1、第 1 页（共 22 页）2019 年人教版九年级上24.1.2 垂直于弦的直径同步练习卷一选择题（共 8 小题）1如图，O 的半径 OD弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交O 于点 E，连结 EC若AB 8，OC 3，则 EC 的长为（ ）A B8 C D2一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径 OB10dm ，水面宽 AB 是16dm，则截面水深 CD 是（ ）A3 dm B4 dm C5 dm D6 dm3已知圆 O 的半径为 5，P 为圆 O 内一点，且 OP3，则过点 P 的所有弦中，弦长是整数的共有（ ）A4 条 B3 条 C2 条 D1 条4下列说法正确的是（ ）
2、A平分弦的直径垂直于弦B圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴C在同圆或等圆中，相等的弧所对弦相等D长度相等弧是等弧5如图，O 的弦 AB8，半径 ON 交 AB 于点 M，M 是 AB 的中点，且 OM3，则 MN的长为（ ）第 2 页（共 22 页）A2 B3 C4 D56 九章算术是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深 1 寸，锯道长 1 尺如图，已知弦 AB1 尺，弓形高 CD1 寸， （注：1尺10
3、 寸）问这块圆柱形木材的直径是（ ）A13 寸 B6.5 寸 C26 寸 D20 寸7如图所示，一种花边是由如图弧 ACB 组成的，弧 ACB 所在圆的半径为 5，弦 AB8，则弧形的高 CD 为（ ）A2 B C3 D8如图，A 城气象台测得台风中心在城正西方向 300 千米的 B 处，并以每小时 10 千米的速度沿北偏东 60的 BF 方向移动，距台风中心 200 千米的范围是受台风影响的区域若 A 城受到这次台风的影响，则 A 城遭受这次台风影响的时间为（ ）第 3 页（共 22 页）A 小时 B10 小时 C5 小时 D20 小时二填空题（共 8 小题）9如图，在O 中，直径 ABGH
4、 于点 M，N 为直径上一点，且 OMON，过 N 作弦CD，EF 则弦 AB，CD ，EF，GH 中最短的是 10如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点 A 作 AB 与残片的内圆相切于点 D，作 CDAB 交外圆于点 C，测得CD15cm ，AB60cm，则这个摆件的外圆半径是 cm11如图，一下水管道横截面为圆形，直径为 100cm，下雨前水面宽为 60cm，一场大雨过后，水面宽为 80cm，则水位上升 cm12如图，BD 是O 的弦，点 C 在 BD 上，以 BC 为边作等边三角形 ABC，点 A 在圆内，且 AC 恰好经过点 O，其中 B
5、C12，OA8，则 BD 的长为 13如图，AB 为O 直径，AB4，C 为 OA 中点，则过 C 点的最短弦长为 第 4 页（共 22 页）14如图，小强为了帮助爸爸确定残破轮子的直径，先在轮子上画出一个弓形（如图中阴影部分） ，然后量得弦 AB 的长为 4cm，这个弓形的高为 1cm，则这个轮子的直径长为 cm15如图，MN 是O 的弦，正方形 OABC 的顶点 B，C 在 MN 上，且点 B 是 CM 的中点，若正方形 OABC 的边长为 3，则 MN 的长为 16把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF CD4cm ，则球的半径为 cm三解答题（共 4 小题）
6、17如图，Rt ABC 中，ACB90，O 为ABC 角平分线的交点，以 OC 为半径的O 交ABC 于 D、E、F、G（1）求证：CDEF；（2）若O 的半径为 4 ，AE2，求 AB 的长第 5 页（共 22 页）18如图，在圆 O 中，弦 AB8，点 C 在圆 O 上（C 与 A，B 不重合） ，连接 CA、CB，过点 O 分别作 ODAC，OE BC，垂足分别是点 D、E（1）求线段 DE 的长；（2）点 O 到 AB 的距离为 3，求圆 O 的半径19如图是一座跨河拱桥，桥拱是圆弧形，跨度 AB 为 16 米，拱高 CD 为 4 米（1）求桥拱的半径 R（2）若大雨过后，桥下水面上升
