1、2019 年四川省自贡市高新区七校联考中考数学模拟试卷（5 月份）一、选择题（每小题 4 分，共 48 分）1 （4 分）据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒 338 600 000 亿次，数字 338 600 000 用科学记数法可简洁表示为（ ）A3.38610 8 B0.338610 9 C33.8610 7 D3.38610 92 （4 分）下面的几何体中，俯视图为三角形的是（ ）A B C D3 （4 分）在 ，1，3，0 这四个实数中，最小的是（ ）A B1 C3 D04 （4 分）已知关于 x 的一元二次方程 x22x k0 有两个不
2、相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ）Ak1 Bk1 Ck1 Dk 15 （4 分）在 RtABC 中，C90，若 AB10，sinA ，则斜边上的高等于（ ）A5 B4.8 C4.6 D46 （4 分）方程 0 的解是（ ）A1 或1 B1 C0 D17 （4 分）如图，下面是利用尺规作AOB 的角平分线 OC 的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）作法：以 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 OA，OB 于点 D，E；分别以 D，E 为圆心，大于 DE 的长为半径画弧，两弧在AOB 内交于一点 C；画射线 OC，射线 OC 就是 AOB 的角平分线AA
3、SA BSAS CSSS DAAS8 （4 分）下列因式分解正确的是（ ）Aa 4b6a 3b+9a2ba 2b（a 26a+9）Bx 2 x+ （ x ） 2Cx 2 2x+4（ x2） 2D4x 2y 2（4x+y ） （4x y）9 （4 分）如图，AB 是O 的直径，C 是 O 上的点，过点 C 作 O 的切线交 AB 的延长线于点 E，若A30，则 sinE 的值为（ ）A B C D10 （4 分）圆内接四边形 ABCD 中，已知A70，则C（ ）A20 B30 C70 D11011 （4 分）函数 y + 中自变量 x 的取值范围是（ ）Ax2 Bx2 且 x1 Cx2 且 x1
4、 Dx 112 （4 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A 在 y 轴上，C 在 x 轴上，双曲线 y 与 AB 交于点 D，与 BC 交于点 E，DF x 轴于点 F，EGy 轴于点 G，交 DF 于点 H若矩形OGHF 和矩形 HDBE 的面积分别是 1 和 2，则 k 的值为（ ）A B +1 C D2二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）13 （4 分）如图，点 A 在双曲线 y 上，AB x 轴于点 B，且AOB 的面积是 2，则 k的值是 14 （4 分）线段 CD 是由线段 AB 平移得到的，点 A（1，4）的对应点为 C（4，7） ，则点 B（ 4，1）的对应点 D 的坐标
5、是 15 （4 分）某中学随机地调查了 50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：时间（小时） 5 6 7 8人数 10 15 20 5则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 小时16 （4 分）方程组 的解是 17 （4 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点O，AC8，BD6，OE BC，垂足为点 E，则 OE 18 （4 分）如图（a） ，有一张矩形纸片 ABCD，其中 AD6cm ，以 AD 为直径的半圆，正好与对边 BC 相切，将矩形纸片 ABCD 沿 DE 折叠，使点 A 落在 BC 上，如图（b） 则半圆还露在外面的部分（阴
6、影部分）的面积为 三、解答题（每题 8 分，共 32 分）19 （8 分） （1）计算：（2）先化简，再求值： ，其中 20 （8 分）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来21 （8 分）某数学兴趣小组同学进行测量大树 CD 高度的综合实践活动，如图，在点 A 处测得直立于地面的大树顶端 C 的仰角为 36，然后沿在同一剖面的斜坡 AB 行走 13 米至坡顶 B 处，然后再沿水平方向行走 6 米至大树脚底点 D 处，斜面 AB 的坡度（或坡比）i1：2.4，求大树 CD 的高度（参考数据：sin36 0.59，cos36 0.81，tan360.73）22 （8 分）A、B、C 三人玩篮球
7、传球游戏，游戏规则是：第一次传球由 A 将球随机地传给B、C 两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人（1）求两次传球后，球恰在 B 手中的概率；（2）求三次传球后，球恰在 A 手中的概率四、解答题（每题 10 分，共 20 分）23 （20 分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为 20 元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于 20 元且不高于 28 元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y（本）与每本纪念册的售价 x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为 22 元时，销售量为36 本；当销售单价为 24 元时，销售量为 32 本（1）请直接写
