1、第 1 页（共 19 页）2019 年人教版九年级上21.3 二次根式的加减同步练习卷一选择题（共 8 小题）1下列根式中，与 为同类二次根式的是（ ）A B C D2若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 a+b 的值为（ ）A2 B2 C1 D13下列各式经过化简后与 不是同类二次根式的是（ ）A B C D4下列运算正确的是（ ）A + B3 2 1C2+ 2 Da b （ab）5已知 ， ，则 的值为（ ）A3 B4 C5 D66化简的结果是（ ）A1 B C D7如图，从一个大正方形中裁去面积为 30cm2 和 48cm2 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）A78 cm 2 B
2、 cm2C cm2 D cm28对于任意的正数 m、n 定义运算 为：m n ，计算（32）第 2 页（共 19 页）（812）的结果为（ ）A24 B2 C2 D20二填空题（共 4 小题）9斐波那契（约 11701250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列） 后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用斐波那契数列中的第 n 个数可以用 （ ） n（ ）n表示通过计算求出斐波那契
3、数列中的第 1 个数为 ，第 2 个数为 10已知 a ，则 a+ 的值是 11如图，在长方形内有两个相邻的正方形 A，B，正方形 A 的面积为 2，正方形 B 的面积为 4，则图中阴影部分的面积是 12已知 ab2，则 的值是 三解答题（共 16 小题）13计算： 4 2（ 1） 14计算：（1）4 + +4（2）62 3 第 3 页（共 19 页）15计算： （x0） 16计算： （x0） 17计算： 18 19计算： （ + ） 20计算： 21 （1） ；（2） 22若最简二次根式 和 是同类二次根式（1）求 x、y 的值（2）求 的值23已知 a，b 为实数，且 0，求 a2017b
4、 2018 的值24先化简，后求值（1）已知：x2，y 1，求 的值（2） 先化简 a；再化简 的值（3）已知 x+y5，xy 3，求 值25阅读材料，然后作答：在化简二次根式时，有时会碰到形如 ， 这一类式子，通常进行这样的化简： ； 1，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化还有一种方法也可以将 进行分母有理化：例如： 1请仿照上述方法解决下面问题：第 4 页（共 19 页）（1）化简 ；（2）化简 26 （附加题）先阅读然后解答问题：化简解：原式根据上面所得到的启迪，完成下面的问题：（1）化简： （2）化简： 27我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术” ，即已知三角形的三边长
5、，求它的面积用现代式子表示即为：（其中 a、b、c 为三角形的三边长，s 为面积） 而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s （其中 p ）（1）若已知三角形的三边长分别为 5，7，8，试分别运用公式和公式，计算该三角形的面积 s；（2）你能否由公式推导出公式 ？请试试28阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+（1+ ） 2善于思考的小明进行了以下探索：设 a+b （m+ n ） 2（其中 a、b、m 、n 均为整数） ，则有a+b m 2+2n2+2mn am 2+2n2， b2mn这样小明就找到了一种把类似 a+b 的式子化为平方
6、式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当 a、b、m、n 均为正整数时，若 a+b ，用含 m、n 的式子分别表示 a、b，得：a ，b ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数 a、b、m 、n 填空： + （ + ） 2；第 5 页（共 19 页）（3）若 a+4 ，且 a、m、n 均为正整数，求 a 的值？第 6 页（共 19 页）参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题）1下列根式中，与 为同类二次根式的是（ ）A B C D【分析】先化简二次根式，再根据定义判断解可得【解答】解： 2 ，与 为同类二次根式的是 ，故选：A【点评】本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握同
7、类二次根式的概念2若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 a+b 的值为（ ）A2 B2 C1 D1【分析】根据同类二次根式的定义得到 b+32，7a+b6ab，求出 a、b 然后代入a+b 中计算即可【解答】解：最简二次根式 与 是同类二次根式，b+32，7a+b6ab，a2，b1，a+b211，故选：D【点评】本题考查了同类二次根式：把各二次根式化为最简二次根式后若被开方数相同，那么这样的二次根式叫同类二次根式3下列各式经过化简后与 不是同类二次根式的是（ ）A B C D【分析】因为 3x 2 ，然后把四个式子都化简，比较计算结果，看含有不含有 即可【解答】解：根据二次根式有意义，可知
8、x0， 3x ，A、化简为 3x ；第 7 页（共 19 页）B、化简为 ；C、 ；D、化简为 B、C、D 中都含有 ，是同类二次根式，A 不是，故选 A【点评】本题考查了同类二次根式的概念：化成最简二次根式后，被开方数相同4下列运算正确的是（ ）A + B3 2 1C2+ 2 Da b （ab）【分析】直接利用二次根式的加减法计算方法逐一计算比较得出答案即可【解答】解：A、 + 不能合并，此选项错误；B、3 2 ，此选项错误；C、2+ 不能合并，此选项错误；D、a b （ab） ，此选项正确故选：D【点评】此题考查二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并5已
9、知 ， ，则 的值为（ ）A3 B4 C5 D6【分析】先分母有理化求出 a、b 的值，再求出 a2+b2 的值，代入求出即可【解答】解：a +2，b 2，a 2+b2（ab） 2+2ab4 2+2（54）18， 5，故选：C【点评】本题考查了分母有理化，二次根式的化简，关键是求出 a、b 和 a2+b2 的值，题目比较好，难度适中6化简的结果是（ ）第 8 页（共 19 页）A1 B C D【分析】首先对每个加数进行去分母化简，即可看出他们都是同分母，然后进行运算即可【解答】解：原式 ， ， 故选：B【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，关键在于通过化简每一项，找到规律7如图，从一个大正
