1、第 1 页（共 23 页）2019 年人教版九年级上学期23.1 图形的旋转同步练习卷一选择题（共 8 小题）1正方形 ABCD 与正五边形 EFGHM 的边长相等，初始如图所示，将正方形绕点 F 顺时针旋转使得 BC 与 FG 重合，再将正方形绕点 G 顺时针旋转使得 CD 与 GH 重合按这样的方式将正方形依次绕点 H、M 、E 旋转后，正方形中与 EF 重合的是（ ）AAB BBC CCD DDA2如图，P 是等腰直角ABC 外一点，把 BP 绕点 B 顺时针旋转 90到 BP，已知AP B135，PA：P C1：3，则 PA：PB（ ）A1： B1：2 C ：2 D1：3如图 1，有两
2、全等的正三角形 ABC，DEF，且 D，A 分别为ABC，DEF 的重心固定 D 点，将DEF 逆时针旋转，使得 A 落在 上，如图 2 所示求图 1 与图 2 中，两个三角形重迭区域的面积比为何（ ）A2：1 B3：2 C4：3 D5：44如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45 度后得到正方形 ABCD，边 BC 与 DC 交于点 O，则四边形 ABOD 的周长是（ ）第 2 页（共 23 页）A2 B3 C D1+5ABC 在如图所示的平面直角坐标系中，将ABC 向右平移 3 个单位长度后得A1B1C1，再将A 1B1C1 绕点 O 旋转 180后得到A 2B2C
3、2则下列说法正确的是（ ）AA 1 的坐标为（3，1） B 3CB 2C2 DAC 2O456如图是对称中心为点 O 的正八边形如果用一个含 45角的直角三角板的角，借助点O（使角的顶点落在点 O 处）把这个正八边形的面积 n 等分那么 n 的所有可能的值有（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个7如图，把ABC 绕 B 点逆时针方旋转 26得到ABC，若 AC 正好经过 A 点，则BAC（ ）A52 B64 C77 D82第 3 页（共 23 页）8如图，88 方格纸上的两条对称轴 EF，MN 相交于中心点 O，对ABC 分别作下列变换：先以点 A 为中心顺时针方向旋转 90，再向右平移
4、 4 格、向上平移 4 格；先以点 O 为中心作中心对称图形，再以点 A 的对应点为中心逆时针方向旋转 90；先以直线 MN 为轴作轴对称图形，再向上平移 4 格，再以点 A 的对应点为中心顺时针方向旋转 90 度其中，能将ABC 变换成PQR 的是（ ）A B C D二填空题（共 12 小题）9如图，在等边ABC 中，D 是边 AC 上一点，连接 BD将BCD 绕点 B 逆时针旋转60得到BAE，连接 ED若 BC10，BD9，则AED 的周长是 10如图，Rt ABC 中，ACB90，ABC 30，AC1，将ABC 绕点 C 逆时针旋转至ABC，使得点 A恰好落在 AB 上，连接 BB，则
5、 BB的长度为 11两块完全一样的含 30角三角板重叠在一起，若绕长直角边中点 M 转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图所示，A30，AC10，则此时两直角第 4 页（共 23 页）顶点 C，C 间的距离是 12如图，A90，AOB30，AB 2，AOB可以看作是由AOB 绕点 O逆时针旋转 60得到的，则点 A与点 B 的距离为 13将一副三角板按如图 1 位置摆放，使得两块三角板的直角边 AC 和 MD 重合已知AB AC8cm，将MED 绕点 A（M）逆时针旋转 60后（图 2） ，两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是 cm 2（结果精确到 0.1， 1.73） 14如图
6、，在 44 的正方形网格中，MNP 绕某点旋转一定的角度，得到M 1N1P1则其旋转中心一定是点 15如图所示，在正方形网格中，图经过 变换可以得到图；图是由图经过旋转变换得到的，其旋转中心是点 （填“A”或“B”或“C” ） 第 5 页（共 23 页）16如图，点 G 是ABC 的重心，CG 的延长线交 AB 于D，GA 5cm ，GC4cm，GB3cm，将ADG 绕点 D 旋转 180得到BDE，则DE cm，ABC 的面积 cm 217如图，ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为ABC 内一点，将ABP 绕点 A逆时针旋转后与ACP重合，如果 AP3，那么线段 PP的长等于 18
7、如图，在等腰 RtABC 中，A90，AC 9，点 O 在 AC 上，且 AO2，点 P 是AB 上一动点，连接 OP 将线段 OP 绕 O 逆时针旋转 90得到线段 OD，要使点 D 恰好落在 BC 上，则 AP 的长度等于 19如图，ACB90，把 RtABC 绕点 A 逆时针旋转 90得到 RtAB 1C1，若BC1，AB 2 ，则CAB 1 的度数是 度第 6 页（共 23 页）20如图：三个圆是同心圆，圆中阴影部分的面积是 三解答题（共 1 小题）21如图，已知 ADAE ，ABAC（1）求证：BC；（2）若A50，问ADC 经过怎样的变换能与AEB 重合？第 7 页（共 23 页）