8、出 y 与 x 的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？五、解答题（12 分）24 （12 分）如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BCD，ACAB，E 是 BC 的中点，ADAE（1）求证：AC 2CDBC；（2）过 E 作 EGAB ，并延长 EG 至点 K，使 EKEB 若点 H 是点 D 关于 AC 的对称点，点 F 为 AC 的中点，求证：FHGH ；若 B30 ，求证：四边形
9、 AKEC 是菱形六、解答题（14 分）25 （14 分）如图，已知抛物线 y （x+2） （x 4）与 x 轴交于点 A、B（点 A 位于点B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，CDx 轴交抛物线于点 D，M 为抛物线的顶点（1）求点 A、B、C 的坐标；（2）设动点 N（2，n） ，求使 MN+BN 的值最小时 n 的值；（3）P 是抛物线上一点，请你探究：是否存在点 P，使以 P、A、B 为顶点的三角形与ABD 相似（PAB 与ABD 不重合）？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由2019 年四川省自贡市高新区七校联考中考数学模拟试卷（5 月份）参考答案与试题解析一、选择题（每
10、小题 4 分，共 48 分）1 （4 分）据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒 338 600 000 亿次，数字 338 600 000 用科学记数法可简洁表示为（ ）A3.38610 8 B0.338610 9 C33.8610 7 D3.38610 9【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：数字 338 600 000 用科学记数法可
11、简洁表示为 3.386108故选：A【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值2 （4 分）下面的几何体中，俯视图为三角形的是（ ）A B C D【分析】根据俯视图是从物体上面看所得到的图形进行解答即可【解答】解：俯视图为三角形的是 故选：C【点评】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键注意所有的看到的棱都应表现在三视图中3 （4 分）在 ，1，3，0 这四个实数中，最小的是（ ）A B1 C3 D0【分析】根据实数的大小比较法则（正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负
12、数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小）比较即可【解答】解：310 ，最小的实数是3，故选：C【点评】本题考查了实数的大小比较法则的应用，主要考查学生的理解能力和比较能力，注意：正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小4 （4 分）已知关于 x 的一元二次方程 x22x k0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ）Ak1 Bk1 Ck1 Dk 1【分析】根据判别式的意义得到（2） 2+4k0，然后解不等式即可【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x22x k0 有两个不相等的实数根，（2） 2+4k0，解得 k1故选：D【点评】此题考查
13、了一元二次方程根的分布，一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b 24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根5 （4 分）在 RtABC 中，C90，若 AB10，sinA ，则斜边上的高等于（ ）A5 B4.8 C4.6 D4【分析】如图所示，CDAB，CD 即为斜边上的高，利用锐角三角函数定义求出 BC 的长，利用勾股定理求出 AC 的长，利用面积法求出 CD 即可【解答】解：如图所示，CDAB，CD 即为斜边上的高，在 Rt ABC 中，C90，AB 10，sinA ，sinA ，即 BC6，根据勾股定理得：AC 8，S A
14、BC ACBC CDAB，CD 4.8，故选：B【点评】此题属于解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键6 （4 分）方程 0 的解是（ ）A1 或1 B1 C0 D1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：x 210，即 x21，解得：x1 或 x1，经检验 x1 是增根，分式方程的解为 x1故选：D【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根7 （4 分）如图，下面是利用尺规作AO
