1、2018-2019 学年广东省广州大学附中九年级（下）开学数学试卷一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每题给出的四个选项中，只有一项是题目要求的）.12018 的绝对值是（ ）A2018 B2018 C D2下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D3下列计算正确的是（ ）Aa 5+a4a 9 Ba 5a 4a Ca 5a4a 20 Da 5a4a4在一次中学生田径运动会上，参加跳远的 15 名运动员的成绩如下表所示 成绩（米） 4.50 4.60 4.65 4.70 4.75 4.80人数 2 3 2 3 4 1则这些运动员成绩的中位数、众
2、数分别是（ ）A4.65、4.70 B4.65、4.75 C4.70、4.75 D4.70、4.705关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak1 Bk1 Ck1 且 k0 Dk 1 且 k06在同一平面直角坐标系中，反比例函数 y （b0）与二次函数 yax 2+bx（a0）的图象大致是（ ）A BC D7如图，点 A、B、C、D、O 都在方格纸的格点上，若COD 是由AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ）A30 B45 C90 D1358如图所示，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，BCD 120，则BOD 的大小
3、是（ ）A80 B120 C100 D909如图，在ABC 中，点 D 是边 AB 上的一点，ADCACB，AD2，BD 6，则边AC 的长为（ ）A2 B4 C6 D810抛物线 yax 2+bx+c 过点（ 1，0）且对称轴为直线 x1，部分图象如图所示，下列判断中： abc0；b+2a0；b 24ac；若点（0.5，y 1） ， （2，y 2）均在抛物上，则 y1y 2；13a4b+c0；3a+2c0，其中正确个数有（ ）A2 B3 C4 D5二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.）11分解因式：x 25x 12分式方程 的解是 13已知 x1、x 2 是方程 x
4、2+8x30 的两个实数根，则 x1+x2x 1x2 14如图，点 D 为矩形 OABC 的 AB 边的中点，反比例函数 y （x0）的图象经过点D，交 BC 边于点 E若BDE 的面积为 1，则 k 15如图，在矩形 ABCD 中，AB5，BC3，将矩形 ABCD 绕点 B 按顺时针方向旋转得到矩形 GBEF，点 A 落在矩形 ABCD 的边 CD 上，连接 CE，则 CE 的长是 16如图，在直角ABC 中，C90，AC6，BC8，P、Q 分别为边 BC、AB 上的两个动点，若要使APQ 是等腰三角形且BPQ 是直角三角形，则 AQ 三、解答题（共 9 小题，满分 102 分.解答应写出文
5、字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分） （1）计算：2 1 + cos30+|5|（2011） 0（2）解方程：（x2） 2 （2x）18 （8 分）如图，E、F 分别是菱形 ABCD 的边 AB、CB 上的点，且 AECF求证：DEDF19 （10 分）已知：A（ab） 2b（b2a）+b 2（1）化简 A；（2）若点（a，b）在直线 yx+2 上，也在双曲线 y 上，求 A 的值20 （12 分）某校九年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国” “敬业” “诚信” “友善”四个主题选择一个，九年级每名学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文
6、进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你依图回答下列问题：（1）共抽取了 名学生的征文；（2）将条形统计图补充完整；（3）在扇形统计图中，选择“爱国”主题所对应的圆心角是 度；（4）如果该校九年级共有 1200 名学生请估计选择以“友善”为主题的九年级学生有 名（5）学校决定从选择“诚信”的甲、乙、丙三名学生中，随机选取两名学生参加全市征文比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名学生同时被选中的概率21 （10 分）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼 BC 高达 452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼 DE 高 340m，为了测量高楼 BC 上发射塔
