1、 1 第五章 四边形第二节 矩形、菱形、正方形课时 1 矩形基础过关1. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等2. 已知平行四边形 ABCD，AC 、 BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )A. BACDCA B. BACDAC C. BACABD D. BACADB3. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，ADB30 ，AB4，则 OC( )A. 5 B. 4 C. 3.5 D. 3第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图4. 如图
2、，在矩形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，BED 的平分线交 BC 于 F，若 AB6，BC16，则 FC 的长度为( )A. 4 B. 5 C. 6 D. 85. (2018 毕节)如图，在矩形 ABCD 中，AD3，M 是 CD 上的一点，将 ADM 沿直线 AM 对折得到ANM，若 AN 平分MAB，则折痕 AM 的长为( )A. 3 B. 2 C. 3 D. 6 3 26. (2018 兰州) 如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC 4，BEDF 且 BE 与 DF 之间的距离为 3，则 AE 的长是( )A. B. C. D. 738 78 587. (2018 威海)矩形 AB
3、CD 与 CEFG 如图放置，点 B，C，E 共线，点 C，D，G 共线，连接 AF，取 AF 的中点 H，连接 GH.若 BCEF2，CDCE 1，则 GH( )A. 1 B. C. D. 23 22 52 2 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图8. (2018 西安高新一中模拟)如图，在矩形 ABCD 中，AD5，AB3，点 E 是 BC 上一点，且 AEAD，过点 D 作 DFAE 于点 F，则 tanCDF 的值为( )A. B. C. D. 34 35 23 459. (2018 西安莲湖区模拟)如图，矩形 ABCD 中，由 8 个面积均为 1 的小正方形组成的 L 型模板如图
4、放置，则矩形 ABCD 的周长为( )A. 12 B. 10 C. 8 D. 842 3 5 510. (2018 北京)如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F，若 AB4，AD3，则 CF 的长为_ 第 10 题图 第 11 题图 第 12 题图 11. 如图，四边形 OABC 是矩形，点 A 的坐标为(8，0) ，点 C 的坐标为(0 ，4)，把矩形 OABC 沿 OB 折叠，点 C 落在点 D 处，则点 D 的坐标为_12. (2018 西电附中模拟)如图，在矩形 ABCD 中，AB 3，AD4，点 P 在 AD 上，PE AC 于 E，
5、PFBD于 F，则 PE PF_13. (2018 湘西州)如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，连接 DE、CE.(1)求证：ADEBCE；(2)若 AB6，AD4，求CDE 的周长14. (2018 新疆建设兵团)如图，ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O.E，F 是 AC 上的两点，并且AECF，连接 DE，BF .(1)求证：DOEBOF； 3 (2)若 BDEF，连接 EB，DF，判断四边形 EBFD 的形状，并说明理由第 14 题图满分冲关 1. (2018 遵义) 如图，点 P 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过点 P 作 EFBC ，分别交 AB，
