1、2019 年浙江省宁波市北仑区中考数学模拟试卷（5 月份）一、选择题每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1 （4 分）2 的相反数是（ ）A B C D22 （4 分）下列运算，其中正确的是（ ）A2aa2 B （a 2） 3a 5Caa 3a 4 D （a+b） 2a 2+b23 （4 分）如图，四个图标分别是北京大学、人民大学、浙江大学和宁波大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4 （4 分）继 2017 年北仓区经济总量迈上 1000 亿元的新台阶，2018 年再创新高，全年生产总值约 1147
2、 亿元，1147 亿用科学记数法表示为（ ）A1.14710 8 B1.14710 9 C1.14710 10 D1.14710 115 （4 分）某校 7 个班同学积极捐出自己的零花钱献爱心，各班捐款的数额分别是（单位：元）：500，200，500，300，500，250，1350这组数据的众数和中位数分别是（ ）A500，200 B500，500 C500，300 D1350，5006 （4 分）如图，由五个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是 1，则该几何体的左视图和俯视图的面积之和为（ ）A6 B7 C8 D97 （4 分）若实数 a0，则下列事件中是必然事件的是（ ）Aa
3、 30 B3a0 Ca+30 Da308 （4 分）一个圆锥高为 4，母线长为 5，则这个圆锥的侧面积为（ ）A15 B12 C25 D209 （4 分）将一副三角板如图放置，使点 A 在 DE 上，BCDE，则ACE 的度数为（ ）A10 B15 C20 D2510 （4 分）将抛物线 yx 2 沿直线 yx 向上平移 个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）Ay（x+1） 2+1 By（x+1） 21 Cy（x1） 2+1 Dy （x1） 2111 （4 分）如图，半径为 1 的O 与正五边形 ABCDE 相切于点 A，C ，则劣弧 AC 的长度为（ ）A B C D12 （4 分）如图，将曲
4、线 c1：y （x 0）绕原点 O 逆时针旋转 60得到曲线 c2，A 为直线 y x 上一点，P 为曲线 c2 上一点，PAPO，且PAO 的面积为 6 ，直线y x 交曲线 c1 于点 B，则 OB 的长（ ）A B5 C D二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）13 （4 分）写出一个小于 4 的无理数 14 （4 分）使代数式 有意义的 x 的取值范围是 15 （4 分）一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同红色、黄色、黑色的个数之比为 4：3：2，则从布袋里任意摸出 1 个球不是红球的概率是 16 （4 分）代数式 ax24ax+4a 分解因式，结果是 17
5、 （4 分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，BM，DN 分别平分ABC，CDA，沿 BP 折叠，点 A 恰好落在 BM 上的点 E 处，延长 PE 交 DN 于点 F 沿 DQ 折叠，点 C 恰好落在 DN上的点 G 处，延长 QG 交 BM 于点 H，若四边形 EFGH 恰好是正方形，且边长为 1，则矩形 ABCD 的面积为 18 （4 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 4，A60，E 是边 AD 的中点，F 是边 BC 上的一个动点，EGEF ，且 GEF60，则 GB+GC 的最小值为 三.解答题（本大题有 8 小题，共 78 分）19 （6 分）先化筒，再求值：x（x2）（x +3）
6、 （x3） ，其中20 （8 分）为了解学生参加户外活动的情况，某市教育行政部门对部分学生参加户外活动的时间进行了抽样调查，并将调查结果绘制成下列两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）这次抽样共调查了 名学生，并补全条形统计图；（2）计算扇形统计图中表示户外活动时间 0.5 小时的扇形圆心角度数；（3）求出本次调查学生参加户外活动的平均时间21 （8 分）只用直尺（无刻度）完成下列作图：（1）如图 1，过正方形 ABCD 的顶点 A 作一条直线平分这个正方形的面积；（2）如图 2，不过正方形 EFGH 的顶点作直线 l 平分这个正方形的面积；（3）如图 3，五个边长相等
