1、第 1 页（共 29 页）人教版九年级下学期26.3 实际问题与二次函数同步练习卷一选择题（共 14 小题）1某童装专卖店销售一批某品牌童装，已知销售这种童装每天获得的利润 y（元）与童装的销售价 x（元 /件）之间的函数解析式为 yx 2+160x4800若想每天获得的利润最大，则销售价应定为（ ）A110 元/件 B100 元/件 C90 元/件 D80 元/件2某公园草坪的防护栏是由 100 段形状相同的抛物线形组成的为了牢固起见，每段护栏需要间距 0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部 0.5m（如图） ，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A50 m B100
2、 m C160 m D200 m3教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度 y（m）与水平距离 x（m ） 之间的关系为 y （x4） 2+3，由此可知铅球能到达的最大高度（ ）A10m B3m C4m D2m 或 10m4一小球被抛出后，距离地面的高度 h（米）和飞行时间 t（秒）满足下列函数解析式：h3（t2） 2+5，则小球距离地面的最大高度是（ ）A2 米 B3 米 C5 米 D6 米5某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为 x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 yx 2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）第 2
3、 页（共 29 页）A4 米 B3 米 C2 米 D1 米6某种圆形合金板材的成本 y（元）与它的面积（cm 2）成正比，设半径为 xcm，当 x3时，y 18，那么当半径为 6cm 时，成本为（ ）A18 元 B36 元 C54 元 D72 元7已知某种礼炮的升空高度 h（m ）与飞行时间 t（s）的关系式是 h t2+20t+1若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为（ ）A3 s B4 s C5 s D6 s8一位篮球运动员站在罚球线后投篮，球入篮得分下列图象中，可以大致反映篮球出手（ ）A BC D9河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数
4、的关系式为 y x2，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4m 时，这时水面宽度 AB 为（ ）第 3 页（共 29 页）A20m B10m C20m D10m10如图所示，中堂中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，水柱喷出的竖直高度y（m）与水平距离 x（m）满足 y（x2） 2+6，则水柱的最大高度是（ ）A2 B4 C6 D2+11烟花厂某种礼炮的升空高度 h（m ）与飞行时间 t（s）的关系式是 h2t 2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）A3s B4s C5s D10s12已知二次函数 yax 2+bx+c（a0）经过点 M（1， 2）
5、和点 N（1，2） ，交 x 轴于A，B 两点，交 y 轴于 C，则：a+c0；无论 a 取何值，此二次函数图象与 x 轴必有两个交点，函数图象截 x 轴所得的线段长度必大于 2；当函数在 x 时，y 随 x 的增大而减小；当 1mn0 时，m+n ；若 a 1，则 OAOBOC 2以上说法正确的有（ ）A B C D13抛物线 yx 22x 15， y4x23，交于 A、B 点（A 在 B 的左侧） ，动点 P 从 A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点 E 再到达 x 轴上的某点 F，最后运动到点 B若使点 P 动的总路径最短，则点 P 运动的总路径的长为（ ）A10 B7 C5 D81
6、4如图，点 E、F、G、H 分别是正方形 ABCD 边 AB、BC 、CD、DA 上的点，且第 4 页（共 29 页）AEBFCG DH设 A、E 两点间的距离为 x，四边形 EFGH 的面积为 y，则 y 与 x的函数图象可能为（ ）A BC D二填空题（共 8 小题）15若 x ，y a1，求出 y 与 x 的函数关系式 16校运动会小明参加铅球比赛，若某次投掷，铅球飞行的高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的函数关系式为 y （x3） 2+5，小明这次投掷的成绩是 米17如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度 y（米）关于水平距离 x（米）的函数解析式 ，那么铅球运动过程中最高点