6、CD 于点 E、F ，连接 PB、PD.若 AE2，PF 8，则图中阴影部分的面积为 ( )A. 10 B. 12 C. 16 D. 182. (2018 济南) 如图，矩形 EFGH 的四个顶点分别落在矩形 ABCD 的各条边上，ABEF，FG 2，GC3，有以下四个结论：BGFCHG ；BFGDHE；tanBFG ；矩形 EFGH 的面积是124 ，其中一定成立的是_(把所有正确结论的序号都填在横线上)3第 2 题图3. (2018 连云港)如图， E、 F、 G、 H 分别为矩形 ABCD 的边 AB、 BC、 CD、 DA 的中点，连接AC、 HE、EC、GA、GF，已知 AGGF，A
7、C ，则 AB 的长为_6第 3 题图4. (2018 玉林)如图，在ABCD 中，DCAD，四个角的平分线 AE，DE ，BF，CF 的交点分别是 E，F，过点 E，F 分别作 DC 与 AB 间的垂线 MM与 NN，在 DC 与 AB 上的垂足分别是 M，N 与 M，N，连接EF.(1)求证：四边形 EFNM 是矩形；(2)已知：AE4，DE3，DC9，求 EF 的长 4 第 4 题图参考答案及解析第五章 四边形第二节 矩形、菱形、正方形课时 1 矩形基础过关1. B 2. C3. B 【解析】矩形 ABCD 中，AB4，ADB 30，BAD90，BD 8，矩形的对角线相等且互相平分，OC
8、 AC BD4.12 124. C5. B 【解析】AN 平分 MAB，MANBAN，ANM 是由ADM 沿直线 AM 对折所得， DAMNAM，在矩形 ABCD 中，DAB90，NAMBANDAM30，在 RtADM中，DAM 30 ，AD3，AM 2 .ADcos30 332 36. C 【解析】如解图，过点 D 作 DGBE，交 BE 的延长线于点 G，由题意得DG3AB，GA90，AEBGED，ABEGDE (AAS), BEDE，设 AEx ，则 BEDE4x ， 在 RtABE 中，由勾股定理得 AB2AE 2BE 2，即 32x 2(4 x) 2，解得 x .78 5 第 6 题
9、解图7. C 【解析】如解图，延长 FG 至点 K 处，使得 KGGF 1，连接 AK，过点 K 作 KMAD 于点 M，易得 AMKM1，点 H 为 AF 中点，GH 为AKF 的中位线，根据勾股定理可得AK ，GH .KM2 AM2 222第 7 题解图8. A 【解析】四边形 ABCD 是矩形，CB90，DF AE，DFEC 90 ，在四边形DFEC 中，由四边形内角和为 360得CDFFEC180，又BEAFEC180，BEA CDF，在 RtABE 中，AE AD 5，AB3，由勾股定理得BE 4，tanCDF tanBEA .AE2 AB2349. C 【解析】根据等角的余角相等，
10、得BAECEFDFG，又BCD90 ，AEEF4，FG2，ABEECF ， ECFFDG，ABCE，BECF， ，DFCE FGEF 12 ，DFFCBE，设 BEx，则 AB2x，在 RtABE 中，根据勾股定理得 x24x 216，x DFAB 12(负值舍去)，则矩形 ABCD 的周长为 2(2x3x) 10x 8 .455 510. 【解析】在矩形 ABCD 中，AD BC 3，AB4，B90 ，103AC 5，E 是边 AB 的中点，AE AB2，ABCD，AEFAB2 BC2 42 3212CDF， ，CF AC .AFCF AECD 12 23 10311. ( ， ) 【解析】
11、如解图，令 BD 与 OA 相交于点 E，过点 D 作 DFOE 于点 F，设 OEx ，则165 125EA8x，由折叠知CBOOBE ，又CBOA，CBOBOA，OBE BOA， OEBEx，则 EADE8x，在 RtABE 6 中，EA 2AB 2BE 2，即(8x) 24 2x 2，解得 x5，则 DE853.ABE FDE， ，DF ，OF ，D ( ， )DEBE DFAB DEABBE 345 125 OD2 DF2 42 （125）2 165 165 125第 11 题解图12. 【解析】如解图，连接 OP，过点 D 作 DMAC 于点 M，四边形 ABCD 是矩形，125AO
12、OC AC，ODOB BD，ACBD ，ADC90，OA OD ，由勾股定理得 AC12 12 5， S ADC 34 5DM， DM ，S AODS APOS DC2 AD2 32 4212 12 125DPO， (AODM) (AOPE) (DOPF)，即 PEPFDM .12 12 12 125第 12 题解图13. (1)证明：四边形 ABCD 是矩形，ADBC，AB 90，又E 是 AB 的中点，AEBE，在ADE 和BCE 中，AD BC A BAE BE)ADEBCE(SAS) ；(2)解：由(1)知ADEBCE，DECE，AB6，E 是 AB 的中点，AE AB3，12在 Rt
