1、2019 年河南省三甲大联考中考数学一模试卷一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分）2019 的相反数是（ ）A2019 B2019 C D2 （3 分）2018 年高考， “00 后”成为主角，全国 975 万考生人数创下近 8 年高考新高，用科学记数法表示数据 975 万（ ）A9.7510 4 B97510 4 C9.7510 6 D97.510 53 （3 分）下列运算正确的是（ ）A3a 2+5a28 a4 B5a+7b12abC2a2aa D2m 2n5nm 23m 2n4 （3 分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）A
2、 BC D5 （3 分）如图，菱形 ABCD 周长为 8，E 是 AC 的中点，EFCB，交 AB 于点 F，那么EF（ ）A4 B3 C2 D16 （3 分）某班进行中招体育项目模拟考试：抽查 15 名女生的一分钟跳绳成绩如下表跳绳（个/分） 165 172 173 174 175 171跳绳人数 1 3 2 3 5 1这些女生跳绳成绩的中位数和众数分别是（ ）A174，175 B175，174 C175，175 D3，57 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+kx30 有一个根为3，则另一根为（ ）A1 B2 C2 D38 （3 分）遵守交通规则是我们义不容辞的责任，我们都知道“红灯
3、停，绿灯行，黄灯等一等” ，小明上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、黄，绿灯的机会都相同，小明希望上学时经过每个路口都是绿灯，请问他遇到这样的机会的概率是（ ）A B C D9 （3 分） 算法统宗是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近 20 年完成，他原本是一位商人，经商之便搜集各地算书和文字方面的书籍，编成首首的歌谣口诀，将枯燥的数学问题化成美妙的诗歌，读来朗朗上口，程大位还有一首类似二元一次方程组的饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名脑厚酒醇醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酵酒几多醇？”这首诗是说，
4、好酒一瓶，可以醉倒 3 位客人；薄酒三瓶，可以醉倒一位客人，如果 33 位客人醉倒了，他们总共饮下 19 瓶酒试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒 x 瓶，薄酒 y 瓶根据题意，可列方程组为（ ）A BC D10 （3 分）如图 1，已知点 E，F，G ，H 是矩形 ABCD 各边的中点，AB 2.4，BC 3.4动点 M 从点 A 出发，沿 AB CDA 匀速运动，到点 A 停止，设点 M 运动的路程为 x，点 M 到四边形 EFGH 的某一个顶点的距离为 y，如果表示 y 关于 x 的函数关系的图象如图 2 所示，那么四边形 EFGH 的这个顶点是（ ）A点 E B点 F C点 G
5、D点 H二、填空题：（每题 3 分，共 15 分）11 （3 分） （2） 2+ 12 （3 分）如图，直线 AB，CD 交于点 O，OE AB，OD 平分BOE，则BOC 13 （3 分）不等式组 的所有整数解的和是 14 （3 分）如图，将矩形 ABCD 绕点 C 沿逆时针方向旋转，使点 B 的对应点刚好落在 DC延长线上，形成矩形 ABCD，AB4，AD8，则阴影部分的面积为 15 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB12，AD15，E 是 CD 上的点，将ADE 沿折痕AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上点 F 处，点 P 是线段 CB 延长线上的动点，连接 PA，若PAF 是等
6、腰三角形，则 PB 的长为 三、解答题（共 8 道题，共 75 分）16 （8 分）先化简，再求值：（2 ） ，其中 xtan45+（ ） 117 （9 分）哈佛大学一项长达 20 年的研究表明，爱做家务的孩子跟不爱做家务的孩子相比，就业率为 15：1，收人前者比后者高 20%，而且婚姻更幸福，中国教育科学研究院对全国 2 万个学生家庭进行的调查也表明，孩子爱做家务的家庭比不爱做家务的家庭，孩子成绩优秀的比例高了 27 倍为调查了解某区学生做家务的情况，随机发放调查表进行调查，要求被调查者从“A：不做家务，B，会煮饭或做简单的菜，C 洗碗，D：保持自己的卧室清洁，E：洗衣服”五个选项中选择最常
