2019年数学中考考前冲刺提分专项训练：二次函数（含答案解析）

1、2019 年数学中考考前冲刺提分专项训练：二次函数1如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2+bx+c（ a0）交 x 轴于点 A（2，0） ，B（3，0） ，交 y 轴于点 C，且经过点 D（6，6） ，连接 AD， BD（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若点 M 为 X 轴上方的抛物线上一点，能否在点 A 左侧的 x 轴上找到另一点 N，使得 AMN 与 ABD 相似？若相似，请求出此时点 M、点 N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 P 是直线 AD 上方的抛物线上一动点（不与 A， D 重合） ，过点 P 作 PQ y 轴交直线 AD 于点 Q，以 PQ 为直径作 E，则

2、 E 在直线 AD 上所截得的线段长度的最大值等于 （直接写出答案）解：（1）用交点式函数表达式得： y a（ x2） （ x+3） ，将点 D 坐标代入上式并解得： a ，故函数的表达式为： y x2 x+ ，则点 C（0， ） ；（2）由题意得： AB5， AD10， BD3 ，当 MAB BAD 时，当 NMA ABD 时， AMN ABD，则 tan MABtan BAD ，则直线 MA 的表达式为： y x+b，将点 A 的坐标代入上式并解得： b ，则直线 AM 的表达式为： y x+ ，联立并解得： x0 或 2（舍去 2） ，则点 M（0，2） ，则 AM2 ， AMN ABD

3、， ，解得： AN4 ，故点 N（24 ，0） ；当 MN A ABD 时， ANM ABD，同理可得：点 N（2 ，0） ，即点 M（0， ） ，点 N（24 ，0）或（2 ，0） ；当 MAB BDA 时，同理可得：点 M（1， ） ，点 N（3，0）或（ ，0） ；故：点 M（0， ）或（1， ） ，点 N（24 ，0）或（2 ，0）或（3，0）或（ ，0） ；（3）如图所示，连接 PH，由题意得：tan PQH ，则 cos PQH ，则直线 AD 的表达式为： y x ，设点 P（ x， x2 x+ ） ，则点 H（ x， x ） ，则 QH PHcos PQH PH （ x2 x+

4、 x+ ） x2 x+ ， 0，故 QH 有最大值，当 x2 时，其最大值为 2如图，直线 y x+2 与抛物线 y ax2+bx+6（ a0）相交于 A（ ， ）和 B（4， m） ，点P 是线段 AB 上异于 A、 B 的动点，过点 P 作 PC x 轴于点 D，交抛物线于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求 PAC 为直角三角形时点 P 的坐标解：（1） B（4， m）在直线 y x+2 上， m4+26， B（4，6） ， A（ ， ） 、 B（4，6）在抛物线 y ax2+bx+

5、6 上， ，解得 ，抛物线的解析式为 y2 x28 x+6（2）设动点 P 的坐标为（ n， n+2） ，则 C 点的坐标为（ n，2 n28 n+6） ， PC（ n+2）（2 n28 n+6） ，2 n2+9n4，2（ n ） 2+ ， PC0，当 n 时，线段 PC 最大且为 （3） PAC 为直角三角形，i）若点 P 为直角顶点，则 APC90由题意易知， PC y 轴， APC45，因此这种情形不存在；ii）若点 A 为直角顶点，则 PAC90如答图 31，过点 A（ ， ）作 AN x 轴于点 N，则 ON ， AN 过点 A 作 AM直线 AB，交 x 轴于点 M，则由题意易知，

6、 AMN 为等腰直角三角形， MN AN ， OM ON+MN + 3， M（3，0） 设直线 AM 的解析式为： y kx+b，则： ，解得 ，直 线 AM 的解析式为： y x+3 又抛物线的解析式为： y2 x28 x+6 联立式，解得： x3 或 x （与点 A 重合，舍去） C（3，0） ，即点 C、 M 点重合当 x3 时， y x+25， P1（3，5） ；iii）若点 C 为直角顶点，则 ACP90 y2 x28 x+6 2（ x2） 22，抛物线的对称轴为直线 x2如答图 32，作点 A（ ， ）关于对称轴 x2 的对称点 C，则点 C 在抛物线上，且 C（ ， ） 当 x