7、离地面的距离为 米18沙坪坝火车站将改造成一个集高铁、轻轨、公交、停车场、商业于一体的地下七层建筑，地面上欲建造一个圆形喷水池，如图，O 点表示喷水池的水面中心， OA 表示喷水柱子，水流从 A 点喷出，按如图所示的直角坐标系，每一股水流在空中的路线可以用来描述，那么水池的半径至少要 米，才能使喷出的水流不致落到池外第 5 页（共 29 页）19向上发射一枚炮弹，经 x 秒后的高度为 ym，且时间与高度关系为 yax 2+bx若此炮弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等，则炮弹飞行第 秒时高度是最高的20某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽为 4m，顶部距离地面的高度为 4.4m，现有一
8、辆满载货物的汽车欲通大门，其装货宽度为 2.4m，该车要想过此门，装货后的最大高度应是 m21如图，一大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为 yax 2+bx+c，小王骑自行车从 O 匀速沿直线到拱梁一端 A，再匀速通过拱梁部分的桥面 AC，小王从 O 到 A 用了 2秒，当小王骑自行车行驶 10 秒时和 20 秒时拱梁的高度相同，则小王骑自行车通过拱梁部分的桥面 AC 供需 秒22如图，平行于 x 轴的直线 AC 分别交抛物线 y1x 2（x0）与 y2 （x0）于B、C 两点，过点 C 作 y 轴的平行线交 y1 于点 D，直线 DEAC，交 y2 于点 E，则 第 6 页（共 29
9、页）三解答题（共 6 小题）23某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件试营业阶段发现：当销售单价是25 元时，每天的销售量为 250 件；销售单件每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10件写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式24某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为 20 元/件，为了调查这种新产品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量 t（件）与每件的销售价 x（元/件）之间有如下关系：t3x+70 请写出该超市销售这种产品每天的销售利润 y（元）与x 之间的函数关系式25某一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和
10、一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 0.5m，若行车道总宽度 AB 为 6m，请计算车辆经过隧道时的限制高度是多少米？（精确到0.1m）26如图，用一张长为 2米、宽为 2 米的铁皮制作一个圆柱形管道，如果制作中不考虑材料损耗，试求可围成管道的最大体积27已知二次函数 yax 22ax 2 的图象（记为抛物线 C1） ，顶点为 M，直线l：y2x a 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B第 7 页（共 29 页）（1）若抛物线 C1 与 x 轴只有一个公共点，求 a 的值；（2）当 a0 时，设ABM 的面积为 S，求 S 与
11、 a 的函数关系式；（3）将二次函数 yax 22ax2 的图象 C1 绕点 P（t ，2）旋转 180得到二次函数的图象（记为抛物线 C2） ，顶点为 N若点 N 恰好落在直线 l 上，求 a 与 t 满足的关系；当 2x1 时，旋转前后的两个二次函数 y 的值都会随 x 的值增大而减小，求 t 的取值范围28 （1）如图 1，若点 A 坐标为（x 1，y 1） ，点 B 坐标为（x 2，y 2） ，作 ADx 轴于点D，BE y 轴于点 E，AD 与 BE 相交于点 C，则有 AC|y 1y 2|，BC| x1x 2|，所以，A、B 两点间的距离为 AB 根据结论，若 M、N 两点坐标分别
12、为（1，4） 、 （5，1） ，则 MN （直接写出结果） （2）如图 2，直线 ykx+1 与 y 轴相交于点 D，与抛物线 y x2 相交于 A，B 两点，A 点坐标为（4，a） ，过点 A 作 y 轴的垂线交 y 轴于点 C，E 是 AC 中点，点 P 是第一象限内直线 AB 下方抛物线上一动点，连接 PE、PD、ED；a ，k ，AD （直接写出结果） 若 DEP 是以 DE 为底的等腰三角形，求点 P 的横坐标；求四边形 CDPE 的周长的最小值第 8 页（共 29 页）参考答案与试题解析一选择题（共 14 小题）1某童装专卖店销售一批某品牌童装，已知销售这种童装每天获得的利润 y（
13、元）与童装的销售价 x（元 /件）之间的函数解析式为 yx 2+160x4800若想每天获得的利润最大，则销售价应定为（ ）A110 元/件 B100 元/件 C90 元/件 D80 元/件【分析】根据函数解析式为 yx 2+160x4800，可得当 x 80 时，y 有最大值 1600【解答】解：yx 2+160x4800，抛物线的开口向下，当 x 80 时，y 1600，想每天获得的利润最大，则销售价应定为 80 元，故选：D【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量 x 的取值要使实际问题有意义2某公园草坪的防
