错误的选项【解答】解：ab，160，3160，2160，4180318060120，三角板为直角三角板，5903906030故选：D【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键上掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等11（4 分）某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋 15 双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示：鞋的尺码/cm 23 23.5 24 24.5 25销售
20、量/双 1 3 3 6 2则这 15 双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为（ ）A24.5，24.5 B24.5，24 C24，24 D23.5，24【分析】利用众数和中位数的定义求解【解答】解：这组数据中，众数为 24.5，中位数为 24.5故选：A【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数也考查了中位数12（4 分）下列对一元二次方程 x2+x30 根的情况的判断，正确的是（ ）A有两个不相等实数根 B有两个相等实数根C有且只有一个实数根 D没有实数根【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出130，进而即可得出方程x2+x30 有两个不相等的实数根【解答】
21、解：a1，b1，c3，b 24ac1 24（1）（3）130，方程 x2+x3 0 有两个不相等的实数根故选：A【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键13（4 分）如图，在扇形 AOB 中AOB90，正方形 CDEF 的顶点 C 是 的中点，点 D 在 OB 上，点 E 在 OB 的延长线上，当正方形 CDEF 的边长为 2 时，则阴影部分的面积为（ ）A24 B48 C28 D44【分析】连结 OC，根据勾股定理可求 OC 的长，根据题意可得出阴影部分的面积扇形 BOC 的面积三角形 ODC 的面积，依此列式计算即可求解【解答】解：在扇形 AOB
22、 中AOB90，正方形 CDEF 的顶点 C 是 的中点，COD45，OC 4，阴影部分的面积扇形 BOC 的面积三角形 ODC 的面积 42 （2 ） 224故选：A【点评】考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度14（4 分）如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点 A 的坐标为（3，0），经过A、O 两点作半径为 的C ，交 y 轴的负半轴于点 B过 B 点作C 的切线交 x 轴于点D，则 D 点的坐标为（ ）A（ ，0） B（5，0） C（ ， 0） D（ ，0）【分析】先求出 OB 长，证明 AOBBOD，得比例线段 ，求出线段 OD 长，则 D 点坐标可求
23、【解答】解：点 A 的坐标为（3，0），C 的半径为 ，OA3，AB5， 4，BD 是 C 的切线，BDAB，ABD90，OBD OAB，AOBBOD， ， ， ，D（ ），故选：A【点评】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识点三、解答题（9 小题，共 70 分）15（5 分）计算：2 2+2cos45|2 |+【分析】根据绝对值的性质、立方根的定义以及特殊角的三角函数值分别化简计算即可【解答】解：原式4+ （2 ）+24+2 【点评】本题考查了实数的运算，掌握绝对值的性质、立方根的定义以及特殊角的三角函数值是解题的关键16（6 分）先化简，再求值（ ） ，其中 a，b
24、 满足a+b 0【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值【解答】解：原式 ，由 a+b 0，得到 a+b ，则原式2【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键17（7 分）为了推进球类运动的发展，某校组织校内球类运动会，分篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球五项，要求每位学生必须参加一项并且只能参加一项，某班有一名学生根据自己了解的班内情况绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图某班参加球类活动人数统计表项目 篮球 足球 排球 羽毛球 乒乓球人数 m 6 8 6 4请根据图表中提供的信
25、息，解答下列问题：（1）图表中 m 16 ，n 20 ；（2）若该校学生共有 1000 人，则该校参加羽毛球活动的人数约为 150 人；（3）该班参加乒乓球活动的 4 位同学中，有 3 位男同学（分别用 A，B，C 表示）和 1位女同学（用 D 表示），现准备从中选出两名同学参加双打比赛，用树状图或列表法求出恰好选出一男一女的概率【分析】（1）根据足球的人数和百分比，求出总人数即可解决问题；（2）利用样本估计总体的思想即可解决问题；（3）画出树状图，根据概率公式即可求解【解答】解：（1）总人数 40（人），m40686416（人）， n% 20%，n20，故答案为 16，20；（2）1000
26、150（人）故答案为 150图如图所示：共有 12 种可能，一男一女有 6 种可能，则 P（恰好选到一男一女） 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小18（8 分）为更新果树品种，某果园计划新购进 A、B 两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共 45 棵，其中 A 种苗的单价为 7 元/棵，购买 B 种苗所需费用y（元）与购买数量 x（棵）之间存在如图所示的函数关系（1）求当 x20 时 y 与 x 的函数关系式；（2）若在购买计