8、参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题）1正方形 ABCD 与正五边形 EFGHM 的边长相等，初始如图所示，将正方形绕点 F 顺时针旋转使得 BC 与 FG 重合，再将正方形绕点 G 顺时针旋转使得 CD 与 GH 重合按这样的方式将正方形依次绕点 H、M 、E 旋转后，正方形中与 EF 重合的是（ ）AAB BBC CCD DDA【分析】由于正方形 ABCD 与正五边形 EFGHM 的边长相等，则正方形 ABCD 的各边依次与正五边形 EFGHM 的各边重合，与 EF 重合的应该是正方形第五次与正五边形重合的边，即得到 BC【解答】解：正方形 ABCD 与正五边形 EFGHM 的边长相等
9、，从 BC 与 FG 重合开始，正方形 ABCD 的各边依次与正五边形 EFGHM 的各边重合，而与 EF 重合是正方形的边与正五边形的边第五次重合，正方形中与 EF 重合的是 BC故选：B【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理2如图，P 是等腰直角ABC 外一点，把 BP 绕点 B 顺时针旋转 90到 BP，已知AP B135，PA：P C1：3，则 PA：PB（ ）A1： B1：2 C ：2 D1：【分析】连接 AP，根据同角的余角相等可得ABPCBP，然后利用
10、“边角边”证第 8 页（共 23 页）明ABP 和CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得 APCP，连接 PP，根据旋转的性质可得PBP是等腰直角三角形，然后求出APP 是直角，再利用勾股定理用 AP表示出 PP，又等腰直角三角形的斜边等于直角边的 倍，代入整理即可得解【解答】解：如图，连接 AP，BP 绕点 B 顺时针旋转 90到 BP，BPBP，ABP +ABP90，又ABC 是等腰直角三角形，ABBC， CBP+ ABP90，ABP CBP，在ABP 和CBP中， ，ABP CBP（SAS） ，APPC，PA：PC1：3，AP3PA ，连接 PP，则PBP是等腰直角三角形，BPP45
11、，PP PB，APB135 ，APP135 4590，APP 是直角三角形，设 PAx，则 AP3x，根据勾股定理，PP 2 x，PP PB2 x，解得 PB2x，PA：PBx ：2x1：2故选：B第 9 页（共 23 页）【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形，把 PA、PC 以及 PB 长度的 倍转化到同一个直角三角形中是解题的关键3如图 1，有两全等的正三角形 ABC，DEF，且 D，A 分别为ABC，DEF 的重心固定 D 点，将DEF 逆时针旋转，使得 A 落在 上，如图 2 所示求图 1 与图 2 中，两个三角形
12、重迭区域的面积比为何（ ）A2：1 B3：2 C4：3 D5：4【分析】设三角形的边长是 x，则（1）中阴影部分是一个内角是 60的菱形，图（2）是个角是 30的直角三角形，分别求得两个图形的面积，即可求解【解答】解：设三角形的边长是 x，则高长是 x图（1）中，阴影部分是一个内角是 60的菱形，AD x x另一条对角线长是：MN2OM2 OMtan302 xtan30 x则阴影部分的面积是： x x x2；图（2）中，ADAD x x是一个角是 30的直角三角形则阴影部分的面积 ADsin30ADcos30 x x x2两个三角形重迭区域的面积比为： x2： x24：3故选：C第 10 页（
13、共 23 页）【点评】本题主要考查了三角形的重心的性质，解直角三角形，以及菱形、直角三角形面积的计算，正确计算两个图形的面积是解决本题的关键4如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45 度后得到正方形 ABCD，边 BC 与 DC 交于点 O，则四边形 ABOD 的周长是（ ）A2 B3 C D1+【分析】当 AB 绕点 A 逆时针旋转 45 度后，刚回落在正方形对角线 AC 上，可求三角形与边长的差 BC，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求 BO，OD ，从而可求四边形 ABOD 的周长【解答】解：连接 BC，旋转角BAB45，BAC 45，B在对角线 AC 上，