13、ADE 中，由勾股定理得 CEDE 5，AD2 AE2 42 32 7 CDAB 6，CDE 的周长为 55616.14. (1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ODOB ，OA OC，又AECF，OEOF .在DOE 与 BOF 中，OD OB DOE BOFOE OF )DOE BOF(SAS) ；(2)解：四边形 EBFD 为矩形理由如下：如解图，连接 BE、 DF，BD、EF 相交于点 O，OBOD，OEOF ，四边形 DEBF 为平行四边形，又BDEF，四边形 DEBF 为矩形第 14 题解图满分冲关1. C 【解析】如解图，过点 P 作 PMAD 于点 M，延长 MP 交 B
14、C 于点 N，DFAE2，PF8， S 矩形 MPFDDF PF2816，S PDF8， ，S PNCS PFC， ，SPDFSPFC DFFC SPDFSPNC DFFC ，S BPNS BEP， ，四边形 AEPM 与四边形 PNCF 相似， ，SBPNSPNC BNNC SBEPSPNC BNNC PMPN EPPF即 ， ，S BEPS PDF，S BEP8，则 S 阴影 16.DFFC BNNC SPDFSPNC SBEPSPNC第 1 题解图2. 【解析】四边形 EFGH 为矩形，易得BGFCHG ，故正确；根据结论，易得EHD BFG，且 FGEH ，故有 BFGDHE，故正确；
15、假设 tanBFG ，则 tanHGC12 8 ，GC3，则有 HCAFCGtanHGC 3 ，得 EF ，若令12 12 32 AF2 AE2 （32）2 32 352BGx，则 BF2x ，FG2，利用勾股定理得 x2(2x) 24，解得 x ，BF ，则255 455ABAFBF EF，故错误；令 HCx，DHy ，则易得 FBy，AFx，故有32 455 15 851032x 2(xy) 2，cosAEF cosBFG ，整理得 ，联立，解得 x ，y3x y y2 3x y y2 3，代入得 HG2 ，故矩形 EFGH 面积为 HGFG2 24 ，故正确，综上所述，一定成立3 3 3
16、 3的是.3. 2 【解析】如解图，连接 BD，设 CFx，CGy，E 、 F、 G、 H 分别为矩形 ABCD 的边AB，BC、CD 、DA 的中点，CD2y，AD BC 2x，GF BD AC ，ADCGCF90，12 12 62AGGF ，132390 ，12，ADGGCF， ，即CFDG CGAD ，x 2 y2，在 RtFGC 中，x 2y 2( )2， y2y 2 ，解得 y11，y 21( 舍去)，xy y2x 12 62 12 32ABCD2y 2.第 3 题解图4. (1)证明：如解图，过点 E 作 EGAD 于点 G，过点 F 作 FHBC 于点 H，第 4 题解图AE，D
17、E ，BF，CF 分别平分ABCD 的四个角，且 MMCD，MMAB，NN CD，NNAB，四边形 MNNM为矩形，MMNN，MM NN ，EMEG EM MM，FNFHFN NN，12 12 9 EMFN，EMFN，四边形 EFNM 是平行四边形，又EMN90，四边形 EFNM 是矩形；(2)解：如解图，延长 AE 交 CD 于点 K，第 4 题解图四边形 ABCD 是平行四边形，CDAB ，AKD1，12，AKD2，DKAD，CDAB ，1234180，12，34，2390，AED90，在 RtADE 中，根据勾股定理得 AD 5，AE2 DE2 42 32DKAD5，CKDC DK954
18、，四边形 EFNM 是矩形，KCEF，四边形 ABCD 是平行四边形，BADBCD，1256，52AKD，EKCF，四边形 EFCK 是平行四边形，EFCK4. 10 第五章 四边形第二节 矩形、菱形、正方形课时 2 菱形基础过关1. (2018 十堰) 菱形不具备的性质是( )A. 四条边都相等 B. 对角线一定相等 C. 是轴对称图形 D. 是中心对称图形2. (2018 河池) 如图，要判定ABCD 是菱形，需要添加的条件是 ( )A. ABAC B. BCBDC. ACBD D. ABBC3. (2018 湘潭) 如图，已知点 E、 F、 G、 H 分别为菱形 ABCD 各边的中点，则