27、划中，B 种苗的数量不超过 35 棵，但不少于 A 种苗的数量，请设计购买方燃，使总费用最低，并求出最低费用【分析】（1）根据函数图象找出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据 B 种苗的数量不超过 35 棵，但不少于 A 种苗的数量可得出关于 x 的一元一次不等式组，解不等式组求出 x 的取值范围，再根据“所需费用为 WA 种树苗的费用+B 种树苗的费用”可得出 W 关于 x 的函数关系式，根据一次函数的性质即可解决最值问题【解答】解：（1）当 x20 时，设 y 与 x 的函数关系式为： ykx +b，把（20，160），（40，288）代入 ykx+b 得：，
28、解得：当 x20 时，y 与 x 的函数关系式为 y6.4x+32；（2）B 种苗的数量不超过 35 棵，但不少于 A 种苗的数量，22.5x35设总费用为 W 元，则 W6.4x+32+7 （45x）0.6x+347k0.6，y 随 x 的增大而减小当 x35 时，W 总费用最低，W 最低 0.635+347326（元）【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据数量关系找出W 关于 x 的函数关系式本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析
29、式是关键19（7 分）如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用 10 节大小不同的空心套管连接而成闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第 1 节套管的长度（如图 1 所示）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图 2 所示）图 3 是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图已知第 1 节套管长 50cm，第 2 节套管长 46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少 4cm完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为 xcm（1）请直接写出第 5 节套管的长度；（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为 311cm，求 x 的值【分析】（1）
30、根据“第 n 节套管的长度第 1 节套管的长度4（n1）”，代入数据即可得出结论；（2）同（1）的方法求出第 10 节套管重叠的长度，设每相邻两节套管间的长度为xcm，根据“鱼竿长度每节套管长度相加 （101）相邻两节套管间的长度”，得出关于 x 的一元一次方程，解方程即可得出结论【解答】解：（1）第 5 节套管的长度为：504（51）34（cm）（2）第 10 节套管的长度为：504（101）14（cm），设每相邻两节套管间重叠的长度为 xcm，根据题意得：（50+46+42+14）（101）x311，即：3209x311，解得：x1答：每相邻两节套管间重叠的长度为 1cm【点评】本题考查了
31、一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系直接求值；（2）根据数量关系找出关于 x 的一元一次方程本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出不等式（方程或方程组）是关键20（8 分）如图 1，在ABC 中，设A、B、C 的对边分别为 a，b，c，过点 A 作ADBC ，垂足为 D，会有 sinC ，则SABC BCAD BCACsinC absinC ，即 SABC absinC同理 SABC bcsinASABC acsinB通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理余弦定理：如图 2，在ABC 中，若A、B、C 的对边分别为 a，b，c，则a2b 2+c2
32、2bc cosAb2a 2+c22ac cosBc2a 2+b22abcosC用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图 3，在DEF 中，F60，D 、E 的对边分别是 3 和 8求 SDEF 和DE2解：S DEF EFDFsin F 6 ；DE2EF 2+DF22EF DFcosF 49 （2）如图 4，在ABC 中，已知 ACBC ，C60，ABC、BCA 、ACB分别是以 AB、BC、 AC 为边长的等边三角形，设ABC、ABC、BCA、ACB的面积分别为 S1、S 2、S 3、S 4，求证：S 1+S2S 3+S4【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；（2
33、）方法 1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；方法 2、先用正弦定理得出 S1，S 2，S 3，S 4，最后用余弦定理即可得出结论【解答】解：（1）在DEF 中，F60，D 、E 的对边分别是 3 和 8，EF3，DF 8，S DEF EFDFsinF 38sin606 ，DE2EF 2+DF22EF DFcosF3 2+82238cos6049，故答案为：6 ，49；（2）证明：方法 1，ACB60，AB 2AC 2+BC22ACBCcos60AC 2+BC2AC BC，两边同时乘以 sin60得， AB2sin60 AC2sin60+ BC2sin60
34、ACBCsin60，ABC，BCA，ACB是等边三角形，S 1 ACBCsin60，S 2 AB2sin60，S 3 BC2sin60，S 4 AC2sin60，S 2S 4+S3S 1，S 1+S2S 3+S4，方法 2、令A，B，C 的对边分别为 a，b，c，S 1 absinC absin60 abABC，BCA，ACB是等边三角形，S 2 ccsin60 c2，S 3 aasin60 a2，S 4 bbsin60 b2，S 1+S2 （ab+c 2），S 3+S4 （a 2+b2），c 2a 2+b22abcosCa 2+b22abcos60 ，a 2+b2c 2+ab，S 1+S2S
35、 3+S4【点评】此题是三角形综合题，主要考查了新定义的理解和应用，解本题的关键是理解新定义，会用新定义解决问题21（8 分）如图，抛物线 yax 2+bx（a0）交 x 轴正半轴于点 A，直线 y2x 经过抛物线的顶点 M已知该抛物线的对称轴为直线 x2，交 x 轴于点 B（1）求 M 点的坐标及 a，b 的值；（2）P 是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接 OP，BP设点 P 的横坐标为 m，OBP 的面积为 S，当 n 为多少时，s 【分析】（1）通过直线 y2x 确定 M 点的坐标，然后利用对称轴方程和二次函数图象上点的坐标特征列关于 a、b 的方程组，再解方程组得到 a
