1、第 1 页（共 20 页）26.1 二次函数及其图象同步练习卷一选择题（共 11 小题）1若 y（m+1）x 是关于 x 的二次函数，则 m 的值为（ ）A2 B1 C2 或 1 D2 或 12下列函数表达式中，一定是二次函数的是（ ）Ay3x1 Byax 2+bx+c Cy3x 22x+1 Dy x 2+3将抛物线 y3x 2+1 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得到的抛物线为（ ）Ay3（x2） 2+4 By3（x2） 22Cy 3（x +2） 2+4 Dy3（ x+2） 224二次函数 y3（x 1） 2+2，下列说法正确的是（ ）A图象的开口向下B图象的顶点坐标
2、是（1，2 ）C当 x1 时， y 随 x 的增大而减小D图象与 y 轴的交点坐标为（0，2）5在同一直角坐标系中，一次函数 yaxb 和二次函数 yax 2b 的大致图象是（ ）A BC D6已知（0，y 1） ， （ ，y 2） ， （3，y 3）是抛物线 yax 24ax+1（a 是常数，且 a0）上的点，则（ ）Ay 1y 2y 3 By 3y 2y 1 Cy 2y 3y 1 Dy 2y 1y 37已知抛物线 y（x +3） 24，将其图象沿 y 轴向下平移 1 个单位，再沿 x 轴向左平移 2第 2 页（共 20 页）个单位，则该抛物线的解析式为（ ）Ay（x+5） 2 5 By（
3、x+1） 2 3Cy（ x+1） 2 5 Dy（ x+5） 2 38已知函数 y（x a） （x b） （其中 ab）的图象如图所示，则函数 yax +b 的图象大致是（ ）A BC D9如图，a0，b0，c0，那么二次函数 yax 2+bx+c 的图象可能是（ ）A BC D10二次函数 yax 2+bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：第 3 页（共 20 页）a0 ； c0；b 24ac0；2a+b0 中，正确的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个11抛物线 yax 2+bx+c（对称轴为 x1）的图象如图所示，下列四个判断中正确的是（ ）Aa0，b0，c
4、0 Bb 24ac0C2a+b0 Da+b+c0二填空题（共 8 小题）12过（1，0） 、 （3，0） 、 （1，2）三点的抛物线的解析式是 13若一条抛物线的顶点是（2，3） ，并且经过（0，1） ，则它的解析式为 14二次函数图象的顶点坐标是（1，4） ，且过点（2，5） ，则这个二次函数的表达式是 15已知二次函数的顶点坐标为（1，4） ，且其图象经过点（2，5） ，求此二次函数的解析式 16将二次函数 yx 28x +3 化为 ya（xm） 2+k 的形式是 17用配方法把二次函数 y2x 23x +1 写成 ya（xh） 2+k 的形式为 18二次函数 y2（x +3） 24 的最
5、小值为 19二次函数 y2x 212x +13 的最小值是 三解答题（共 5 小题）20 （1）计算：cos 245+tan60sin60sin30（2）求二次函数 yx 26x +1 的最小值21下表给出了代数式x 2+bx+c 与 x 的一些对应值：第 4 页（共 20 页）x 2 1 0 1 2 3 x2+bx+c n 6 c 2 3 10 （1）根据表格中的数据，确定 b，c 和 n 的值；（2）设 yx 2+bx+c，直接写出当 1x3 时，y 的最小值22如图，抛物线 yax 2+bx+3 经过点 A（1，0） 、B （ 4，0） E 是线段 OB 上一动点（点 E 不与 O、B
6、重合） ，过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 D，交线段 BC 于点 G、过点 D 作 DFBC，垂足为点 F（1）求该抛物线的解析式；（2）试求线段 DF 的长 h 关于点 E 的横坐标 x 的函数解析式，并求出 h 的最大值23抛物线 yx 2+bx+c 经过点 A（4，0）和点 B（0，2） ，且抛物线的对称轴为直线 l，顶点为 C（1）求抛物线的解析式；（2）连接 AC、BC、BO，求四边形 AOBC 的面积24如图，抛物线 yx 2+bx+c 与一条直线相交于 A（1，0） ，C （2，3）两点（1）求抛物线和直线的解析式；（2）若动点 P 在抛物线上位于直线 AC 上方运动，求
7、APC 的面积最大值第 5 页（共 20 页）第 6 页（共 20 页）参考答案与试题解析一选择题（共 11 小题）1若 y（m+1）x 是关于 x 的二次函数，则 m 的值为（ ）A2 B1 C2 或 1 D2 或 1【分析】根据 yax 2+bx+c（ a 是不为 0 的常数）是二次函数，可得答案【解答】解：若 y（m +1） x 是关于 x 的二次函数，则 m2+m2 且 m+10 ，解得：m2 或 m1故选：C【点评】本题考查了二次函数，注意二次项的系数不能是 02下列函数表达式中，一定是二次函数的是（ ）Ay3x1 Byax 2+bx+c Cy3x 22x+1 Dy x 2+【分析】