7、到 EF 的位置，且 EF 的宽度为 12 米，求拱顶 C 到水面 EF 的高度20某机械传动装置在静止时如图，连杆 PB 与点 B 运动所形成的O 交于点 A，测得PA 4cm，AB6cm ， O 半径为 5cm，（1）求圆心 O 到 PB 的距离；（2）求点 P 到圆心 O 的距离第 6 页（共 22 页）参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题）1如图，O 的半径 OD弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交O 于点 E，连结 EC若AB 8，OC 3，则 EC 的长为（ ）A B8 C D【分析】根据垂径定理求出 ACBC ，根据三角形的中位线求出 BE，再根据勾股定理求出 EC 即可
8、【解答】解：连接 BE，AE 为O 直径，ABE 90，ODAB，OD 过 O，ACBC AB 4，AOOE ，BE2OC，OC3，BE6，在 Rt CBE 中，EC 2 ，故选：D【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识点，能根据垂径定理第 7 页（共 22 页）求出 ACBC 是解此题的关键2一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径 OB10dm ，水面宽 AB 是16dm，则截面水深 CD 是（ ）A3 dm B4 dm C5 dm D6 dm【分析】由题意知 ODAB，交 AB 于点 C，由垂径定理可得出 BC 的长，在 RtOBC中，根据勾股定理求出 OC
9、 的长，由 CDODOC 即可得出结论【解答】解：由题意知 ODAB，交 AB 于点 E，AB16，BC AB 168，在 Rt OBC 中，OB10，BC8，OC 6，CDODOC1064故选：B【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意在直角三角形运用勾股定理列出方程是解答此题的关键3已知圆 O 的半径为 5，P 为圆 O 内一点，且 OP3，则过点 P 的所有弦中，弦长是整数的共有（ ）A4 条 B3 条 C2 条 D1 条【分析】先求出过 P 点的弦长的取值范围，然后判断出弦长为整数的弦有几条第 8 页（共 22 页）【解答】解：如图，过 P 作弦 ABOP，交O 于 A、B，连接
10、OA，RtOAP 中，OP3，OA 5，根据勾股定理，得 AP 4，即由垂径定理得：AB2AP 8，故过点 P 的弦的长度都在 810 之间，因此弦长为 8、9、10，当弦长为 8、10 时，过 P 点的弦分别为弦 AB 和过 P 点的直径，分别有一条；当弦长为 9 时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；故弦长为整数的弦共有 4 条，故选：A【点评】此题考查的是垂径定理及勾股定理的应用需注意的是当弦长为 9 时，根据圆的对称性可得出两个符合条件的弦，不要漏解4下列说法正确的是（ ）A平分弦的直径垂直于弦B圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴C在同圆或等圆中，相等的弧所对弦相等D长
11、度相等弧是等弧【分析】根据垂径定理，等弧的定义，圆的性质一一判断即可；【解答】解：A、错误需要添加此弦非直径的条件；B、错误应该是圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；C、正确D、错误长度相等弧是不一定是等弧，等弧的长度相等；故选：C【点评】本题考查垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型5如图，O 的弦 AB8，半径 ON 交 AB 于点 M，M 是 AB 的中点，且 OM3，则 MN第 9 页（共 22 页）的长为（ ）A2 B3 C4 D5【分析】连接 OA，由 M 为圆 O 中弦 AB 的中点，利用垂径定理的逆定理得到 O
12、M 垂直于 AB，由 AB 的长求出 AM 的长，在直角三角形 OAM 中，由 AM 与 OM 的长，利用勾股定理求出 OA 的长，即为圆 O 的半径【解答】解：连接 OA，在圆 O 中，M 为 AB 的中点， AB8，OM AB，AM AB4，在 Rt OAM 中，OM 3，AM4，根据勾股定理得：OA 5MN532故选：A【点评】此题考查了垂径定理的逆定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键6 九章算术是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁
