1、第13讲 角、相交线和平行线,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点一线段、射线和直线 1.直线的基本事实:经过两点有且只有 一条直线,简称:两点确定一条直线. 2.线段的基本事实:两点之间,线段 最短. 3.两点间的距离:连接两点之间线段的长度 叫做两点间的距离. 4.线段的中点:把一条线段分成两条相等 的线段的点.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点二角 1.(1)静态定义:有公共端点的两条射线 组成的图形. (2)动态定义:角可以看作是一条射线绕着端点从起始位置(角的始边)旋转 到终止位置(角的终边)所形成的图形. 2.度量:角的度量单位为度、分、秒,并且1=60 ,1=
2、60 ;一周角=2平角=4 直角=360 . 3.角的平分线:从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等 的角,这条射线叫做这个角的平分线. 4.(1)互余:如果两个角的和为90 ,则这两个角互为余角,简称互余,其中一个角是另一个角的余角. (2)互补:如果两个角的和为180 ,则这两个角互为补角,简称互补,其中一个角是另一个角的补角. (3)互余与互补的角性质:同角或等角的余角相等 ;同角或等角的补角相等 .,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点三相交线 1.对顶角:(1)定义:两条直线相交组成的四个角中,有公共顶点且没有公共边 的两个角叫做对顶角. (2)性质:对顶角相等
3、. 2.邻补角:(1)定义:两条直线相交组成的四个角中,有公共边 的两个角叫邻补角. (2)性质:邻补角互补 . 3.同位角、内错角和同旁内角:如图,在同一平面内,两条直线被第三条直线所截得到八个角,(1)其中是同位角的有1和5,2和6 ,3 和7,4 和8 ; (2)其中是内错角的有2和8 ,3 和5; (3)其中是同旁内角的有2和5,3 和8 .,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,4.垂直的定义:两直线相交所组成的四个角中,如果有一个角是直角 ,那么这两条直线互相垂直,其中一条直线是另一条直线的垂线. 5.垂线段的定义:如图,A,B为直线l上的两点,P为直线l外一点,POl,垂足为O
4、,线段PO叫做垂线段 ,线段PA,PB叫做斜线段. 6.(1)垂线段的事实:过一点有且只有 一条直线与已知直线垂直; (2)垂线段的性质:过直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段 最短. 7.点到直线的距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度 ,叫做点到直线的距离.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点四平行线 1.定义:在同一平面内,不相交 的两条直线叫做平行线.用符号“”表示. 2.位置关系:在同一平面内,两条直线的位置关 系有两种(不考虑重合):相交 和平行. 3.(1)平行的基本事实:经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行 . (2)平行的传递性:如果两条
5、直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行 .,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,4.平行线的判定方法: (1)平行线的定义; (2)平行线的传递性; (3)同位角 相等,两直线平行; (4)内错角 相等,两直线平行; (5)同旁内角 互补,两直线平行. 5.平行线的性质: (1)两直线平行,同位角 相等; (2)两直线平行,内错角 相等; (3)两直线平行,同旁内角 互补.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点五命题、定理与证明 1.命题:判断 一件事情的语句,叫做命题.命题由条件 和结论两部分组成. 2.真、假命题:如果题设成立,那么结论 一定成立,这样的命题叫做真命题.
6、如果题设成立,结论不成立 ,这样的命题叫做假命题. 3.证明:一个命题的正确性 需要经过推理作出判断,这个推理过程叫做证明. 4.基本事实、定理:从实践中总结出来的真命题 叫做基本事实,经过证明 的并且常作为推理依据的真命题叫做定理.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,5.互逆命题与互逆定理:(1)在两个命题中,如果一个命题的题设和结论 是另一个命题的结论和题设 ,那么这两个命题称为互逆命题; (2)如果一个定理的逆命题经过证明是真命题 ,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,线段的有关计算 常要结合图形,借助于图形的直观形象,从图
7、中看出各线段之间的关系或利用中点性质转化线段之间的倍数关系. 例1已知点O在直线AB上,且线段OA的长度为4 cm,线段OB的长度为6 cm,E,F分别为线段OA,OB的中点,则线段EF的长度为 . 答案1 cm或5 cm 解析本题有两种情况,如图所示.根据中点的定义有:图(1)中OE=2 cm,OF=3 cm,所以EF=OE+OF=5 cm;图(2)中OE=2 cm,OF=3 cm,所以EF=OF-OE=1 cm.因此线段EF的长度为1 cm或5 cm.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,方法点拨常用的线段的长度计算方法技巧 利用几何的直观性,寻找所求量与已知量的关系;利用线段
8、中点的性质,进行线段长度转化;根据图形及已知条件,利用解方程的方法求解;分类讨论图形的多样性,注意所求结果的完整性.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,度、分、秒的换算与角的四则运算 1.度、分、秒是常用的角的度量单位.1度=60分,即1=60,1分=60秒,即1=60. 2.具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明,角的度量单位度、分、秒之间也是60进制,将高级单位化为低级单位时,乘60,反之,将低级单位转化为高级单位时除以60.同时,在进行度、分、秒的运算时,也应注意借位和进位的方法.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例2直接将结果填到下列横线上: (1)56.