8、根据二次函数的定义：一般地，形如 yax 2+bx+c（a、b、c 是常数，a0）的函数，叫做二次函数进行分析【解答】解：A、是一次函数，故此选项错误；B、是代数式，故此选项错误；C、是二次函数，故此选项正确；D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；故选：C【点评】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为 0 这个关键条件3将抛物线 y3x 2+1 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得到的抛物线为（ ）Ay3（x2） 2+4 By3（x2）
9、22Cy 3（x +2） 2+4 Dy3（ x+2） 22【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可【解答】解：将抛物线 y3x 2+1 向左平移 2 个单位长度所得直线解析式为：y3（x+2） 2+1；第 7 页（共 20 页）再向下平移 3 个单位为：y3（x+2） 2+13，即 y3（x+2） 22故选：D【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减4二次函数 y3（x 1） 2+2，下列说法正确的是（ ）A图象的开口向下B图象的顶点坐标是（1，2 ）C当 x1 时， y 随 x 的增大而减小D图象与 y 轴的交点坐标为（0，2）【分
10、析】由抛物线解析式可求得其开口方向、顶点坐标、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案【解答】解：A、因为 a30，所以开口向上，错误；B、顶点坐标是（1，2） ，正确；C、当 x1 时， y 随 x 增大而增大，错误；D、图象与 y 轴的交点坐标为（0，5） ，错误；故选：B【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在ya（xh） 2+k 中，对称轴为 xh，顶点坐标为（h，k） 5在同一直角坐标系中，一次函数 yaxb 和二次函数 yax 2b 的大致图象是（ ）A BC D【分析】可先根据一次函数的图象判断 a、b 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符
11、，判断正误第 8 页（共 20 页）【解答】解：A、由一次函数 yax b 的图象可得：a0，b0，此时二次函数yax 2b 的图象应该开口向下，顶点的纵坐标b 大于零，故 A 正确；B、由一次函数 yax b 的图象可得： a0，b0，此时二次函数 yax 2b 的图象应该开口向上，顶点的纵坐标b 大于零，故 B 错误；C、由一次函数 yaxb 的图象可得：a0，b0，此时二次函数 yax 2+b 的图象应该开口向上，故 C 错误；D、由一次函数 yaxb 的图象可得：a0，b0，此时抛物线 yax 2b 的顶点的纵坐标大于零，故 D 错误；故选：A【点评】本题考查了二次函数的图象，应该熟记
12、一次函数 ykx +b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等6已知（0，y 1） ， （ ，y 2） ， （3，y 3）是抛物线 yax 24ax+1（a 是常数，且 a0）上的点，则（ ）Ay 1y 2y 3 By 3y 2y 1 Cy 2y 3y 1 Dy 2y 1y 3【分析】求出抛物线的对称轴为直线 x2，然后根据二次函数的增减性解答【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x 2，a0，抛物线开口方向向下，（3，y 3）关于对称轴 x2 的对称点为（1，y 3） ，01 2y 1y 3y 2故选：C【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，
13、主要利用了二次函数的增减性，求出抛物线的对称轴解析式是解题的关键7已知抛物线 y（x +3） 24，将其图象沿 y 轴向下平移 1 个单位，再沿 x 轴向左平移 2个单位，则该抛物线的解析式为（ ）Ay（x+5） 2 5 By（ x+1） 2 3Cy（ x+1） 2 5 Dy（ x+5） 2 3【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可第 9 页（共 20 页）【解答】解：将抛物线 y（x+3） 24，将其图象沿 y 轴向下平移 1 个单位，再沿 x 轴向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式为 y（x+3+2） 241，即 y（x+5）25，故选：A【点评】本题考查的是二次函数