10、方形中裁去面积为 30cm2 和 48cm2 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）A78 cm 2 B cm2C cm2 D cm2【分析】根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案【解答】解：从一个大正方形中裁去面积为 30cm2 和 48cm2 的两个小正方形，大正方形的边长是 + +4 ，留下部分（即阴影部分）的面积是（ +4 ） 230488 24 （cm 2） 故选：D【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出阴影部分面积是解题关键8对于任意的正数 m、n 定义运算 为：m n ，计算（32）（812）的结果为（ ）A24 B2 C2 D20【分析】根据题目所给的运算法则进行求解
11、【解答】解：32，第 9 页（共 19 页）32 ，812，812 + 2（ + ） ，（32）（812）（ ）2（ + ）2故选：B【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是根据题目所给的运算法则求解二填空题（共 4 小题）9斐波那契（约 11701250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列） 后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用斐波那契数列中的第 n 个数可以
12、用 （ ） n（ ）n表示通过计算求出斐波那契数列中的第 1 个数为 1 ，第 2 个数为 1 【分析】分别把 1、2 代入式子化简求得答案即可【解答】解：第 1 个数，当 n1 时，1第 2 个数，当 n2 时，第 10 页（共 19 页）1，故答案为：1，1【点评】此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键10已知 a ，则 a+ 的值是 【分析】把已知两边平方后展开求出 a2+ 12，再求出（a+ ） 2 的值，再开方即可【解答】解：a ，（a ） 210，a 22a + 10，a 2+ 10+212，（a+ ） 2a 2+2a + a 2+ +212
13、+214，a+ 故答案为： 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，灵活运用完全平方公式（ab）2a 22ab+b2 解决问题11如图，在长方形内有两个相邻的正方形 A，B，正方形 A 的面积为 2，正方形 B 的面积为 4，则图中阴影部分的面积是 【分析】设两个正方形 A，B 的边长是 x、y （xy） ，得出方程 x22，y 24，求出 x，y2，代入阴影部分的面积是（yx ）x 求出即可【解答】解：设两个正方形 A，B 的边长是 x、y （xy） ，第 11 页（共 19 页）则 x22，y 24，x ，y2，则阴影部分的面积是（yx ）x （2 ） 2 2，故答案为：2 2【点评】本题考
14、查了二次根式的应用、算术平方根性质的应用，主要考查学生的计算能力12已知 ab2，则 的值是 【分析】由已知条件可知，本题有两种情况需要考虑：a0，b0；a0，b0【解答】解：当 a0，b0 时，原式 ；当 a0，b0 时，原式 2 【点评】此题的难点在于需考虑两种情况三解答题（共 16 小题）13计算： 4 2（ 1） 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式2【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型14计算：（1）4 + +4（2）62 3 【分析】 （1）首先化简二次根式，进而合并求出即可；（2）首先化简二次根式，进而合并
15、求出即可【解答】解：（1）原式4 +3 2 +47 +2 ；第 12 页（共 19 页）（2）原式6 6 【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键15计算： （x0） 【分析】运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并【解答】解：原式 【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变16计算： （x0） 【分析】首先化简二次根式，进而合并同类二次根式即可【解答】解： （x0）3x +2x x4x 【点评】此题主要考查了二次根式的加减
16、运算，正确化简二次根式是解题关键17计算： 【分析】先将二次根式化为最简，然后去括号，合并同类项即可【解答】解：原式2 +4 （ 2 ）2 +2 +2 +4 【点评】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简与合并第 13 页（共 19 页）18 【分析】先把各根式化为最减二次根式，再去括号，合并同类项即可【解答】解：原式8 2 +4 +2（82+4+2）12 【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键19计算： （ + ） 【分
17、析】先把括号内的各二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的乘除法运算【解答】解：原式 （ + ） 312【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式20计算： 【分析】利用完全平方公式和单项式乘以多项式的运算法则进行运算即可【解答】解： 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式和正确的运算律是解答本题的关键21 （1） ；（2） 【分析】运用二次根式的加减法运算法则，混合运算的顺序加减运算时，先将二次根第 14 页（共 19 页）式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可化简要注意：（1）往往需