7、AB 的高度，在楼 DE 底端 D 点测得 A 的仰角为 ，sin ，在顶端 E 点测得 A 的仰角为 45，求发射塔 AB 的高度22 （12 分）如图，ABC 中，ABAC ，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，交 AC 于点E，过点 D 作 FGAC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G（1）求证：FG 是O 的切线；（2）若 tanC2，求 的值23 （12 分）如图，已知正比例函数 y2x 与反比例函数 y （k0）的图象交于 A、B两点，且点 A 的横坐标为 4，（1）求 k 的值；（2）根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时 x 的取值范围；（3）过原点 O 的另一
8、条直线 l 交双曲线 y （k0）于 P、Q 两点（P 点在第一象限），若由点 A、P、B 、Q 为顶点组成的四边形面积为 224，求点 P 的坐标24 （14 分）在矩形 ABCD 中，AB12，P 是边 AB 上一点，把PBC 沿直线 PC 折叠，顶点 B 的对应点是点 G，过点 B 作 BECG，垂足为 E 且在 AD 上，BE 交 PC 于点 F（1）如图 1，若点 E 是 AD 的中点，求证：AEBDEC ；（2）如图 2，求证：BP BF；当 AD25，且 AEDE 时，求 cosPCB 的值；当 BP9 时，求 BEEF 的值25 （14 分）如图，已知在平面直角坐标系 xOy
9、中，直线 ykx+ 交 y 轴于点 A，点 A 关于 x 轴的对称点为点 B，过点 B 作直线 1 平行于 x 轴，动点 C（x，y）到直线 1 的距离等于线段 CA 的长度（1）求动点 C（x ，y）满足的 y 关于 x 的函数解析式，并画出这个函数图象；（2）若（1）中的动点 C 的图象与直线 ykx+ 交于 E、F 两点（点 E 在点 F 的左侧） ，分别过 E、F 作直线 1 的垂线，垂足分别是 M、N，求证：EF 是AMN 外接圆的切线； 为定值2018-2019 学年广东省广州大学附中九年级（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共
10、30 分，每题给出的四个选项中，只有一项是题目要求的）.1 【解答】解：2018 的绝对值是 2018故选：A2 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误故选：C3 【解答】解：A、a 5+a4a 4（a+1） ，原式计算错误，故本选项错误；B、a 5a 4a 4（a1） ，原式计算错误，故本选项错误；C、a 5a4a 5+4a 9，原式计算错误，故本选项错误；D、a 5a4a，原式计算正确，故本选项正确；故选：D4 【解答
11、】解：这些运动员成绩的中位数、众数分别是 4.70，4.75故选：C5 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根，k0 且0，即（2） 24k（1）0，解得 k1 且 k0故选：C6 【解答】解：A、抛物线 yax 2+bx 开口方向向上，则 a0，对称轴位于 y 轴的右侧，则 a、b 异号，即 b0所以反比例函数 y 的图象位于第二、四象限，故本选项错误；B、抛物线 y ax2+bx 开口方向向上，则 a0，对称轴位于 y 轴的左侧，则 a、b 同号，即 b0所以反比例函数 y 的图象位于第一、三象限，故本选项错误；C、抛物线 y ax2+bx 开口方向向下
12、，则 a0，对称轴位于 y 轴的右侧，则 a、b 异号，即 b0所以反比例函数 y 的图象位于第一、三象限，故本选项错误；D、抛物线 yax 2+bx 开口方向向下，则 a0，对称轴位于 y 轴的右侧，则 a、b 异号，即 b0所以反比例函数 y 的图象位于第一、三象限，故本选项正确；故选：D7 【解答】解：如图，设小方格的边长为 1，得，OC ，AO ，AC 4，OC 2+AO2 + 16，AC24 216，AOC 是直角三角形，AOC90故选：C8 【解答】解：四边形 ABCD 为O 的内接四边形，A180BCD60，由圆周角定理得，BOD2 A120，故选：B9 【解答】解：AA，ADC
13、ACB，ADCACB， ，AC 2ADAB 2816，AC0，AC4，故选：B10 【解答】解：由图象可知：a0，c0，由对称轴可知： 0，b0，abc0，故正确；由对称轴可知： 1，b2a0，故错误；由图象可知：抛物线与 x 轴有两个交点，b 24ac0，故 正确；（ 0.5， y1）关于直线 x1 的对称点为（ ，y 1） ，x1 时，y 随着 x 的增大而减少，y 1y 2，故正确；抛物线经过（1，0） ，0a+b+c，c3a，由于 b2a，13a4b+c13a8a3a2a0，故正确；3a+2c3a6a3a0，故正确；故选：D二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.