14、的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减8已知函数 y（x a） （x b） （其中 ab）的图象如图所示，则函数 yax +b 的图象大致是（ ）A BC D【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及抛物线中自变量 x1 及 x1 的情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解答】解：y（x a） （x b）x 2（a+b）x+ab，抛物线的开口向上知 a0，与 y 轴的交点为在 y 轴负半轴上，ab0，对称轴在 y 轴的左侧，二次项系数大于 0，（a+b）0a+b0，ab，第 10 页（共 20 页）a0，b0，y
15、ax+b 的图象是 C 选项，故选：C【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式9如图，a0，b0，c0，那么二次函数 yax 2+bx+c 的图象可能是（ ）A BC D【分析】根据 a、b、c 的符号，可判断抛物线的开口方向，对称轴的位置，与 y 轴交点的位置，作出选择【解答】解：由 a0 可知，抛物线开口向下，排除 D；由 a0，b0 可知，对称轴 x 0，在 y 轴右边，排除 B，由 c0 可知，抛物线与 y 轴交点（0，c ）在 x 轴下方，排除 C；故选：A【点评】本题考
16、查了二次函数的图象，关键是根据抛物线解析式的系数与抛物线图象位置的关系解答10二次函数 yax 2+bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：a0 ； c0；b 24ac0；2a+b0 中，正确的有（ ）第 11 页（共 20 页）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】由抛物线开口得 a0，则可对进行判断；抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，则 c0，则可对 进行判断；由抛物线与 x 轴交点坐标为（1，0）和（4，0）得到b24ac0，则可对 进行判断；由抛物线与 x 轴交点坐标为（1，0）和（4，0）得到对称轴为 x ，则 3a+b0，得到 2a+ba0，则可对进
17、行判断【解答】解：抛物线开口向下，则 a0，所以选项正确；抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，则 c0，所以 选项正确；抛物线与 x 轴有两个交点，则 b24ac0，所以选项正确；抛物线的对称轴为直线 x ，则 2b6a，即 2a+ba0，所以选项错误；故选：C【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数 yax 2+bx+c（a0） ，二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即
18、ab0） ，对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点：抛物线与 y 轴交于（0，c） ；抛物线与 x 轴交点个数：b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；b 24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点11抛物线 yax 2+bx+c（对称轴为 x1）的图象如图所示，下列四个判断中正确的是（ ）第 12 页（共 20 页）Aa0，b0，c0 Bb 24ac0C2a+b0 Da+b+c0【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案【解答】解：（A）由图象可知：a0，c0，对称轴可知：x 0，b0，故 A 错误；（B）由抛
19、物线与 x 轴有两个交点可知：b 24ac 0，故 B 错误；（C）由题意可知： 1 ，b+2a0，故 C 正确；（D）当 x1 时，y0，a+b+c0，故 D 错误；故选：C【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型二填空题（共 8 小题）12过（1，0） 、 （3，0） 、 （1，2）三点的抛物线的解析式是 y （x1） 2+2 【分析】本题可以根据三点坐标来设二次函数的一般式 yax 2+bx+c，然后列出三元一次方程组解出 a、b、c，但是本题所给条件很特殊，因为（1，0） 、 （3，0）都在 x 轴上，很容易看出对称轴是直线 x1，再看到第三
20、个点坐标正好是（1，2） ，由此可知，这一点肯定是抛物线的顶点，所以也可以设顶点式来解决这一题更方便【解答】解：由于抛物线过（1，0） 、 （3，0）可知抛物线对称轴是直线 x1，而又因抛物线过（1，2） ，所以（1，2）是抛物线顶点于是设抛物线解析式为 ya（x1） 2+2，将（3，0）代入得0a（31） 2+2第 13 页（共 20 页）得 a故答案为：y （x 1） 2+2【点评】本题考查的是根据条件用待定系数法求二次函数的解析式，掌握解析式的三种基本形式是重点，关键要学会分析条件选取合理设法，才能使问题简单化13若一条抛物线的顶点是（2，3） ，并且经过（0，1） ，则它的解析式为 y