15、B 的角平分线 OC 的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）作法：以 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 OA，OB 于点 D，E；分别以 D，E 为圆心，大于 DE 的长为半径画弧，两弧在AOB 内交于一点 C；画射线 OC，射线 OC 就是 AOB 的角平分线AASA BSAS CSSS DAAS【分析】根据作图的过程知道：OEOD，OCOC ，CECD，所以由全等三角形的判定定理 SSS 可以证得EOCDOC【解答】解：如图，连接 EC、DC根据作图的过程知，在EOC 与DOC 中，EOCDOC（SSS） 故选：C【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应
16、用，注意：三角形全等的判定定理有SAS，ASA ，AAS，SSS，HL8 （4 分）下列因式分解正确的是（ ）Aa 4b6a 3b+9a2ba 2b（a 26a+9）Bx 2 x+ （ x ） 2Cx 2 2x+4（ x2） 2D4x 2y 2（4x+y ） （4x y）【分析】原式各项分解得到结果，即可做出判断【解答】解：A、原式a 2b（a 26a+9）a 2b（a3） 2，错误；B、原式（x ） 2，正确；C、原式不能分解，错误；D、原式（2x+ y） （2xy ） ，错误，故选：B【点评】此题考查了因式分解运用公式法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键9 （4 分）如
17、图，AB 是O 的直径，C 是 O 上的点，过点 C 作 O 的切线交 AB 的延长线于点 E，若A30，则 sinE 的值为（ ）A B C D【分析】首先连接 OC，由 CE 是 O 切线，可证得 OCCE，又由圆周角定理，求得BOC 的度数，继而求得E 的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案【解答】解：连接 OC，CE 是O 切线，OCCE，A30，BOC2A60，E90BOC30，sinEsin30 故选：A【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值注意准确作出辅助线是解此题的关键10 （4 分）圆内接四边形 ABCD 中，已知A70，则C（ ）A20 B30
18、C70 D110【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解【解答】解：四边形 ABCD 为圆的内接四边形，A+C 180 ，C18070110 故选：D【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补11 （4 分）函数 y + 中自变量 x 的取值范围是（ ）Ax2 Bx2 且 x1 Cx2 且 x1 Dx 1【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，分母不等于 0，就可以求解【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：2x0 且 x10，解得：x2 且 x1故选：B【点评】本题考查函数自变量的取值范围，涉及的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数
19、是非负数12 （4 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A 在 y 轴上，C 在 x 轴上，双曲线 y 与 AB 交于点 D，与 BC 交于点 E，DF x 轴于点 F，EGy 轴于点 G，交 DF 于点 H若矩形OGHF 和矩形 HDBE 的面积分别是 1 和 2，则 k 的值为（ ）A B +1 C D2【分析】设 D（t， ） ，由矩形 OGHF 的面积为 1 得到 HF ，于是根据反比例函数图象上点的坐标特征可表示出 E 点坐标为（kt， ） ，接着利用矩形面积公式得到（ktt ） （ ）2，然后解关于 k 的方程即可得到满足条件的 k 的值【解答】解：设 D（t， ） ，矩形 OGHF
20、 的面积为 1，DFx 轴于点 F，HF ，而 EGy 轴于点 G，E 点的纵坐标为 ，当 y 时， ，解得 xkt ，E（kt， ） ，矩形 HDBE 的面积为 2，（ktt）（ ）2，整理得（k1） 22，而 k0，k +1故选：B【点评】本题考查了反比例函数比例系数 k 的几何意义：在反比例函数 y 图象中任取一点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）13 （4 分）如图，点 A 在双曲线 y 上，AB x 轴于点 B，且AOB 的面积是 2，则 k的值是 4 【分析】根据反比例函数的系数 k 的几何意义
