1、第 1 页（共 18 页）26.1 二次函数及其图象同步练习卷一选择题（共 10 小题）1若 y（m+1）x 是关于 x 的二次函数，则 m 的值为（ ）A2 B1 C2 或 1 D2 或 12函数 yax 2 与 yax+b 的图象可能是（ ）A BC D3将抛物线 yx 2 沿着 x 轴向左平移 1 个单位，再沿 y 轴向下平移 1 个单位，则得到的抛物线解析式为（ ）Ay（x1） 21 By（x1） 2+1 Cy（x+1） 2+1 Dy （x+1） 214把二次函数 yx 22x +4 化为 ya（xh） 2+k 的形式，下列变形正确的是（ ）Ay（x+1） 2+3 By（x2） 2+3
2、 Cy（x1） 2+5 Dy （x1） 2+35如图，坐标平面上有一顶点为 A 的抛物线，此抛物线与方程式 y2 的图形交于 B、C两点，ABC 为正三角形若 A 点坐标为（3，0） ，则此抛物线与 y 轴的交点坐标为何？（ ）A （0， ） B （0， ） C （0，9） D （0，19）6若平面直角坐标系内的点 M 满足横、纵坐标都为整数，则把点 M 叫做“整点” ，例如P（1， 0） 、Q（2，2）都是 “整点” 抛物线 ymx 26mx+9m+2（m0）与 x 轴交于点 A、 B 两点，若该抛物线在 A，B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域（包括边界）第 2 页（共 18 页）恰有
3、七个整点，则 m 的取值范围是（ ）A2m1 B2m1 C1m D17已知点（2，y 1） ， （1，0） ， （3，y 2）都在二次函数 yx 2+bx3 的图象上，则y1，0，y 2 的大小关系是（ ）A0y 1y 2 By 20y 1 Cy 1y 20 Dy 10y 28已知二次函数 y（x +3） 2，那么这个二次函数的图象有（ ）A最高点（3，0） B最高点（3，0）C最低点（3，0） D最低点（ 3，0）9二次函数经过（3，0）和（0，3） ，对称轴是 x1，则这个二次函数的表达式为（ ）Ayx 2+2x+3 Byx 2+2x+3 Cyx 2+2x3 Dy x 22x+310若 A
4、（2，y 1） ，B（1，y 2） ，C（2，y 3）是抛物线 y2（x1） 2+3 上的三个点，则y1，y 2，y 3 的大小关系是（ ）Ay 1y 2y 3 By 1y 3y 2 Cy 3y 2y 1 Dy 3y 1y 2二填空题（共 10 小题）11若二次函数 y4x 24x 3 的图象如下图所示，则当 x 时，函数值 y 012物线 y（x 1） 21 的顶点坐标为 13新定义：a，b，c为二次函数 yax 2+bx+c（a0，a，b，c 为实数）的“图象数” ，若“图象数”是m1，m 2，m3的二次函数的图象经过原点，则 m 14将二次函数 yx 2+2x+1 的图象先向右平移 2
5、个单位，再向上移 3 个单位，所得到的新图象对应的解析式是 15将二次函数 y2x 2+6x+3 化为 ya（xh） 2+k 的形式是 16若函数 y（k 2）x 是关于 x 的二次函数，则 k 17如图，抛物线 yax 2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点坐标为第 3 页（共 18 页）（1，0）其部分图象如图所示，下列结论：b 24ac0；方程 ax2+bx+c 的两个根是 x11，x 23； 2a+b0， 当 y0 时，x 的取值范围是1x3：当x0，y 随 x 增大而减小，其中结论正确的序号是 18二次函数 yx 28x 的最低点的坐标是 19任写出一个顶点在
6、 y 轴正半轴上的抛物线表达式 20把二次函数 yx 24x +5 化为 ya（xh） 2+k 的形式，那么 h+k 三解答题（共 5 小题）21已知二次函数 y3x 22x +4（1）通过配方，将函数解析式写成 ya（xh） 2+k 的形式（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标22在平面直角坐标系中，抛物线 yax 2+bx+3 经过点 A（3，0）和点 B（4，3） （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式（2）直接写出该抛物线开口方向和顶点坐标（3）直接在所给坐标平面内画出这条抛物线23已知二次函数 yx 26x+k 的图象如图所示（1）求 k 的值；第 4 页（共 18 页）（2）当
7、1x6 时，求 y 的最大值24已知二次函数 yax 2+bx+c（a0） ，当 1x3 时，它的图象在直线 y2x 的上方，当 x1 或 x3 时，它的图象在直线 y2x 的下方若二次函数的最大值大于 2，求实数 a 的取值范围25如图是数值转换机的示意图，小明按照其对应关系画出了 y 与 x 的函数图象（如图）：（1）分别写出当 0x4 与 x4 时，y 与 x 的函数关系式：（2）求出所输出的 y 的值中最小一个数值；（3）写出当 x 满足什么范围时，输出的 y 的值满足 3y6第 5 页（共 18 页）参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1若 y（m+1）x 是关于 x 的二次