14、ABAB1，用勾股定理得 AC ，BC 1，在等腰 RtOBC 中，OBBC 1，在直角三角形 OBC 中，由勾股定理得 OC （ 1）2 ，OD1OC 1四边形 ABOD 的周长是：2AD+OB +OD2+ 1+ 12 故选：A第 11 页（共 23 页）【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形边长的求法连接 BC构造等腰 Rt OBC 是解题的关键5ABC 在如图所示的平面直角坐标系中，将ABC 向右平移 3 个单位长度后得A1B1C1，再将A 1B1C1 绕点 O 旋转 180后得到A 2B2C2则下列说法正确的是（ ）AA 1 的坐标为（3，1） B 3CB 2C2 DA
15、C 2O45【分析】根据题意，画出图形，对选项进行一一分析，排除错误答案【解答】解：如图，A、A 1 的坐标为（1，3） ，故错误B、S 四边形 ABB1A1326，故错误；C、B 2C ，故错误；D、变化后，C 2 的坐标为（2，2） ，而 A（2，3） ，由图可知，AC 2O45，故正确故选：D第 12 页（共 23 页）【点评】本题考查平移、旋转的性质（1）平移的基本性质是：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等（2）旋转的性质是：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不
16、改变，两组对应点连线的垂直平分线的交点是旋转中心6如图是对称中心为点 O 的正八边形如果用一个含 45角的直角三角板的角，借助点O（使角的顶点落在点 O 处）把这个正八边形的面积 n 等分那么 n 的所有可能的值有（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【分析】首先应该明确过点 O 等分八边形，必须等分 360 度的周角，其次明确用一个含有 45 度的直角三角板等分周角，有三种等分方法，即 2 等份、4 等份、8 等份【解答】解：用一个含有 45 度的直角三角板等分周角，有三种等分方法，即 2 等份、4等份、8 等份，过正八边形的一个顶点和中心先将正八边形 8 等分，再做出正八边形的每一边
17、的中垂线即可 16 等分故 n 有 4 种可能故选：C【点评】本题是考查图形的对称、旋转、分割以及分类的数学思想解答此题，首先应该明确过点 O 等分八边形，必须等分 360 度的周角；其次明确用一个含有 45 度的直角三角板等分周角，难点是过正八边形的一个顶点和中心先将正八边形 8 等分，再做出正第 13 页（共 23 页）八边形的每一边的中垂线即可 16 等分7如图，把ABC 绕 B 点逆时针方旋转 26得到ABC，若 AC 正好经过 A 点，则BAC（ ）A52 B64 C77 D82【分析】根据旋转的性质，易得ABACBCCAC 26且 ABAB，进而可得AAB 77，代入数据计算可得B
18、AC 的大小【解答】解：根据题意：ABC 绕 B 点逆时针方旋转 26得到ABC，且AC正好经过 A 点，ABA CBC CAC 26，ABAB，AAB77 ，BAC180267777故选：C【点评】本题考查旋转两相等的性质，即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等8如图，88 方格纸上的两条对称轴 EF，MN 相交于中心点 O，对ABC 分别作下列变换：先以点 A 为中心顺时针方向旋转 90，再向右平移 4 格、向上平移 4 格；先以点 O 为中心作中心对称图形，再以点 A 的对应点为中心逆时针方向旋转 90；先以直线 MN 为轴作轴对称图形，再向上平移
19、4 格，再以点 A 的对应点为中心顺时针方向旋转 90 度其中，能将ABC 变换成PQR 的是（ ）第 14 页（共 23 页）A B C D【分析】根据图形的平移、旋转和轴对称变化的性质与运用得出【解答】解：根据题意分析可得： 都可以使ABC 变换成PQR 故选：D【点评】本题考查图形的变化，要求学生熟练掌握平移、旋转和轴对称变化的性质与运用二填空题（共 12 小题）9如图，在等边ABC 中，D 是边 AC 上一点，连接 BD将BCD 绕点 B 逆时针旋转60得到BAE，连接 ED若 BC10，BD9，则AED 的周长是 19 【分析】先由ABC 是等边三角形得出 ACABBC 10 ，根据
20、图形旋转的性质得出AECD，BD BE，故可得出 AE+ADAD +CDAC 10 ，由EBD60，BEBD即可判断出BDE 是等边三角形，故 DEBD 9，故AED 的周长AE+AD+ DEAC+BD19【解答】解：ABC 是等边三角形，ACABBC10，BAE 由BCD 逆时针旋旋转 60得出，AECD，BDBE ，EBD60，AE+ADAD+CDAC10，EBD60，BE BD，BDE 是等边三角形，DEBD 9，AED 的周长AE +AD+DEAC +BD19故答案为：19【点评】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键10如图，Rt