36、、b 的值；（2）设 P（m，m 2+4m），利用三角形面积公式得到 2（m 2+4m） ，然后解方程求出即可得到满足条件的 m 的值【解答】解：（1）将 x2 代入 y2x 得 y4M（2，4），根据题意得 ，解得 ；（2）抛物线解析式为 yx 2+4x，设 P（m，m 2+4m），B（2，0） 2（m 2+4m） ，m24m ，解得 m1 ， m2 ，P 是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，m 的值为 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax 2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了二次函数的性
37、质22（9 分）已知：如图，AC 是 O 的直径，BC 是O 的弦，点 P 是 O 外一点，PBAC（1）求证：PB 是O 的切线；（2）若 OPBC，且 OP8 ，BC2求 O 的半径【分析】（1）连接 OB，求出 ABC 90，PBAOBCOCB，推出PBO90，根据切线的判定推出即可；（2）证PBO 和ABC 相似，得出比例式，代入求出即可【解答】（1）证明：连接 OB，AC 是O 直径，ABC90，OCOB，OBCACB，PBA ACB，PBA OBC，即PBA +OBAOBC+ ABOABC90，OBPB，OB 为半径，PB 是O 的切线；（2）解：设O 的半径为 r，则 AC2r，
38、OBr，OPBC，OBCOCB，POBOBCOCB，PBOABC90，PBOABC， ， ，r2 ，即 O 的半径为 2 【点评】本题考查了等腰三角形性质，平行线性质，相似三角形的性质和判定，切线的判定等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，用了方程思想23（12 分）问题背景：折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法，最著名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法，现在被数学界称之为芳贺折纸三定理其中，芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下（如图 1）：操作
39、1：將正方形 ABCD 对折，使点 A 与点 D 重合，点 B 与点 C 重合再将正方形ABCD 展开，得到折痕 EF；操作 2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点 C 与点 E 重合，边 BC 翻折至 BE 的位置，得到折痕 MN，BE 与 AB 交于点 P则 P 即为 AB 的三等分点，即AP：PB2：1解决问题（1）在图 1 中，若 EF 与 MN 交于点 Q，连接 CQ求证：四边形 EQCM 是菱形；（2）设正方形边长为 1，求线段 MC 的长度（3）利用线段 MC 的长度，证明 P 点是 AB 的三等分点（即证明 AP：PB2：l）发现感悟若改变 E 点在正方形纸片 ABCD 的边
40、 AD 上的位置，重复“问题背景”中操作 2 的折纸过程，请你根据上面得到的结论，思考并解决如下问题：（不写过程，直接回答）（4）如图 2若 DE：AE 2：1则 AP：PB 4：1 ；（5）如图 3，若 DE：AE 3：1则 AP：PB 6：1 ；【分析】（1）先得出 MCEQ，MCQE ，即可得到四边形 EQCM 是平行四边形，再根据 CMEM，即可得到四边形 WQCM 是菱形；（2）设 CMx，则 EMx ， DM1x ，在 RtDEM 中，由勾股定理可得：EM2ED 2+DM2，进而得出 CM 的长；（3）由（2）得：DM ，再根据 AEPDME，即可得到 ，求得AP ，PB ，进而得
41、到 AP：PB2：l ；（4）设正方形 ABCD 的边长为 1，CMx，则 EMx， DM1x，同理可得AP ，PB ，即可得 AP：PB4：1；（5）同理可得 AP ，PB ，即可得到 AP：PB6：1【解答】（1）证明：如图 1，由折叠可得，CMEM，CMQEMQ ，四边形CDEF 是矩形，CDEF ，CMQEQM ，EQMEMQ ，MEEQ ，CMEQ，又CMQE，四边形 EQCM 是平行四边形，又CMEM，四边形 EQCM 是菱形；（2）解：如图 1，设 CMx，则 EMx ，DM 1x ，在 Rt DEM 中，由勾股定理可得：EM 2ED 2+DM2，即 x2（ ） 2+（1x） 2
42、，解得 x ，CM ；（3）解：设正方形边长为 1，由（2）得：CM ，则 DM ，PEM D90，AEP +DEM90，DEM+EMD90，AEP DME，又AD90，AEP DME， ，即 ，解得 AP ，PB ，AP：PB2：l（4）解：如图 2，设正方形 ABCD 的边长为 1，CMx，则 EMx，DM 1x，DE：AE2：1，DE ，在 Rt DEM 中，由勾股定理可得：EM 2ED 2+DM2，即 x2（ ） 2+（1x） 2，解得 x ，即 CM ，DM ，由AEP DME，可得 ，即 ，解得 AP ，PB ，AP：PB4：1，故答案为：4：1；（5）解：如图 3，设正方形 AB
43、CD 的边长为 1，CMx，则 EMx，DM 1x，DE：AE3：1，DE ，在 Rt DEM 中，由勾股定理可得：EM 2ED 2+DM2，即 x2（ ） 2+（1x） 2，解得 x ，即 CM ，DM ，由AEP DME，可得 ，即 ，解得 AP ，PB ，AP：PB6：1，故答案为：6：1【点评】本题属于四边形的综合题，主要考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质以及菱形的判定的综合运用；解题时注意：翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换，对应边和对应角相等解决问题的关键是设要求的线段长为 x，然后根据折叠和轴对称的性质用含 x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案
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