14、护栏是由 100 段形状相同的抛物线形组成的为了牢固起见，每段护栏需要间距 0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部 0.5m（如图） ，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A50 m B100 m C160 m D200 m【分析】建立如图所示的直角坐标系，根据题意得到 A 点坐标为（1，0） 、B 点坐标为（1，0） ，C 点坐标为（0， 0.5） ，D 点坐标为（0.2，0） ，F 点坐标为（0.6，0） ，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式：设二次函数的交点式 ya（x1） （x+1） ，把C（0，0.5）代入得 a0.5 ，则抛物线解析式为 y0.5x 2+
15、0.5，然后分别把x0.2，x0.6 代入可得到 DE0.48，FP0.32，于是可计算出每段护栏需要不锈钢支柱的长度，再把结果乘以 100 即可得到答案第 9 页（共 29 页）【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则 A 点坐标为（1，0） 、B 点坐标为（1，0） ，C 点坐标为（0，0.5 ） ，D 点坐标为（0.2，0） ，F 点坐标为（0.6，0） ，设抛物线解析式为 ya（x 1） （x +1） ，把 C（0，0.5）代入得 a0.5，所以抛物线解析式为 y0.5x 2+0.5，当 x0.2 时，y 0.50.2 2+0.50.48，当 x0.6 时，y 0.50.6 2+0.5
16、0.32，所以 DE0.48，FP 0.32，所以每段护栏需要不锈钢支柱的长度2（DE+ FP）2（0.48+0.32）1.6（m） ，所以 100 段护栏需要不锈钢支柱的总长度1001.6m 160m 故选：C【点评】本题考查了二次函数的应用：先建立适当的平面直角坐标系，然后把实际问题中的数据转化坐标系中的线段长或点的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再利用二次函数的性质解决实际问题3教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度 y（m）与水平距离 x（m ） 之间的关系为 y （x4） 2+3，由此可知铅球能到达的最大高度（ ）A10m B3m C4m D2m 或 10m【
17、分析】铅球能到达的最大高度即为铅球运行的抛物线顶点的纵坐标，结合函数的解析式即可求出【解答】解：第 10 页（共 29 页）铅球行进高度 y（m ）与水平距离 x（m） 之间的关系为 y （x4） 2+3，抛物线的顶点坐标为（4，3） ，铅球能到达的最大高度为 3m，故选：B【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键4一小球被抛出后，距离地面的高度 h（米）和飞行时间 t（秒）满足下列函数解析式：h3（t2） 2+5，则小球距离地面的最大高度是（ ）A2 米 B3 米 C5 米 D6 米【分析】根据二次函数的解
18、析式，可以得到二次函数的最大值，从而可以解答本题【解答】解：h3（t 2） 2+5，当 t2 时，h 取得最大值，此时 h5，故选：C【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件5某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为 x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 yx 2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）A4 米 B3 米 C2 米 D1 米【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线 yx 2+4x 的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案【解答】解：
19、水在空中划出的曲线是抛物线 yx 2+4x，喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线 yx 2+4x 的顶点坐标的纵坐标，yx 2+4x（x2） 2+4，第 11 页（共 29 页）顶点坐标为：（2，4） ，喷水的最大高度为 4 米，故选：A【点评】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题6某种圆形合金板材的成本 y（元）与它的面积（cm 2）成正比，设半径为 xcm，当 x3时，y 18，那么当半径为 6cm 时，成本为（ ）A18 元 B36 元 C54 元 D72 元【分析】设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx 2，由待定系