21、 ABC 中，ACB90，ABC 30，AC1，将ABC 绕点 C 逆时针第 15 页（共 23 页）旋转至ABC，使得点 A恰好落在 AB 上，连接 BB，则 BB的长度为 【分析】先根据直角三角形的性质求出 BC、AB 的长，再根据图形旋转的性质得出ACAC，BCBC，再由 ABAC 即可得出ACB30，故可得出BCB60，进而判断出BCB 是等边三角形，故可得出结论【解答】解：RtABC 中，ACB90，ABC 30，AC1，ACAC1，AB2，BC ，A60，AAC 是等边三角形，AA AB1，ACAB，ACBABC30，AB C 是ABC 旋转而成，ACB90，BCBC ，BCB90
22、3060，BCB是等边三角形，BBBC 故答案为： 【点评】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定定理，熟知旋转前后的图形全等是解答此题的关键11两块完全一样的含 30角三角板重叠在一起，若绕长直角边中点 M 转动，使上面一第 16 页（共 23 页）块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图所示，A30，AC10，则此时两直角顶点 C，C 间的距离是 5 【分析】连接 CC，因为点 M 为 AC 的中点，也是 A C的中点，由旋转的性质可知，MCMCMA，可证AC C 为直角三角形，而 AA30，从而可证MCC为等边三角形，即可求 CCMC【解答】解：连接 CC，M 是 AC 的中点，AC
23、10，ABC ，ABC 是两块完全一样的含 30角三角板重叠在一起的，AMCM AC ，即 CMAMCM，ACC 为直角三角形，CMAM ，AACM30，AA30，ACC60，等腰三角形MCC是等边三角形，CCCMAMCM AC5CC 长为 5【点评】本题考查了旋转的性质，特殊三角形的性质与判定12如图，A90，AOB30，AB 2，AOB可以看作是由AOB 绕点 O第 17 页（共 23 页）逆时针旋转 60得到的，则点 A与点 B 的距离为 2 【分析】根据图形旋转的性质可得出，再由全等三角形的性质可得出AOB30，AB2，再根据全等三角形的判定定理可得出AOBAOB ，由全等三角形的性质
24、即可得出结论【解答】解：连接 AB，AOB 可以看作是由 AOB 绕点 O 逆时针旋转 60得到的，AOBAOB，OAOA ，AOA 60 ，AOB30，AB 2，AOB 30 ，在 Rt AOB 与 RtAOB 中，OAOA，OBOB，AOBAOB，AB2故答案为：2【点评】本题考查的是图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键13将一副三角板按如图 1 位置摆放，使得两块三角板的直角边 AC 和 MD 重合已知AB AC8cm，将MED 绕点 A（M）逆时针旋转 60后（图 2） ，两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是 20.3 cm 2（结果精确到 0.1
25、， 1.73） 第 18 页（共 23 页）【分析】设 BC，AD 交于点 G，过交点 G 作 GFAC 与 AC 交于点 F，根据 AC8，就可求出 GF 的长，从而求解【解答】解：设 BC，AD 交于点 G，过交点 G 作 GFAC 与 AC 交于点 F，设 FCx，则 GFFCx ，旋转角为 60，即可得FAG60，AFGF cotFAG x所以 x+ x 8，则 x12 4 所以 SAGC 8（124 ）20.3cm 2故答案为：20.3【点评】本题考查旋转的性质旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等要注意旋转的三要素：定点旋转中心；
26、旋转方向； 旋转角度14如图，在 44 的正方形网格中，MNP 绕某点旋转一定的角度，得到M 1N1P1则其旋转中心一定是点 B 第 19 页（共 23 页）【分析】根据“对应点到旋转中心的距离相等” ，知旋转中心，即为对应点所连线段的垂直平分线的交点【解答】解：根据旋转的性质，知：旋转中心，一定在对应点所连线段的垂直平分线上则其旋转中心是 NN1 和 PP1 的垂直平分线的交点，即点 B【点评】本题考查旋转的性质，要结合三角形的性质和网格特征解答15如图所示，在正方形网格中，图经过 平移 变换可以得到图；图 是由图经过旋转变换得到的，其旋转中心是点 A （填“A”或“B”或“C” ） 【分析
27、】平移前后，对应边平行，故由到 属于平移；旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，即为旋转中心【解答】解：根据题意：观察可得：图与图 对应点位置不变，通过平移可以得到；根据旋转中心的确定方法，两组对应点连线的垂直平分线的交点，可确定图经过旋转变换得到图的旋转中心是 A故答案为：平移，A【点评】本题考查平移、旋转的性质；平移的基本性质平移不改变图形的形状和大小； 经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心16如图，点 G 是ABC 的重心，CG 的延长线交 A