7、做的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题（1）本次调查中，一共调查了 名市民；（2）扇形统计图中， “会煮饭或会做简单菜”对应的扇形圆心角是 度；（3）补全条形统计图；（4）若某市有小学生约 24 万，请你估计做家务中“洗碗”的总人数18 （9 分）如图，AB 为圆 O 的直径，CDAB 于点 E，交圆 O 于点 D，OFAC 于点 F（1）请写出三条与 BC 有关的正确结论；（2）当D30，CD2 时，求圆中阴影部分的周长19 （9 分）如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y （x0）的图象交于点P（4， 2） ，与 x 轴
8、交于点 A（a，0） ，与 y 轴交于点 C（0，1） ，PBx 轴于点 B，且ACBC（1）求一次函数、反比例函数的解析式；（2）反比例函数图象上是否存在点 D，使四边形 BCPD 为菱形？如果存在，求出点 D的坐标；如果不存在，说明理由20 （9 分）2018 年 12 月 10 日，郑州市城乡规划局网站挂出郑州都市区主城区停车场专项规划 ，将停车纳入城市综合交通体系，计划到 2030 年，在主城区新建停车泊位33.04 万个，2019 年初，某小区拟修建地下停车库，如图是停车库坡道入口的设计图，其中 MN 是水平线，MNAD，AD DE，CF AB ，垂足分别为 D，F，坡道 AB 的坡
9、度为 1： ，DE3 米，点 C 在 DE 上，CD0.5 米， CD 是限高标志屏的高度（标志牌上写有：限高米） ，如果进入该车库车辆的高度不能超过线段 CF 的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到 0.1 米，参考数据 1.41， 1.73）21 （10 分）世界上最先使用口罩的是中国，古时候，宫廷里的人为了防止粉尘和口气污染而开用丝巾遮盖口鼻，如礼疏载：“掩口，恐气触人， “和孟子离要）记：“西子蒙不洁，则人掩鼻而过之， ”用手成袖括鼻子是很不卫生的，也不方便做其他事情，后来有人就用一块绢布来蒙口鼻，马可波罗在他的（马可波罗游记一书中，记述他生活在中国十七年的见闻其中有一条：“在元朝宫
10、殿里，献食的人，皆用组布蒙口鼻，俾其气息，不触饮食之物， ”这样蒙口鼻的绢布，也就是原始的口罩由于雾霾天气发，市场上防护口罩出现热销，某药店准备购进一批口，已知 1 个 A 型口罩和 2个 B 型口罩共需 32 元：2 个 A 型口罩和 1 个 B 型口罩共需 28 元（1）求一个 A 型口罩和一个 B 型口罩的售价各是多少元？（2）药店准备购进这两种型号的口罩共 500 个，其中 A 型口罩数量不少于 330 个，且不多于 B 型口罩的 2 倍，请设计出最省钱方案？22 （10 分）问题发现已知：如图 1，等边三角形 A1A2A3，点 P 是 A1A2 下方的任意一点，A 1PA3A 1PA
11、260，可证： PA1+PA2PA 3，从而得到 是定值（1）这个定值是 （2）请写出上述证明过程类比探究如图 2，把（1）中条件“等边三角形 A1A2A3，A 1PA3A 3PA260， ”改为“正方形 A2A1A3A4，A 1PA4A 4PA3A 3PA245， “其余条件不变（3）请问： 还是定值吗？（4）如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由23 （11 分）如图，在矩形 OABC 中，OC8，OA10，分别以 OC，OA 所在的直线为 x轴，y 轴建立如图所示平面直角坐标系，已知，点 D 是线段 AB 上一点，沿直线 CD 折叠矩形 OABC 的一边 BC1 使点 B 落在
12、 OA 边上的点 E 处抛物线 y +bx+c 经过O，D，C 三点（1）求抛物线的表达式；（2）一动点 P 从点 E 出发，沿 EC 以每秒 2 个单位长的速度向点 C 运动，同时动点 Q从点 C 出发，沿 CO 以每秒 1 个单位长的速度向点 O 运动，当点 P 运动到点 C 时，两点同时停止运动，设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，以 P、Q、C 为顶点的三角形与ADE 相似？（3）点 N 在抛物线对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样的点 M 与点 N，使以M，N，C，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由2019 年河南省三甲大
13、联考中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分）2019 的相反数是（ ）A2019 B2019 C D【分析】根据相反数的意义，直接可得结论【解答】解：因为 a 的相反数是a，所以2019 的相反数是 2019故选：A【点评】本题考查了相反数的意义理解 a 的相反数是a，是解决本题的关键2 （3 分）2018 年高考， “00 后”成为主角，全国 975 万考生人数创下近 8 年高考新高，用科学记数法表示数据 975 万（ ）A9.7510 4 B97510 4 C9.7510 6 D97.510 5【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形
