1、绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷1 至 2 页，第卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利第卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共 8 小题，每小题 5 分共 40 分。参考公式：如果事件 A，
2、B 互斥，那么 PABP.圆柱的体积公式 VSh，其中 表示圆柱的底面面积， h表示圆柱的高棱锥的体积公式 13，其中 表示棱锥的底面面积， 表示棱锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合 ,25A， 2,34B ， |13CxR ，则 ()ACB（A）2 （B）2，3 （C）-1，2，3 （D）1，2，3，4（2）设变量 ,xy满足约束条件0,1,xy则目标函数 4zxy的最大值为（A）2 （B）3 （C）5 （D）6（3）设 xR，则“ 0x”是“ 1x”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（4）阅
3、读右边的程序框图，运行相应的程序，输出 S的值为（A）5 （B）8 （C）24 （D）29（5）已知 2log7a， 3lb， 0.2c，则 ,abc的大小关系为（A） cb（B） （c） （D）（6）已知抛物线 24yx的焦点为 F，准线为 l.若与双曲线21(0,)xyab的两条渐近线分别交于点 A 和点 B，且 |O（ 为原点） ，则双曲线的离心率为（A） 2（B） 3（C）2 （D） 5（7）已知函数 ()sin()0,|)fxxA是奇函数，且 fx的最小正周期为 ，将yf的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图象对应的函数为 gx.若24g，则 38f（A）
4、-2 （B） 2（C） 2 （D）2（8）已知函数2,01,().xf若关于 x的方程 1()()4fxaR恰有两个互异的实数解，则 a的取值范围为（A） 59,4（B） 59,4（C） 59,14 （D） 59,14绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）第卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2.本卷共 12 小题，共 110 分。二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9） i是虚数单位，则的值 1i的值为_.（10）设 xR，使不等式 230x成立的 x的取值范围为_.（11）曲线 cosy在点 ,处的切
5、线方程为_.（12）已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_.（13）设 0x， y， 4xy，则 (1)xy的最小值为_.（14）在四边形 ABCD中， B ， 23A ， 5D ， 30A ，点 E在线段 CB的延长线上，且 E，则 E_.三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15） （本小题满分 13 分）2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等
6、六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 72,108人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 25人调查专项附加扣除的享受情况.（）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（）抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为 ,ABCDEF.享受情况如右表，其中“ ”表示享受， “”表示不享受.现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访.员工项目A B C D E F子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设 M为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同” ，求事件 M发生的概
7、率.（16） （本小题满分 13 分）在 ABC中，内角 BC所对的边分别为 ,abc.已知 2a， 3sin4sicBaC.（）求 cos的值；（）求 in26的值.（17） （本小题满分 13 分）如图，在四棱锥 PABCD中，底面 AB为平行四边形， PCDA为等边三角形，平面 PAC平面CD， ， 2， 3，（）设 GH分别为 PBAC的中点，求证： GH 平面 PAD；（）求证： 平面 D；（）求直线 与平面 所成角的正弦值.（18） （本小题满分 13 分）设 na是等差数列， nb是等比数列，公比大于 0，已知 13ab， 23a ， 243b.（）求 和 的通项公式；（）设数列
8、 nc满足 21,nb求 *122nacacN .（19） （本小题满分 14 分）设椭圆21(0)xyab的左焦点为 F，左顶点为 A，顶点为 B.已知 3|2|OAB（ 为原点）.（）求椭圆的离心率；（）设经过点 F且斜率为 34的直线 l与椭圆在 x轴上方的交点为 P，圆 C同时与 x轴和直线 l相切，圆心 C在直线 x上，且 OCAP ，求椭圆的方程.（20） （本小题满分 14 分设函数 ()ln(1)xfae，其中 aR.（）若 0 ，讨论 f的单调性；（）若 e，（i）证明 fx恰有两个零点（ii）设 为 的极值点， 1x为 f的零点，且 10x，证明 0132x.绝密启用前20