7、时， y x+2 P2（ ， ） 点 P1（3，5） 、 P2（ ， ）均在线段 AB 上，综上所述， PAC 为直角三角形时，点 P 的坐标为（3，5）或（ ， ） 3如图，已知抛物线 y ax2+bx+c（ a0）的对称轴为直线 x1，且抛物线经过A（1，0） ， C（0，3）两点，与 x 轴交于点 B（1）若直线 y mx+n 经过 B、 C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴 x1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求出点 M 的坐标；（3）设点 P 为抛物线的对称轴 x1 上的一个动点，求使 BPC 为直角三角形的点 P的坐

8、标解：（1）依题意得： ，解之得： ，抛物线解析式为 y x22 x+3对称轴为 x1，且抛物线经过 A（1，0） ，把 B（3，0） 、 C（0，3）分别代入直线 y mx+n，得 ，解之得： ，直线 y mx+n 的解析式为 y x+3；（2）设直线 BC 与对称轴 x1 的交点为 M，则此时 MA+MC 的值最小把 x1 代入直线 y x+3 得， y2， M（1，2） ，即当点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小时 M 的坐标为（1，2） ；（3）设 P（1， t） ，又 B（3，0） ， C（0，3） ， BC218， PB2（1+3） 2+t24+ t2， PC2（1）

9、 2+（ t3） 2 t26 t+10，若点 B 为直角顶点，则 BC2+PB2 PC2即：18+4+ t2 t26 t+10 解之得： t2；若点 C 为直角顶点，则 BC2+PC2 PB2即：18+ t26 t+104+ t2解之得： t4，若点 P 为直角顶点，则 PB2+PC2 BC2即：4+ t2+t26 t+1018 解之得：t1 ， t2 ；综上所述 P 的坐标为（1，2）或（1，4）或（1， ） 或（1，） 4如图，在直角坐标系中，抛物线经过点 A（0，4） ， B（1，0） ， C（5，0） ，其对称轴与x 轴相交于点 M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴

10、上是否存在一点 P，使 PAB 的周长最小？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接 AC，在直线 AC 的下方的抛物线上，是否存在一点 N，使 NAC 的面积最大？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为 y a（ x1） （ x5） ，把点 A（0，4）代入上式得： a ， y （ x1） （ x5） x2 x+4 （ x3） 2 ，抛物线的对称轴是：直线 x3；（2） P 点坐标为（3， ） 理由如下：点 A（0，4） ，抛物线的对称轴是直线 x3，点 A 关于对称轴的对称点 A的坐标为（6，4）如图 1，连接 BA

11、交对称轴于点 P，连接 AP，此时 PAB 的周长最小设直线 BA的解析式为 y kx+b，把 A（6，4） ， B（1，0）代入得 ，解得 ， y x ，点 P 的横坐标为 3， y 3 ， P（3， ） （3）在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N，使 NAC 面积最大设 N 点的横坐标为 t，此时点 N（ t， t2 t+4） （0 t5） ，如图 2，过点 N 作 NG y 轴交 AC 于 G；作 AD NG 于 D，由点 A（0，4）和点 C（5，0）可求出直线 AC 的解析式为： y x+4，把 x t 代入得： y t+4，则 G（ t， t+4） ，此时： NG t+4（ t

12、2 t+4） t2+4t， AD+CF CO5， S ACN S ANG+S CGN ADNG+ NGCF NGOC （ t2+4t）52 t2+10t2（ t ） 2+ ，当 t 时， CAN 面积的最大值为 ，由 t ，得： y t2 t+43， N（ ，3） 5如图所示，抛物线 y x2+bx+c 经过 A、 B 两点， A、 B 两点的坐标分别为（1，0） 、（0，3） （1）求抛物线的函数解析式；（2）点 E 为抛物线的顶点，点 C 为抛物线与 x 轴的另一交点，点 D 为 y 轴上一点，且DC DE，求出点 D 的坐标；（3）在第二问的条件下，在直线 DE 上存在点 P，使得以 C

