1、2019 年湖北省襄阳市老河口市中考数学模拟试卷（5 月份）一选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将序号在答题卡上涂黑作答1（3 分）2 的绝对值是（ ）A2 B2 C D2（3 分）可燃冰，学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁、储量巨大的新能源据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了 1000 亿吨油当量将 1000 亿用科学记数法可表示为（ ）A110 3 B100010 8 C110 11 D110 143（3 分）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若155，则2的度数是（ ）A50
2、 B45 C40 D354（3 分）下列运算正确的是（ ）A（a 2） 3a 5 Ba 3a5a 15 Ca 5a2a 3 D3a 22a 215（3 分）如图，以正方形 ABCD 的顶点 A 为圆心，以 AD 的长为半径画弧，交对角线 AC 于点E，再分别以 D，E 为圆心，以大于 DE 的长为半径画弧，两弧交于图中的点 F 处，连接 AF 并延长，与 BC 的延长线交于点 P，则P（ ）A90 B45 C30 D22.56（3 分）为了解中学生获取资讯的主要渠道，设置“A报纸B电视C网络，D身边的人E 其他 ”五个选项（五项中必选且只能选一项）的调查问卷先随机抽取 50 名中学生进行该问卷
3、调查根据调查的结果绘制条形图如图该调查的方式是（ ），图中的 a 的值是（ ）A全面调查，26 B全面调查，24C抽样调查，26 D抽样调查， 247（3 分）在平面直角坐标系中，点 P（m 2，m +1）一定不在第（ ）象限A四 B三 C二 D一8（3 分）下面由 7 个完全相同的小正方体组成的几何体的左视图是（ ）A BC D9（3 分）在ABC 中，点 D 是边 BC 上的点（与 B，C 两点不重合），过点 D 作DEAC ，DF AB，分别交 AB，AC 于 E，F 两点，下列说法正确的是（ ）A若 ADBC，则四边形 AEDF 是矩形B若 AD 垂直平分 BC，则四边形 AEDF 是
4、矩形C若 BDCD，则四边形 AEDF 是菱形D若 AD 平分BAC，则四边形 AEDF 是菱形10（3 分）已知点 A（3，y 1），B（2，y 2）均在抛物线 yax 2+bx+c 上，点 P（m，n）是该抛物线的顶点，若 y1y 2n，则 m 的取值范围是（ ）A3m2 B Cm Dm 2二填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）把答案填在答题卡的相应位置上11（3 分）计算：4 +3 12（3 分）已知关于 x 的分式方程 1 的解是非负数，则 m 的取值范围是 13（3 分）从2，1，1，2 四个数中，随机抽取两个数相乘，积为正数的概率是 14（3 分）如图，在矩
5、形纸片 ABCD 中，已知 AD8，AB6，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在点 F 处，折痕为 AE，则 EF 的长为 15（3 分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m水面下降 2.5m，水面宽度增加 m16（3 分）如图，已知O 的半径为 5，P 是直径 AB 的延长线上一点，BP1，CD 是O 的一条弦，CD6，以 PC，PD 为相邻两边作PCED，当 C， D 点在圆周上运动时，线段 PE 长的最大值与最小值的差等于 三、解答题（本大题共 9 个小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内.）
6、17（6 分）先化简，再求值： ，其中 18（6 分）在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里 40 名同学本学期购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如图所示的统计表和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问题：（直接填写结果）费用（元） 20 30 50 80 100人数 6 a 10 b 4（1）本次调查获取的样本数据的众数是 元，中位数是 元；（2）扇形统计图中，“50 元”所对应的圆心角的度数为 度，该班学生购买课外书的平均费用为 元；（3）若该校共有学生 1000 人，根据样本数据，估计本学期购买课外书花费 50 元的学生有 人19（6 分）已知 A（m，2）， B（3，n）两点关于原
7、点 O 对称，反比例函数 y 的图象经过点 A（1）求反比例函数的解析式并判断点 B 是否在这个反比例函数的图象上；（2）点 P（x 1，y 1）也在这个反比例函数的图象上， 3x 1m 且 x10，请直接写出 y1 的范围20（6 分）如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点 A 处飞机的飞行高度是 AF3700 米，从飞机上观测山顶目标 C 的俯角是 45，飞机继续以相同的高度飞行 300 米到 B 处，此时观测目标 C 的俯角是 50，求这座山的高度 CD（参考数据：sin500.77， cos500.64，tan501.20）21（7 分）某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（