13、中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深 1 寸，锯道长 1 尺如图，已知弦 AB1 尺，弓形高 CD1 寸， （注：1尺10 寸）问这块圆柱形木材的直径是（ ）第 10 页（共 22 页）A13 寸 B6.5 寸 C26 寸 D20 寸【分析】设O 的半径为 r在 RtADO 中，AD 5，ODr1，OAr，则有r25 2+（r 1） 2，解方程即可；【解答】解：设O 的半径为 r在 Rt ADO 中，AD5，ODr1，OA r，则有 r25 2+（ r1） 2，解得 r13， O 的直径为 26 寸，故选：C【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，
14、属于中考常考题型7如图所示，一种花边是由如图弧 ACB 组成的，弧 ACB 所在圆的半径为 5，弦 AB8，则弧形的高 CD 为（ ）A2 B C3 D【分析】根据垂径定理和勾股定理解答【解答】解：如图所示，ABCD，根据垂径定理，BD AB 84由于圆的半径为 5，根据勾股定理，OD 3，CD 532故选：A第 11 页（共 22 页）【点评】将圆补充完整，有助于发现各量之间的关系，便于解答8如图，A 城气象台测得台风中心在城正西方向 300 千米的 B 处，并以每小时 10 千米的速度沿北偏东 60的 BF 方向移动，距台风中心 200 千米的范围是受台风影响的区域若 A 城受到这次台风的
15、影响，则 A 城遭受这次台风影响的时间为（ ）A 小时 B10 小时 C5 小时 D20 小时【分析】求出 A 城所受影响的距离 DE，又有台风移动的速度，即可求解出其影响的时间【解答】解：由题意得出：ABF30，AB300km，AC150km，当 AD200km，CD 50 （km） ，DE250 100 （km） ，100 10 10（小时） 故选：B【点评】此题考查了垂径定理的应用以及解直角三角形的简单运用，得出 CD 的长是解题关键二填空题（共 8 小题）9如图，在O 中，直径 ABGH 于点 M，N 为直径上一点，且 OMON，过 N 作弦CD，EF 则弦 AB，CD ，EF，GH
16、中最短的是 GH 【分析】根据垂径定理和勾股定理解得即可第 12 页（共 22 页）【解答】解：如图连接 OG，OE，过点 O 作 OHEF 于 H，显然，ONOHOM ON，OM OH，EH ，EF2EH 2 ，GM ，GH2GM 2 ，OGOE ，OMOH，GHEF，同理，GHCD，AB 为直径，CDAB ，弦 AB，CD，EF ，GH 中最短的是 GH，故答案为 GH【点评】本题考查了垂径定理，熟练运用垂径定理是解题的关键10如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点 A 作 AB 与残片的内圆相切于点 D，作 CDAB 交外圆于点 C，测得CD
17、15cm ，AB60cm，则这个摆件的外圆半径是 37.5 cm第 13 页（共 22 页）【分析】根据垂径定理求得 AD30cm ，然后根据勾股定理得出方程，解方程即可求得半径【解答】解：如图，设点 O 为外圆的圆心，连接 OA 和 OC，CD15cm， AB60cm ，CDAB ，OCAB ，AD AB30cm ，设半径为 rcm，则 OD（r15）cm ，根据题意得：r 2（r15） 2+302，解得：r37.5这个摆件的外圆半径长为 37.5cm；故答案为：37.5【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键11如图，一下水管道横截面为圆形，
18、直径为 100cm，下雨前水面宽为 60cm，一场大雨过后，水面宽为 80cm，则水位上升 10 或 70 cm【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：作半径 ODAB 于 C，连接 OB由垂径定理得：BC AB30cm ，在 Rt OBC 中， OC 40cm，当水位上升到圆心以下时 水面宽 80cm 时，第 14 页（共 22 页）则 OC 30cm，水面上升的高度为：403010cm；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+3070cm，综上可得，水面上升的高度为 10cm 或 70cm故答案为 10 或 70【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用