13、、 D、 P 为顶点的三角形与DOC 相似，请你直接写出所有满足条件的点 P 的坐标解：（1）抛物线 y x2+bx+c 经过 A（1，0） 、 B（0，3） ， ，解得 ，故抛物线的函数解析式为 y x22 x3；（2）令 x22 x30，解得 x11， x23，则点 C 的坐标为（3，0） ， y x22 x3（ x1） 24，点 E 坐标为（1，4） ，设点 D 的坐标为（0， m） ，作 EF y 轴于点 F， DC2 OD2+OC2 m2+32， DE2 DF2+EF2（ m+4） 2+12， DC DE， m2+9 m2+8m+16+1，解得 m1，点 D 的坐标为（0，1） ；（

14、3）点 C（3，0） ， D（0，1） ， E（1，4） ， CO DF3， DO EF1，根据勾股定理， CD ，在 COD 和 DFE 中， ， COD DFE（ SAS） ， EDF DCO，又 DCO+ CDO90， EDF+ CDO90， CDE1809090， CD DE，分 OC 与 CD 是对应边时， DOC PDC， ，即 ，解得 DP ，过点 P 作 PG y 轴于点 G，则 ，即 ，解得 DG1， PG ，当点 P 在点 D 的左边时， OG DG DO110，所以点 P（ ，0） ，当点 P 在点 D 的右边时， OG DO+DG1+12，所以，点 P（ ，2） ； O

15、C 与 DP 是对应边时， DOC CDP， ，即 ，解得 DP3 ，过点 P 作 PG y 轴于点 G，则 ，即 ，解得 DG9， PG3，当点 P 在点 D 的左边时， OG DG OD918，所以，点 P 的坐标是（3，8） ，当点 P 在点 D 的右边时， OG OD+DG1+910，所以，点 P 的坐标是（3，10） ，综上所述，满足条件的点 P 共有 4 个，其坐标分别为（ ，0） 、 （ ，2） 、（3，8） 、 （3，10） 6如图，关于 x 的二次函数 y x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B，与 y 轴交于点 C（0，3） ，抛物线的对称轴与 x 轴

16、交于点 D（1）求二次函数的表达式；（2）在 y 轴上是否存在一点 P，使 PBC 为等腰三角形？若存在请求出点 P 的坐标；（3）有一个点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度在 AB 上向点 B 运动，另一个点 N从 点 D 与点 M 同时出发，以每秒 2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 M 到达点 B 时，点 M、 N 同时停止运动，问点 M、 N 运动到何处时， MNB 面积最大，试求出最大面积解：（1）把 A（1，0）和 C（0，3）代入 y x2+bx+c，解得： b4， c3，二次函数的表达式为： y x24 x+3；（2）令 y0，则 x24 x+30，解得：

17、 x1 或 x3， B（3，0） ， BC3 ，点 P 在 y 轴上，当 PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图 1，当 CP CB 时， PC3 ， OP OC+PC3+3 或 OP PC OC3 3 P1（0，3+3 ） ， P2（0，33 ） ；当 BP BC 时， OP OB3， P3（0，3） ；当 PB PC 时， OC OB3此时 P 与 O 重合， P4（0，0） ；综上所述，点 P 的坐标为：（0，3+3 ）或（0，33 ）或（0，3）或（0，0） ；（3）如图 2，设 A 运动时间为 t，由 AB2，得 BM2 t，则 DN2 t， S MNB （2 t）2 t t

18、2+2t（ t1） 2+1，即当 M（2，0） 、 N（2，2）或（2，2）时 MNB 面积最大，最大面积是 17如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C抛物线 y ax2+bx+c 的对称轴是 x 且经过 A、 C 两点，与 x 轴的另一交点为点 B（1）直接写出点 B 的坐标；求抛物线解析式（2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA， PC求 PAC 的面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标（3）抛物线上是否存在点 M，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 A、 M、 N 为顶点的三角形与 ABC 相

19、似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1） y 当 x0 时， y2，当 y0 时， x4， C（0，2） ， A（4，0） ，由抛物线的对称性可知：点 A 与点 B 关于 x 对称，点 B 的坐标为（1，0） 抛物线 y ax2+bx+c 过 A（4，0） ， B（1，0） ，可设抛物线解析式为 y a（ x+4） （ x1） ，又抛物线过点 C（0，2） ，24 a a y x2 x+2（2）设 P（ m， m2 m+2） 过点 P 作 PQ x 轴交 AC 于点 Q， Q（ m， m+2） ， PQ m2 m+2（ m+2） m22 m， S PAC PQ4，2 PQ