14、式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：97500 万975000 0009.7510 6，故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3 （3 分）下列运算正确的是（ ）A3a 2+5a28 a4 B5a+7b12abC2a2aa D2m 2n5nm 23m 2n【分析】直接利用合并同类项法则分别判断得出答
15、案【解答】解：A、3a 2+5a28a 2，故此选项错误；B、5a+7b，无法计算，故此选项错误；C、2a2a0，故此选项错误；D、2m 2n5nm 23m 2n，正确故选：D【点评】此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键4 （3 分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形的概念求解【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确故选：D【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
16、部分折叠后可重合5 （3 分）如图，菱形 ABCD 周长为 8，E 是 AC 的中点，EFCB，交 AB 于点 F，那么EF（ ）A4 B3 C2 D1【分析】由菱形的性质得出 BC2，证出 EF 是ABC 的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果【解答】解：菱形 ABCD 周长为 8，BC2，E 是 AC 中点，EF BC，AECE，EF 是ABC 的中位线，EF BC 1，故选：D【点评】本题考查的是三角形中位线定理及菱形的周长公式，熟练掌握菱形的性质，证明 EF 是ABC 的中位线是解题的关键6 （3 分）某班进行中招体育项目模拟考试：抽查 15 名女生的一分钟跳绳成绩如下表跳绳（个/分
17、） 165 172 173 174 175 171跳绳人数 1 3 2 3 5 1这些女生跳绳成绩的中位数和众数分别是（ ）A174，175 B175，174 C175，175 D3，5【分析】利用众数和中位数的定义求解【解答】解：175 出现了 4 次，出现次数最多，所以数据的众数为 175 分；共有 15 个数，最中间的数为第 8 个数，是 174，所以数据的中位数为 174 分故选：A【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数也考查了中位数7 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+kx30 有一个根为3，则另一根为（ ）A1 B2 C2 D3【分析】设方程 x2+k
18、x30 的另一个根为 a，根据根与系数的关系得出3a3，求出方程的解即可【解答】解：设方程 x2+kx30 的另一个根为 a，关于 x 的一元二次方程 x2+kx30 有一个根为3，由根与系数的关系得：3a3，解得：a1，即方程的另一个根为 1，故选：A【点评】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能根据根与系数的关系得出关于 a 的方程是解此题的关键8 （3 分）遵守交通规则是我们义不容辞的责任，我们都知道“红灯停，绿灯行，黄灯等一等” ，小明上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、黄，绿灯的机会都相同，小明希望上学时经过每个路口都是绿灯，请问他遇到这样的机会的概率是（ ）A B C
19、D【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到到经过每个路口都是绿灯的结果数，根据概率公式计算可得【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有 9 种等可能结果，其中经过每个路口都是绿灯的只有 1 种结果，所以经过每个路口都是绿灯的概率为 ，故选：D【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比9 （3 分） 算法统宗是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近 20 年完成，他原本是一位商人，经商之便搜集
20、各地算书和文字方面的书籍，编成首首的歌谣口诀，将枯燥的数学问题化成美妙的诗歌，读来朗朗上口，程大位还有一首类似二元一次方程组的饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名脑厚酒醇醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酵酒几多醇？”这首诗是说，好酒一瓶，可以醉倒 3 位客人；薄酒三瓶，可以醉倒一位客人，如果 33 位客人醉倒了，他们总共饮下 19 瓶酒试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒 x 瓶，薄酒 y 瓶根据题意，可列方程组为（ ）A BC D【分析】直接利用“好酒一瓶，可以醉倒 3 位客人；薄酒三瓶，可以醉倒一位客人，33位客人醉倒了，他们总共饮
