1、最值问题一、单选题1如图，正ABC 的边长为 2，过点 B 的直线 lAB，且ABC 与ABC关于直线 l 对称，D 为线段 BC上一动点，则 ADCD 的最小值是（ ）A4 B3 C2 D22某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图与左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最少有（ ）A4 个 B5 个 C6 个 D7 个3跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部
2、分，运动员起跳后的竖直高度 （单位： ）与水平距离 （单位： ）近似满足函数关系 （ ） 下图记录了某运动员起跳后的 与 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为A B C D 4如图，平面直角坐标系中，P 经过三点 A（8，0 ） ，O（0 ，0） ，B（0，6） ，点 D 是P 上的一动点当点 D 到弦 OB 的距离最大时，tan BOD 的值是（ ）A2 B3 C4 D5
3、5一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为 2.5m 时，达到最大高度 3.5m，然后准确落入篮框内已知篮圈中心距离地面高度为 3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）A此抛物线的解析式是 y= x2+3.5B篮圈 中心的坐标是（4，3.05）C此抛物线的顶点坐标是（3.5，0 ）D篮球出手时离地面的高度是 2m6对于实数 a，b ，定义符号 mina，b，其意义为：当 ab 时，mina，b=b；当 a ； 若抛物线 C2：y 2=ax2(a0) 与线段 AB 恰有一个公共点，则 a 的取值范围是a0
4、 的解作为函数 C1 的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有( )A2 个 B3 个 C4 个 D5 个14如图，在正方形 中， ， 分别为 ， 的中点 ， 为对角线 上的一个动点，则下列线段的长等于 最小值的是（ ）A B C D15当 axa+1 时，函数 y=x2-2x+1 的最小值为 1，则 a 的值为（ ）A-1
5、;B2 C0 或 2 D-1 或 216如图，已知POQ=30，点 A、B 在射线 OQ 上（点 A 在点 O、B 之间） ，半径长为 2 的A 与直线 OP 相切，半径长为 3 的B 与A 相交，那么 OB 的取值范围是（ ）A5 OB 9 B4OB9 C3 OB7 D 2OB717在 ABC 中，若 O 为 BC 边的中点，则必有：AB 2+AC2=2AO2+2BO2 成立依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG 中，已知 DE=4，EF
6、=3，点 P 在以 DE 为直径的半圆上运动，则 PF2+PG2 的最小值为（ ）A B C34 D1018如图， 的半径为 2，圆心 的坐标为 ，点 是 上的任意一点，且 、 与 轴分别交于 、 两点，若点 、点 关于原点 对称，则 的最小值为（ ）A3 B4 C6 D819如图，在正方形 ABCD 中，AB=9，点 E 在 CD 边上，且 DE=2CE，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，则 PE+PD
7、 的最小值是（ ）A B C9 D20已知二次函数 y=（x h） 2（h 为常数） ，当自变量 x 的值满足 2x5 时，与其对应的函数值 y 的最大值为1，则 h 的值为（ ）A3 或 6 B1 或 6 C1 或 3 D4 或 621如图，一次函数 y=2x 与反比例函数 y= （k0）的图象交于 A，B 两点，点 P 在以C（ 2 ， 0）为圆心，1 为半径的C 上，Q 是 AP 的中点，已知 OQ 长的最
8、大值为 ，则 k的值为（ ）A B C D22已知抛物线 y= x2+1 具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点 F（0，2）的距离与到 x 轴的距离始终相等，如图，点 M 的坐标为（ ，3） ，P 是抛物线 y= x2+1 上一个动点，则PMF 周长的最小值是（ ）A3 B4 C5 D6 23如图，AOB=60 ，点 P 是AOB 内的定点且 OP= ，若点 M、N 分别是射线 OA、OB上异于点 O 的动
9、点，则 PMN 周长的最小值是（ ）A B C6 D324如图，直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点 P 是以 C（1，0）为圆心，1 为半径的圆上一点，连接 PA，PB，则PAB 面积的最小值是（ ）A5 B10 C15 D20二、填空题25如图，RtABC 中，BAC=90，AB=3，AC=6 ，点 D，E 分别是边 BC，AC 上的动点，则 DA+DE 的最小值为 _26如图 1，作BPC