9、28= ; (2)983018= ; (3)1232929+694653= ; (4)141193-1003812= ; (5)4116375= ; (6)9731486= . 答案(1)56 16 48 (2)98.505 (3)1931622 (4)404051 (5)206235 (6)161518,方法点拨进行角度制的运算时,在进位和借位的过程中,要始终注意度、分、秒都是60进制,不要与十进制和百进制相混淆.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,余角与补角 如果两个角的和等于90(直角),就说这两个角互为余角,即其中一个角是另一个角的余角.如果两个角的和等于180(平角),
10、就说这两个角互为补角,即其中一个角是另一个角的补角,并且余角与补角具有性质:等角的补角相等,等角的余角相等. 余角和补角计算的应用,常常与等式的性质、等量代换相关联.余角(补角)与这两个角的位置没有关系,只要度数之和满足了定义,它们就具备相应的关系.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例3一个角的余角是这个角的补角的 ,则这个角的度数是( ) A.30 B.45 C.60 D.70 答案B 解析设这个角的度数为x,则其余角是(90-x),其补角是(180-x).由题意,有90-x= (180-x),解得x=45. 方法点拨两角互余和为90,两角互补和为180,据此列出关系式求解.
11、,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,相交线与垂线 在相交直线中,一个角的邻补角有两个.邻补角、对顶角都相对于两个角而言,指的是两个角的一种位置关系.它们都是在两直线相交的前提下形成的. 当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足. 垂线具有性质:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.要注意的是“有且只有”中,“有”指“存在”,“只有”指“唯一”,“过一点”的点在直线上或直线外都可以.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例4如图,直线AB,CD相交于点O,OECD,OFAB,BOD=25
12、,求AOE和DOF的度数.解OECD,OFAB,BOD=25, AOE=90-25=65,DOF=90+25=115. 方法点拨当已知两直线相交时,就能得出两对对顶角、四组邻补角;当已知两直线垂直时,就能得出四个直角.对照图形、题意,可根据需要选用.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,平行线的判定与性质 判定两直线平行的方法有:(1)同位角相等,两直线平行;(2)内错角相等,两直线平行;(3)同旁内角互补,两直线平行;(4)两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行;(5)在同一平面内,如果两条直线同时垂直于同一条直线,那么这两条直线平行. 平行线具有性质:(1)两直线平行,
13、同位角相等;(2)两直线平行,内错角相等;(3)两直线平行,同旁内角互补.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例5已知:如图,ADEF,1=2.求证:ABDG. 证明ADEF(已知), 1=BAD(两直线平行,同位角相等). 1=2(已知), 2=BAD(等量代换). ABDG(内错角相等,两直线平行). 方法点拨当两直线平行时,根据“两直线平行,同位角相等、内错角相等、同旁内角互补”会得到很多角的数量关系,灵活选用其中的数量关系,可以帮我们解决很多问题.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,命题、定理与证明 命题的“真”“假”是就命题的内容而言的.任何一个命题非真即
14、假.要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例6下列说法中:,已知=27,则的补角是153; 已知x=2是方程x2-6x+c=0的一个实数根,则c的值为8;,其中真命题有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,答案:B,方法点拨命题是由题设和结论两部分组成的.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.一般地,命题都可以写成“如果,那么”的形式.其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.,1.(2017甘肃张掖)将一把直尺与一
15、块三角板如图放置.若1=45,则2为( C )A.115 B.120 C.135 D.145,解析:如图,由三角形的外角性质得,3=90+1=90+45=135, 直尺的两边互相平行, 2=3=135. 故选C.,2.(2016甘肃武威)如图,ABCD,DECE,1=34,则DCE的度数为( D )A.34 B.54 C.66 D.56,3.(2016甘肃天水)如图,直线ABCD,OG是EOB的平分线,EFD=70,则BOG的度数是( C )A.70 B.20 C.35 D.40,解析:ABCD, BOE=EFD=70, OG平分EOB, BOG= BOE=35. 故选C.,4.(2018甘肃)若一个角为65,则它的补角的度数为 ( C ) A.25 B.35 C.115 D.125,解析:180-65=115. 故它的补角的度数为115. 故选C.,
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