14、）11 【解答】解：x 25x x （ x5） 故答案为：x（x 5） 12 【解答】解：去分母得：x3（x2） ，去括号得：x3x 6，解得：x3，经检验 x3 是分式方程的解13 【解答】解：x 1，x 2 是方程 x2+8x30 的两个实数根，x 1+x28， x1x23，x 1+x2x 1x28+3 5故答案为：514 【解答】解：设 D（a， ） ，点 D 为矩形 OABC 的 AB 边的中点，B（2a， ） ，E（2a， ） ，BDE 的面积为 1， a（ ）1，解得 k4故答案为 415 【解答】解：连接 AG，由旋转变换的性质可知，ABGCBE，BABG5， BCBE，由勾股定
15、理得，CG 4，DGDCCG1，则 AG ， ，ABGCBE，ABGCBE， ，解得，CE ，故答案为： 16 【解答】解：如图 1 中，当 AQPQ，QPB90时，设 AQPQx，PQAC，BPQBCA， ， ，x ，AQ 当 AQPQ，PQB90时，设 AQPQ y BQPBCA， ， ，y 综上所述，满足条件的 AQ 的值为 或 三、解答题（共 9 小题，满分 102 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 【解答】解：（1）2 1 + cos30+|5|（2011） 0 + +516；（2）解方程：（x2） 2 （2x） ，解：（x2） （x 2+ ）0，x20 或 x2+
16、0，x 12，x 22 18 【解答】证明：四边形 ABCD 是菱形，DADC，AC，在DAE 和DCF 中， ，DAEDCF（SAS ） ，DEDF 19 【解答】解：（1）A（ab） 2b（b2a）+b 2a 22ab+b 2b 2+2ab+b2a 2+b2；（2）点（a，b）在直线 yx+2 上，也在双曲线 y 上，ba+2，b ，a+b2，ab1，Aa 2+b2（a+ b） 22ab2 22（1）620 【解答】解：（1）根据题意得： 50（名） ，答：共抽取了 50 名学生的征文；故答案为：50；（2）选择友善征文的人数有：5030%15（人） ，补图如下：（3）在扇形统计图中，选择
17、“爱国”主题所对应的圆心角是：360 144（度） ；故答案为：144；（4）根据题意得：120030%360（名） ，答：选择以“友善”为主题的九年级学生有 360 名；故答案为：360；（5）画树状图如下：共有 6 种等情况数，其中甲、乙两名学生同时被选中的有 2 种，则甲、乙两名学生同时被选中的概率是 21 【解答】解：作 EHAC 于 H，则四边形 EDCH 为矩形，EHCD，设 AC24x，在 Rt ADC 中， sin ，AD25x，由勾股定理得，CD 7x，EH7x，在 Rt AEH 中，AEH45，AHEH 7x ，由题意得，24x7x +340，解得，x20，则 AC24x4
18、80 ，ABACBC48045228，答：发射塔 AB 的高度为 28m22 【解答】 （1）证明：连接 AD、ODAB 是直径，ADB90，即 ADBC，ACAB，CDBD，OAOB ，ODAC，DFAC，ODDF ，FG 是 O 的切线（2）解：tanC 2，BD CD，BD：AD 1：2，GDB +ODB90，ADO+ODB 90，OAOD ，OAD ODA，GDB GAD，GG，GDB GAD，设 BGa ，DG2a，AG4a，BG：GA 1：423 【解答】解：（1）点 A 在正比例函数 y2x 上，把 x4 代入正比例函数 y2x ，解得 y8，点 A（4，8） ，把点 A（4，8