19、分情况讨论思想是解题的关键12如图，BD 是O 的弦，点 C 在 BD 上，以 BC 为边作等边三角形 ABC，点 A 在圆内，且 AC 恰好经过点 O，其中 BC12，OA8，则 BD 的长为 20 【分析】过 O 作 OEBC 于 E，由垂径定理求出 BD2BE，求出ACB60，ACBC12，求出 OC4，COE30，求出 CE2，求出 BE，代入 BD2BE 即可求出答案【解答】解：过 O 作 OEBC 于 E，由垂径定理得：BD2BEABC 是等边三角形，BC12，ACB60，ACBC 12，OA8，OC1284，COE30，CE OC2，BE12210，即 BD2BE20，故答案为
20、20第 15 页（共 22 页）【点评】本题考查了勾股定理，等边三角形性质，垂径定理的应用，题目比较典型，是一道具有一定代表性的题目，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力13如图，AB 为O 直径，AB4，C 为 OA 中点，则过 C 点的最短弦长为 2 【分析】先画出图形，根据勾股定理求出 EC，再根据垂径定理求出 EF2EC 即可【解答】解：过 C 作弦 EFAB，连接 OE，则弦 EF 是过 C 点的最短的弦，直径 AB4，C 为 OA 中点，OC1，OE2，在 Rt OCE 中，由勾股定理得：EC ，根据垂径定理得：EF2EC2 ，故答案为：2 【点评】本题考查了勾股定理和垂径
21、定理，能根据垂径定理求出 EF2EC 是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦14如图，小强为了帮助爸爸确定残破轮子的直径，先在轮子上画出一个弓形（如图中阴影部分） ，然后量得弦 AB 的长为 4cm，这个弓形的高为 1cm，则这个轮子的直径长为 5 cm第 16 页（共 22 页）【分析】由垂径定理，可得出 BD 的长；连接 OB，在 RtOBD 中，可用半径 OB 表示出 OD 的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长【解答】解：连接 OB；RtOBD 中，BD AB2cm，根据勾股定理得：OD2+BD2OB 2，即：（OB1） 2+22OB 2，解得：OB2
22、.5；所以轮子的直径为 5cm故答案为：5【点评】本题考查了垂径定理的应用，这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握15如图，MN 是O 的弦，正方形 OABC 的顶点 B，C 在 MN 上，且点 B 是 CM 的中点，若正方形 OABC 的边长为 3，则 MN 的长为 12 【分析】根据正方形性质得出 BC3，OCB90，根据垂径定理得出 CM2BC ，推出 MN4BC，代入求出即可【解答】解：四边形 OABC 是正方形，BC3，OCB90，第 17 页（共 22 页）OCMN，由垂径定理得：MN2CM，点 B 是 CM 的中点，CM2BC
23、，MN4BC4312，故答案为：12【点评】本题考查了垂径定理和正方形性质的应用，关键是推出 MN4BC16把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF CD4cm ，则球的半径为 2.5 cm【分析】取 EF 的中点 M，作 MNAD 于点 M，取 MN 上的球心 O，连接 OF，设OFx，则 OM4x ，MF2，然后在 RtMOF 中利用勾股定理求得 OF 的长即可【解答】解：EF 的中点 M，作 MNAD 于点 M，取 MN 上的球心 O，连接 OF，四边形 ABCD 是矩形，CD90，四边形 CDMN 是矩形，MNCD4，设 OFx，则 ONOF，OM MNON4
24、x，MF2，在直角三角形 OMF 中，OM 2+MF2OF 2即：（4x） 2+22x 2解得：x2.5故答案为：2.5第 18 页（共 22 页）【点评】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键三解答题（共 4 小题）17如图，Rt ABC 中，ACB90，O 为ABC 角平分线的交点，以 OC 为半径的O 交ABC 于 D、E、F、G（1）求证：CDEF；（2）若O 的半径为 4 ，AE2，求 AB 的长【分析】 （1）作 OMAB 于 M，ONAC 于 N，OHCG 于 G，连接 OE、OD ，根据角的平分线的性质得出 OE ODOC，进而根据 HL