10、 平分线的反向延长线 PA ，现要分别以APB，APC，BPC 为内角作正多边形，且边长均为 1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案例如，若以BPC 为内角，可作出一个边长为 1 的正方形，此时BPC=90，而 =45 是 360（多边形外角和）的 ，这样就恰好可作出两个边长均为 1 的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图 2 所示图 2 中的图案外轮廓周长是_；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_27如图，在ABCD 中，AD=7，AB=2 ，B=60E 是边 BC 上任意一点，沿 AE 剪开，将ABE 沿 BC 方向平移到DC
11、F 的位置，得到四边形 AEFD，则四边形 AEFD 周长的最小值为_28如图，直线 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B；点 Q 是以 C（0，1）为圆心、1 为半径的圆上一动点，过 Q 点的切线交线段 AB 于点 P，则线段 PQ 的最小是_ 29如图，以 AB 为直径的O 与 CE 相切于点 C，CE 交 AB 的延长线于点 E，直径AB 18，A30 ，弦 CD AB，垂足为点 F，连接 AC，OC，则下列结论正确的是_ （写出所有正确结论的序号） ；扇形 OBC 的面积为 ；OCFOEC；若点 P 为线段 OA 上一动点，则 APOP 有最大值 20.2530 如图，等腰ABC 的底
12、边 BC=20，面积为 120，点 F 在边 BC 上，且 BF=3FC，EG 是腰AC 的垂直平分线，若点 D 在 EG 上运动，则CDF 周长的最小值为_31如图，点 D 为 的 AB 边上的中点，点前 E 为 AD 的中点， 为正三角形，给出下列结论， , ， ，若 ，点 是 上一动点，点 到 、 边的距离分别为 ， ，则 的最小值是 3.其中正确的结论是_（填写正确结论的番号）32如图，一块矩形土地 ABCD 由篱笆围着，并且由一条与 CD 边平行的篱笆 EF 分开已知篱笆的总长为 900m（篱笆的厚度忽略不计） ，当 AB=_m 时，矩形土地 ABCD 的面积最大33 九章算术是我国
13、古代数学名著，书中有下列问题： “今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为 5 步，股（长直角边）长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是_步34如图，直线 y=x+m 与双曲线 y= 相交于 A，B 两点，BCx 轴，AC y 轴，则ABC 面积的最小值为_35如图，M 、N 是正方形 ABCD 的边 CD 上的两个动点，满足 ，连接 AC 交 BN 于点 E，连接 DE 交 AM 于点 F，连接 CF，若正方形的边长为 6，则线段 CF 的最小值是_36如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，矩形内
14、部有一动点 P 满足 SPAB= S 矩形 ABCD，则点 P 到 A、B 两点的距离之和 PA+PB 的最小值为_37如图，已知MON=120，点 A，B 分别在 OM，ON 上，且 OA=OB=a，将射线 OM 绕点 O逆时针旋转得到 OM，旋转角为 （0 120且 60） ，作点 A 关于直线 OM的对称点 C，画直线 BC 交 OM于点 D，连接 AC，AD，有下列结论：AD=CD；ACD 的大小随着 的变化而变化；当 =30时，四边形 OADC 为菱形；ACD 面积的最大值为 a2；其中正确的是_ （把你认为正确结论的序号都填上） 38如图，已知正方形 ABCD 的边长是 4，点 E
15、 是 AB 边上一动点，连接 CE，过点 B 作BGCE 于点 G，点 P 是 AB 边上另一动点，则 PD+PG 的最小值为 _39如图，已知抛物线 y1= x2+4x 和直线 y2=2x我们规定：当 x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为 y1 和 y2，若 y1y2，取 y1 和 y2 中较小值为 M；若 y1=y2，记 M=y1=y2当x2 时， M=y2；当 x0 时， M 随 x 的增大而增大；使得 M 大于 4 的 x 的值不存在；若 M=2，则 x=1上述结论正确的是 _（填写所有正确结论的序号） 40如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y= （k 0）的图象与半径为 5