21、：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不变，可得 |k|S AOB 2，据此求出 k 的值是多少即可【解答】解：AOB 的面积是 2， |k|2，|k |4，解得 k4，又双曲线 y 的图象经过第二、四象限，k4，即 k 的值是4故答案为：4【点评】此题主要考查了反比例函数的系数 k 的几何意义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：比例系数 k 的几何意义在反比例函数 yxk 图象中任取一点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足
22、以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变14 （4 分）线段 CD 是由线段 AB 平移得到的，点 A（1，4）的对应点为 C（4，7） ，则点 B（ 4，1）的对应点 D 的坐标是 （1，2） 【分析】由于线段 CD 是由线段 AB 平移得到的，而点 A（1，4）的对应点为C（4，7） ，比较它们的坐标发现横坐标增加 5，纵坐标增加 3，利用此规律即可求出点B（4，1）的对应点 D 的坐标【解答】解：线段 CD 是由线段 AB 平移得到的，而点 A（1，4）的对应点为 C（4，7） ，由 A 平移到 C 点的横坐标增加 5，纵坐标增加 3，则点 B（4，1）的对应点 D 的坐标为
23、（1，2） 故答案为：（1，2） 【点评】本题主要考查坐标系中点、线段的平移规律在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同15 （4 分）某中学随机地调查了 50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：时间（小时） 5 6 7 8人数 10 15 20 5则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 6.4 小时【分析】根据平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数进行计算【解答】解： 6.4故答案为：6.4【点评】此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，根据加权平均数的计算公式列出算式是解题的关键16 （4 分）方程组 的解是
24、【分析】由于 y 的系数互为相反数，直接用加减法解答即可【解答】解：解方程组 ，+，得：4x 12，解得：x3，将 x3 代入，得：3+2 y5，解得：y1， ，故答案为： 【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单17 （4 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点O，AC8，BD6，OE BC，垂足为点 E，则 OE 【分析】先根据菱形的性质得 ACBD，OBOD BD3，OAOC AC4，再在 Rt OBC 中利用勾股定理计算出 BC5，然后利用面积法计算 OE 的长【解答】解
25、：四边形 ABCD 为菱形，ACBD，OBOD BD3，OAOC AC4，在 Rt OBC 中， OB3，OC4，BC 5，OEBC， OEBC OBOC，OE 故答案为 【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角也考查了勾股定理和三角形面积公式18 （4 分）如图（a） ，有一张矩形纸片 ABCD，其中 AD6cm ，以 AD 为直径的半圆，正好与对边 BC 相切，将矩形纸片 ABCD 沿 DE 折叠，使点 A 落在 BC 上，如图（b） 则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为 （3 ）cm 2
26、【分析】如图，露在外面部分的面积可用扇形 ODK 与ODK 的面积差来求得，在 RtADC 中，可根据 AD 即圆的直径和 CD 即圆的半径长，求出DA C 的度数，进而得出ODH 和DOK 的度数，即可求得 ODK 和扇形 ODK 的面积，由此可求得阴影部分的面积【解答】解：作 OHDK 于 H，连接 OK，以 AD 为直径的半圆，正好与对边 BC 相切，AD2CD，AD2CD，C90，DAC30，ODH30，DOH60，DOK120，扇形 ODK 的面积为 3 cm2，ODHOKH30， OD3cm ，OH cm，DH cm；DK3 cm，ODK 的面积为 cm2，半圆还露在外面的部分（阴
27、影部分）的面积是：（3 ）cm 2故答案为：（3 ）cm 2【点评】此题考查了折叠问题，解题时要注意找到对应的等量关系；还考查了圆的切线的性质，垂直于过切点的半径；还考查了直角三角形的性质，直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是 30 度三、解答题（每题 8 分，共 32 分）19 （8 分） （1）计算：（2）先化简，再求值： ，其中 【分析】 （1）先分别计算二次根式、绝对值等然后算加减法；（2）先化简分式，然后将 x 的值代入计算【解答】解：（1）原式4+ （2）24+ +1 ；（2）原式x+2，当 时，原式2 +24+ 【点评】本题考查了实数运算与分式化简
