1、第2讲 整式运算及因式分解,考点一,考点二,考点三,考点一代数式 1.定义:用运算符号 (加、减、乘、除、乘方、开方)把数字 或表示数字 的字母 连接而成的式子,单独的一个数或一个字母也是代数式. 2.代数式的值:用数值 代替代数式里的字母 ,按照代数式指明的运算关系计算所得的结果.,考点一,考点二,考点三,考点二整式 1.整式包括单项式 和多项式 . (1)只表示数字与字母的积 的代数式叫做单项式,单项式中的数字因数 叫做单项式的系数,所有字母的指数的和 叫做单项式的次数. (2)几个单项式的和 叫做多项式,组成多项式的每一个单项式叫做多项式的项 ,多项式的每一项都要带着前面的符号. 2.同
2、类项: (1)定义:所含字母 相同,并且相同字母的指数 也相同的项叫做同类项,常数项都是同类项. (2)合并同类项法则:把同类项的系数 相加,所得的和作为合并后的系数 ,字母和字母的指数 不变.,考点一,考点二,考点三,3.整式的运算 (1)加减: 去括号与添括号: a+(b+c)=a+b+c ,a-(b+c)=a-b-c . a+b+c=a+(b+c),a-b-c=a-(b+c). 整式加减的步骤是先去括号 ,再合并同类项 .,考点一,考点二,考点三,(2)乘法: 单项式乘单项式:把它们的系数、相同字母分别相乘 ,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数 作为积的一个因式. 单项式乘多
3、项式: m(a+b+c)=ma+mb+mc . 多项式乘多项式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb . 乘法公式: (a+b)(a-b)=a2-b2 ,(ab)2=a22ab+b2 .,考点一,考点二,考点三,(3)除法: 单项式除以单项式,把系数 、同底数幂 分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式. (am+bm)m=a+b .,考点一,考点二,考点三,(4)幂的运算(a0,b0,m,n,p为正整数),考点一,考点二,考点三,考点三因式分解 1.定义:把一个多项 式化为几个整式积 的形式,叫做把一个多项式因式分解. 2.因式分解的常用方
4、法: (1)提公因式法: ma+mb+mc=m(a+b+c) . (2)运用公式法: a2-b2=(a+b)(a-b) , a22ab+b2=(ab)2 . 3.因式分解的一般步骤: (1)一提:如果多项式的各项有公因式,那么要先提公因式 . (2)二用:如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式 法或分组分解 法来分解. (3)三查:分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,根据几何图形列代数式 列代数式就是把问题中图形表示数量关系用代数式表示出来. 例1(2018浙江衢州)有一张边长为a厘米的正方形桌面,因为实际需要,需将正方形边长增加b厘米,木
5、工师傅设计了如图所示的三种方案:小明发现这三种方案都能验证公式:a2+2ab+b2=(a+b)2, 对于方案一,小明是这样验证的: a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2. 请你根据方案二、方案三,写出公式的验证过程. 方案二: 方案三:,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,解:由题意可得, 方案二:a2+ab+(a+b)b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2,=a2+2ab+b2=(a+b)2. 方法点拨认真观察图形特点,根据题目中每个图形的摆放方法,可以写出方案二和方案三的推导过程.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,代数式求值 求代数式的
6、值的步骤是先化简,再代入求值. 例2(2017河南)先化简,再求值:(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y),解原式=4x2+4xy+y2+x2-y2-5x2+5xy=9xy.,方法点拨先根据整式的运算法则化简后再代入求值.如果字母取值是分数或负数时,那么做乘方运算或者性质符号前有运算符号的都必须加上小括号.运算时要弄清楚运算符号,注意运算顺序.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,幂的运算 幂的运算包括同底数幂的乘法、除法,积的乘方,幂的乘方,零指数、负整数指数等运算法则,既可顺用,也可逆用. 例3(2018山东滨州)下列运算:a2a3=a6,(a3)2=a6,a5a5=a,
7、(ab)3=a3b3,其中结果正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 解析:a2a3=a6是同底数幂的乘法应用,计算错误;(a3)2=a6是幂的乘方应用;a5a5=a是同底数幂的除法应用,计算错误;(ab)3=a3b3是积的乘方应用. 方法点拨本题主要考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方,熟练掌握幂的运算法则和性质是解题的关键.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,整式的运算 整式的运算涉及去括号、合并同类项、多项式乘法、乘法公式、幂的运算等知识点,要注意掌握法则,注意运算顺序. 例4(2018吉林)某同学化简a(a+2b)-(a+b)(a-b)出
8、现了错误,解答过程如下: 原式=a2+2ab-(a2-b2)(第一步) =a2+2ab-a2-b2(第二步) =2ab-b2(第三步) (1)该同学解答过程从第 步开始出错,错误原因是 ; (2)写出此题正确的解答过程.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,解:(1)该同学解答过程从第二步开始出错,错误原因是去括号时没有变号; 故答案是:(1)二;(2)去括号时没有变号; (2)原式=a2+2ab-(a2-b2)=a2+2ab-a2+b2 =2ab+b2. 方法点拨此题考查了整式运算中去括号、合并同类项,熟练掌握运算法则是解本题的关键.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,因式分解 因
9、式分解最常用的方法是提取公因式法和运用公式法.分解因式不彻底是因式分解常见错误之一,分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验. 例5(2017贵州黔东南)在实数范围内因式分解:x5-4x= .,解析原式=x(x4-22) =x(x2+2)(x2-2),方法点拨因式分解时首先要分析多项式的特点,选择合适的分解方法,其结果要分解到每一个因式不能再分解为止.口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶.,1.(2017甘肃庆阳)下列计算正确的是( ) A.x2+x2=x4 B.x8x2=x4 C.x2x3=x6 D.(-x)2-x2=0 2.(2015甘肃甘南)下列
10、运算中,结果正确的是( ) A.x3x3=x6 B.3x2+2x2=5x4 C.(x2)3=x5 D.(x+y)2=x2+y2,A. B. C. D.,D,A,A,4.(2018甘肃白银)下列计算结果等于x3的是( ) A.x6x2 B.x4-x C.x+x2 D.x2x,D,解析:A.x6x2=x4,不符合题意;B.x4-x不能再计算,不符合题意;C.x+x2不能再计算,不符合题意;D.x2x=x3,符合题意.故选D.,5.(2018甘肃兰州)因式分解x2y-y3=y(x+y)(x-y) .,5.(2018甘肃兰州)因式分解x2y-y3=y(x+y)(x-y) . 6.(2016甘肃庆阳)如果单项式2xm+2nyn-2m+2与x5y7是同类项,那么nm的值是 .,7.(2016甘肃白银)分解因式:2a2-8= . 8.(2015甘肃甘南)分解因式:ax2-ay2= . 9.(2014甘肃白银)分解因式:2a2-4a+2= . 10.(2014甘肃张掖)观察下列各式: 13=12 13+23=32 13+23+33=62 13+23+33+43=102 猜想13+23+33+103= .,2(a+2)(a-2),a(x+y)(x-y),2(a-1)2,552,
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