7、的正方形组成了一个“L 型”图形，作直线 m 平分这个“L型”图形的面积22 （8 分）某爱心企业在政府的支持下投入资金，准备修建一批室外简易的足球场和篮球场，供市民免费使用，修建 1 个足球场和 1 个篮球场共需 8.5 万元，修建 2 个足球场和4 个篮球场共需 27 万元（1）求修建一个足球场和一个篮球场各需多少万元？（2）该企业预计修建这样的足球场和篮球场共 20 个，投入资金不超过 90 万元，求至少可以修建多少个足球场？23 （10 分）如图 1，是小明荡秋千的侧面示意图，秋千链长 AB5m（秋千踏板视作一个点） ，静止时秋千位于铅垂线 BC 上，此时秋千踏板 A 到地面的距离为
8、0.5m（1）当摆角为 37时，求秋千踏板 A 与地面的距离 AH；（参考数据：sin370.6， cos370.8，tan370.75）（2）如图 2，当秋千踏板摆动到点 D 时，点 D 到 BC 的距离 DE4m；当他从 D 处摆动到 D处时，恰好 DBDB，求点 D到 BC 的距离24 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交 x 轴，y 轴于点 A，B 抛物线 经过点 A，且交 x 轴于另外一点 C，交 y 轴于点 D（1）求抛物线的表达式；（2）求证：ABBC；（3）点 P 为 x 轴上一点，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 M，交抛物线于点 Q，连结 DQ，设
9、点 P 的横坐标为 m，当以 B，D，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求 m 的值25 （12 分）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形” 如图 1，对于ABC，BC 边上的高 AD 等于 BC 的一半，ABC 就是半高三角形，此时，称ABC 是 BC 类半高三角形；如图 2，对于EFG，EF 边上的高 GH 等于 EF 的一半，EFG 就是半高三角形，此时，称EFG 是 EF 类半高三角形（1）直接写出下列 3 个小题的答案若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，则其底角度数的所有可能值为 若一个三角形既是直角三角形又是半高三角形，则其
10、最小角的正切值为 如图 3，正方形网格中， L，M 是已知的两个格点，若格点 N 使得LMN 为半高三角形，且LMN 为等腰三角形或直角三角形，则这样的格点 N 共有 个（2）如图，平面直角坐标系内，直线 yx+2 与抛物线 yx 2 交于 R，S 两点，点 T 坐标为（0，5） ，点 P 是抛物线 yx 2 上的一个动点，点 Q 是坐标系内一点，且使得RSQ 为 RS 类半高三角形当点 P 介于点 R 与点 S 之间（包括点 R，S） ，且 PQ 取得最小值时，求点 P 的坐标当点 P 介于点 R 与点 O 之间（包括点 R，O ）时，求 PQ+ QT 的最小值26 （14 分）如图 1，在
11、平面直角坐标系内，A，B 为 x 轴上两点，以 AB 为直径的M 交y 轴于 C，D 两点， C 为 的中点，弦 AE 交 y 轴于点 F，且点 A 的坐标为（2，0） ，CD8（1）求M 的半径；（2）动点 P 在M 的圆周上运动如图 1，当 FP 的长度最大时，点 P 记为 P，在图 1 中画出点 P0，并求出点 P0 横坐标 a 的值；如图 1，当 EP 平分AEB 时，求 EP 的长度；如图 2，过点 D 作M 的切线交 x 轴于点 Q，当点 P 与点 A，B 不重合时，请证明为定值2019 年浙江省宁波市北仑区中考数学模拟试卷（5 月份）参考答案与试题解析一、选择题每小题 4 分，共
12、 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1 （4 分）2 的相反数是（ ）A B C D2【分析】根据相反数的概念作答即可【解答】解：根据相反数的定义可知：2 的相反数是2故选：D【点评】主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数0 的相反数是其本身2 （4 分）下列运算，其中正确的是（ ）A2aa2 B （a 2） 3a 5Caa 3a 4 D （a+b） 2a 2+b2【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、完全平方公式分别计算得出答案【解答】解：A、2aaa，故此选项错误；B、 （a 2） 3a 6，故此选项错误；C、aa 3a 4，正确；D、
13、（a+b） 2 a2+2ab+b2，故此选项错误；故选：C【点评】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键3 （4 分）如图，四个图标分别是北京大学、人民大学、浙江大学和宁波大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可【解答】解：北京大学和宁波大学的校徽是轴对称图形，共 2 个，故选：B【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念4 （4 分）继 2017 年北仓区经