19、四边形 EFGH 是( )A. 正方形 B. 矩形C. 菱形 D. 平行四边形4. (2018 西电附中模拟)如图，在菱形 ABCD 中，AB 5，BCD120，则对角线 AC( )A. 20 B. 15 C. 10 D. 5第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图5. (2018 淮安) 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、 BD 的长分别为 6 和 8，则这个菱形的周长是( )A. 20 B. 24 C. 40 D. 486. (2018 西安高新一中模拟)如图，在菱形 ABCD 中，DEAB，cosA ，BE 2，则 BD 的值( )35A. 2 B. C. 2 D. 5
20、5 57. (2018 哈尔滨 )如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交于点 O，BD 8, tanABD ，则线段 AB34的 11 长为( )A. B. 2 C. 5 D. 107 78. (2018 宿迁) 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于点 O，点 E 为边 CD 的中点，若菱形 ABCD 的周长为 16，BAD60 ，则OCE 的面积是( )A. B. 2 C. 2 D. 43 39. (2018 贵州三州联考)已知一个菱形的边长为 2，较长的对角线长为 2 ，则这个菱形的面积是3_10. (2018 广州)如图，若菱形 ABCD 的顶点 A，B
21、的坐标分别为(3，0)，( 2，0)，点 D在 y 轴上，则点 C 的坐标是_11. (2018 遂宁)如图，在ABCD 中，E 、 F 分别是 AD，BC 上的点，且DEBF，AC EF.求证：四边形 AECF 是菱形第 11 题图12. 如图，点 E、 F 分别在菱形 ABCD 的边 DC、 DA 上，且 CEAF.求证：ABF CBE.第 12 题图13. (2018 北京)如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，ABAD ，对角线 AC，BD 交于点 O，AC 平分BAD，过点 C 作 CEAB 交 AB 的延长线于点 E，连接 OE.(1)求证：四边形 ABCD 是菱形；(2)若 A
22、B ，BD2，求 OE 的长5 12 满分冲关 1. (2018 新疆建设兵团)如图，点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点，点 M，N 分别是AB、BC 边上的中点，则 MPPN 的最小值是( )2. A. B. 1 C. D. 212 2第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图2. (2018 临沂) 如图，点 E，F ，G，H 分别是四边形 ABCD 边 AB，BC，CD，DA 的中点，则下列说法：若 ACBD，则四边形 EFGH 为矩形；若 ACBD，则四边形 EFGH 为菱形；若四边形 EFGH 是平行四边形，则 AC 与 BD 互相平分；若四边形 EFG
23、H 为正方形，则 AC 与 BD 互相垂直且相等其中正确的个数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 43. (2018 宁波 )如图，在菱形 ABCD 中，AB 2，B 是锐角，AEBC 于点 E，M 是 AB 的中点，连接MD，ME.若EMD90，则 cosB 的值为_4. 如图，矩形 ABCD 中，AB6，BC4，过对角线 BD 中点 O 的直线分别交 AB，CD 边于点 E，F.(1)求证：四边形 BEDF 是平行四边形；(2)当四边形 BEDF 是菱形时，求 EF 的长 13 第 4 题图参考答案及解析第五章 四边形第二节 矩形、菱形、正方形课时 2 菱形基础过关1. B 【解析