8、函数，则 m 的值为（ ）A2 B1 C2 或 1 D2 或 1【分析】根据 yax 2+bx+c（ a 是不为 0 的常数）是二次函数，可得答案【解答】解：若 y（m +1） x 是关于 x 的二次函数，则 m2+m2 且 m+10 ，解得：m2 或 m1故选：C【点评】本题考查了二次函数，注意二次项的系数不能是 02函数 yax 2 与 yax+b 的图象可能是（ ）A BC D【分析】可根据 a0 时，a0 和 a0 时，a0 分别判定【解答】解：当 a0 时，a0，二次函数开口向上，当 b0 时一次函数过一，二，四象限，当 b0 时一次函数过二，三，四象限；当 a0 时，a0，二次函数
9、开口向下，当 b0 时一次函数过一，二，三象限，当b0 时一次函数过一，三，四象限所以 B 正确故选：B【点评】本题主要考查了二次函数及一次函数的图象，解题的关键是根据 a，b 的取值来判定二次函数及一次函数的图象的正误3将抛物线 yx 2 沿着 x 轴向左平移 1 个单位，再沿 y 轴向下平移 1 个单位，则得到的抛物线解析式为（ ）第 6 页（共 18 页）Ay（x1） 21 By（x1） 2+1 Cy（x+1） 2+1 Dy （x+1） 21【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解题【解答】解：抛物线 yx 2 沿着 x 轴向左平移 1 个单位，再沿 y 轴向下平移 1 个单位，那么所
10、得新抛物线的表达式是 y（x+1） 21故选：D【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式4把二次函数 yx 22x +4 化为 ya（xh） 2+k 的形式，下列变形正确的是（ ）Ay（x+1） 2+3 By（x2） 2+3 Cy（x1） 2+5 Dy （x1） 2+3【分析】利用配方法整理即可得解【解答】解：yx 22x +4，x 22x+1+3 ，（x1） 2+3故选：D【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：yax 2+bx+c（ a0，a、b、c 为常数） ；（ 2）顶点式：y a
11、（xh）2+k；（3）交点式（与 x 轴）：y a（xx 1） （xx 2） 5如图，坐标平面上有一顶点为 A 的抛物线，此抛物线与方程式 y2 的图形交于 B、C两点，ABC 为正三角形若 A 点坐标为（3，0） ，则此抛物线与 y 轴的交点坐标为何？（ ）A （0， ） B （0， ） C （0，9） D （0，19）【分析】设 B（3m，2） ， C（3+m，2） ， （m 0） ，可知 BC2m，再由等边三角形的性质可知 C（3+ ，2） ，设抛物线解析式 ya （x+3） 2，将点 C 代入解析式即可求 a，进而求解；第 7 页（共 18 页）【解答】解：设 B（3m， 2） ，C（
12、3+m，2） ， （m 0）A 点坐标为（3，0） ，BC2m，ABC 为正三角形，AC2m，DAO60，mC（3+ ，2）设抛物线解析式 ya（x +3） 2，a（3+ +3） 22，a ，y （x+3） 2，当 x0 时，y ；故选：B【点评】本题考查二次函数的图象及性质，等边三角形的性质；结合函数图象将等边三角形的边长转化为点的坐标是解题的关键6若平面直角坐标系内的点 M 满足横、纵坐标都为整数，则把点 M 叫做“整点” ，例如P（1， 0） 、Q（2，2）都是 “整点” 抛物线 ymx 26mx+9m+2（m0）与 x 轴交于点 A、 B 两点，若该抛物线在 A，B 之间的部分与线段
13、AB 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则 m 的取值范围是（ ）A2m1 B2m1 C1m D1【分析】首先将二次函数的表达式化为顶点式，确定函数的顶点，可以直接得到（3，2） ， （3，1） ， （3，0）三点必在所要求的区域内；然后向外扩充 4 个整点，找到（2，0） ， （4，0） ， （2，1） ， （4，1） ；最后结合图象确定函数与 x 轴的交点 A 的横坐标范围 1x A2，进而求出 m 的范围；一定要结合点（2，1）是边界点时，m 的取值，否则会使 m 的范围过大【解答】解：由已知可得 ymx 26mx+9m+2m（x 3 ） 2+2，函数的顶点是（3，2） ，第 8 页