14、济总量迈上 1000 亿元的新台阶，2018 年再创新高，全年生产总值约 1147 亿元，1147 亿用科学记数法表示为（ ）A1.14710 8 B1.14710 9 C1.14710 10 D1.14710 11【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数【解答】解：1147 亿用科学记数法表示为 1.1471011，故选：D【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式
15、为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值5 （4 分）某校 7 个班同学积极捐出自己的零花钱献爱心，各班捐款的数额分别是（单位：元）：500，200，500，300，500，250，1350这组数据的众数和中位数分别是（ ）A500，200 B500，500 C500，300 D1350，500【分析】根据众数和中位数的定义求解可得【解答】解：这组数据重新排列为：200、250、300、500、500、500、1350，这组数据的众数为 500，中位数为 500，故选：B【点评】此题考查了众数和中位数，掌握众数和中位数的定义是解题的
16、关键，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数6 （4 分）如图，由五个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是 1，则该几何体的左视图和俯视图的面积之和为（ ）A6 B7 C8 D9【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，从上面看得到的图象是俯视图，再根据面积求出面积的和即可【解答】解：左视图有 3 个正方形，俯视图有 4 个正方形，该几何体的左视图和俯视图的面积之和为 3+47，故选：B【点评】本题考查了简单几何体的三视图，确定左视图、俯视图
17、是解题关键7 （4 分）若实数 a0，则下列事件中是必然事件的是（ ）Aa 30 B3a0 Ca+30 Da30【分析】首先由不等式的性质确定 3a0，a30，a 30；当 a3 时，a+30，当a3 时，a+30，当3a0 时，a+30；然后根据随机事件定义求解即可求得答案【解答】解：a0，3a0，a30，a 30；当 a3 时，a+30，当 a3 时，a+30，当3a0 时，a+30；故 A 属于不可能事件，B 属于不可能事件，C 属于随机事件，D 属于必然事件故选：D【点评】此题考查了随机事件的定义注意理解随机事件的定义是解此题的关键8 （4 分）一个圆锥高为 4，母线长为 5，则这个圆
18、锥的侧面积为（ ）A15 B12 C25 D20【分析】先利用勾股定理计算出这个圆锥的底面圆的半径，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可【解答】解：这个圆锥的底面圆的半径 3，所以这个圆锥的侧面积 23515 故选：A【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长9 （4 分）将一副三角板如图放置，使点 A 在 DE 上，BCDE，则ACE 的度数为（ ）A10 B15 C20 D25【分析】根据两直线平行，内错角相等求出BCEE30，然后求出
19、ACE 的度数【解答】解：BCDE，BCEE30，ACEACBBCE 453015，故选：B【点评】本题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等10 （4 分）将抛物线 yx 2 沿直线 yx 向上平移 个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）Ay（x+1） 2+1 By（x+1） 21 Cy（x1） 2+1 Dy （x1） 21【分析】将抛物线 yx 2 沿直线 yx 向上平移 个单位，即将抛物线 yx 2 向右平移 1个单位、向上平移 1 个单位根据“左加右减，上加下减”的规律书写解析式【解答】解：将抛物线 yx 2 沿直线 yx 向上平移 个单位，将抛物线 yx 2 向右平移
20、 1 个单位、向上平移 1 个单位，平移后抛物线的解析式为 y（x1） 2+1故选：C【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减11 （4 分）如图，半径为 1 的O 与正五边形 ABCDE 相切于点 A，C ，则劣弧 AC 的长度为（ ）A B C D【分析】连接 OA、OC，如图，根据正多边形内角和公式可求出E、D ，根据切线的性质可求出OAE、OCD ，从而可求出AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题【解答】解：连接 OA、OC，如图五边形 ABCDE 是正五边形，ED 108AE、CD 与O 相切，OAEOCD90，AOC（52）1809010810890