21、（x +2） 2+3 【分析】设抛物线顶点式解析式为 ya（x+2） 2+3，再把经过（0，1） ，代入解析式得到关于 a 的方程，进而解答即可【解答】解：一条抛物线的顶点是（2，3） ，设抛物线顶点式解析式为 ya（x+2） 2+3，把（0，1）代入解析式，可得：14a+3，解得：a1，所以解析式为：y（x +2） 2+3，故答案为：y（x +2） 2+3【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据对称轴设顶点式解析式求解更简便14二次函数图象的顶点坐标是（1，4） ，且过点（2，5） ，则这个二次函数的表达式是 y （x+1） 2+4 【分析】设顶点式 ya（x +1） 2+4，然后
22、把（2，5）代入求出 a 即可【解答】解：设抛物线解析式为 ya（x+1） 2+4，把（2，5）代入得 a（2+1） 2+45，解得 a1，所以抛物线解析式为 y（x+1） 2+4故答案为 y（x +1） 2+4【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式：熟练掌握二次函数的解析式有三种常见形式15已知二次函数的顶点坐标为（1，4） ，且其图象经过点（2，5） ，求此二次函数的解析式 y （x1） 2+4 【分析】设顶点式 ya（x 1） 2+4，然后把（2，5）代入求出 a 的值即可【解答】解：设抛物线解析式为 ya（x1） 2+4，第 14 页（共 20 页）把（2，5）代入得 a（21）
23、 2+45，解得 a1，所以抛物线解析式为 y（x1） 2+4故答案为：y（x 1） 2+4【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解16将二次函数 yx 28x +3 化为 ya（xm） 2+k 的形式是 y（x4） 213 【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平
24、方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式【解答】解：yx 28x +3（ x4） 216+3（x4） 213故答案是：y（x 4） 213【点评】本题考查了二次函数的三种形式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：yax 2+bx+c（ a0，a、b、c 为常数） ；（2）顶点式：ya（x h） 2+k；（3）交点式（与 x 轴）：y a（x x 1） （xx 2） 17用配方法把二次函数 y2x 23x +1 写成 ya（xh） 2+k 的形式为 y2（x ）2 【分析】直接利用配方法将原式变形求出答案【解答】解：y2x 23x +12（x 2 x）+12（x ） 2 +12（x ） 2 故
25、答案为：y2（x ） 2 【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确掌握配方法是解题关键18二次函数 y2（x +3） 24 的最小值为 4 【分析】根据顶点式，可直接得到第 15 页（共 20 页）【解答】解：二次函数 y2（x+3） 24 中当 x3 时，取得最小值 4，故答案为4【点评】本题考查二次函数的基本性质，解题的关键是正确掌握二次函数的顶点式，若题目给出是一般式则需进行配方化为顶点式或者直接运用顶点公式19二次函数 y2x 212x +13 的最小值是 5 【分析】把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解【解答】解：y2x 212x +132（x3） 25，当 x3 时
26、，函数值 y 有最小值，最小值为5，故答案为5【点评】本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标三解答题（共 5 小题）20 （1）计算：cos 245+tan60sin60sin30（2）求二次函数 yx 26x +1 的最小值【分析】 （1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）二次函数解析式配方为顶点形式，确定出最小值即可【解答】解：（1）原式 + ；（2）yx 26x +1yx 26x+98（x3） 28，当 x3 时，y 的最小值为8【点评】此题考查了二次函数的最值，以及特殊角的三角函数值，