18、要把被开方数分解因数或分解因式；（2）当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应把它化简成分母中不含二次根式的式子，也就是把它的分母有理化【解答】解：（1）2 ；（2）（3 2 +4 ） 【点评】主要考查了实数的运算无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的在进行二次根式的运算时要先化简再计算，可使计算简便22若最简二次根式 和 是同类二次根式（1）求 x、y 的值（2）求 的值【分析】 （1）根据同类二次根式的定义列出方程求解即可；（2）把 x、y 的值代入代数式进行计算即可得解【解答】解：（1）由题意得，3x102，2x+y 5x3y +11，解得 x4，y3；（2）当 x4，y 3 时，
19、5【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式23已知 a，b 为实数，且 0，求 a2017b 2018 的值【分析】由已知条件得到 +（1b） 0，利用二次根式有意义的条件得到第 15 页（共 19 页）1b0，再根据几个非负数和的性质得到 1+a0，1b0，解得 a1，b1，然后根据乘方的意义计算 a2017b 2018 的值【解答】解： 0， +（1b） 0，1b0，1+a0，1b0，解得 a1，b1，a 2017b 2018（1） 20171 2018112【点评】本题考查了非负数的性质：算术平方根具有非负性非负数之和等于 0
20、 时，各项都等于 0 利用此性质列方程解决求值问题24先化简，后求值（1）已知：x2，y 1，求 的值（2） 先化简 a；再化简 的值（3）已知 x+y5，xy 3，求 值【分析】 （1）先算括号里的，再把除法转化为乘法，约分化简后代入计算；（2）先化简 a 的值，并确定 a1 的符号，再化简 的值；（3）由已知判断 x0，y 0，化简 ，再把 x+y5，xy 3 代入计算【解答】解：（1）原式 ，当 x2，y1 时，原式 ；（2）a ，a10， 2 ；第 16 页（共 19 页）（3）由 x+y 5，xy 3 可知 x0，y 0， + ，当 x+y5， xy3 时，原式 【点评】分式的混合运
21、算需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握25阅读材料，然后作答：在化简二次根式时，有时会碰到形如 ， 这一类式子，通常进行这样的化简： ； 1，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化还有一种方法也可以将 进行分母有理化：例如： 1请仿照上述方法解决下面问题：（1）化简 ；（2）化简 【分析】 （1）将分子 2 变形为（ ） 2（ ） 2，再将其因式分解，继而约分即可得；（2）将分子 ab 变形为（ ） 2（ ） 2，再将其因式分解，继而约分即可得【解答】解：（1）原式 ；（2）原式 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的方法与平
22、方差公式26 （附加题）先阅读然后解答问题：化简解：原式第 17 页（共 19 页）根据上面所得到的启迪，完成下面的问题：（1）化简： （2）化简： 【分析】 （1）把 4 写成 2 ，把 9 写成 4+5，根据完全平方公式配方即可求解；（2）把算式平方然后再求算术平方根即可得解【解答】解：（1） ， ， ， 2；（2）（ ） 2，4+ +2 +4 ，8+2，10， 【点评】本题考查了二次根式的化简，读懂并理解题目信息，根据完全平方公式把被开方数整理成完全平方的形式是解题的关键，难度较大27我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术” ，即已知三角形的三边长，求它的面积用现代式子表示即
23、为：（其中 a、b、c 为三角形的三边长，s 为面积） 而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s （其中 p ）（1）若已知三角形的三边长分别为 5，7，8，试分别运用公式和公式，计算该三角形的面积 s；（2）你能否由公式推导出公式 ？请试试【分析】 （1）代入计算即可；（2）需要在括号内都乘以 4，括号外再乘 ，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算第 18 页（共 19 页）【解答】解：（1）s ， ；p （5+7+8 ）10，又 s ；（2） （ ） ， （c+ab） （c a+ b） （a+b+c） （a+bc） ， （2p2a） （2p2b）2p（2p2c） ，p（p
24、a） （pb） （pc） ， （说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）【点评】考查了三角形面积的海伦公式的用法，也培养了学生的推理和计算能力28阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+（1+ ） 2善于思考的小明进行了以下探索：设 a+b （m+ n ） 2（其中 a、b、m 、n 均为整数） ，则有a+b m 2+2n2+2mn am 2+2n2， b2mn这样小明就找到了一种把类似 a+b 的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当 a、b、m、n 均为正整数时，若 a+b ，用含 m、n 的式子分别表示
25、 a、b，得：a m 2+3n2 ，b 2mn ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数 a、b、m 、n 填空： 4 + 2 （ 1 第 19 页（共 19 页）+ 1 ） 2；（3）若 a+4 ，且 a、m、n 均为正整数，求 a 的值？【分析】 （1）根据完全平方公式运算法则，即可得出 a、b 的表达式；（2）首先确定好 m、n 的正整数值，然后根据（ 1）的结论即可求出 a、b 的值；（3）根据题意，42mn，首先确定 m、n 的值，通过分析 m2，n1 或者m1，n2，然后即可确定好 a 的值【解答】解：（1）a+b ，a+b m 2+3n2+2mn ，am 2+3n2， b2mn故答案为：m 2+3n2，2mn（2）设 m1，n1，am 2+3n2 4，b2mn2故答案为 4、2、1、1（3）由题意，得：am 2+3n2，b 2mn42mn，且 m、n 为正整数，m2，n1 或者 m1，n2，a2 2+3127，或 a1 2+32213【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则
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