20、数法就可以求出解析式，再求出 x6 时 y 的值即可得【解答】解：根据题意设 yk x2，当 x3 时，y 18，18k9，则 k ，ykx 2 x22x 2，当 x6 时，y23672，故选：D【点评】本题考查了二次函数的应用，解答时求出函数的解析式是关键7已知某种礼炮的升空高度 h（m ）与飞行时间 t（s）的关系式是 h t2+20t+1若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为（ ）A3 s B4 s C5 s D6 s【分析】将题目中的函数表达式化为顶点式，从而可以求得 h 取得最大值时对应的 t 的值，本题得以解决【解答】解：h t2+20t+1 ，t4 时，h 取得最大值，
21、此时 h41，故选：B【点评】本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，利用二次函数的顶点式求函数的最值第 12 页（共 29 页）8一位篮球运动员站在罚球线后投篮，球入篮得分下列图象中，可以大致反映篮球出手（ ）A BC D【分析】由图中可以看出，高度随着时间的变化将成抛物线的形态，只有选项 D 的函数图象是抛物线【解答】解：篮球出手后到入篮框这一时间段内，篮球的高度 h（米）与时间 t（秒）之间变化关系应是一条抛物线故选：D【点评】此题考查了二次函数的实际应用问题，考查了二次函数的图象解题时首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量的关系，再根据实际情况来判断函数图象9河北省赵县的
22、赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 y x2，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4m 时，这时水面宽度 AB 为（ ）A20m B10m C20m D10m【分析】根据题意，把 y4 直接代入解析式即可解答【解答】解：根据题意 B 的纵坐标为4，把 y4 代入 y x2，得 x10，第 13 页（共 29 页）A（10，4） ，B（10，4） ，AB20m即水面宽度 AB 为 20m故选：C【点评】本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题10如图所示，中堂中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，水柱喷出的竖直高
23、度y（m）与水平距离 x（m）满足 y（x2） 2+6，则水柱的最大高度是（ ）A2 B4 C6 D2+【分析】直接利用二次函数最值求法得出答案【解答】解：抛物线形水柱，其解析式为 y（x2） 2+6，水柱的最大高度是：6故选：C【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确理解二次函数顶点坐标的意义是解题关键11烟花厂某种礼炮的升空高度 h（m ）与飞行时间 t（s）的关系式是 h2t 2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）A3s B4s C5s D10s【分析】将 h 关于 t 的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的时间，从而得出结论【
24、解答】解：h2t 2+20t+12（t5） 2+51，当 t5 时，礼炮升到最高点故选：C【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将二次函数的关系式变形为顶点式本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将函数的关系式进行变换找出顶点坐标即可12已知二次函数 yax 2+bx+c（a0）经过点 M（1， 2）和点 N（1，2） ，交 x 轴于第 14 页（共 29 页）A，B 两点，交 y 轴于 C，则：a+c0；无论 a 取何值，此二次函数图象与 x 轴必有两个交点，函数图象截 x 轴所得的线段长度必大于 2；当函数在 x 时，y 随 x 的增大而减小；当 1mn0 时，m+n ；若
25、a 1，则 OAOBOC 2以上说法正确的有（ ）A B C D【分析】 把 M、N 的坐标代入解析式得到两个三元一次方程，两个方程相加即可求得a+c0， 令 y0，求出，判断图象与 x 轴的交点个数，设函数图象与 x 轴的两交点为 x1，x 2，求出|x 1x 2|进行判断 求出对称轴，然后结合 a 的取值范围判断，根据 m+n0， 0，即可判断，根据交点坐标与系数的关系可以判断【解答】解：二次函数 yax 2+bx+c（a0）经过点 M（1，2）和点 N（1，2） ， ，+得：a+c0；故 正确；acb 24ac0，无论 a 取何值，此二次函数图象与 x 轴必有两个交点，|x 1x 2|
26、， 1， 2，故正确；二次函数 yax 2+bx+c（a0 ）的对称轴 x ，当 a0 时不能判定 x 时，y 随 x 的增大而减小；故错误；1mn0，a0，m+ n 0， 0，第 15 页（共 29 页）m+ n ；故正确；a1，a+c0，c1，OC1，OC 21，二次函数为 yx 2+bx1，x 1x21，|x 1x2|OA OB，OAOB1，OC 2OAOB，故正确故选：B【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，交点坐标和系数的关系，熟悉抛物线的对称性及抛物线与 x 轴的交点坐标是本题的关键13抛物线 yx 22x 15， y4x23，交于 A、B 点（A 在 B 的左侧） ，动点 P