20、 m24 m（ m+2） 2+4，当 m2 时， PAC 的面积有最大值是 4，此时 P（2，3） （3）方法一：在 Rt AOC 中，tan CAO 在 Rt BOC 中，tan BCO ， CAO BCO， BCO+ OBC90， CAO+ OBC90， ACB90， ABC ACO CBO，如下图：当 M 点与 C 点重合，即 M（0，2）时， MAN BAC；根据抛物线的对称性，当 M（3，2）时， MAN ABC；当点 M 在第四象限时，设 M（ n， n2 n+2） ，则 N（ n，0） MN n2+ n2， AN n+4当 时， MN AN，即 n2+ n2 （ n+4）整理得：

21、 n2+2n80解得： n14（舍） ， n22 M（2，3） ；当 时， MN2 AN，即 n2+ n22（ n+4） ，整理得： n2 n200解得： n14（舍） ， n25， M（5，18） 综上所述：存在 M1（0，2） ， M2（3，2） ， M3（2，3） ， M4（5，18） ，使得以点A、 M、 N 为顶点的三角形与 ABC 相似方法二： A（4，0） ， B（1，0） ， C（0，2） ， KACKBC1， AC BC， MN x 轴，若以点 A、 M、 N 为顶点的三角形与 ABC 相似，则 ， ，设 M（2 t，2 t23 t+2） ， N（2 t，0） ，| | ，|

22、 | ，2 t10，2 t22，| | ，| |2，2 t15，2 t23，综上所述：存在 M1（0，2） ， M2（3，2） ， M3（2，3） ， M4（5，18） ，使得以点A、 M、 N 为顶点的三角形与 ABC 相似8如图，二次函数 y x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（3，0） ， B（1，0） ，与 y 轴交于点 C若点 P， Q 同时从 A 点出发，都以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 AB， AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动（1）求该二次函数的解析式及点 C 的坐标；（2）当点 P 运动到 B 点时，点 Q 停止运动，这时，在 x 轴上是否存在点

23、 E，使得以A， E， Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出 E 点坐标；若不存在，请说明理由（3）当 P， Q 运动到 t 秒时， APQ 沿 PQ 翻折，点 A 恰好落在抛物线上 D 点处，请判定此时四边形 APDQ 的形状，并求出 D 点坐标方法（1）：解：（1）二次函数 y x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（3，0） ， B（1，0） ， ，解得 ， y x2 x4 C（0，4） （2）存在如图 1，过点 Q 作 QD OA 于 D，此时 QD OC， A（3，0） ， B（1，0） ， C（0，4） ， O（0，0） ， AB4， OA3， OC4， AC 5，当点

24、 P 运动到 B 点时，点 Q 停止运动， AB4， AQ4 QD OC， ， ， QD ， AD 作 AQ 的垂直平分线，交 AO 于 E，此时 AE EQ，即 AEQ 为等腰 三角形，设 AE x，则 EQ x， DE AD AE| x|，在 Rt EDQ 中， （ x） 2+（ ） 2 x2，解得 x ， OA AE3 ， E（ ，0） ，说明点 E 在 x 轴的负半轴上；以 Q 为圆心， AQ 长半径画圆，交 x 轴于 E，此时 QE QA4， ED AD ， AE ， OA AE3 ， E（ ，0） 当 AE AQ4 时，1当 E 在 A 点左边时， OA AE341， E（1，0）

25、 2当 E 在 A 点右边时， OA+AE3+47， E（7 ，0） 综上所述，存在满足条件的点 E，点 E 的坐标为（ ，0）或（ ，0）或（1，0）或（7，0） （3）四边形 APDQ 为菱形， D 点坐标为（ ， ） 理由如下：如图 2， D 点关于 PQ 与 A 点对称，过点 Q 作， FQ AP 于 F， AP AQ t， AP DP， AQ DQ， AP AQ QD DP，四边形 AQDP 为菱形， FQ OC， ， ， AF ， FQ ， Q（3 ， ） ， DQ AP t， D（3 t， ） ， D 在二次函数 y x2 x4 上， （3 t） 2 （3 t）4， t ，或 t