28、求值，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键20 （8 分）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来【分析】先去分母和去括号得到 63x44x，然后移项后合并得到 x2，再利用数轴表示解集【解答】解：去分母得 3（2x）4（1x） ，去括号得 63x44x ，移项得 4x3x46，合并得 x2，在数轴上表示为：【点评】本题考查了解一元一次不等式：解一元一次不等式的基本步骤为：去分母；去括号； 移项；合并同类项；系数化为 1也考查了在数轴上表示不等式的解集21 （8 分）某数学兴趣小组同学进行测量大树 CD 高度的综合实践活动，如图，在点 A 处测得直立于地面的大树顶端 C 的仰角为 36，然后
29、沿在同一剖面的斜坡 AB 行走 13 米至坡顶 B 处，然后再沿水平方向行走 6 米至大树脚底点 D 处，斜面 AB 的坡度（或坡比）i1：2.4，求大树 CD 的高度（参考数据：sin36 0.59，cos36 0.81，tan360.73）【分析】作 BFAE 于 F，则 FEBD 6 米，DEBF，设 BFx 米，则 AF2.4 米，在 Rt ABF 中，由勾股定理得出方程，解方程求出 DEBF5 米，AF12 米，得出AE 的长度，在 RtACE 中，由三角函数求出 CE，即可得出结果【解答】解：作 BFAE 于 F，如图所示：则 FEBD 6 米，DEBF，斜面 AB 的坡度 i1：
30、2.4，AF2.4BF，设 BFx 米，则 AF2.4x 米，在 Rt ABF 中，由勾股定理得：x 2+（2.4x） 213 2，解得：x5，DEBF5 米，AF12 米，AEAF+FE18 米，在 Rt ACE 中，CEAEtan36180.7313.14 米，CDCEDE13.14 米5 米8.1 米；【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键22 （8 分）A、B、C 三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由 A 将球随机地传给B、C 两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人（1）求两次传球后，
31、球恰在 B 手中的概率；（2）求三次传球后，球恰在 A 手中的概率【分析】 （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次传球后，球恰在 B 手中的情况，再利用概率公式即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与三次传球后，球恰在 A 手中的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）画树状图得：共有 4 种等可能的结果，两次传球后，球恰在 B 手中的只有 1 种情况，两次传球后，球恰在 B 手中的概率为： ；（2）画树状图得：共有 8 种等可能的结果，三次传球后，球恰在 A 手中的有 2 种情况，三次传球后，球恰在 A 手中的概率
32、为： 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比四、解答题（每题 10 分，共 20 分）23 （20 分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为 20 元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于 20 元且不高于 28 元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y（本）与每本纪念册的售价 x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为 22 元时，销售量为36 本；当销售单价为 24 元时，销售量为 32 本（1）请直接写出 y 与 x 的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该文具店每
33、周销售这种纪念册所获得的利润为 w 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？【分析】 （1）设 ykx+b，根据题意，利用待定系数法确定出 y 与 x 的函数关系式即可；（2）根据题意结合销量每本的利润150，进而求出答案；（3）根据题意结合销量每本的利润w，进而利用二次函数增减性求出答案【解答】解：（1）设 ykx+b，把（22，36）与（24，32）代入得： ，解得： ，则 y2x+80 ；（2）设当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时，每本纪念册的销售单价是x 元，根据题意得：（x20）y 150，则（x20） （2x +80
34、）150，整理得：x 260x +8750，（x25） （x35）0，解得：x 125，x 235，20x28，x35（不合题意舍去） ，答：每本纪念册的销售单价是 25 元；（3）由题意可得：w（x 20） （ 2x+80 ）2x 2+120x 16002（x30） 2+200，此时当 x30 时，w 最大，又售价不低于 20 元且不高于 28 元，x30 时，w 随 x 的增大而增大，即当 x28 时，w 最大 2（2830）2+200192（元） ，答：该纪念册销售单价定为 28 元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是 192 元【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一