14、（共 18 页）点（3，2） ， （3，1） ， （3，0）三点必在抛物线在 A，B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域（包括边界）的区域内，又在此区域内有 7 个整点，必有点（2，0） ， （4，0） ， （2，1） ， （4，1） ，当点（2，1）在边界上时，m 1，m1ym（x3） 2+2 与 x 轴的交点 A 的横坐标 1x A2，2m ，综上所述，1m 故选：D【点评】考查知识点：配方法化简二次函数函数表达式；二次函数与 x 轴交点的求法；不等式求解数形结合思想的应用是解决本题的关键7已知点（2，y 1） ， （1，0） ， （3，y 2）都在二次函数 yx 2+bx3 的图象上，
15、则y1，0，y 2 的大小关系是（ ）A0y 1y 2 By 20y 1 Cy 1y 20 Dy 10y 2【分析】点（1，0）在二次函数图象上，即可以求 b 的值，从而代入函数的各点进行比较相应 y 值的大小【解答】解：将（1，0）代入二次函数得，01+b3，解得 b2故该二次函数解析式为：yx 2+2x3分别将点（2，y 1） ， （3，y 2）代入 yx 2+2x3 得y14433y29+6312，得 0y 1y 2故选：D【点评】本题主要考查二次函数坐标点上的特征，将点（1，0）代入二次函数解出解析式，再进行比较即可8已知二次函数 y（x +3） 2，那么这个二次函数的图象有（ ）A最
16、高点（3，0） B最高点（3，0）第 9 页（共 18 页）C最低点（3，0） D最低点（ 3，0）【分析】根据当 a0 时，二次函数图象有最高点解答【解答】解：在二次函数 y（x+3） 2 中，a10，这个二次函数的图象有最高点（3，0） ，故选：B【点评】本题考查的是二次函数的图象和性质，掌握当 a0 时，二次函数图象有最高点是解题的关键9二次函数经过（3，0）和（0，3） ，对称轴是 x1，则这个二次函数的表达式为（ ）Ayx 2+2x+3 Byx 2+2x+3 Cyx 2+2x3 Dy x 22x+3【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（1，0） ，则可设交
17、点式 ya（x +3） （x 1） ，然后把（ 0，3）代入求出 a 即可【解答】解：点（3，0）关于直线 x1 的对称点的坐标为（1，0） ，设抛物线的解析式为 ya（x+3） （x 1） ，把（0，3）代入得 3a3（1） ，解得 a1，所以抛物线解析式为 y（x+3） （x 1） ，即 yx 22x +3故选：D【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来
18、求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解10若 A（2，y 1） ，B（1，y 2） ，C（2，y 3）是抛物线 y2（x1） 2+3 上的三个点，则y1，y 2，y 3 的大小关系是（ ）Ay 1y 2y 3 By 1y 3y 2 Cy 3y 2y 1 Dy 3y 1y 2【分析】把三个点的横坐标代入抛物线的解析式，分别求出对应的 y 值进行比较即可【解答】解：当 x2 时，y 12（21） 2+321；当 x1 时，y 23；当 x2时，y 35；第 10 页（共 18 页）y 1y 3y 2故选：B【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征二填空题（
19、共 10 小题）11若二次函数 y4x 24x 3 的图象如下图所示，则当 x 时，函数值 y 0【分析】根据函数的图象得出函数和 x 轴的交点坐标，根据交点坐标和图象得出即可【解答】解：从二次函数 y4x 24x 3 的图象可知：图象过点（ ，0）和（ ，0） ，当 x 时，函数值 y0，故答案为：【点评】本题考查了对二次函数的图象和性质的应用，注意：数形结合思想的应用，主要考查学生的观察图象的能力和理解能力12物线 y（x 1） 21 的顶点坐标为 （1，1） 【分析】二次函数 y（x h） 2+k 的顶点坐标为（h，k） ，所以易知 y（x1） 21的顶点坐标为（1，1） 【解答】解：y
20、（x 1） 21，顶点坐标为 （1，1） 故答案为（1，1） 【点评】本题考查了二次函数的顶点坐标，正确理解二次函数 y（xh） 2+k 的顶点坐标（h，k）是解题的关键13新定义：a，b，c为二次函数 yax 2+bx+c（a0，a，b，c 为实数）的“图象数” ，若“图象数”是m1，m 2，m3的二次函数的图象经过原点，则 m 3 【分析】根据新定义得到 y（m 1）x 2+（m 2）x +m3，然后把原点坐标代入可求出 m 的值第 11 页（共 18 页）【解答】解：根据题意得 y（m 1）x 2+（m 2）x +m3，把（0，0）代入得 m30，解得 m3故答案为 3【点评】本题考查了