21、下 19 瓶酒” ，分别得出等式求出答案【解答】解：设有好酒 x 瓶，薄酒 y 瓶根据题意，可列方程组为： 故选：C【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键10 （3 分）如图 1，已知点 E，F，G ，H 是矩形 ABCD 各边的中点，AB 2.4，BC 3.4动点 M 从点 A 出发，沿 AB CDA 匀速运动，到点 A 停止，设点 M 运动的路程为 x，点 M 到四边形 EFGH 的某一个顶点的距离为 y，如果表示 y 关于 x 的函数关系的图象如图 2 所示，那么四边形 EFGH 的这个顶点是（ ）A点 E B点 F C点 G D点 H【分析】利
22、用分类讨论的方法可以判断四个选项是否正确，从而可以解答本题【解答】解：由题意可得，从 A 到 B 的过程中，点 M 到点 E 的距离由 1.2 减小到 0，再从 0 增加到 1.2，不符合题意，故选项 A 错误；从 A 到 B 的过程中，点 M 到点 F 的距离由大变小，由 B 到 C 的过程中，点 M 到 F 的距离由 1.7 减小到 0，再从 0 增加到 1.7，与图象不符，故选项 B 错误；从 A 到 B 的过程中，点 M 到点 G 的距离由大变小，然后由小变大，由 B 到 C 的过程中，点 M 到 G 的距离一直变小，从 C 到 D 的过程中，点 M 到 G 的距离由 1.2 减小到
23、0，再由 0 增加到 1.2，从 D 到 A 的过程中，点 M 到 G 的距离一直变大，故选项 C 正确；从 A 到 B 的过程中，点 M 到点 H 的距离一直变大，不符合函数图象，故选项 D 错误；故选：C【点评】本题考查动点问题的函数过图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答二、填空题：（每题 3 分，共 15 分）11 （3 分） （2） 2+ 8 【分析】直接利用算术平方根的性质化简得出答案【解答】解：原式4+48故答案为：8【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键12 （3 分）如图，直线 AB，CD 交于点 O，OE AB，OD 平分BOE，则BOC 1
24、35 【分析】由垂直的定义得到AOEBOE90，根据角平分线的定义得到BOD BOE45，根据平角的定义即可得到结论【解答】解：OEAB ，AOEBOE90，OD 平分BOE ，BOD BOE45，COB18045135，故答案为：135【点评】本题利用垂直的定义，对顶角和角平分线的性质的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点13 （3 分）不等式组 的所有整数解的和是 0 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分确定出解集，进而求出整数解之和即可【解答】解： ，由得： x ，由得： x1，不等式组的解集为 x1，则所有整数解为1，0，1，之和为 0，故答案为：0【点评
25、】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键14 （3 分）如图，将矩形 ABCD 绕点 C 沿逆时针方向旋转，使点 B 的对应点刚好落在 DC延长线上，形成矩形 ABCD，AB4，AD8，则阴影部分的面积为 8 【分析】先求出 CE2CD ，求出DEC 30，求出DCE60，DE2，分别求出扇形 CEB 和三角形 CDE 的面积，即可求出答案【解答】解：连接 CE，四边形 ABCD是矩形，ADCBCD90，RtEDC 中， CECB8，CD4，ED 4 ， CED30，ECD60，S 阴影 44 8 故答案为： 8 【点评】本题考查了旋转的性质，扇形的面积，勾股定理，
26、直角三角形的性质的应用，解此题的关键是能正确求出扇形 CEB和三角形 CDE 的面积，题目比较好，难度适中15 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB12，AD15，E 是 CD 上的点，将ADE 沿折痕AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上点 F 处，点 P 是线段 CB 延长线上的动点，连接 PA，若PAF 是等腰三角形，则 PB 的长为 6 或 9 或 12.5 【分析】分若 APAF ；PF AF 以及 APP 三种情形分别讨论求出满足题意的 PB 的值即可【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，由折叠对称性：AFAD 15，FEDE在 Rt ABF 中，BF 9，FC6，分三种情形讨