16、 的O 交于M、 N 两点， MON 的面积为 3.5，若动点 P 在 x 轴上，则 PM+PN 的最小值是_41如图抛物线 y=x2+2x3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 P 是抛物线对称轴上任意一点，若点 D、E、F 分别是 BC、BP、PC 的中点，连接 DE，DF，则 DE+DF 的最小值为_42如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，0） ，B（ 1a，0） ， C（1+a，0） （a0） ，点 P 在以 D（4，4）为圆心，1 为半径的圆上运动，且始终满足BPC=90，则 a 的最大值是_三、解答题43综合与探究如图 1 所示，直线 y=x+c 与 x
17、轴交于点 A(-4,0)，与 y 轴交于点 C，抛物线 y=-x2+bx+c 经过点A，C(1)求抛物线的解析式(2)点 E 在抛物线的对称轴上，求 CE+OE 的最小值；(3)如图 2 所示，M 是线段 OA 的上一个动点，过点 M 垂直于 x 轴的直线与直线 AC 和抛物线分别交于点 P、N若以 C，P， N 为顶点的三角形与APM 相似，则CPN 的面积为 ；若点 P 恰好是线段 MN 的中点，点 F 是直线 AC 上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点 D，F ，P，M 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由注：二次函数 y=ax
18、2+bx+c(a0)的顶点坐标为( )44如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，BC 的中点，连接 DF，过点 E 作EHDF，垂足为 H，EH 的延长线交 DC 于点 G（1）猜想 DG 与 CF 的数量关系，并证明你的结论；（2）过点 H 作 MNCD，分别交 AD，BC 于点 M，N，若正方形 ABCD 的边长为 10，点 P 是 MN 上一点，求PDC 周长的最小值45如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳 BC 与地面保持垂直，吊臂 AB 与水平线的夹角为 64，吊臂底部 A 距地面 1.5m （ 计算结果精确到 0.1m，参考数据 sin640.90，cos64
19、0.44，tan642.05 ）（1）当吊臂底部 A 与货物的水平距离 AC 为 5m 时，吊臂 AB 的长为多少 m（2）如果该吊车吊臂的最大长 度 AD 为 20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）46如图，以 D 为顶点的抛物线 y=x 2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，直线 BC的表达式为 y=x+3（1 ）求抛物线的表达式；（2 ）在直线 BC 上有一 点 P，使 PO+PA 的值最小，求点 P 的坐标；（3 ）在 x 轴上是否存在一点 Q，使得以 A、C、Q 为顶点的三角形与BCD 相似？若存在，请求出点 Q 的坐
20、标；若不 存在，请说明理由47如图，正方形 ABCD 中，AB= ，O 是 BC 边的中点，点 E 是正方形内一动点，OE=2，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90得 DF，连接 AE，CF（1 ）求证：AE=CF；（2 ）若 A，E，O 三点共线，连接 OF，求线段 OF 的长（3 ）求线段 OF 长的最小值48一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆 C 出发，沿北偏东 30的方向行走 2000 米到达石鼓书院 A 处，参观后又从 A 处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东 45方向的雁峰公园 B 处，如图所示（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最
21、短距离；（2）若这名徒步爱好者以 100 米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在 15 分钟内能否到达宾馆？49在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+ x+c 的图象经过点 C（0，2）和点D（4，2） 点 E 是直线 y= x+2 与二次函数图象在第一象限内的交点（1）求二次函数的解析式及点 E 的坐标（2）如图，若点 M 是二次函数图象上的点 ，且在直线 CE 的上方，连接 MC，OE，ME求四边形 COEM 面积的最大值及此时点 M 的坐标（3）如图，经过 A、B、C 三点的圆交 y 轴于点 F，求点 F 的坐标50如图 1，抛物线 平移后过点 A（8，,0）和原点，顶点为 B，对
22、称轴与 轴相交于点 C，与原抛物线相交于点 D（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积 ；（2）如图 2，直线 AB 与 轴相交于点 P，点 M 为线段 OA 上一动点， 为直角，边 MN与 AP 相交于点 N，设 ，试探求： 为何值时 为等腰三角形； 为何值时线段 PN 的长度最小，最小长度是多少51如图 1，抛物线的顶点 A 的坐标为（1，4 ） ，抛物线与 x 轴相交于 B、C 两点，与 y 轴交于点 E（0 ， 3） （1 ）求抛物线的表达式；（2 ）已知点 F（0，3） ，在抛物线的对称轴上是否存在一点 G ，使得 EG+FG 最小，如果存在，求出点 G 的坐标；如果不存