8、即最低档次）的产品每天生产 76件，每件利润 10 元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加 2 元（1）若生产第五档次的蛋糕，该档次蛋糕每件利润为多少元？（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少 4 件若生产的某档次产品一天的总利润为 1024 元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？22（8 分）在 RtABC 中，ACB90，BE 平分ABC，D 是边 AB 上一点，以 BD 为直径的O 经过点 E，且交 BC 于点 F（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若 CF2，CE4，求O 的半径23（10 分）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为
9、 6 元件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30 天）的试营销，售价为 9 元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线 ODE 表示日销售量 y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段 DE 表示的函数关系中，时间每增加 1 天，日销售量减少 4件，（1）请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）日销售利润不低于 960 元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？（3）工作人员在统计的过程中发现，有连续两天的销售利润之和为 1980 元，请你算出是哪两天24（10 分）（1）【问题发现】如图 1，在 RtABC 中，
10、AB AC ，BAC90，点 D 为 BC的中点，以 CD 为一边作正方形 CDEF，点 E 恰好与点 A 重合，请判断线段 BE 与 AF 的数量关系并写出推断过程；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，如果正方形 CDEF 绕点 C 旋转，连接 BE，CE，AF，线段 BE 与 AF 的数量关系有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明；（3）【结论运用】在（1）（2）的条件下，若ABC 的面积为 2，当正方形 CDEF 旋转到B，E，F 三点在同一直线上时，请直接写出线段 AF 的长25（13 分）已知抛物线 yax 2 x+c 经过 A（2，0），B（0，2）两点，动点 P，Q 同时从原点出
11、发均以 1 个单位/秒的速度运动，动点 P 沿 x 轴正方向运动，动点 Q 沿 y 轴正方向运动，连接 PQ，设运动时间为 t 秒（1）求抛物线的解析式；（2）当 BQ AP 时，求 t 的值；（3）随着点 P，Q 的运动，抛物线上是否存在点 M，使 MPQ 为等边三角形？若存在，请求出t 的值及相应点 M 的坐标；若不存在，请说明理由2019 年湖北省襄阳市老河口市中考数学模拟试卷（5 月份）参考答案与试题解析一选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将序号在答题卡上涂黑作答1【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解
12、答【解答】解：2 的绝对值是 2，即| 2| 2故选：A【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 02【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 1000 亿用科学记数法表示为：110 11故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a
13、 的值以及 n 的值3【分析】直接利用平行线的性质结合已知直角得出2 的度数【解答】解：由题意可得：1355，24905535故选：D【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出3 的度数是解题关键4【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则和同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案【解答】解：A、（a 2） 3a 6，故此选项错误；B、a 3a5a 8，故此选项错误；C、a 5a2a 3，正确；D、3a 22a 2a 2，故此选项错误；故选：C【点评】此题主要考查了合并同类项法则以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键5【分析】根据正方形的性质得到DACAC
14、D45，由作图知，CAP DAC22.5，根据三角形的内角和即可得到结论【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，DACACD45，由作图知，CAP DAC22.5，P180ACPCAP22.5，故选：D【点评】本题考查了正方形的性质，角平分线定义，正确的理解题意是解题的关键6【分析】根据题意得到此调查为抽样调查，由样本容量求出 a 的值即可【解答】解：根据题意得：该调查的方式是抽样调查，a50（6+10+6+4）24，故选：D【点评】此题考查了条形统计图，以及全面调查与抽样调查，弄清题意是解本题的关键7【分析】求出点 P 的纵坐标大于横坐标，再根据各象限内点的坐标特征解答【解答】解：（m+1）