24、】菱形的对角线互相垂直，但不一定相等2. D 【解析】根据菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故需要添加的条件是 ABBC.3. B 【解析】如解图，连接 AC、BD ，四边形 ABCD 是菱形，ACBD，E 、 F、 G、 H 分别是菱形ABCD 各边的中点，HGACEF，EH BD GF，HGHE ，HGFG ，EFFG，EHG HGFGFE90， 四边形 EFGH 是矩形第 3 题解图4. D 【解析】四边形 ABCD 是菱形，ABBC ， ABCD ，BCD120 ，ABC 60 ，ABC 是等边三角形，ACAB5. 14 5. A 【解析】如解图，设菱形的对角线相交于点 O
25、，则 AO AC3，BO BD4，由勾股定理可得12 12AB5，菱形的周长：4AB20.第 5 题解图6. A 【解析】四边形 ABCD 是菱形，AD AB，cosA ，在 RtADE 中，35AE AD，ABAEBE AD2，ADAB AD2，解得 AD5，AE3，DE4，在35 35 35RtBDE 中，BD 2 .DE2 BE2 42 22 57. C 【解析】在菱形 ABCD 中，BD8，OB OD BD4，又ACBD，在 RtOAB 中， 12tanABD ，OA OB3，AB 5.OAOB 34 34 OA2 OB28. A 【解析】菱形 ABCD 的周长为 16，ABADCD4
26、，ACBD，又BAD60 ，ADAB，ABD 为等边三角形，DO BD AB2，sinODCsin60 ，OC212 12 OCCD 32，S DOC 22 2 ，又E 为 CD 的中点，S OCE SDOC 2 .312 3 3 12 12 3 39. 2 【解析】如解图，在菱形 ABCD 中，AOB90，AB2，AC 2 ，则 AO ，在 RtAOB 中，3 3 3由勾股定理得 OB1，则 BD2，S 菱形 ABCD ACBD 2 22 .12 12 3 3第 9 题解图10. (5，4) 【解析】菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为(3，0) ，(2，0)，点 D 在 y 轴上，
27、ABADCD 5，OA 3 ，DO4，点 C 的坐标为(5，4)11. 证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC，DEBF，ADDE BC BF ，即 AEFC，AEFC，AEFC， 15 四边形 AECF 是平行四边形，又ACEF，四边形 AECF 是菱形12. 证明：四边形 ABCD 是菱形，ABBC， AC ，在ABF 和CBE 中，AF CE A CAB BC)ABF CBE(SAS) ，ABF CBE.13. (1)证明：ABDC，ACDBAC，AC 平分BAD ，BACDAC，ACDDAC，ADCD，ADAB，ABCD，ABCD，四边形 ABCD 是平行四边形，AB
28、AD ，四边形 ABCD 是菱形；(2)解：由(1)得四边形 ABCD 是菱形，ACBD，OB BD1， OAOC，12OA 2，AB2 OB2CEAB，OAOC ，OE ACOA2.12满分冲关1. B 【解析】如解图，作点 M 关于 AC 的对称点 M，连接 MN 交 AC 于点 P，此时 MPNP 的值最小，最小值为 MN.菱形 ABCD 关于 AC 对称，M 是 AB 边上的中点， M是 AD 边的中点， 又N 是BC 边上的中点， AM BN，AMBN , 四边形 ABNM是平行四边形， MNAB1，即MPNP 的最小值为 1. 16 第 1 题解图2. A 【解析】点 E，F，G，
29、H 分别是四边形 ABCD 的边 AB，BC ，CD，DA 的中点，EFAC，GH AC 且 EF AC，GH AC，四边形 EFGH 是平行四边形，当 ACBD 时，四12 12边形 EFGH 是菱形；当 ACBD 时，四边形 EFGH 是矩形；若四边形 EFGH 是平行四边形，AC与 BD 不一定互相平分；若四边形 EFGH 是正方形，则 ACBD 且 ACBD ，故只有正确，正确的个数为 1.3. 【解析 】如解图，过点 M 作 MPBC 于点 P， 延长 PM 交 DA 的延长线于点 Q.设3 12MPx，PE y，M 是 AB 的中点，AB2，AEBC，MEAMBM1，x 2y 21