23、在，请说明理由（3 ）如图 2，连接 AB，若点 P 是线段 OE 上的一动点，过点 P 作线段 AB 的垂线，分别与线段 AB、抛物线相交于点 M、N （点 M、N 都在抛物线对称轴的右侧） ，当 MN 最大时，求PON 的面积52如图，抛物线 y=x 2+bx+c 和直线 y=x+1 交于 A，B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 在直线x=3 上，直线 x=3 与 x 轴交于点 C（1 ）求抛物线的解析式；（2 ）点 P 从点 A 出发，以每秒 个单位长度的速度沿线段 AB 向点 B 运动，点 Q 从点 C出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿线段 CA 向点 A 运动，点 P，Q 同时
24、出发，当其中一点到 达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒（t0） 以 PQ 为边作矩形PQNM，使点 N 在直线 x=3 上当 t 为何值时，矩形 PQNM 的面积最小？并求出最小面积；直接写出当 t 为何值时，恰好有矩形 PQNM 的顶点落在抛物线上53如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点（A 在 B 的左侧） ，且 OA=3，OB=1，与 y 轴交于 C（0，3 ） ，抛物线的顶点坐标为 D（1，4 ） （1 ）求 A、B 两点的坐标；（2 ）求抛物线的解析式；（3 ）过点 D 作直线 DEy 轴，交 x 轴于点 E，点 P
25、是抛物线上 B、D 两点间的一个动点（点 P 不与 B、 D 两点重合） ，PA、PB 与直线 DE 分别交于点 F、G，当点 P 运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由54如图，抛物线 y=ax2+bx5 与坐标轴交于 A（1，0） ，B（5，0 ） ，C（0，5）三点，顶点为 D（1 ）请直接写出抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；（2 ）连接 BC 与抛物线的对称轴交于点 E，点 P 为线段 BC 上的一个动点（点 P 不与 B、C两点重合） ，过点 P 作 PFDE 交抛物线于点 F，设点 P 的横坐标为 m是否存在点 P，使四边形 PEDF 为平行四边形？
26、若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由过点 F 作 FHBC 于点 H，求 PFH 周长的最大值55已知 RtOAB，OAB=90 ，ABO=30，斜边 OB=4，将 RtOAB 绕点 O 顺时针旋转60，如题图 1，连接 BC（1 ）填空：OBC= ；（2 ）如图 1，连接 AC，作 OPAC，垂足为 P，求 OP 的长度；（3 ）如图 2，点 M，N 同时从点 O 出发，在OCB 边上运动，M 沿 OCB 路径匀速运动，N 沿 OBC 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 M 的运动速度为 1.5 单位/ 秒，点 N 的运动速度为 1
27、单位/秒，设运动时间为 x 秒， OMN 的面积为 y，求当 x 为何值时 y取得最大值？最大值为多少？56如图，抛物线 y=ax25ax+c 与坐标轴分别交于点 A， C，E 三点，其中 A（3，0） ，C（ 0，4） ，点 B 在 x 轴上，AC=BC，过点 B 作 BDx 轴交抛物线于点 D，点 M，N 分别是线段 CO，BC 上的动点，且 CM=BN，连接 MN，AM ，AN （1 ）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2 ）当CMN 是直角三角形时，求点 M 的坐标；（3 ）试求出 AM+AN 的最小值57如图 1，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，以点 E 直角顶点的直角三
28、角形 EFG的两边EF，EG 分别过点 B，C，F30.（1）求证：BECE（2）将EFG 绕点 E 按顺时针 方向旋转，当旋转到 EF 与 AD 重合时停止转动.若 EF，EG 分别与 AB，BC 相交于点 M，N.（如图 2）求证：BEMCEN；若 AB2，求BMN 面积的最大值；当旋转停止时，点 B 恰好在 FG 上（如图 3） ，求 sinEBG 的值.58已知 ， ， ，斜边 ，将 绕点 顺时针旋转 ，如图 1，连接 （1 ）填空： ；（2 ）如图 1，连接 ，作 ，垂足为 ，求 的长度；（3 ）如图 2，点 ， 同时从点 出发，在 边上运动， 沿 路径匀速