28、B 于D，GA 5cm ，GC4cm，GB3cm，将ADG 绕点 D 旋转 180得到BDE，则第 20 页（共 23 页）DE 2 cm， ABC 的面积 18 cm 2【分析】三角形的重心是三条中线的交点，根据中线的性质，S ACD S BCD ；再利用勾股定理逆定理证明 BGCE，从而得出BCD 的高，可求BCD 的面积【解答】解：点 G 是ABC 的重心，DEGD GC2，CD 3GD6，GB3，EGGC4，BEGA5，BG 2+GE2BE 2，即 BGCE ，CD 为ABC 的中线，S ACD S BCD ，S ABC S ACD +SBCD 2S BCD 2 BGCD18cm 2填
29、：2，18【点评】本题考查旋转的性质旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等要注意旋转的三要素：定点旋转中心； 旋转方向； 旋转角度17如图，ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为ABC 内一点，将ABP 绕点 A逆时针旋转后与ACP重合，如果 AP3，那么线段 PP的长等于 【分析】根据旋转的性质，知：旋转角度是 90，根据旋转的性质得出APAP3，即PAP 是等腰直角三角形，腰长 AP3，则可用勾股定理求出斜边PP的长【解答】解：ABP 绕点 A 逆时针旋转后与ACP重合，ABP ACP，第 21 页（共 23 页）即线段 AB 旋转
30、后到 AC，旋转了 90，PAP BAC90， APAP3，PP3 【点评】本题考查旋转的性质和直角三角形的性质旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等18如图，在等腰 RtABC 中，A90，AC 9，点 O 在 AC 上，且 AO2，点 P 是AB 上一动点，连接 OP 将线段 OP 绕 O 逆时针旋转 90得到线段 OD，要使点 D 恰好落在 BC 上，则 AP 的长度等于 5 【分析】过点 D 作 DEAC 于 E，则DEO OAP ，根据全等三角形及等腰直角三角形的性质即可求解【解答】解：过点 D 作 DEAC 于 E，则DOE +AO
31、P 90， DOE+ODE90，ODE AOP，又ODOP ， DEO OAP90，DEO OAP，DEOA CE 2，APOE 945故答案为：5【点评】本题考查旋转的性质和等腰三角形，直角三角形的性质以及全等三角形性质的第 22 页（共 23 页）运用旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等19如图，ACB90，把 RtABC 绕点 A 逆时针旋转 90得到 RtAB 1C1，若BC1，AB 2 ，则CAB 1 的度数是 60 度【分析】Rt ABC 中，BC1，AB 2，可知BAC 30；由于旋转角为 90，可知BAB 190，两角作差即可
32、【解答】解：BC1，AB2，ACB 90，BAC30，把 Rt ABC 绕点 A 逆时针旋转 90得到 RtAB 1C1，则CAB 1903060故答案为：60【点评】根据“直角三角形中，如果直角边是斜边一半，那么这个直角边所对的角是30”和“旋转前后图形大小和形状不变”解答20如图：三个圆是同心圆，圆中阴影部分的面积是 【分析】观察图可发现，阴影部分的面积正好构成圆的面积的 ，圆的面积可求得，从而不难求得阴影部分的面积【解答】解：由题意得，阴影部分的面积正好构成圆的面积的 ，圆的面积是 ，因而阴影部分的面积是 【点评】正确理解阴影部分的面积正好构成圆的面积的 ，是解决本题的关键第 23 页（
33、共 23 页）三解答题（共 1 小题）21如图，已知 ADAE ，ABAC（1）求证：BC；（2）若A50，问ADC 经过怎样的变换能与AEB 重合？【分析】 （1）要证明BC，可以证明它们所在的三角形全等，即证明ABEACD；已知两边和它们的夹角对应相等，由 SAS 即可判定两三角形全等（2）因为ABEACD，公共点 A，对应线段 CD 与 BE 相交，所以要通过旋转，翻折两次完成【解答】 （1）证明：在AEB 与ADC 中，ABAC，AA，AEAD；AEB ADC，BC（2）解：先将ADC 绕点 A 逆时针旋转 50，再将ADC 沿直线 AE 对折，即可得ADC 与AEB 重合或先将ADC 绕点 A 顺时针旋转 50，再将ADC 沿直线 AB 对折，即可得ADC 与AEB 重合【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法证明全等寻找条件时，要善于观察题目中的公共角，公共边
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