15、（m 2）m +1m+2 3，点 P 的纵坐标大于横坐标，点 P 一定不在第四象限故选：A【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（，+）；第三象限（，）；第四象限（+，）8【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案【解答】解：从左边看第一层是三个正方形，第二层是左边两个正方形，如图所示：故选：B【点评】本题考查简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图9【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论【解答】解：若 ADBC，则四边形 AEDF 是平行四边形，不一定是矩形；选项 A 错误
16、；若 AD 垂直平分 BC，则四边形 AEDF 是菱形，不一定是矩形；选项 B 错误；若 BDCD，则四边形 AEDF 是平行四边形，不一定是菱形；选项 C 错误；若 AD 平分BAC，则四边形 AEDF 是菱形；正确；故选： D【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键10【分析】根据点 A（3，y 1），B（2，y 2）均在抛物线 yax 2+bx+c 上，点 P（m，n）是该抛物线的顶点，y 1y 2n，可知该抛物线开口向上，对称轴是直线 xm ，则 m，从而可以求得 m 的取值范围，本题得以解决【解答】解：点 P（m，n）是该抛物线的顶点，抛物线
17、的对称轴为 xm ，点 A（3，y 1），B（2，y 2）均在抛物线 yax 2+bx+c 上，且 y1y 2n， m，解得 m ，故选：C【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答二填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）把答案填在答题卡的相应位置上11【分析】先进行二次根式的化简，然后合并【解答】解：原式2 + 2 故答案为： 【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并12【分析】解分式方程 1，得 xm1，所以 m10，因此 m1【解答】解：解分式方程
18、1，得xm1，解是非负数，m10，m1，故答案为 m1【点评】本题考查了分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键13【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到积为正数的结果数，根据概率公式计算可得【解答】解：列表如下：2 1 1 22 2 2 41 2 1 21 2 1 22 4 2 2由表可知，共有 12 种等可能结果，其中积为正数的有 4 种结果，所以积为正数的概率是 ，故答案为： 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率14【分析】求出 AC 的长度；证
19、明 EFEB（设为 ），得到 CE8；列出关于 的方程，求出 即可解决问题【解答】解：四边形 ABCD 为矩形，D90，DCAB6；由勾股定理得：AC 2AD 2+DC2，AC10；由题意得：AFE B 90，AFAB6；EFEB （设为 ），CF1064，CE8；由勾股定理得：（8） 2 2+42，解得：3，EF3故答案为：3【点评】该题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理解答15【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把 y2.5 代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得
20、出答案【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点，则通过画图可得知 O 为原点，抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米，抛物线顶点C 坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式 yax 2+2，其中 a 可通过代入 A 点坐标（2，0），到抛物线解析式得出：a0.5，所以抛物线解析式为 y0.5x 2+2，当水面下降 2 米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当 y2 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 y2 与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把 y2 代入抛物线解析式
21、得出：2.50.5x 2+2，解得：x3，所以水面宽度增加到 6 米，比原先的宽度当然是增加了 642 米，故答案为：2【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键16【分析】连接 OC，设 CD 交 PE 于点 K，连接 OK，求出 OK，OP 的值，利用三角形的三边关系即可解答【解答】解：连接 OC，设 CD 交 PE 于点 K，连接 OK，四边形 PCED 是平行四边形，EKPK，CKDK，OKCD ，在 Rt COK 中，OC5，CK3，OK 4，OPOB +PB6，64PK6+4 ，2PK10，PK 的最小值为 2，最大值为 10，P