9、19 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）参考解答一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 40 分（1）D （2）C （3）B （4）B（5）A （6）D （7）C （8）D二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 30 分（9） 3（10） 21,3（11） 20xy（12） 4（13） 9（14） 1三.解答题（15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，满分 13 分.解：（1）由已知，老、中、青员工人数之比为 6:910，由于
10、采用分层抽样的方法从中抽取 25 位员工，因此应从老、中、青员中分别抽取 6 人，9 人，10 人.（） （i）从已知的 6 人中随机抽取 2 人的所有可能结果为, ,ABCDAEFBCDEBFCDEFDEF，共 15 种.（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为 ,，共 11 种.所以，事件 M发生的概率 1()5P（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.满分 13 分.（1）解：在 ABC中，由正弦定理 sinibcBC，得 sinibcB，又由 3sin4sicaC，得3sin4siba
11、，即 34a.又因为 2a，得到 43a， 2.由余弦定理可得2224169cos 43aaacbB.（）解：由（1）可得 215sin1cosB，从而 sin2ic8， 227csin8BB，故15315iios2sin66686B .（17）本小题主要考查直线与平面平行直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力满分 13 分.（）证明：连接 BD，易知 ACBH， D.又由 BGP，故 HD ，又因为GH平面 P， 平面 P，所以 G 平面 A.（）证明：取棱 的中点 N，连接 .依题意，得 NC，又因为平面 AC平面 P，平面 AC平面
12、，所以 平面 ，交 平面 ，故 N.又已知PD， ，所以 PA平面 D.（）解：连接 N，由（）中 平面 C，可知 A为直线 D与平面 PAC所成的角，因为 CA为等边三角形， 2C且 N为 的中点，所以 3N.又 N，在 RtD中， 3sinAD.所以，直线 与平面 PC所成角的正弦值为 .（18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前 n项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分 13 分.（）解：设等差数列 na的公差为 d，等比数列 nb的公比为 q依题意，得 23154qd，解得3dq，故 3(1)n， 13nnb.所以， na的通项公式为 na， n的
13、通项公式 为 3nb.（）解： 122cc3512142632n nbaa ()638.2n2123n3nT . 2311n ， -得， 123113(2)3.3nnnnnT .所以，1221220 ().6nnnacacT2*(1)39N.（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力，满分 14 分.（）解：设椭圆的半焦距为 c，由已知有 32ab，又由 22abc，消去 b得223ac，解得 12ca.所以，椭圆的离心率为 .（）解：由（）知， 2ac， 3b ，故椭圆
14、方程为2143xyc.由题意， ,0Fc，则直线l的方程为 3()4yxc.点 P 的坐标满足2143()xyc，消去 y并化简，得到 227613xc，解得 1x， 217，代入到 l的方程，解得 12yc， 914c.因为点 P在 轴上方，所以3,Pc.由圆心 C在直线 4x上，可设 4,Ct.因为 OA ，且由（）知 2,0Ac，故24tc，解得 2t.因为圆 与 轴相切，所以圆的半径为 2，又由圆 C与 l相切，得23()14，可得 c.所以，椭圆的方程为216xy.（20）本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想.考查
15、综合分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.（）解：由已知， fx的定义域为 (0,)，且 211e()exxxafa 因此当 0a 时， 20x ，从而 ()0f，所以 f在 (0,)内单调递增.（）证明：（i）由（）知21xaef.令 2()1xgae，由 1ae，可知 gx在 (0,)内单调递减，又 ()0g，且22111lnlnlnaa.故 0gx在 (,)内有唯一解，从而 ()0fx在 (,)内有唯一解，不妨设为 0x，则 01lna.当0,x时， 0()gxfx，所以 fx在 0,内单调递增；当 0(),x时，0()gf，所以 f在 0(),内单调递减，因此 0是 f的唯一极值点.令 ()ln1hx，则当 x时， 1hx，故 hx在 (1,)内单调递减，从而当 1x时，0，所以 ln.从而 1lnllleln1l0afaha a，又因为 0(1)fxf，所以 fx在 (,)内有唯零点 .又 fx在 0,内有唯一零点 1，从而，）在 ,内恰有两个零点.（ii）由题意， 01,fx即 1201lnxxaee，从而 1012lnxe，即 1021lnx.因为当 1x时， ln ，又 10x，故 102201x，两边取对数，得 102llxe，于是 1002lx，整理得 013.
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