27、 从 A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点 E 再到达 x 轴上的某点 F，最后运动到点 B若使点 P 动的总路径最短，则点 P 运动的总路径的长为（ ）A10 B7 C5 D8【分析】首先根据题意求得点 A 与 B 的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点 A 关于抛物线的对称轴 x1 的对称点 A，作点 B 关于 x 轴的对称点 B，连接 AB，则直线 AB 与直线 x1 的交点是 E，与 x 轴的交点是 F，而且易得 AB 即是所求的长度【解答】解：如图抛物线 yx 22x 15 与直线 y4x23 交于 A、B 两点，x 22x154x 23，解得：x2 或 x4，当 x2 时，y4x
28、 2315 ，当 x4 时，y4x 237 ，点 A 的坐标为（2，15） ，点 B 的坐标为（4，7） ，抛物线对称轴方程为：x 作点 A 关于抛物线的对称轴 x1 的对称点 A，作第 16 页（共 29 页）点 B 关于 x 轴的对称点 B，连接 AB ，则直线 AB 与对称轴（直线 x1）的交点是 E，与 x 轴的交点是 F，BFBF ，AEAE ，点 P 运动的最短总路径是 AE+EF+FBAE+EF+FBAB，延长 BB，AA相交于 C，AC4，BC7+1522，AB 10 点 P 运动的总路径的长为 10 故选：A【点评】此题考查了二次函数与一次函数和二次函数的综合应用注意找到点
29、P 运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用14如图，点 E、F、G、H 分别是正方形 ABCD 边 AB、BC 、CD、DA 上的点，且AE BFCGDH设 A、E 两点间的距离为 x，四边形 EFGH 的面积为 y，则 y 与 x的函数图象可能为（ ）A B第 17 页（共 29 页）C D【分析】本题需先设正方形的边长为 m，然后得出 y 与 x、m 是二次函数关系，从而得出函数的图象【解答】解：设正方形的边长为 m，则 m0，AEx，DHx，AHmx，EH 2AE 2+AH2，yx 2+（mx） 2，yx 2+x22mx +m2，y2x 22mx+m 2，2（x
30、m） 2+ ，2（x m） 2+ m2，y 与 x 的函数图象是 A故选：A【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，在解题时要能根据几何图形求出解析式，得出函数的图象二填空题（共 8 小题）15若 x ，y a1，求出 y 与 x 的函数关系式 yx 21 【分析】由 x 和 a 的关系可得，ax 2，代入已知条件 y a1，进而可求出 y 与 x 的函数关系式【解答】解：x ，ax 2，ya1，yx 21，第 18 页（共 29 页）故答案为：yx 21【点评】本题考查了根据实际问题确定二次函数关系式，得到 a 和 x 的关系式是解题的关键16校运动会小明参加铅球比赛，若某次投掷，铅球飞
31、行的高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的函数关系式为 y （x3） 2+5，小明这次投掷的成绩是 8 米【分析】令 y0，得到关于 x 的方程，解方程即可【解答】解：令 y0，则为 0，解得 x18，x 22（舍去） ，故小明这次投掷的成绩是 8 米故答案为 8【点评】本题考查了二次函数的应用，包括点的坐标的求法及二次函数的实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题17如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度 y（米）关于水平距离 x（米）的函数解析式 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 2 米【分析】直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离【解答】解：函数
32、解析式为： ，y 最值 2故答案为：2【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确记忆最值公式是解题关键18沙坪坝火车站将改造成一个集高铁、轻轨、公交、停车场、商业于一体的地下七层建筑，地面上欲建造一个圆形喷水池，如图，O 点表示喷水池的水面中心， OA 表示喷水柱子，水流从 A 点喷出，按如图所示的直角坐标系，每一股水流在空中的路线可以用来描述，那么水池的半径至少要 3.5 米，才能使喷出的水流不致落第 19 页（共 29 页）到池外【分析】当 y0 求出图象与 x 轴交点坐标，进而得出水池的半径的最小值【解答】解：根据题意可得出：当 y0，则 0 x2+ x+ ，整理得：4x 212x 70