21、二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式14将二次函数 yx 2+2x+1 的图象先向右平移 2 个单位，再向上移 3 个单位，所得到的新图象对应的解析式是 y （x1） 2+3 【分析】先利用配方法得到原抛物线的顶点坐标为（1，0） ，利用点平移的规律得到点（1，0）平移后所得对应点的坐标为（1，3） ，然后根据顶点式写出新图象对应的解析式【解答】解：yx 2+2x+1（x +1） 2，抛物线的顶点坐标为（1，0） ，把点（1，0）先向右平移 2 个单位，再向上移 3 个单位所得对应点的坐标为（1，3） ，所以新图象对应的解析式为 y（x 1） 2+3故答案为 y（x
22、1） 2+3【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式也考查了二次函数的性质15将二次函数 y2x 2+6x+3 化为 ya（xh） 2+k 的形式是 y 2（x+ ） 2 【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式【解答】解：y2x 2+6x+32（x 2+3x+ ） +3y2（x+ ） 2 ，即y2（x+ ） 2 故答案为 y2（x + ）
23、 2 【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：yax 2+bx+c（ a0，a、b、c 为常数） ；（2）顶点式：ya（x h） 2+k；（3）交点式（与 x 轴）：y a（x x 1） （xx 2） 第 12 页（共 18 页）16若函数 y（k 2）x 是关于 x 的二次函数，则 k 3 【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可【解答】解：由 y（k 2）x 是关于 x 的二次函数，得 ，解得 k3，故答案为：3【点评】本题考查二次函数的定义，二次函数的次数是二，系数不等于零是解题关键17如图，抛物线 yax 2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个
24、交点坐标为（1，0）其部分图象如图所示，下列结论：b 24ac0；方程 ax2+bx+c 的两个根是 x11， x23； 2a+b0， 当 y0 时， x 的取值范围是1x3：当x0，y 随 x 增大而减小，其中结论正确的序号是 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案【解答】解：由图象可知：抛物线与 x 轴有两个交点，b 24ac0，故 错误；（ 1，0）关于直线 x1 的对称点为（3，0） ，ax 2+bx+c0 的两个根是 x11，x 23，故 正确；对称轴为 x1，故 1，2a+b0，故正确；当 y0 时，由图象可知：1x3，故正确；当 x1 时，y 随着 x 的增大而减小，故错误
25、；故答案为：【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型第 13 页（共 18 页）18二次函数 yx 28x 的最低点的坐标是 （4，16） 【分析】利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，由此即可找出该函数图象的最低点的坐标【解答】解：yx 28x （ x4） 216，a10，二次函数图象开口向上，二次函数 yx 28x 的最低点的坐标是（ 4，16） 故答案为：（4，16） 【点评】本题考查了二次函数的最值，利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式是解题的关键19任写出一个顶点在 y 轴正半轴上的抛物线表达式 yx 2+1（本题
26、答案不唯一） 【分析】由顶点坐标公式确定出满足题意的解析式即可【解答】解：任写出一个顶点在 y 轴正半轴上的抛物线表达式：yx 2+1（本题答案不唯一） ，故答案为：yx 2+1（本题答案不唯一）【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键20把二次函数 yx 24x +5 化为 ya（xh） 2+k 的形式，那么 h+k 3 【分析】利用配方法把二次函数的表达式 yx 24x +5 化为 ya（x h） 2+k 的形式，求出 h、k 的值各是多少，代入代数式计算即可【解答】解：yx 24x +5（x2） 2+1，h2，k1，h+k2+13
27、故答案为：3【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，要熟练掌握三种形式之间相互转化的方法三解答题（共 5 小题）21已知二次函数 y3x 22x +4（1）通过配方，将函数解析式写成 ya（xh） 2+k 的形式（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标【分析】 （1）根据配方法，可得答案；第 14 页（共 18 页）（2）根据顶点式，可得顶点坐标，对称轴【解答】解：（1）配方，得y3（x ） 2+ ；（2）y3x 22x +4 的对称轴是 x ，顶点坐标为（ ， ） 【点评】本题考查了二次函数的三种形式，利用配方法是解题关键22在平面直角坐标系中，抛物线 yax 2+bx+3 经过点 A（3，