19、）代入反比例函数 y ，得 k32；（2）点 A 与 B 关于原点对称，B 点坐标为（4，8） ，由交点坐标，根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时 x 的取值范围，x4 或 0x4；（3）反比例函数图象是关于原点 O 的中心对称图形，OPOQ ，OA OB ，四边形 APBQ 是平行四边形，S POA S 平行四边形 APBQ 22456，设点 P 的横坐标为 m（m0 且 m4） ，得 P（m， ） ，过点 P、A 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E、F，点 P、A 在双曲线上，S POE S AOF OEPE m 16，若 0m4，如图，S POE +S 梯形 PEFAS POA
20、+SAOF ，S 梯形 PEFAS POA 56 （8+ ）（4m）56m 17+ ，m 27 （舍去） ，P（7+ ，14+2 ） ；若 m4，如图，S AOF +S 梯形 AFEPS AOP +SPOE ，S 梯形 PEFAS POA 56 （8+ ）（m4）56，解得 m17+ ，m 27 （舍去） ，P（7+ ， 14+2 ） 点 P 的坐标是 P（7+ ，14+2 ） ；或 P（7+ ，14+2 ） 24 【解答】解：（1）在矩形 ABCD 中，AD 90，ABDC，E 是 AD 中点，AEDE ，在ABE 和DCE 中， ，ABE DCE（SAS） ；（2） 在矩形 ABCD，AB
21、C90，BPC 沿 PC 折叠得到GPC，PGCPBC90，BPC GPC，BECG，BEPG ，GPFPFB，BPF BFP，BPBF；当 AD25 时，BEC90，AEB +CED 90，AEB +ABE90，CEDABE，AD90，ABE DEC， ，设 AEx，DE25x， ，x9 或 x16，AEDE ，AE9，DE 16，CE20，BE15，由折叠得，BPPG ，BPBFPG，BEPG ，ECFGCP， ，设 BPBFPGy， ，y ，BP ，在 Rt PBC 中，PC ，cos PCB ；如图，连接 FG，GEFPGC90，GEF+PGC180，BFPGBFPG ，BPGF 是菱
22、形，BPGF ，GFEABE，GEFEAB， ，BEEFABGF12910825 【解答】 （1）解：过点 B 作直线 l 平行于 x 轴，直线 l 的解析式为 y ，C（x ，y ） ，A（0， ） ，AC 2x 2+（y ） 2，点 C 到直线 l 的距离为：（y+ ） ，动点 C（x， y）满足到直线 l 的距离等于线段 CA 的长度，x 2+（y ） 2（y + ） 2，动点 C 轨迹的函数表达式 y x2，图象如图 1 所示：（2）证明：如图：设点 E（m，a）点 F（n，b） ，动点 C 的轨迹与直线 ykx + 交于 E、F 两点， ，x 22kx10，m+ n 2k，mn1，过
23、 E、F 作直线 l 的垂线，垂足分别是 M、N ，M（m， ） ，N（n， ） ，A（0， ） ，AM 2+AN2m 2+1+n2+1m 2+n2+2（m+ n） 22mn+24k 2+4，MN2（mn） 2（m+n） 24mn 4k 2+4，AM 2+AN2MN 2，AMN 是直角三角形，MN 为斜边，取 MN 的中点 Q，点 Q 是AMN 的外接圆的圆心，Q（k， ） ，A（0， ） ，直线 AQ 的解析式为 y x+ ，直线 EF 的解析式为 ykx+ ，AQEF，EF 是AMN 外接圆的切线；点 E（m， a）点 F（n，b）在直线 ykx+ 上，amk+ ，bnk+ ，ME，NF，EF 是AMN 的外接圆的切线，AEMEa+ mk+1，AFNFb+ nk +1， + 2，即： 为定值，定值为 2
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