30、，易得四边形 AQPE 是矩形， AQPEy，M 是 AB 的中点，易得AQMBPM， MQMPx ，BPAQ y ，MEDM ， PEMQMD ， ，即 ，即PEQM MPDQ yx x2 yx22yy 2，则 2yy 21y 2，解得 y1 ，y 2 (舍)，cosB .3 12 3 12 BPBM y1 3 12第 3 题解图4. (1)证明：四边形 ABCD 是矩形，点 O 是 BD 的中点，ABDC，OBOD，OBEODF, 又BOEDOF ，BOEDOF(ASA)，DFBE，又DFBE，四边形 BEDF 是平行四边形；(2)解：当四边形 BEDF 是菱形时，设 BEx ，则 DEx
31、，AE6x ，在 RtADE 中，DE 2AD 2AE 2， 17 x 24 2(6 x) 2, x ，133S 菱形 BEDFBEAD 4 BDEF，133 523 12又BD 2 ，AB2 AD2 62 42 13 2 EF ，12 13 523EF .4133第五章 四边形第二节 矩形、菱形、正方形课时 3 正方形基础过关1. (2018 重庆 A 卷)下列命题正确的是( )A. 平行四边形的对角线互相垂直平分 B. 矩形的对角线互相垂直平分C. 菱形的对角线互相平分且相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分2. (2018 西电附中模拟)已知四边形 ABCD，AB C 90 ，如果添加一
32、个条件，即可推出该四边形为正方形，那么这个条件可以是( )A. D90 B. ABCD C. ADBC D. BCCD3. (2018 河北) 用一根长为 a(单位：cm)的铁丝，首尾相接围成一个正方形要将它按如图的方式向外等距扩 1(单位： cm)，得到新的正方形，则这根铁丝需增加 ( )A. 4 cm B. 8 cm C. (a4) cm D. (a8) cm4. (2018 西安交大附中模拟)如图，四边形 ABCD 是正方形，以 CD 为边作等边三角形 CDE，BE 与 AC 相交于点 M，连接 DM，则AMD 的度数是( )A. 75 B. 60 C. 54 D. 67.5 18 第
33、4 题图 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图5. (2018 泸州) 如图，正方形 ABCD 中，E，F 分别在边 AD，CD 上，AF，BE 相交于点 G，若 AE3ED，DFCF，则 的值是( )AGGFA. B. C. D.43 54 65 766. (2018 恩施州)如图所示，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 边中点，连接 AG 并延长交 BC 边的延长线于 E点，对角线 BD 交 AG 于 F 点，已知 FG2，则线段 AE 的长度为( )A. 6 B. 8 C. 10 D. 127. (2018 西安高新二中模拟) 如图，在边长为 12 的正方形 ABCD 中，有一个小
34、正方形 EFGH，其中E、 F、 G分别在 AB、BC 、FD 上，若 BF3，则小正方形边长为( )A. 6 B. 5 C. D. 154 128. (2018 西安铁一中模拟)如图，菱形 BEFO 和菱形 BOMN 都在边长为 1 的正方形 ABCD 中，点2E、 F、M 、 N 都在正方形的边上，则菱形的边长为( )A. 1 B. C. D. 2 3 5第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 第 11 题图 第 12 题图9. (2018 乐山)如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 AB 到点 E，使 AEAC，连接 CE，则BCE 的度数是_度10. (2018 咸宁)如图，将正
35、方形 OEFG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 E 的坐标为(2 ，3)，则点F 的坐标为_11. (2018 深圳)如图，四边形 ACDF 是正方形， CEA 和ABF 都是直角且点 E，A，B 三点共线，AB4，则阴影部分的面积是_12. (2018 青岛)已知正方形 ABCD 的边长为 5，点 E、 F 分别在 AD、 DC 上，AEDF2，BE 与 AF 相交 19 于点 G，点 H 为 BF 的中点，连接 GH，则 GH 的长为_13. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 为 BC 上一点，连接 AE，过点 B 作 BGAE 于点 G，并延长交 CD 于点 F，过点 C