27、论：若 APAF，ABPF，PBBF9，若 PFAF，则 PB+915，解得 PB6，若 APPF，在 RtAPB 中，AP 2PB 2+AB2，解得 PB12.5，综合得 PB6 或 9 或 12.5故答案为：6 或 9 或 12.5【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用以及图形折叠的问题，题目综合性很强，难度不小三、解答题（共 8 道题，共 75 分）16 （8 分）先化简，再求值：（2 ） ，其中 xtan45+（ ） 1【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后的式子即可解答本题【解答】解：（2 ） ，当 xtan45+ （ ） 1 1+23 时
28、，原式 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法17 （9 分）哈佛大学一项长达 20 年的研究表明，爱做家务的孩子跟不爱做家务的孩子相比，就业率为 15：1，收人前者比后者高 20%，而且婚姻更幸福，中国教育科学研究院对全国 2 万个学生家庭进行的调查也表明，孩子爱做家务的家庭比不爱做家务的家庭，孩子成绩优秀的比例高了 27 倍为调查了解某区学生做家务的情况，随机发放调查表进行调查，要求被调查者从“A：不做家务，B，会煮饭或做简单的菜，C 洗碗，D：保持自己的卧室清洁，E：洗衣服”五个选项中选择最常做的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形
29、统计图，请结合统计图回答下列问题（1）本次调查中，一共调查了 2000 名市民；（2）扇形统计图中， “会煮饭或会做简单菜”对应的扇形圆心角是 54 度；（3）补全条形统计图；（4）若某市有小学生约 24 万，请你估计做家务中“洗碗”的总人数【分析】 （1）根据保持自己的卧室清洁的人数和所占的百分比即可求出总人数；（2）用 360乘以“会煮饭或会做简单菜”所占的百分比即可；（3）用总人数减去其它选项的人数，求出洗碗的人数，从而补全统计图；（4）用某市小学生总数乘以做家务中“洗碗”的人数所占的百分比即可【解答】解：（1）本次调查中，一共调查的市民数是： 2000（名） ；故答案为：2000；（2
30、）扇形统计图中， “会煮饭或会做简单菜”对应的扇形圆心角是 360 54；故答案为：54；（3）洗碗的人数有 2000100300500300800（人） ，补图如下：（4）根据题意得：249.6（万人） ，答：做家务中“洗碗”的总人数有 9.6 万人【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据18 （9 分）如图，AB 为圆 O 的直径，CDAB 于点 E，交圆 O 于点 D，OFAC 于点 F（1）请写出三条与 BC 有关的正确结论；（2）当D30，CD2 时，求圆中阴影部分的周长【分析】 （1）根据圆的
31、性质，平行线判定，相似三角形的性质与判定等知识即可得出答案（2）根据弧长公式即可求出答案【解答】解：（1）答案不唯一，只要合理均可例如： BCBD； OFBC ；BCDA； BCEOAF；BC 2BEAB；BC 2CE 2+BE 2； ABC 是直角三角形；BCD 是等腰三角形（2）CD2 ，CE ，DA30，AC2 ，AB4， ，周长为： +2【点评】本题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，含 30 度的直角三角形的性质，需要学生灵活运用所学知识19 （9 分）如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y （x0）的图象交于点P（4， 2） ，与 x 轴交于点 A（a，0） ，与
32、 y 轴交于点 C（0，1） ，PBx 轴于点 B，且ACBC（1）求一次函数、反比例函数的解析式；（2）反比例函数图象上是否存在点 D，使四边形 BCPD 为菱形？如果存在，求出点 D的坐标；如果不存在，说明理由【分析】 （1）由点 P 的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，由点 C，P的坐标，利用待定系数法可求出一次函数的解析式；（2）由 ACBC，COAB 结合点 A 的坐标可得出点 B 的坐标，连接 DC 与 PB 交于E，利用菱形的性质可得出 CD 的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点 D的坐标，此题得解【解答】解：（1）将 P（4，2）代入 y ，得：2 ，解得
33、：m8，反比例函数的解析式为 y 将 C（0，1） ，P（4，2）代入 ykx+ b，得：，解得： ，一次函数的解析式为 y x+1（2）ACBC，COAB，A（4，0） ，AOBO 4，点 B 的坐标为（4，0） 假设存在这样的 D 点，使四边形 BCPD 为菱形，连接 DC 与 PB 交于 E，如图所示四边形 BCPD 为菱形，CEDE4，CD8当 x8 时，y 1，点 D 的坐标为（8，1） 反比例函数图象上存在点 D，使四边形 BCPD 为菱形，此时 D 坐标为（8，1） 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、等腰三角