22、E2PK，PE 的最小值为 4，最大值为 20，线段 PE 长的最大值与最小值的差20416，故答案为：16【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理、三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识、正确作出辅助性三、解答题（本大题共 9 个小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内.）17【分析】先算除法，再算加减，最后把 a 的值代入进行计算即可【解答】解：原式 + + ，当 a +1 时，原式 【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）
23、、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助18【分析】（1）先求出总人数，再根据百分比求出 a、b 的值，继而由众数和中位数的定义求解可得；（2）用 360乘以对应人数所占比例可得其圆心角度数，利用平均数的定义计算可得；（3）总人数乘以样本中对应部分所占比例【解答】解：（1）被调查的总人数为 615%40（人），a4030%12，b40 20%8，这组众数为 30，中位数为 50，故答案为：30、50；（2）“50 元”所对应的圆心角的度数为 360 90，该班学生购买课外书的平均费用为 50.5，故答案为：90、50.5；（3）估计本学期购买课外书花费 50 元的学
24、生有 1000 250（人），故答案为：250【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小19【分析】（1）根据中心对称的性质求得 m、n，然后根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据图象和 A、B 点坐标即可求得【解答】解：（1）A（m， 2），B（3，n）两点关于原点 O 对称，m3，n2，即 A（3， 2），B（3，2），反比例函数 y 的图象经过点 A，2 ，解得 k6，反比例函数的解析式为 y当 x3 时，y 2点 B 在这个反比例函数的
25、图象上；（2）A（3，2），B（3，2），3x 13 且 x10，y 1 的范围时 y12 或 y12【点评】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，利用关于原点对称的点的坐标得出 A、B 点坐标是解题关键20【分析】设 ECx ，则在 RTBCE 中，可表示出 BE，在 RtACE 中，可表示出 AE，继而根据 AB+BEAE，可得出方程，解出即可得出答案【解答】解：设 ECx ，在 Rt BCE 中，tanEBC ，则 BE x，在 Rt ACE 中，tanEAC ，则 AE x，AB+BEAE，300+ xx，解得：x1800，这座山的高度 CDDEEC370
26、018001900（米）答：这座山的高度是 1900 米【点评】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是两次利用三角函数的知识，求出BE 及 AE 的表达式，属于基础题，要能将实际问题转化为数学计算21【分析】（1）根据生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加 2 元，即可求出第五档的蛋糕的利润；（2）设烘焙店生产的是第 x 档次的产品，根据单件利润销售数量总利润，即可得出关于 x的一元二次方程，解之即可得出结论【解答】解：（1）10+2（51）18（元）答：该档次蛋糕每件利润为 18 元；（2）设烘焙店生产的是第 x 档次的产品，根据题意得：10+2（x1）76 4（x 1）
27、1024，整理得：x 216x +480，解得：x14，x 212（不合题意，舍去）答：该烘焙店生产的是四档次的产品【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）根据单件利润销售数量总利润，列出关于 x 的一元二次方程22【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得：OEBC，所以 OEAC，则 AC是O 的切线；（2）设O 的半径为 r过点 O 作 OHBF 交 BF 于 H，由题意可知四边形 OECH 为矩形，根据矩形的性质得到 OHCE 4，CH OEr，求得 BHFHCHCFr2，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：（1）证明：连接 O
28、EOEOB ，OBEOEB，BE 平分ABC，OBEEBC，EBCOEB，OEBC，OEAC，ACB90，OEA90，AC 是O 的切线；（2）解：设O 的半径为 r过点 O 作 OHBF 交 BF 于 H，由题意可知四边形 OECH 为矩形，OHCE4，CHOEr，BHFH CHCFr2 ，在 Rt BHO 中，OH 2+BH2OB 24 2+（r2） 2r 2，解得 r5 O 的半径为 5【点评】本题考查了圆的切线的判定、角平分线和平行线的性质、勾股定理、垂径定理等知识，在圆中常利用勾股定理计算圆中的线段23【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线 OD、DE 的函数关系式，联
29、立两函数关系式成方程组可求出点 D 的坐标，结合点 E 的横坐标，即可找出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）根据日销售量日销售利润每件的利润，可求出日销售量，将其分别代入 OD、DE 的函数关系式中求出 x 值，将其相减加 1 即可求出日销售利润不低于 960 元的天数，再根据点 D 的坐标结合日销售利润每件的利润日销售量，即可求出日销售最大利润；（3）根据题意列出方程确定答案即可；【解答】解：（1）y ；（2）当 0x18 时，根据题意得，（96）20x960，解得：x16；当 18x30 时，根据题意得，（96）（4x+432）960，解得：x2816x28；2816+113（天），日