36、作 CHAE，交 BF 于点 H.求证：AGBH.第 13 题图14. (2018 西安莲湖区模拟)如图， ABC 为锐角三角形，AD 是 BC 边上的高，正方形 EFGH 的一边 FG 在BC 上，顶点 E、 H 分别在 AB、 AC 上，已知 BC40 cm，AD20 cm .求这个正方形的边长第 14 题图满分冲关 1. (2018 天津) 如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别为 AD，BC 的中点，P 为对角线 BD 上的一个动点，则下列线段的长等于 APEP 最小值的是( )2. A. AB B. DE C. BD D. AF第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图3. (20
37、18 娄底) 如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是 169，小正方形的面积为 49，则sincos ( )A. B. C. D. 513 513 713 7133. 如图，在正方形 ABCD 中，AB3，点 E，F 分别在 CD，AD 上，CEDF ，BE，CF 相交于点 G.若图中阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 23，则BCG 的周长为_4. (2018 徐州)如图，在矩形 ABCD 中，AD4，点 E 在边 AD 上，连接 CE，以 CE 为边向右上方作正方形 20 CEFG，作 FHAD ，垂足为 H，连接 AF.(1)求证：FH ED；(2)当 AE 为何
38、值时，AEF 的面积最大？第 4 题图参考答案及解析第五章 四边形第二节 矩形、菱形、正方形课时 3 正方形基础过关1. D 【解析 】A.平行四边形的对角线能互相平分，不一定垂直，选项错误；B.矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，选项错误；C.菱形的对角线互相垂直平分，不一定相等，选项错误；D.正方形的对角线相等且互相垂直平分，选项正确2. D3. B 【解析】将这个正方形向外等距扩 1 cm，各边长增加 2 cm，新的正方形周长比原正方形的周长增加了 248 cm，即这根铁丝需增加 8 cm.4. B 【解析】四边形 ABCD 是正方形，BCCD，BCMDCM45 ，又CMCM， 21
39、 BCMDCM(SAS)，CBMCDM.DCE 是等边三角形，CECD ，DCE60 ，BCCE，BCE150，CBE CEB15，CDMCBM 15，AMDCDMMCD154560.5. C 【解析】设正方形 ABCD 的边长为 4a.AE3ED，AE3a，EDa.如解图，取 BE 的中点 H，连接 HF.DFCF，HF ED ，HF (EDBC ) (a4a) a，AGEFGH， ，12 12 52 AGFG AEFH即 .AGGF 3a52a 65第 5 题解图6. D 【解析】G 为 CD 边中点，DGCG，在正方形 ABCD 中，AD BC，DAGCEG，在DAG 和 CEG 中，
40、，DAGCEG(AAS)，ADCE，AGGE，由 ADBC DAG CEG AGD EGCDG CG )得ADFEBF ， ，即 ，解得 EG6，AE2EG12.AFEF ADEB EG 22 EG 127. C 【 解析】 正方形 ABCD 的边长为 12，BCCD12，BF3，CFBCBF1239，四边形 EFGH 为正方形，EFG90，BFECFD 90，在 RtBEF 中，BEF BFE 90，BEFCFD，又BC90，BFECDF， ，即BECF BFCD ，解得 BE ，在 RtBEF 中，根据勾股定理得， EF .BE9 312 94 BE2 BF2 （ 94） 2 32 1548. B 【解析】四边形 BEFO 和四边形 BOMN 都是菱形，FOBO，BO OM，OMBC ，ABFO ，FOOM，OMDC90，DFOA90，DFO OMDD90 ，四边形 FOMD 为矩形，又FOOM ，四边形 FOMD 为正方形，设 EF 的长为 x，则 AEAF 1x，在 RtAEF 中，AEAFEFcos45 ， 1
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