34、形的性质以及菱形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数（或一次函数）的解析式；（2）利用菱形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，求出点 D 的坐标20 （9 分）2018 年 12 月 10 日，郑州市城乡规划局网站挂出郑州都市区主城区停车场专项规划 ，将停车纳入城市综合交通体系，计划到 2030 年，在主城区新建停车泊位33.04 万个，2019 年初，某小区拟修建地下停车库，如图是停车库坡道入口的设计图，其中 MN 是水平线，MNAD，AD DE，CF AB ，垂足分别为 D，F，坡道 AB 的坡度为 1： ，DE3 米，点 C 在 DE 上，CD0.5
35、米， CD 是限高标志屏的高度（标志牌上写有：限高米） ，如果进入该车库车辆的高度不能超过线段 CF 的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到 0.1 米，参考数据 1.41， 1.73）【分析】据题意得出 tanB ，即可得出 tanA，在 RtADE 中，根据勾股定理可求得DE，即可得出1 的正切值，再在 RtCEF 中，设 EFx，即可求出 x，从而得出CF x 的长【解答】解：由题意得，tanB ，MNAD，AB ，tanA ，DEAD ，在 RtADE 中，tan A ，DE3，又DC0.5，CE2.5，CFAB，FCE+ CEF90，DEAD ，A+CEF90，AFCE，tanFC
36、E 在 Rt CEF 中，设 EFx ， CF x（x0） ，CE 2.5，代入得（ ） 2x 2+3x2，解得 x1.25，CF x 2.2，该停车库限高约为 2.2 米【点评】本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角的正切值21 （10 分）世界上最先使用口罩的是中国，古时候，宫廷里的人为了防止粉尘和口气污染而开用丝巾遮盖口鼻，如礼疏载：“掩口，恐气触人， “和孟子离要）记：“西子蒙不洁，则人掩鼻而过之， ”用手成袖括鼻子是很不卫生的，也不方便做其他事情，后来有人就用一块绢布来蒙口鼻，马可波罗在他的（马可波罗游记一书中，记述他生活在中国十七年的见闻其中
37、有一条：“在元朝宫殿里，献食的人，皆用组布蒙口鼻，俾其气息，不触饮食之物， ”这样蒙口鼻的绢布，也就是原始的口罩由于雾霾天气发，市场上防护口罩出现热销，某药店准备购进一批口，已知 1 个 A 型口罩和 2个 B 型口罩共需 32 元：2 个 A 型口罩和 1 个 B 型口罩共需 28 元（1）求一个 A 型口罩和一个 B 型口罩的售价各是多少元？（2）药店准备购进这两种型号的口罩共 500 个，其中 A 型口罩数量不少于 330 个，且不多于 B 型口罩的 2 倍，请设计出最省钱方案？【分析】 （1）设一个 A 型口罩的售价是 a 元，一个 B 型口罩的售价是 b 元，根据：“1个 A 型口罩
38、和 2 个 B 型口罩共需 32 元：2 个 A 型口罩和 1 个 B 型口罩共需 28 元”列方程组求解即可；（2）设 A 型口罩 x 个，根据“A 型口罩数量不少于 35 个，且不多于 B 型口罩的 3 倍”确定 x 的取值范围，然后得到有关总费用和 A 型口罩之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可【解答】解：（1）设一个 A 型口罩的售价是 a 元，一个 B 型口罩的售价是 b 元，依题意有：解得：答：一个 A 型口罩的售价是 8 元，一个 B 型口罩的售价是 12 元（2）设 A 型口罩 x 个，依题意有：解得 330xx 为整数，x 330，331，332，333方案如下：设购
39、买口罩需要 y 元，则 y8x +12（500x）4x+6000，k 40，y 随 x 增大而减小，x 333 时，y 的值最小答：有 4 种购买方案，其中方案四最省钱，需要 4668 元方案 A 型口罩 B 型口罩一 330 170二 331 169三 332 168四 333 167【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用等知识，根据题意得出正确的等量关系是解题关键22 （10 分）问题发现已知：如图 1，等边三角形 A1A2A3，点 P 是 A1A2 下方的任意一点，A 1PA3A 1PA260，可证： PA1+PA2PA 3，从而得到 是定值
40、（1）这个定值是 （2）请写出上述证明过程类比探究如图 2，把（1）中条件“等边三角形 A1A2A3，A 1PA3A 3PA260， ”改为“正方形 A2A1A3A4，A 1PA4A 4PA3A 3PA245， “其余条件不变（3）请问： 还是定值吗？（4）如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由【分析】 （1） （2）是定值作PA 1M60，A 1M 交 A2P 的延长线于点 M证明A1A3PA 1A2M 可得 PA3 MA2，推出 PA3MA 2PA 2+PMPA 2+PA1，由此即可解决问题（3） （4）结论： 是定值在 A4P 上截取 AHA 2P，连接HA1想办法证明 PA4