33、，解得：x 10.5，x 23.5，水池的半径至少要 3.5 米，才能使喷出的水流不致落到池外故答案为：3.5【点评】此题主要考查了二次函数的应用，利用数形结合得出图象与 x 轴交点是解题关键19向上发射一枚炮弹，经 x 秒后的高度为 ym，且时间与高度关系为 yax 2+bx若此炮弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等，则炮弹飞行第 10.5 秒时高度是最高的【分析】根据题意，x7 时和 x14 时 y 值相等，因此得关于 a，b 的关系式，代入到x 中求 x 的值【解答】解：当 x7 时，y 49a+7b；当 x14 时，y196a+14 b根据题意得 49a+7b196a+14b，b2
34、1a根据二次函数的对称性及抛物线的开口向下，当 x 10.5 时，y 最大即高度最高故答案为：10.5【点评】本题考查了二次函数的应用，先求出高度最大的时刻，再根据对称性看备选项中哪个与之最近得出结论是解题的关键20某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽为 4m，顶部距离地面的高度为 4.4m，现有一辆满载货物的汽车欲通大门，其装货宽度为 2.4m，该车要想过此门，装货后的最第 20 页（共 29 页）大高度应是 小于 2.816 m 【分析】首先建立适当的平面直角坐标系并利用图象中的数据确定二次函数的解析式，然后代入 x1.2 确定 OB 的长度，从而确定汽车的最大高度【解答】解：建立如图
35、平面直角坐标系：设抛物线的解析式为 yax 2，由题意得：点 A 的坐标为（2，4.4） ，4.44a，解得：a1.1，抛物线的解析式为 y1.1x 2，当 x1.2 时，y1.11.441.584，线段 OB 的长为 1.584 米，BC4.41.5842.816 米，装货后的最大高度为小于 2.816 米，故答案为：小于 2.816 米【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用关键是建立数学模型，借助二次函数解决实际问题，注意根据线段长度得出各点的坐标，难度一般21如图，一大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为 yax 2+bx+c，小王骑自行车从 O 匀速沿直线到拱梁一端 A
36、，再匀速通过拱梁部分的桥面 AC，小王从 O 到 A 用了 2秒，当小王骑自行车行驶 10 秒时和 20 秒时拱梁的高度相同，则小王骑自行车通过拱梁第 21 页（共 29 页）部分的桥面 AC 供需 26 秒【分析】根据二次函数图象具有对称性，由小王骑自行车行驶 10 秒时和 20 秒时拱梁的高度相同，可以得到抛物线的顶点的横坐标，根据小王从 O 到 A 用了 2 秒，可以得到点 A 的坐标，从而可以得到点 B 的坐标，进而得到 AC 的长度，从而可以计算出通过AC 用的时间【解答】解：设小王每秒行驶的速度为 m，则点 A 的坐标为（2m，0） ，又当小王骑自行车行驶 10 秒时和 20 秒时
37、拱梁的高度相同，抛物线顶点的横坐标是（10m +20m）215m ，点 C 的横坐标是：15m22m30m 2m 28m，AC 的长度是：28m2m 26m，小王骑自行车通过拱梁部分的桥面 AC 需要的时间是：26mm26 秒，故答案是：26【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，根据二次函数图象具有对称性进行解答22如图，平行于 x 轴的直线 AC 分别交抛物线 y1x 2（x0）与 y2 （x0）于B、C 两点，过点 C 作 y 轴的平行线交 y1 于点 D，直线 DEAC，交 y2 于点 E，则 【分析】设 A 点坐标为（0，a） ，利用两个函数解析
38、式求出点 B、C 的坐标，然后求出第 22 页（共 29 页）BC 的长度，再根据 CDy 轴，利用 y1 的解析式求出 D 点的坐标，然后利用 y2 求出点E 的坐标，从而得到 DE 的长度，然后求出比值即可得解【解答】解：设 A 点坐标为（0，a） ， （a0） ，则 x2a，解得 x ，点 B（ ，a） ， a，则 x ，点 C（ ，a） ，BC CDy 轴，点 D 的横坐标与点 C 的横坐标相同，为 ，y 1（ ） 23a，点 D 的坐标为（ ，3a ） DEAC，点 E 的纵坐标为 3a， 3a，x3 ，点 E 的坐标为（3 ，3a） ，DE3 ， 故答案是： 【点评】本题是二次函数
39、综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行与 x 轴的点的纵坐标相同，平行于 y 轴的点的横坐标相同，求出用点 A 的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键三解答题（共 6 小题）第 23 页（共 29 页）23某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件试营业阶段发现：当销售单价是25 元时，每天的销售量为 250 件；销售单件每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10件写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式【分析】利用销量每件利润总利润，求出函数关系式即可【解答】解：由题意可得：w（x 20） 25010（x 25）10x 2+