26、0（与 A 重合，舍去） ， D（ ， ） 方法二：（1）略（2）点 P、 Q 同时从 A 点出发，都已每秒 1 个单位长度的速度分别沿 AB， AC 运动过点 Q 作 x 轴垂线，垂足为 H A（3，0） ， C（0，4） ， lAC： y x4，点 P 运动到 B 点时，点 Q 停止运动， AP AQ4， QH ， Qy ，代入 LAC： y x4 得， Qx ，则 Q（ ， ） ，点 E 在 x 轴上，设 E（ a，0） ， A（3，0） ， Q（ ， ） ， AEQ 为等腰三角形， AE EQ， AE AQ， EQ AQ，（ a3）2（ a ）2+（0+ ）2， a ，（ a3）2（3

27、 ）2+（0+ ）2， a17， a21，（ a ）2+（0+ ）2（3 ）2+（0+ ）2， a1 ， a23（舍）点 E 的坐标为（ ，0）或（ ，0）或（1，0）或（7，0） （3） P， Q 运动到 t 秒，设 P（3 t，0） ， Q（3 t， t） ， KPQ ， KPQ2， AD PQ， KPQKAD1， KAD ， A（3，0） ， lAD： y x ， y ， x13（舍） ， x2 ， D（ ， ） ， DY QY，即 t ， t ， DQ AP， DQ AQ AP，此时四边形 APDQ 的形状为菱形9如图，抛物线 y x2+mx+n 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y

28、 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A（1，0） ， C（0，2） （1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使 PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点 E 是线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E运动到什么位置时，四边形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标解：（1）抛物线 y x2+mx+n 经过 A（1，0） ， C（0，2） 解得： ，抛物线的解析式为： y x2+ x+2；（2） y x2+ x+

29、2， y （ x ） 2+ ，抛物线的对称轴是 x OD C（0，2） ， OC2在 Rt OCD 中，由勾股定理，得CD CDP 是以 CD 为腰的等腰三角形， CP1 DP2 DP3 CD作 CM x 对称轴于 M， MP1 MD2， DP14 P1（ ，4） ， P2（ ， ） ， P3（ ， ） ；（3）当 y0 时，0 x2+ x+2 x11， x24， B（4，0） 设直线 BC 的解析式为 y kx+b，由图象，得，解得： ，直线 BC 的解析式为： y x+2如图 2，过点 C 作 CM EF 于 M，设 E（ a， a+2） ， F（ a， a2+ a+2） ， EF a2+

30、 a+2（ a+2） a2+2a（0 a4） S 四边形 CDBF S BCD+S CEF+S BEF BDOC+ EFCM+ EFBN， + a（ a2+2a）+ （4 a） （ a2+2a） ， a2+4a+ （0 a4） （ a2） 2+ a2 时， S 四边形 CDBF 的面积最大 ， E（2，1） 10如图，在矩形 OABC 中， OA5， AB4，点 D 为边 AB 上一点，将 BCD 沿直线 CD 折叠，使点 B 恰好落在边 OA 上的点 E 处，分别以 OC， OA 所在的直线为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系（1）求 OE 的长及经过 O， D， C 三点抛物线的解析式；

31、（2）一动点 P 从点 C 出发，沿 CB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动，同时动点 Q从 E 点出发，沿 EC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，当点 P 到达点 B 时，两点同时停止运动，设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时， DP DQ；（3）若点 N 在（1）中抛物线的对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样的点 M 与点N，使 M， N， C， E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出 M 点坐标；若不存在，请说明理由解：（1） CE CB5， CO AB4，在 Rt COE 中， OE 3，设 AD m，则 DE BD4 m， OE3， AE532，

32、在 Rt ADE 中，由勾股定理可得 AD2+AE2 DE2，即 m2+22（4 m） 2，解得 m ， D（ ，5） ， C（4，0） ， O（0，0） ，设过 O、 D 、 C 三点的抛物线为 y ax（ x+4） ，5 a（ +4） ，解得 a ，抛物线解析式为 y x（ x+4） x2+ x；（2） CP2 t， BP52 t， BD ， DE ， BD DE，在 Rt DBP 和 Rt DEQ 中，Rt DBPRt DEQ（ HL） ， BP EQ，52 t t， t ；（3）抛物线的对称轴为直线 x2，设 N（2， n） ，又由题意可知 C（4，0） ， E（0，3） ，设 M（