27、熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键21下表给出了代数式x 2+bx+c 与 x 的一些对应值：x 2 1 0 1 2 3 x2+bx+c n 6 c 2 3 10 （1）根据表格中的数据，确定 b，c 和 n 的值；（2）设 yx 2+bx+c，直接写出当 1x3 时，y 的最小值【分析】 （1）令 yx 2+bx+c，把（1，6）和（1，2）代入得出 b，c，求解得出b，c 的值，再把 x2 代入解析式得出 n 的值即可；（2）根据表格直接得出 y 的最小值第 16 页（共 20 页）【解答】解：（1）把（1，6）和（1，2）代入得 ，解得 ，把 b2，c5 代入得x 22x +5，把 x
28、2 代入得 n5；（2）根据表中的数据得，当1x3 时，y 的最小值10【点评】本题考查了二次函数的最值，掌握用待定系数法求函数的解析式以及函数的最值是解题的关键22如图，抛物线 yax 2+bx+3 经过点 A（1，0） 、B （ 4，0） E 是线段 OB 上一动点（点 E 不与 O、B 重合） ，过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 D，交线段 BC 于点 G、过点 D 作 DFBC，垂足为点 F（1）求该抛物线的解析式；（2）试求线段 DF 的长 h 关于点 E 的横坐标 x 的函数解析式，并求出 h 的最大值【分析】 （1）将点 A（1，0） 、B（4，0）代入 yax 2+bx+
29、3，列方程组求出 a、b 的值即可；（2） ）由 DEAB ，OC AB，得到 OCDE ，DGFOCB，于是sinOCBsinDGF，所以 ，DF DG，再由 B（4，0） 、C （0，3） ，求出直线 BC 解析式： ，设 G（x， ） ，则 D（x， ） ，因此 DG ，所以 h （ ） ，因此当 x2 时，h有最大值，最大值为 【解答】解：（1）抛物线 yax 2+bx+3 经过点 A（1，0） 、B（4，0） ， ，第 17 页（共 20 页）解得 ，该抛物线的解析式 ；（2）DEAB ，OC AB ，OCDE，DGF OCB ，DFBC，sinOCBsinDGF， ，DF ，OC3
30、，OB4，BC5，DF DG，B（4，0） 、C（0，3） ，直线 BC： ，设 G（x， ） ，则 D（x ， ） ，DG （ ）h （ ）当 x2 时，h 有最大值，最大值为 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式以及函数最值，熟练掌握二次函数性质是解题的关键23抛物线 yx 2+bx+c 经过点 A（4，0）和点 B（0，2） ，且抛物线的对称轴为直线 l，顶点为 C（1）求抛物线的解析式；（2）连接 AC、BC、BO，求四边形 AOBC 的面积第 18 页（共 20 页）【分析】 （1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用割补法求四边形 OABC 的面积【解
31、答】解析 （1）抛物线 yx 2+bx+c 经过 A（4，0） 、B（0，2） ， 解得抛物线的解析式为 yx 2+ x+2（2）C 点是抛物线的顶点，C 点为 ，S 四边形 AOBCS BOC +SAOC 4 故（1）的解析式为：yx 2+ x+2， （2）四边形 AOBC 的面积为【点评】本题为二次函数纯数学问题，考查二次函数待定系数法、用割补法求三角形面积解答时注意数形结合24如图，抛物线 yx 2+bx+c 与一条直线相交于 A（1，0） ，C （2，3）两点（1）求抛物线和直线的解析式；（2）若动点 P 在抛物线上位于直线 AC 上方运动，求APC 的面积最大值第 19 页（共 20
32、 页）【分析】 （1）将点 A 和点 C 的坐标代入抛物线的解析式可求得 b，c 的值，从而得到抛物线的解析式，设直线 AC 的解析式为 ymx +n将点 A 和点 C 的坐标代入可求得m、n 的值，从而得到直线 AC 的解析式；（2）过点 P 作 PQx 轴于点 H，交 AC 于点 Q设点 P 的坐标为（x，x 2+2x+3） ，表示出 PQ，进而得出 SAPC （x ） 2+ ，再利用二次函数的性质即可得出结论【解答】解：（1）由抛物线 yx 2+bx+c 过点 A（1，0） ，C（2，3） ，得： ，解得： ，抛物线的函数解析式为 yx 2+2x+3设直线 AC 的函数解析式为 ymx +n把 A（1，0） ，C（2，3）代入，得 ，解得 ，直线 AC 的函数解析式为 yx+1；（2）如图，过点 P 作 PQ x 轴于点 H，交 AC 于点 Q，设 P（x ，x 2+2x+3） ，则 Q（x，x+1） PQx 2+2x+3（x+1）x 2+x+2，S APC S APQ +SCPQ PQ3 （x 2+x+2） （x ） 2+ ， 0，当 x 时，APC 的面积最大，最大值为 第 20 页（共 20 页）【点评】此题考查了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，二次函数的性质，正确求出函数的解析式是解题的关键
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