41、HA 4+PHPA 2+ PA1，PA 3PA 1+ PA2，可得（ +1）（PA 1+PA2）PA 3+PA4，由此即可解决问题【解答】解：（1）这个定值为 故答案为（2）证明：如图 1，作PA 1M60，A 1M 交 A2P 的延长线于点 MMPA 1 PA1M60，PMA 1 是等边三角形，PMPA 1，A 1A2A3 是等边三角形，A 3A1A260 ，A 3A1P A2A1M又 A3A1A 2A1，A 1A3P A1A2P，A 1A3P A1A2MPA 3MA 2，PMPA 1，PA 3MA 2PA 2+PMPA 2+PA1 ，是定值（3）结论： 是定值（4）：在 A4P 上截取 A
42、HA 2P，连接 HA1四边形 A1A2A3A4 是正方形，A 4A1A 2A1，A 1A4H A1A2P，A 4HA 2P，A 1A4H A1A2P，A 1HPA 1，A 4A1HA 2A1P，HA 1P A4A1A290HA 1P 的等腰直角三角形，PA 4HA 4+PHPA 2+ PA1，同法可证：PA 3PA 1+ PA2，（ +1） （PA 1+PA2）PA 3+PA4，PA 1+PA2（ 1） （PA 3+PA4） ， 【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、正五边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题23
43、（11 分）如图，在矩形 OABC 中，OC8，OA10，分别以 OC，OA 所在的直线为 x轴，y 轴建立如图所示平面直角坐标系，已知，点 D 是线段 AB 上一点，沿直线 CD 折叠矩形 OABC 的一边 BC1 使点 B 落在 OA 边上的点 E 处抛物线 y +bx+c 经过O，D，C 三点（1）求抛物线的表达式；（2）一动点 P 从点 E 出发，沿 EC 以每秒 2 个单位长的速度向点 C 运动，同时动点 Q从点 C 出发，沿 CO 以每秒 1 个单位长的速度向点 O 运动，当点 P 运动到点 C 时，两点同时停止运动，设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，以 P、Q、C 为顶点的
44、三角形与ADE 相似？（3）点 N 在抛物线对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样的点 M 与点 N，使以M，N，C，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）四边形 ABCO 为矩形，CO8，将点 C、O 坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）分PQCDAE90、QPCDAE90，两种情况，分别求解即可；（3）分 BC 是平行四边形的一条边、 BC 是平行四边形的对角线，两种情况，分别求解即可【解答】解：（1）四边形 ABCO 为矩形，CO8，抛物线 y x2+bx+c 过点 C（8，0） ，O（0，0） ，将点 C、O 坐标
45、代入二次函数表达式并解得：抛物线的解析式为：y x2+ x；（2）DEA+OEC90，OCE+OEC90，DEAOCE，四边形 ABCO 为矩形，OABAOCB 90，AB CO 8，AOBC 10由题意，BDCEDCBDEC90，ECBC 10，EDBD 则 EO6AE 1064，设 ADx，则 BDED8x，由勾股定理，得 x2+42（8x） 2，解得，x3，AD 3AE4，DE 5设 CQt，EP2t ，PC 102t 当PQCDAE90，则ADEQPC， ，解得：t ，当QPCDAE90，则ADEPQC， ，解得：t ；当 t 或 时，以 P、Q、C 为顶点的三角形与ADE 相似；（3
46、）点 E、C 的坐标分别为（ 0，6） 、 （8，0） ，设点 P 坐标为（m，n） ，n m2+ m，当 EC 是平行四边形的一条边，点 M 在对称轴左侧时，如图所示，四边形 ECNM 平行四边形，点 E 向下 6 个单位、右 8 个单位得到点 C，则点 M（m，n）向下 6 个单位、右 8 个单位得到为（m+8，n6） ，即为点 N 的坐标，而点 N 的横坐标为 4，即 m+84，则 m4，则点 M 的坐标为（4，32 ） ；当 BC 是平行四边形的一条边，点 P 在对称轴右侧时，同理可得：点 M（12，32） ；当 EC 是平行四边形的对角线时，如图所示，四边形 ECNM 平行四边形，则 BE 中点坐标为（4，3） ，该中点也是 MN的中点，则：4 ，解得：m 4，则点 M（M ）坐标为（4， ） ；故点 M 的坐标为：（4， 32） ， （12
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