1、第23讲 尺规作图,考点一,考点二,考点三,考点一尺规作图 1.尺规的含义 (1)几何中,直尺没有刻度,它的作用是:连接、画直线、画射线; (2)圆规的作用是:截取、画弧、画圆. 2.五种基本作图 (1)作一条线段等于已知线段; (2)作一个角等于已知角; (3)作已知角的平分线; (4)作已知线段的垂直平分线; (5)过一点作已知直线的垂线. 3.尺规作图的一般步骤 (1)已知;(2)求作; (3)作法;(4)证明.,考点一,考点二,考点三,考点二根据已知的三个条件作三角形 (1)已知两边及夹角作三角形; (2)已知两个角及夹边作三角形; (3)已知三边作三角形.,考点一,考点二,考点三,考
2、点三三角形的外接圆和内切圆 (1)过一点的圆有无数多个; (2)过两点的圆有无数多个,它们的圆心都在这两点连线段的垂直平分线上; (3)过不在同一直线上的三点的圆(即三角形的外接圆)的圆心是三边中垂线的交点,半径是这个交点到一个顶点的距离; (4)三角形的内切圆:三角形内切圆的圆心是三个角的平分线的交点,半径是这个交点到一边的距离.,考法1,考法2,考法3,考法4,利用基本作图,解决简单实际问题 常用的基本作图包括:作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知角的平分线、作已知线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线、过直线外一点作已知直线的平行线、过不在同一直线上的三点作圆等.,考法1
3、,考法2,考法3,考法4,例1(2018安徽)如图,O为锐角三角形ABC的外接圆,半径为5.(1)用尺规作图作出BAC的平分线,并标出它与劣弧 的交点E(保留作图痕迹,不写作法); (2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.,考法1,考法2,考法3,考法4,解:(1)如图,AE为所作; (2)连接OE交BC于点F,连接OC,如图, AE平分BAC, BAE=CAE,方法点拨(1)利用基本作图作AE平分BAC;(2)连接OE交BC于点F,连接OC,根据圆周角定理得到 ,再根据垂径定理得到OEBC,则EF=3,OF=2,然后在RtOCF中利用勾股定理计算出CF= ,在RtCEF中利用
4、勾股定理可计算出CE.,考法1,考法2,考法3,考法4,根据已知的三个条件作三角形 能作出确定的三角形的条件有:已知两边及夹角、已知两个角及夹边、已知两个角及其中一个角的对边、已知三边、已知斜边和一条直角边等.,考法1,考法2,考法3,考法4,例2(2018广西贵港)尺规作图(只保留作图痕迹,不要求写出作法).如图,已知和线段a,求作ABC,使A=,C=90,AB=a.分析:根据作一个角等于已知角,线段截取以及垂线的尺规作法即可求出答案.,考法1,考法2,考法3,考法4,解:如图所示,ABC为所求作的三角形. 方法点拨解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的基本作图方法.,考法1,考法2,考法
5、3,考法4,作三角形的外接圆 确定一个圆的关键是:确定圆心和半径.三角形外接圆的圆心是三边中垂线的交点,半径是这点与某一个顶点之间的距离. 例3(2017江苏无锡)如图,已知等边三角形ABC,请用直尺(不带刻度)和圆规,按下列要求作图(不要求写作法,但要保留作图痕迹):(1)作ABC的外心O;. (2)设D是AB边上一点,在图中作出一个正六边形DEFGHI,使点F,点H分别在边BC和AC上.,考法1,考法2,考法3,考法4,分析:(1)根据垂直平分线的作法作出AB,AC的垂直平分线交于点O即为所求;(2)过D点作DIBC交AC于I,分别以D,I为圆心,DI长为半径作圆弧交AB于E,交AC于H,
6、过E点作EFAC交BC于F,过H点作HGAB交BC于G,六边形DEFGHI即为所求正六边形.,考法1,考法2,考法3,考法4,解:(1)如右图所示:点O即为所求.(2)如图所示:六边形DEFGHI即为所求正六边形.,考法1,考法2,考法3,考法4,例4如图,ABC是直角三角形,ACB=90.(1)实践与操作 利用尺规按下列要求作图并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹,不写作法):作ABC的外接圆,圆心为O;以线段AC为一边,在AC的右侧作等边ACD;连接BD交O于点E,连接AE. (2)综合与运用 在你所作的图中,如果AB=4,BC=2,那么AD与O的位置关系是 .,考法1,考法2,考法3,考