21、144，劣弧 AC 的长为 故选：D【点评】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、圆弧长公式等知识，求出圆弧所对应的圆心角是解决本题的关键12 （4 分）如图，将曲线 c1：y （x 0）绕原点 O 逆时针旋转 60得到曲线 c2，A 为直线 y x 上一点，P 为曲线 c2 上一点，PAPO，且PAO 的面积为 6 ，直线y x 交曲线 c1 于点 B，则 OB 的长（ ）A B5 C D【分析】将双曲线逆时针旋转使得 l 与 y 轴重合，等腰三角形PAO 的底边在 y 轴上，应用反比例函数比例系数 k 的性质解答问题【解答】解：如图，将 C2 及直线 yx 绕点 O
22、 逆时针旋转 30，则得到双曲线 C3，直线 l 与 y 轴重合双曲线 C3 的解析式为 y过点 P 作 PM y 轴于点 MPAPOM 为 OA 中点POA 的面积是 6 ，S PAM S POM ，S POM 3双曲线 C3 的解析式为 y ，双曲线 C1 的解析式为 y ，由方程组 可得 B（ ，3 ） ，OB2 故选：A【点评】本题运用了反比例函数的几何意义和等腰三角形的性质的知识点，运用了转化的数学思想二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）13 （4 分）写出一个小于 4 的无理数 【分析】由于 1516，则 4【解答】解：1516， 4，即 为小于 4 的无理数故答案为 【点评
23、】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算也考查了算术平方根14 （4 分）使代数式 有意义的 x 的取值范围是 x2 【分析】分式有意义的条件：分母不等于 0【解答】解：要使代数式有意义，则 x20，x2故答案为 x2【点评】本题主要考查分式有意义的条件：分母不为 015 （4 分）一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同红色、黄色、黑色的个数之比为 4：3：2，则从布袋里任意摸出 1 个球不是红球的概率是 【分析】用黄、黑色球所占的份数除以所有份数的和即可求得不是红球的概率【解答】解：不是红球的概率是 ，故答案为：【点评】此题考查了概
24、率公式的应用注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比16 （4 分）代数式 ax24ax+4a 分解因式，结果是 a（x2） 2 【分析】原式提取 a，再利用完全平方公式分解即可【解答】解：原式a（x 24x+4）a（x 2） 2，故答案为：a（x2） 2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键17 （4 分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，BM，DN 分别平分ABC，CDA，沿 BP 折叠，点 A 恰好落在 BM 上的点 E 处，延长 PE 交 DN 于点 F 沿 DQ 折叠，点 C 恰好落在 DN上的点 G 处，延长 QG 交 BM 于点
25、 H，若四边形 EFGH 恰好是正方形，且边长为 1，则矩形 ABCD 的面积为 8+ 【分析】设 CQx，由角平分可以证明BHQ，NQG， PDF 都是等腰直角三角形；根据折叠的性质可知：APPE，BE AB，CDDG，GQ CQ；根据边角关系证明ABP CDQ（ASA ）得到 APCQ；根据以上证明可以得到边的关系：HQ1+x，HB1+x ，BQ （1+x） ，BC + （1+x） ，CDNC x+NQx + x，DGx + x1+DF 1+1+x ，求出 x 即可求解；【解答】解：设 CQx，矩形 ABCD，BM ，DN 分别平分ABC，CDA，ABM MBCCDNADN45，BHQ ，
26、NQG，PDF 都是等腰直角三角形，沿 BP 折叠，点 A 恰好落在 BM 上的点 E 处，APPE，BEAB ，点 C 恰好落在 DN 上的点 G 处，CDDG，GQCQ，ABP CDQ（ASA ） ，APCQ，正方形 EFGH 边长为 1，HQ1+x，HB1+x ，BQ （1+x ） ，BC + （1+x） ，CDNCx+NQ x+ x，DGx+ x1+ DF1+1+x，x ，BC2 +2，CD 2+ ，矩形 ABCD 的面积（2 +2） （2+ ）8+6 ，故答案为 8+6 ；【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，图形的折叠，角平分线定义；掌握折叠图形对应角和对应边相等，等腰直角三角形的