25、证得 RTOME RT OND 得出MEND ，然后根据垂径定理即可证得结论；（2）根据角平分线的性质，得出 OMONOH，进一步证得四边形 ONCH 是正方形，证得 OMONOH CD EF CG，进而证得OH CD2，EFCDCG4，AC6，设 BMBHx，则 BCx +2，ABx+4，然后根据勾股定理列出方程，求得即可【解答】 （1）证明：作 OM AB 于 M，ONAC 于 N，OHCG 于 G，连接OE、OD ，点 O 为ABC 的角平分线交点，OM ON，OEOD OC，RTOMERTOND（HL） ，MEND ，EF2ME，CD2ND ，CDEF ；（2）解：由（1）可知 CDE
26、FCG，点 O 为ABC 的角平分线交点，第 19 页（共 22 页）OM ONOH，ACB90，四边形 ONCH 是正方形，OM ONOH CD EF CG，OC4 ，OH OC4，EFCDCG8，易证得 AMAN 6，BMBH，AC8，设 BMBH x，则 BCx+4，ABx+6，ACB90，AB 2AC 2+BC2，即（6+x） 28 2+（4+x） 2，解得 x11，BM11，ABAM+BM11+6 17【点评】本题考查了角平分线的性质和垂径定理，熟练掌握垂径定理和角平分线的性质是解题的关键18如图，在圆 O 中，弦 AB8，点 C 在圆 O 上（C 与 A，B 不重合） ，连接 CA
27、、CB，过点 O 分别作 ODAC，OE BC，垂足分别是点 D、E（1）求线段 DE 的长；（2）点 O 到 AB 的距离为 3，求圆 O 的半径第 20 页（共 22 页）【分析】 （1）由 ODAC 知 ADDC，同理得出 CEEB ，从而知 DE AB，据此可得答案；（2）作 OHAB 于点 H，连接 OA，根据题意得出 OH3，AH4，利用勾股定理可得答案【解答】解：（1）OD 经过圆心 O，ODAC，ADDC，同理：CEEB，DE 是ABC 的中位线，DE AB，AB8，DE4（2）过点 O 作 OHAB，垂足为点 H，OH3，连接 OA，OH 经过圆心 O，AHBH AB，AB8
28、，AH4，在 Rt AHO 中，AH 2+OH2 AO2，AO5，即圆 O 的半径为 5第 21 页（共 22 页）【点评】本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了中位线定理与勾股定理19如图是一座跨河拱桥，桥拱是圆弧形，跨度 AB 为 16 米，拱高 CD 为 4 米（1）求桥拱的半径 R（2）若大雨过后，桥下水面上升到 EF 的位置，且 EF 的宽度为 12 米，求拱顶 C 到水面 EF 的高度【分析】 （1）利用直角三角形，根据勾股定理和垂径定理解答（2）在 RtOEM 中，求出 OM 即可解决问题；【解答】解：（1）如图，
29、设圆心为 O连接 OA，OE在 Rt AOD 中，AO 2OD 2+AD2，R 264+（R4） 2，解得 R10；（2）在 RtOEM 中，OE 2EM 2+OM2，10036+OM 2，解得 OM8，CM862，即拱顶 C 到水面 EF 的高度是 2 米【点评】此题主要考查了垂径定理的应用题，解题的关键是利用垂径定理和勾股定理求线段的长第 22 页（共 22 页）20某机械传动装置在静止时如图，连杆 PB 与点 B 运动所形成的O 交于点 A，测得PA 4cm，AB6cm ， O 半径为 5cm，（1）求圆心 O 到 PB 的距离；（2）求点 P 到圆心 O 的距离【分析】 （1） （2）连接 OA，过点 O 作 ODAB 于点 D，则 ADBD AB3，根据PDPA+AD 可得出 PD 的长，再根据勾股定理求出 OD 及 OP 的长即可【解答】解：（1）连接 OA，过点 O 作 ODAB 于点 D，AB6cm，ADBD AB3，PDPA+AD4+37在 Rt AOD 中，OA5，OD 4（2）在 RtOPD 中，OP 【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键
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