29、运动，沿 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 的运动速度为 1.5 单位 秒，点 的运动速度为 1 单位 秒，设运动时间为 秒， 的面积为 ，求当 为何值时 取得最大值？最大值为多少？最值问题一、单选题1如图，正ABC 的边长为 2，过点 B 的直线 lAB，且ABC 与ABC关于直线 l 对称，D 为线段 BC上一动点，则 ADCD 的最小值是（ ）A4 B3 C2 D2【答案】A【解析】连接 CC，连接 AC 交 l 于点 D，连接 AD，此时 AD+CD 的值最小，如图所示【关键点拨】
30、本题考查了轴对称中的最短线路问题以及等边三角形的性质，找出点 C 关于BC/对称的点是 A/是解题的关键.2某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图与左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最少有（ ）A4 个 B5 个 C6 个 D7 个【答案】B【关键点拨】本题考查了由三视图判断几何体，根据主视图和左视图画出所需正方体个数最少的俯视图是关键3跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度 （单位： ）与水平距离 （单位： ）近似满足函数
31、关系 （ ） 下图记录了某运动员起跳后的 与 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为A B C D【答案】B【关键点拨】考查抛物线的对称性，熟练运用抛物线的对称性质是解题的关键.4如图，平面直角坐标系中，P 经过三点 A（8，0 ） ，O（0 ，0） ，B（0，6） ，点 D 是P 上的一动点当点 D 到弦 OB 的距离最大时，tan BOD 的值是（ ）A2 B3 C4 D
32、5【答案】B【解析】【关键点拨】本题考查了圆周角定理以及勾股定理、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键5一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的 水平距离为 2.5m 时，达到最大高度 3.5m，然后准确落入篮框内已知篮圈中心距离地面高度为 3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）A此抛物线的解析式是 y= x2+3.5B篮圈中心的坐标是（4，3.05）C此抛物线的顶点坐标是（3.5，0 ）D篮球出手时离地面的高度是 2m【答案】A故本选项错误；D、设这次跳投时，球出手处离地面 hm，因为（1）中求得 y
33、=0.2x 2+3.5，当 x=2.5 时，h=0.2（2.5） 2+3.5=2.25m这次跳投时，球出手处离地面 2.25m故本选项错误故选：A【关键点拨】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键6对于实数 a，b ，定义符号 mina，b，其意义为：当 ab 时，mina，b=b；当 a ； 若抛物线 C2：y 2=ax2(a0) 与线段 AB 恰有一个公共点，则 a 的取值范围是a0 的解作为函数 C1 的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个
34、数有( )A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【答案】B【解析】【关键点拨】熟练掌握抛物线的性质是本题的解题关键.14如图，在正方形 中， ， 分别为 ， 的中点， 为对角线 上的一个动点，则下列线段的长等于 最小值的是（ ）A B C D【答案】D【解析】过点 E 作关于 BD 的对称点 E，连接 AE，交 BD 于点 P【关键点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题、正方形的性质此题主要是利用
35、 “两点之间线段最短”和“任意两边之和大于第三边” 因此只要作出点 A（或点 E）关于直线BD 的对称点 A（或 E） ，再连接 EA（或 AE）即可15当 axa+1 时，函数 y=x2-2x+1 的最小值为 1，则 a 的值为（ ）A-1 B2 C0 或 2 D-1 或 2【答案】D【解析】当 y=1 时，有 x2-2x+1=1，解得：x 1=0，x 2=2当 axa+1 时，函数有最小值 1，a=2 或 a+1=0，a=2 或 a=-1，故选 D【关键点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当 y=1 时 x 的值是解题的关键16如图，已知POQ=30，点 A、B 在射线 OQ 上（点 A 在点 O、B 之间） ，半径长为 2 的A 与直线 OP 相切，半径长为 3 的B 与A 相交，那么 OB 的取值范围是（ ）A5 OB 9 B4OB9 C3 OB7 D 2OB7【答案】A
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