40、700x10000 【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确表示出每件文具的利润是解题关键24某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为 20 元/件，为了调查这种新产品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量 t（件）与每件的销售价 x（元/件）之间有如下关系：t3x+70 请写出该超市销售这种产品每天的销售利润 y（元）与x 之间的函数关系式【分析】根据每天的销售利润等于每件的利润乘以销售量求解【解答】解：y（x 20）t（x20） （3x +70）3x 2+130x 1400（20x ） 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式：根据实际问题确定二次函数关
41、系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定25某一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 0.5m，若行车道总宽度 AB 为 6m，请计算车辆经过隧道时的限制高度是多少米？（精确到0.1m）【分析】根据题意可以建立适当的平面直角坐标系，从而可以得到抛物线的解析式，然第 24 页（共 29 页）后根据要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，可以得到当 x3 时，求出相应的 y 值，此时汽车的顶部
42、离隧道的顶部距离至少是 0.5 米，从而可以求得车辆经过隧道时的限制高度是多少米【解答】解：如右图所示，建立平面直角坐标系，抛物线顶点 O 的坐标是（0， 0） ，设抛物线的解析式为：yax 2，又点（4，4）在此抛物线上，4a（4） 2，得 a ， ，将 x3 代入 ，得 y ，又行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 0.5m，车辆经过隧道时的限制高度是：6 0.5 3.253.2 米，即车辆经过隧道时的限制高度是 3.2 米【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，建立适当的平面直角坐标系，找出所求问题需要的条件26如图，用一张长为 2米、宽为 2 米
43、的铁皮制作一个圆柱形管道，如果制作中不考虑材料损耗，试求可围成管道的最大体积【分析】由 2r2 ，求出 r1，再根据：体积底面积 高，即可求解第 25 页（共 29 页）【解答】解：设围城管道后底面的半径为 r，由题意得：2r2 ，则 r 1，管道的最大体积底面积高r 222 【点评】本题考查的是二次函数的应用，是一个简单的体积计算问题27已知二次函数 yax 22ax 2 的图象（记为抛物线 C1） ，顶点为 M，直线l：y2x a 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B（1）若抛物线 C1 与 x 轴只有一个公共点，求 a 的值；（2）当 a0 时，设ABM 的面积为 S，求 S 与 a 的
44、函数关系式；（3）将二次函数 yax 22ax2 的图象 C1 绕点 P（t ，2）旋转 180得到二次函数的图象（记为抛物线 C2） ，顶点为 N若点 N 恰好落在直线 l 上，求 a 与 t 满足的关系；当 2x1 时，旋转前后的两个二次函数 y 的值都会随 x 的值增大而减小，求 t 的取值范围【分析】 （1）抛物线与 x 轴只有一个交点，即只有顶点 M 在 x 轴上，故 M 的纵坐标为0（2）过点 M 作 MHy 轴，把ABM 分成AMH 与BMH，以 MH 为底，点 A、点 B分别到 MH 的距离为高，即可求面积由于点 A 不确定位置，故需要分类讨论（3） 根据题意，点 M 绕点 P
45、（t ，2）旋转 180得到点 N，所以 MPNP ，即 P为 MN 中点，根据中点坐标公式可求 a 与 t 的关系式旋转前的抛物线对称轴为直线 x1，要满足在2x1 时 y 随 x 的增大而减小，即在对称轴左侧抛物线下降，故开口向上；则旋转后的抛物线开口向下，对称轴必须在x2 的左侧，即求出 t 的范围【解答】解：（1）yax 22ax 2a（x1） 2a2抛物线顶点 M（1，a2 ）抛物线与 x 轴只有一个交点a20解得：a2（2）过 M 作 MHy 轴，交 AB 于 H，交 x 轴于 G点 H 在直线 l：y2x a 上第 26 页（共 29 页）H（1，2a）且 2a a2 即点 H 一定在点 M 上方MH 2a （a2） 4直线 l：y2 xa 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，BA（ ，0） ，B（0，a）如图 1，当 1 即 a2 时，点 A 在直线 x1 的右方SS AMH +SBMH 4 a如图 2，当 0 1 即 0a2 时，点 A 在直线 x1 的左方SS BMH S AMH 综上所述，Sa（3） 点 M（1，a2）绕点 P（t ，2）旋转 180得到点 N点 P 为 MN 中点设 N（m，n） ，则有整理得：m2t1，na2点 N 在直线 l
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