7、法4,解:(1)如图:(2)相切 方法点拨ABC是直角三角形,作ABC的外接圆关键是找到圆心,我们可以作AB的垂直平分线与AB的交点即为圆心O,以点O为圆心以AO为半径作圆,即得到ABC的外接圆.分别以点A,C为圆心、以AC为半径画弧,两弧交于点D,即为等边ACD.判断AD与O的位置关系,关键是判断OA与AD是否垂直.,考法1,考法2,考法3,考法4,作三角形的内切圆 三角形内切圆的圆心是三条角平分线的交点,半径是这个交点到某一边的距离. 用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹. 例5(2017浙江嘉兴)如图,已知ABC,B=40.(1)在图中,用尺规作出ABC的内切圆O,并标出O与边A
8、B,BC,AC的切点D,E,F(保留痕迹,不必写作法); (2)连接EF,DF,求EFD的度数. 分析:(1)直接利用基本作图即可得出结论;(2)利用四边形的性质,三角形的内切圆的性质即可得出结论.,考法1,考法2,考法3,考法4,解:(1)如图1,O即为所求.,图1 图2 (2)如图2, 连接OD,OE,ODAB,OEBC, ODB=OEB=90, B=40,DOE=140,EFD=70.,考法1,考法2,考法3,考法4,例6为美化校园,学校准备在如图所示的三角形(ABC)空地上修建一个面积最大的圆形花坛,请在图中画出这个圆形花坛.解:面积最大的圆形花坛即ABC的内切圆.如图,分别作BAC和
9、ACB的平分线,交于点O,以O为圆心,以O到BC的距离为半径画圆即得.,考法1,考法2,考法3,考法4,方法点拨1.设ABC的内切圆的半径为r,周长为p,则其面积S=pr,这个公式在关于三角形内切圆的有关计算中有重要的地位. 2.三角形能覆盖的最大的圆即其内切圆.,1.(2017甘肃武威)如图,已知ABC,请用圆规和直尺作出ABC的一条中位线EF(不写作法,保留作图痕迹).,2.(2016甘肃兰州)如图,已知O,用尺规作O的内接正四边形ABCD.(写出结论,不写做法,保留作图痕迹),解:如图,四边形ABCD即为所求.,3.(2015甘肃武威)如图,已知在ABC中,A=90.(1)请用圆规和直尺
10、作出P,使圆心P在AC边上,且与AB,BC两边都相切(保留作图痕迹,不写作法和证明). (2)若B=60,AB=3,求P的面积. 解:(1)如图所示,则P为所求作的圆. (2)B=60,BP平分ABC, ABP=30,4.(2017甘肃兰州)在数学课上,同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程: 已知:直线l和l外一点P, 求作:直线l的垂线,使它经过点P. 作法:如图:(1)在直线l上任取两点A,B; (2)分别以点A,B为圆心,AP,BP长为半径画弧,两弧相交于点Q; (3)作直线PQ.,参考以上材料作图的方法,解决以下问题: (1)以上材料作图的依据是 . (
11、2)已知:直线l和l外一点P, 求作:P,使它与直线l相切.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹),解:(1)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.,5.(2015甘肃庆阳)如图,在ABC中,C=60,A=40.(1)用尺规作图作AB的垂直平分线,交AC于点D,交AB于点E(保留作图痕迹,不要求写作法和证明); (2)求证:BD平分CBA.,(1)解:如图1所示. (2)证明:连接BD,如图2所示: C=60,A=40, CBA=80,DE是AB的垂直平分线, A=DBA=40,DBA= CBA, BD平分CBA.,6.(2018甘肃)如图,在ABC中,ABC=90.(1)作ACB的平分线交AB边于点O,再以点O为圆心,OB的长为半径作O;(要求:不写做法,保留作图痕迹) (2)判断(1)中AC与O的位置关系.,解:(1)如图所示: (2)相切;过O点作ODAC于D点, CO平分ACB,OB=OD,即d=r, O与直线AC相切.,
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