33、m， y） ，当 EN 为对角线，即四边形 ECNM 是平行四边形时，则线段 EN 的中点横坐标为 1，线段 CM 中点横坐标为 ， EN， CM 互相平分， 1，解得 m2，又 M 点在抛物线上， y 22+ 216， M（2，16） ；当 EM 为对角线，即四边形 ECMN 是平行四边形时，则线段 EM 的中点横坐标为 ，线段 CN 中点横坐标为 3， EM， CN 互相平分， 3，解得 m6，又 M 点在抛物线上， y （6） 2+ （6）16， M（6，16） ；当 CE 为对角线，即四边形 EMCN 是平行四边形时，则 M 为抛物线的顶点，即 M（2， ） 综上可知，存在满足条件的点

34、 M，其坐标为（2，16）或（6，16）或（2， ） 11如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交 y 轴于 A 点，交 x 轴于B， C 两点（点 B 在点 C 的左侧） ，已知 A 点坐标为（0，3） （1）求此抛物线的解析式；（2）过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D，如果以点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切，请判断抛物线的对称轴 l 与 C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点 P 是抛物线上的一个动点，且位于 A， C 两点之间，问：当点 P 运动到什么位置时， PAC 的面积最大？并求出此时 P 点的坐标和 PAC 的最大面积解：（1）设抛物线为 y

35、a（ x4） 21，抛物线经过点 A（0，3） ，3 a（04） 21， ；抛物线为 ；（2）相交证明：连接 CE，则 CE BD，当 时， x12， x26A（0，3） ， B（2，0） ， C（6，0） ，对称轴 x4， OB2， AB ， BC4， AB BD， OAB+ OBA90， OBA+ EBC90， AOB BEC， ，即 ，解得 CE ， 2，故抛物线的对称轴 l 与 C 相交（3）如图，过点 P 作平行于 y 轴的直线交 AC 于点 Q；可求出 AC 的解析式为 ；设 P 点的坐标为（ m， ） ，则 Q 点的坐标为（ m， ） ； PQ m+3（ m22 m+3） m2+

36、 m S PAC S PAQ+S PCQ （ m2+ m）6 （ m3） 2+ ；当 m3 时， PAC 的面积最大为 ；此时， P 点的坐标为（3， ） 12如图，在平面直角坐标系中，直线 y3 x3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C抛物线 y x2+bx+c 经过 A， C 两点，且与 x 轴交于另一点 B（点 B 在点 A 右侧） （1）求抛物线的解析式及点 B 坐标；（2）若点 M 是线段 BC 上一动点，过点 M 的直线 EF 平行 y 轴交 x 轴于点 F，交抛物线于点 E求 ME 长的最大值；（3）试探究当 ME 取最大值时，在 x 轴下方抛物线上是否存在点 P，使以

37、M， F， B， P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，试说明理由解：（1）当 y0 时，3 x30， x1 A（1，0）当 x0 时， y3， C（0，3） ， ，抛物线的解析式是： y x22 x3当 y0 时， x22 x30，解得： x11， x23 B（3，0） （2）由（1）知 B（3，0） ， C（0，3）直线 BC 的解析式是： y x3，设 M（ x， x3） （0 x3） ，则 E（ x， x22 x3） ME（ x3）（ x22 x3） x2+3x（ x ） 2+ ；当 x 时， ME 的最大值为 （3）答：不存在由（2）知 ME 取最大

38、值时 ME ， E（ ， ） ， M（ ， ） MF ， BF OB OF 设在抛物线 x 轴下方存在点 P，使以 P、 M、 F、 B 为顶点的四边形是平行四边形，则 BP MF， BF PM P1（0， ）或 P2（3， ）当 P1（0， ）时，由（1）知 y x22 x33 P1不在抛物线上当 P2（3， ）时，由（1）知 y x22 x30 P2不在抛物线上综上所述：在 x 轴下方抛物线上不存在点 P，使以 P、 M、 F、 B 为顶点的四边形是平行四边形13如图，已知抛物线 y x2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） 、 B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴与抛物线交于点 P、与直线 BC 相交于点 M，连接 PB（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点 D，使得 BCD 的面积最大？若存在，求出 D 点坐标及 BCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由（3）在（1）中的抛物线上是否存在点 Q，使得 QMB 与 PMB 的面积相等？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由