28、0）和点 B（4，3） （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式（2）直接写出该抛物线开口方向和顶点坐标（3）直接在所给坐标平面内画出这条抛物线【分析】 （1）把 A 点和 B 点坐标代入 yax 2+bx+3 得关于 a、b 的方程组，然后解方程组即可；（2）先把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）利用描点法画函数图象【解答】解：（1）抛物线 yax 2+bx+3 经过点 A（3，0）和点 B（4，3） ，解得 ，这条抛物线所对应的二次函数的表达式为 yx 24x +3；（2）a10，抛物线开口向上，y（x2） 21，抛物线顶点坐标为（2，1） ；（3）如图，第 15
29、页（共 18 页）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解也考查了二次函数的性质23已知二次函数 yx 26x+k 的图象如图所示（1）求 k 的值；（2）当1x6 时，求 y 的最大值【分析】 （1）根据二次函数图象得到抛物线与 x 轴的交点坐标，代入二次函数解析式求出 k 的值即可；
30、（2）把 k 的值代入确定出解析式，利用函数图象确定出所求最大值即可【解答】解：（1）由图象得：抛物线与 x 轴的交点为（1，0） ， （5，0） ，把（1，0）代入二次函数解析式得：16+k0，解得：k5；第 16 页（共 18 页）（2）把 k5 代入得：y x 26x+5，把 x1 代入得：y 12，把 x6 代入得：y5，则当1x6 时，y 的最大值为 12【点评】此题考查了二次函数的最值，以及二次函数的图形，熟练掌握二次函数图象与性质是解本题的关键24已知二次函数 yax 2+bx+c（a0） ，当 1x3 时，它的图象在直线 y2x 的上方，当 x1 或 x3 时，它的图象在直线
31、y2x 的下方若二次函数的最大值大于 2，求实数 a 的取值范围【分析】根据当 1x3 时，它的图象在直线 y2x 的上方，当 x1 或 x3 时，它的图象在直线 y2x 的下方可知：抛物线与直线 y 2x 的两个交点（1，2）和（3，6） ，代入二次函数 yax 2+bx+c 中可得由题意得： ，根据顶点坐标公式及已知的二次函数的最大值大于 2，得 2，且 a0，解出即可得结论【解答】解：yax 2+bx+c a（x+ ） 2+ ，二次函数的最大值大于 2， 2，且 a0，即 4acb 28a，由题意得： ，解得： ，4a3a（4a2） 28a，a2+6a+10，a 13+2 ，a 232
32、，实数 a 的取值范围是：a32 或3+2 a0【点评】本题是二次函数和一次函数图象的综合问题，考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标特征及二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值25如图是数值转换机的示意图，小明按照其对应关系画出了 y 与 x 的函数图象（如图）：第 17 页（共 18 页）（1）分别写出当 0x4 与 x4 时，y 与 x 的函数关系式：（2）求出所输出的 y 的值中最小一个数值；（3）写出当 x 满足什么范围
33、时，输出的 y 的值满足 3y6【分析】 （1）当 0x4 时，函数关系式为 y x+3；当 x4 时，函数关系式为y（x6） 2+2；（2）根据一次函数与二次函数的性质，分别求出自变量在其取值范围内的最小值，然后比较即可；（3）由题意，可得不等式 和 ，解答出 x 的值即可【解答】解：（1）由图可知，当 0x4 时，y x+3；当 x4 时，y（x 6） 2+2；（2）当 0x4 时，y x+3，此时 y 随 x 的增大而增大，当 x0 时，y x+3 有最小值，为 y3；当 x4 时，y（x 6） 2+2，y 在顶点处取最小值，即当 x6 时，y （x 6） 2+2 的最小值为 y2；所输出的 y 的值中最小一个数值为 2；第 18 页（共 18 页）（3）由题意得，当 0x4 时 ，解得，0x4；当 x4 时，解得，4x5 或 7x 8；综上，x 的取值范围是：0x5 或 7x 8【点评】本题考查了一次函数的图形与性质和二次函数的图形与性质，熟练掌握一次函数、二次函数的性质是解答的基础；由图知，当 x4 时，两函数相等，可求出 y 值，是解答本题的关键
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