27、性质是解题的关键18 （4 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 4，A60，E 是边 AD 的中点，F 是边 BC 上的一个动点，EGEF ，且 GEF60，则 GB+GC 的最小值为 2 【分析】取 AB 与 CD 的中点 M，N，连接 MN，作点 B 关于 MN 的对称点 E，连接EC，E B，此时 CE 的长就是 GB+GC 的最小值；先证明 E 点与 E点重合，再在 RtEBC 中，EB2 ，BC4，求 EC 的长；【解答】解：取 AB 与 CD 的中点 M，N，连接 MN，作点 B 关于 MN 的对称点 E，连接 EC，E B，此时 CE 的长就是 GB+GC 的最小值；MNAD，H
28、M AE，HBHM ，AB4，A60，MB2，HMB60，HM 1，AE2，E 点与 E点重合，AEB MHB90，CBE90，在 Rt EBC 中，EB2 ，BC 4，EC2 ，故答案为 2 ；【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形的性质；确定 G 点的运动轨迹，是找到对称轴的关键三.解答题（本大题有 8 小题，共 78 分）19 （6 分）先化筒，再求值：x（x2）（x +3） （x3） ，其中【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可【解答】解：x（x 2）（x +3） （x3）x 22xx 2+92x+9，当 x（ ） 2 4 时，原式24+91【点评】本题考查了整式的混合运算和
29、求值和负整数指数幂，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键20 （8 分）为了解学生参加户外活动的情况，某市教育行政部门对部分学生参加户外活动的时间进行了抽样调查，并将调查结果绘制成下列两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）这次抽样共调查了 500 名学生，并补全条形统计图；（2）计算扇形统计图中表示户外活动时间 0.5 小时的扇形圆心角度数；（3）求出本次调查学生参加户外活动的平均时间【分析】 （1）用每天参加户外活动的时间为 1.5 小数的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，然后用总人数乘以 36%得到每天参加户外活动的时间为 1 小数的人数，再补全
30、条形统计图；（2）表示户外活动时间 0.5 小时的扇形圆心角度数等于它所占的百分比乘以 360；（3）先计算出本次调查学生参加户外活动的平均时间，然后进行判断【解答】解：（1）这次抽样共调查学生 14028%500（名） ，1 小时的人数为 50036% 180（人） ，补全图形如下：故答案为：500；（2） 36072，答：扇形统计图中表示户外活动时间 0.5 小时的扇形圆心角度数为 72；（3） 1.2，答：本次调查学生参加户外活动的平均时间为 1.2 小时【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条
31、形图可以很容易看出数据的大小，便于比较也考查了用样本估计总体和扇形统计图21 （8 分）只用直尺（无刻度）完成下列作图：（1）如图 1，过正方形 ABCD 的顶点 A 作一条直线平分这个正方形的面积；（2）如图 2，不过正方形 EFGH 的顶点作直线 l 平分这个正方形的面积；（3）如图 3，五个边长相等的正方形组成了一个“L 型”图形，作直线 m 平分这个“L型”图形的面积【分析】 （1）作正方形对角线所在的直线即为所求（2）过正方形的中心作直线即可（3）利用分割，补形，调整的策略解决问题即可【解答】解：（1）如图直线 l 如图所示（2）如图直线 l 如图所示（3）直线 m 如图所示【点评】
32、本题考查作图应用与设计，解题的关键是学会利用分割，补形，调整的策略解决问题22 （8 分）某爱心企业在政府的支持下投入资金，准备修建一批室外简易的足球场和篮球场，供市民免费使用，修建 1 个足球场和 1 个篮球场共需 8.5 万元，修建 2 个足球场和4 个篮球场共需 27 万元（1）求修建一个足球场和一个篮球场各需多少万元？（2）该企业预计修建这样的足球场和篮球场共 20 个，投入资金不超过 90 万元，求至少可以修建多少个足球场？【分析】 （1）设修建一个足球场 x 万元，一个篮球场 y 万元，根据修建 1 个足球场和 1个篮球场共需 8.5 万元，修建 2 个足球场和 4 个篮球场共需