35、元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每本的利润w 得出函数关系式是解题关键五、解答题（12 分）24 （12 分）如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BCD，ACAB，E 是 BC 的中点，ADAE（1）求证：AC 2CDBC；（2）过 E 作 EGAB ，并延长 EG 至点 K，使 EKEB 若点 H 是点 D 关于 AC 的对称点，点 F 为 AC 的中点，求证：FHGH ；若 B30 ，求证：四边形 AKEC 是菱形【分析】 （1）欲证明 AC2CDBC ，只需推知ACD BCA 即可；（2） 连接 AH构建直角AHC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的
36、一半、等腰对等角以及等量代换得到：FHGCAB 90，即 FHGH；利用 “在直角三角形中，30 度角所对的直角边等于斜边的一半” 、 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知四边形 AKEC 的四条边都相等，则四边形 AKEC 是菱形【解答】证明：（1）AC 平分 BCD，DCAACB又ACAB， ADAE，DAC+CAE90， CAE+EAB90，DACEAB又E 是 BC 的中点，AEBE，EAB ABC，DACABC，ACDBCA， ，AC 2CDBC；（2） 证明：连接 AHADCBAC90，点 H、D 关于 AC 对称，AHBCEGAB，AEBE，点 G 是 AB 的中点，HG
37、AG ，GAH GHA点 F 为 AC 的中点，AFFH ，HAFFHA，FHG AHF+ AHG FAH +HAGCAB90，FHGH ；EK AB ， ACAB，EKAC，又B30，AC BCEBEC又 EKEB，EKAC，即 AKKEECCA，四边形 AKEC 是菱形【点评】本题考查了四边形综合题，需要熟练掌握相似三角形的判定与性质， “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 、 “在直角三角形中，30 度角所对的直角边等于斜边的一半”以及菱形的判定才能解答该题，难度较大六、解答题（14 分）25 （14 分）如图，已知抛物线 y （x+2） （x 4）与 x 轴交于点 A、B（点 A
38、位于点B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，CDx 轴交抛物线于点 D，M 为抛物线的顶点（1）求点 A、B、C 的坐标；（2）设动点 N（2，n） ，求使 MN+BN 的值最小时 n 的值；（3）P 是抛物线上一点，请你探究：是否存在点 P，使以 P、A、B 为顶点的三角形与ABD 相似（PAB 与ABD 不重合）？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由【分析】 （1）令 y0 可求得点 A、点 B 的横坐标，令 x0 可求得点 C 的纵坐标；（2）根据两点之间线段最短作 M 点关于直线 x2 的对称点 M，当 N（2，N）在直线 MB 上时， MN+BN 的值最小；（3）需要分类讨
39、论：PABABD、PABABD，根据相似三角形的性质求得PB 的长度，然后可求得点 P 的坐标【解答】解：（1）令 y0 得 x12，x 24，点 A（2，0） 、B（4，0）令 x0 得 y ，点 C（0， ）（2）将 x1 代入抛物线的解析式得 y点 M 的坐标为（1， ）点 M 关于直线 x2 的对称点 M的坐标为（5， ）设直线 MB 的解析式为 ykx+b将点 M、B 的坐标代入得：解得：所以直线 MB 的解析式为 y 将 x2 代入得：y ，所以 n （3）过点 D 作 DEBA ，垂足为 E由勾股定理得：AD 3 ，BD ，如下图， 当 P1ABADB 时，即：P 1B6过点 P
40、1 作 P1M1AB，垂足为 M1 即：解得：P 1M1 6 ， 即：解得：BM 112点 P1 的坐标为（8，6 ）或（12、6 ） 点 P1 不在抛物线上，所以此种情况不存在；当 P2ABBDA 时， 即：P 2B6过点 P2 作 P2M2AB，垂足为 M2 ，即：P 2M22 ，即：M 2B8点 P2 的坐标为（4，2 ）将 x4 代入抛物线的解析式得：y2 ，点 P2 在抛物线上由抛物线的对称性可知：点 P2 与点 P4 关于直线 x1 对称，P 4 的坐标为（6，2 ） ，当点 P3 位于点 C 处时，两三角形全等，所以点 P3 的坐标为（0， ） ，综上所述点 P 的坐标为：（4，2 ）或（6，2 ）或（0， ）时，以 P、A、B为顶点的三角形与ABD 相似【点评】本题综合考查了二次函数、一次函数、轴对称路径最短、相似三角形的性质，难度较大，利用相似三角形的性质求得 PB 的长是解题的关键，解答本题需要注意的是在不确定相似三角形的对应角和对应边的情况下要分类讨论，不要漏解
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