30、销售利润不低于 960 元的天数共有 13 天；由 20x4x+432 解得，x 18，当 x18 时，y 20x 360， 点 D 的坐标为（18，360），日最大销售量为 360 件，360（96）1080（元），试销售期间，日销售最大利润是 1080 元；（3）设第 x 天和第（x +1）天的销售利润之和为 1980 元1980（96）6603402，x17，或 x+123，当 x17 时，根据题意可得 20x+20（x +1）660，解得 x16，符合，当 x+123 时，4x +4324（x+1）+432660，解得 x25，符合，连续两天的销售利润之和为 1980 元的是第 16，
31、17 两天和第 25，26 两天【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量间的关系列式计算；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（3）利用一次函数图象上点的坐标特征求出日销售利润等于 960 元的销售时间24【分析】（1）如图 1，先判断出ABD 为等腰直角三角形，进而得出 AB AD，即可得出结论；（2）如图 2，先利用三角函数得出 ，证明夹角相等即可得出ACFBCE，进而得出结论；（3）分两种情况计算，当点 E 在线段 BF 上时，如图 2，先利用勾股定理求出 EFCFAD，BF ，即可得出 BE ，借助（2）得出的结论，当点 E 在线段 BF 的延长线上
32、，同前一种情况一样即可得出结论【解答】解：（1）BE AF，理由是：在 Rt ABC 中，ABAC，根据勾股定理得，BC AB，又点 D 为 BC 的中点，ADBC，AB AD，四边形 CDEF 是正方形，AFEFAD，AB AF，即 BE AF（2）无变化证明：如图 2，在 RtABC 中，ABAC ，ABCACB45，sinABC ，在正方形 CDEF 中，FEC FED 45，在 Rt CEF 中，sinFEC ，FCEACB45，FCEACEACB ACE ，FCAECB，ACFBCE， BE AF，线段 BE 与 AF 的数量关系无变化；（3）S ABC 2，AB2，分两种情况：当点
33、 E 在线段 BF 上时，如图 2，由（1）知，CFEFCD ，在 Rt BCF 中，CF ，BC 2 ，根据勾股定理得，BF ，BEBFEF ，由（2）知，BE AF，AF 1，当点 E 在线段 BF 的延长线上时，如图 3，在 Rt ABC 中，ABAC2 ，ABCACB45，sinABC ，在正方形 CDEF 中，FEC FED 45，在 Rt CEF 中，sinFEC ，FCEACB45，FCB+ ACBFCB+FCE，FCAECB，ACFBCE， ，BE AF，在 Rt BCF 中，CF ，BC 2 ，根据勾股定理得，BF ，BEBF+EF ，BE AF，AF +1即：当正方形 CD
34、EF 旋转到 B，E，F 三点在同一直线上时，线段 AF 的长为 1 或 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解（2）（3）的关键是判断出ACFBCE第三问要分情况讨论25【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式（2）BQ AP，要考虑 P 在 OC 上及 P 在 OC 的延长线上两种情况，有此易得 BQ，AP 关于 t的表示，代入 BQ AP 可求 t 值（3）考虑等边三角形，我们通常只需明确一边的情况，进而即可描述出整个三角形考虑MPQ，发现 PQ 为一有规律的线段，易得 OPQ 为等腰直角三角形，但仅因此无法确定
35、 PQ 运动至何种情形时MPQ 为等边三角形若退一步考虑等腰，发现， MO 应为 PQ 的垂直平分线，即使MPQ 为等边三角形的 M 点必属于 PQ 的垂直平分线与抛物线的交点，但要明确这些交点仅仅满足MPQ 为等腰三角形，不一定为等边三角形确定是否为等边，我们可以直接由等边性质列出关于 t 的方程，考虑 t 的存在性【解答】解：（1）抛物线经过 A（2，0），B（0，2）两点， 解得：a ，c2抛物线的解析式为 y 2 x+2；（2）由题意可知，OQOPt，AP2+t 如图 1，当 t2 时，点 Q 在点 B 下方，此时 BQ2tBQ AP，2t （2+t），t1如图 2，当 t2 时，点
36、Q 在点 B 上方，此时 BQt2BQ AP，t2 （2+t），t4当 BQ AP 时，t1 或 t4（3）存在作 MCx 轴于点 C，连接 OM设点 M 的横坐标为 m，则点 M 的纵坐标为 m2 m+2当MPQ 为等边三角形时，MQ MP ，又OPOQ ，点 M 点必在 PQ 的垂直平分线上，POM POQ45，MCO 为等腰直角三角形， CMCO ，m m+2，解得 m11，m 23M 点可能为（1，1）或（ 3，3）如图 3，当 M 的坐标为（1，1）时，则有 PC1t，MP 21+（1t ） 2t 22t+2，PQ22t 2，MPQ 为等边三角形，MPPQ ，t 22t+22t 2，
37、解得 t11+ ，t 21 （负值舍去）如图 4，当点 M 的坐标为（3，3）时，则有 PC3+t ，MC3，MP 23 2+（3+t） 2t 2+6t+18，PQ 22t 2，MPQ 为等边三角形，MPPQ ，解得 t13+3 ，t 233 （负值舍去）当 t1+ 时，抛物线上存在点 M（1，1），或当 t3 +3 时，抛物线上存在点 M（3，3），使得MPQ 为等边三角形【点评】本题是二次函数、一次函数及三角形相关知识的综合题目，其中涉及的知识点有待定系数法求抛物线，三角形全等，等腰、等边三角形性质及一次函数等基础知识，在讨论动点问题是一定要注意考虑全面分情形讨论分析总体来说本题难度较高，其中技巧需要好好把握
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