33、27 万元，可得出方程组，解出即可；（2）设足球场 y 个，则篮球场（20y）个，由投入资金不超过 90 万元，可得出不等式，解出即可【解答】解：（1）设修建一个足球场 x 万元，一个篮球场 y 万元，根据题意可得：，解得： ，答：修建一个足球场和一个篮球场各需 3.5 万元，5 万元；（2）设足球场 y 个，则篮球场（20y）个，根据题意可得：3.5y+5（20y ）90，解得：y ，答：至少可以修建 7 个足球场【点评】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为方程思想求解23 （10 分）如图 1，是小明荡秋千的侧面示意图，秋千链长 AB5
34、m（秋千踏板视作一个点） ，静止时秋千位于铅垂线 BC 上，此时秋千踏板 A 到地面的距离为 0.5m（1）当摆角为 37时，求秋千踏板 A 与地面的距离 AH；（参考数据：sin370.6， cos370.8，tan370.75）（2）如图 2，当秋千踏板摆动到点 D 时，点 D 到 BC 的距离 DE4m；当他从 D 处摆动到 D处时，恰好 DBDB，求点 D到 BC 的距离【分析】 （1）作 ADBC，在 RtABD 中，根据三角函数得到 BD，再根据线段的和差关系得到 CD，根据矩形的性质可求 AH；（2）作 DFBC，在 Rt BDE 中，根据勾股定理得到 BE，再根据全等三角形的判
35、定和性质解答即可【解答】解：（1）作 ADBC 于 D，在 Rt ABD 中，BDAB cos3750.84（m） ，CDAB+ ACBD5+0.550.81.5（m） ，在矩形 ADCH 中，AHCD1.5（m） ；（2）作 DFBC 于 E，在 Rt BDE 中，BE 3（m） ，BDF +FBD90FBD+DBE，BDF DBE，在BDF 与 DBE 中，BDF DBE，点 D到 BC 的距离：DF BE 3（m ） 【点评】本题考查解直角三角形的应用、全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型24 （12 分）如图，在平面直角
36、坐标系中，直线 分别交 x 轴，y 轴于点 A，B 抛物线 经过点 A，且交 x 轴于另外一点 C，交 y 轴于点 D（1）求抛物线的表达式；（2）求证：ABBC；（3）点 P 为 x 轴上一点，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 M，交抛物线于点 Q，连结 DQ，设点 P 的横坐标为 m，当以 B，D，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求 m 的值【分析】 （1）令 y x+20，解得：x 4，即可求解，然后把点 A 的坐标代入抛物线解析式，借助于方程求得 a 的值即可；（2）把由函数图象上点的坐标特征求得点 B、C 的坐标，然后利用两点间的距离公式和勾股定理的逆定理证得结论
37、；（3）以 B、D、Q，M 为顶点的四边形是平行四边形时，利用|MQ|BD 即可求解【解答】解：（1）令 y x+20，解得：x 4，y0，则 x2，即：点 A 坐标为：（4，0） 代入 中，得 16a80，得 a 该抛物线解析式为：y x2 x2（2）由（1）知，抛物线解析式为：y x2 x2当 y0 时，x 11，x 2 4，的 C（1，0） 故 OC1于是 AB220，BC 25，AC 225从而 AB2+BC2AC 2ABBC；（3）由（1）知，抛物线解析式为：y x2 x2当 x0 时，y2，得 D（0，2） ，BD4当 MQ（ m+2）（ m2 m2） m44 时，得 m2 或m0
38、（舍去） 当 MQ（ m2 m2）（ m+2） m 44 时，得 m1+ 或m1 综上所述，m 的值是 2 或 1+ 或 1 【点评】主要考查了二次函数综合题，需要注重二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系25 （12 分）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形” 如图 1，对于ABC，BC 边上的高 AD 等于 BC 的一半，ABC 就是半高三角形，此时，称ABC 是 BC 类半高三角形；如图 2，对于EFG，EF 边上的高 GH
39、 等于 EF 的一半，EFG 就是半高三角形，此时，称EFG 是 EF 类半高三角形（1）直接写出下列 3 个小题的答案若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，则其底角度数的所有可能值为 45、15、75 若一个三角形既是直角三角形又是半高三角形，则其最小角的正切值为 1 或 如图 3，正方形网格中， L，M 是已知的两个格点，若格点 N 使得LMN 为半高三角形，且LMN 为等腰三角形或直角三角形，则这样的格点 N 共有 7 个（2）如图，平面直角坐标系内，直线 yx+2 与抛物线 yx 2 交于 R，S 两点，点 T 坐标为（0，5） ，点 P 是抛物线 yx 2 上的一个动点，点 Q
40、是坐标系内一点，且使得RSQ 为 RS 类半高三角形当点 P 介于点 R 与点 S 之间（包括点 R，S） ，且 PQ 取得最小值时，求点 P 的坐标当点 P 介于点 R 与点 O 之间（包括点 R，O ）时，求 PQ+ QT 的最小值【分析】 （1） 分底边上的高等于底边的一半、腰上的高等于腰长的一半两种情况分别求解即可；如图 3，这样的格点 N 共有 7 个；（2） 如图 4，当点 P 介于点 R 与点 S 之间时，与 RS 平行且与抛物线只有一个交点P时，PQ 取得最小值，即可求解； 当点 P 与点 R 重合，且 P、Q 、H 在一条直线且与直线 HT 垂直时，PQ+ QT 有最小值，即
41、可求解【解答】解：（1）当底边上的高等于底边的一半时，如下图ABC 为等腰三角形，ABAC ，AD BC，则 ADCD，则BC45；当腰上的高等于腰长的一半时，同理底角为 75或 15，故：答案为 45、15、75；当底边上的高等于底边的一半时，如上图，ABC 为等腰直角三角形，故最小角为 45，最小角的正切值为 1；腰上的高等于腰长的一半时，同理可得：最小角的正切值为 ，故答案为 1 或 ；如图 3，这样的格点 N 共有 7 个，具体情况见下图，小黑点所示的位置，（2）将抛物线与直线方程联立并解得：x1 或 2，即：点 R、S 的坐标分别为（1，1） 、 （2，4） ，则 RS3 ，则 RS
42、 边上的高为 ，则点 Q 在于 RS 平行的上下两条直线上，如下图，过点 Q 作 QHNH 交于点 H，则 HQ ，则 QN 3，点 N（0，2） ，则点 M（5，0） ，点 M 于点 T 重合，则点 Q 的直线方程为：yx+5，当该直线在直线 RS 的下方时，yx 1，故点 Q 所在的直线方程为： yx+5 或 yx1；如图 4，当点 P 介于点 R 与点 S 之间时，设与 RS 平行且与抛物线只有一个交点 P的直线方程为：yx+d，将该方程于抛物线方程联立并整理得：x 2xd0，1+4d0，解得：d ，此时，x 2x+ 0，解得：x ，点 P（ ， ） ，此时，P（P）Q 取得最小值；当点
43、 P 介于点 R 与点 O 之间（包括点 R，O ）时，如图 4，连接 PQ，过点 Q 作 QH 垂直过点 T 于 x 轴平行的直线于点 H，则 HQ QT，PQ+ QTPQ+ QH，当点 P 与点 R 重合，且 P、Q、H 在一条直线且与直线 HT 垂直时，PQ+ QT 有最小值，则其最小值为 yTy R514【点评】本题主要考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、根的判别式、三角形有关计算等，此类阅读型题目，通常按题设顺序逐次求解26 （14 分）如图 1，在平面直角坐标系内，A，B 为 x 轴上两点，以 AB 为直径的M 交y 轴于 C，D 两点， C 为 的中点，弦 AE 交 y 轴
44、于点 F，且点 A 的坐标为（2，0） ，CD8（1）求M 的半径；（2）动点 P 在M 的圆周上运动如图 1，当 FP 的长度最大时，点 P 记为 P，在图 1 中画出点 P0，并求出点 P0 横坐标 a 的值；如图 1，当 EP 平分AEB 时，求 EP 的长度；如图 2，过点 D 作M 的切线交 x 轴于点 Q，当点 P 与点 A，B 不重合时，请证明为定值【分析】 （1）由垂径定理可知 OD4，连接 OD 在 RtOMD 中用勾股定理即可求出r（2） 连接 FM 并延长交M 于点 P，FP 长度最大由已知可得 AFCF ，由勾股定理求 OF ，过 P 点作 PHOB，OFMHPM ，由
45、相似三角形对应边成比例可求MH，即可求出 P 点横坐标过 P 点作 PGAE，连接 AP、BP当 EP 平分AEB 时，可得BAP 和EGP 均为等腰直角三角形，由勾股定理可求 PGGE 7，进而可得 EP 的长由 DQ 与M 于 D 点，可得QMDMDO，又 MDMP，可得 ，进而证明QMPPMQ ，即可由相似三角形性质求解【解答】解：（1）如图（1）：连接 OD，直径 ABCD，CD8，OD CD4，连接 MD 设 MDMA r，在 Rt OMD 中由 OM2+OD2MD 2，得（r2） 2+42r 2解得 r5，（2） 如图 1（1） ，连接 FM 并延长交M 于点 P 记作 P0，FP 长度最大直径 ABCD，C 为 的中点， ACFCAF，AFCF，在 Rt AFO 中，OA2，AFCF4OF ，OF 2+22（4OF） 2，解得：OF ，MF ，过 P 点作 PH OB，OFMHPM ， ， ，MH 2 ，点 P0 横坐标 a 的值等于 3+2 如图 1（2） ，AECD8，AB 是直径，AEB90，过 P 点作 PG AE，连接 AP、BP当 EP 平分AEB 时，BAPBEPAEP ABP 45，BAP 和EGP 均为等腰直角三角形，AB10，AP5 ，设 EGPG b，在 RtAGP 中，PG 2+AG2A
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