1、第 1 页（共 27 页）人教版九年级下学期27.2 相似三角形同步练习卷一选择题（共 8 小题）1如图，在ABC 纸板中，AC 4，BC 2，AB5，P 是 AC 上一点，且 AP2.8，过点P 沿直线剪下一个与 ABC 相似的小三角形纸板，则不同的剪法有（ ）A2 种 B3 种 C4 种 D5 种2已知ABC 和DEF 中，BE100，下列条件不能得到两个三角形相似的是（ ）AAD B CCD DC40，D303若如图所示的两个四边形相似，则 的度数是（ ）A80 B60 C70 D1504如图，ABC 中，DEBC， ，ADE 的面积是 2，那么BEC 的面积是（ ）A6 B8 C12
2、D185如图，在ABC 中，B、C 的角平分线交于点 F，分别过 B、C 作 BF、CF 的垂线，交 CF、BF 的延长线于点 D、E，且 BD、EC 交于点 G则下列结论：D+EA； BFC GA；BCA + A2ABD；ABBC BD BG正确的有（ ）第 2 页（共 27 页）A B C D6如图，在ABC 中，B80，C40，直线 l 平行于 BC现将直线 l 绕点 A 逆时针旋转，所得直线分别交边 AB 和 AC 于点 M、N ，若AMN 与ABC 相似，则旋转角为（ ）A20 B40 C60 D807如图，方格纸中每个小正方形的边长为 1，ABC 和DEF 的顶点都在格点上（小正方
3、形的顶点） P 1，P 2，P 3，P 4，P 5 是DEF 边上的 5 个格点，请在这 5 个格点中选取2 个作为三角形的顶点，使它和点 D 构成的三角形与 ABC 相似，所有符合条件的三角形的个数为（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个8如图，G，E 分别是正方形 ABCD 的边 AB，BC 上的点，且AGCE ，AE EF，AEEF ，现有如下结论：BE DH；AGEECF；FCD 45； GBEECH其中，正确的结论有（ ）第 3 页（共 27 页）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个二填空题（共 8 小题）9如图，矩形 ABCDBCFE，且 AE3，AD2，则 BE 的长为
4、10如图，已知ABC 是面积为 的等边三角形，ABCADE，AB 2AD，BAD45，AC 与 DE 相交于点 F，则点 D 到线段 AB 的距离等于（结果保留根号） 11如图，点 P 是矩形 ABCD 内一点，连接 PA、PB 、PC、PD，已知 AB3，BC4，设PAB、PBC、PCD、PDA 的面积分别为 S1，S 2，S 3，S 4，以下判断：PA+PB+PC+PD 的最小值为 10；若 PABPCD，则PADPBC ；若 S1S 2，则 S3S 4，若 PABPDA ，则 PA2其中正确的是 （把所有正确的结论的序号都填在横线上）12如图，ABC 中，C90，BC8m ，AB10m，
5、点 P 从 B 点出发，沿 BC 方向以第 4 页（共 27 页）2m/s 的速度移动，点 Q 从 C 出发，沿 CA 方向以 1m/s 的速度移动若 P、Q 同时分别从 B、C 出发，经过 秒，CPQCBA13如图，在ABCD 中，E 为 AD 的三等分点，AE AD，连结 BE，交 AC 于点F，AC 15，则 AF 为 14如图，某学生利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆 EC 的高为 2m，且 CEBD，并测得BC4m，CA1m，那么树 BD 的高度是 m 15如图，ABC 的顶点在 13 的正方形网格的格点上，在图中画出一个与ABC 相似但不全等的DEF （DEF 的顶点在格点上）
6、，则DEF 的三边长分别是 16如图，Rt ABC 中，BAC90，AD BC ，若 BD1，AD3，则 CD 第 5 页（共 27 页）三解答题（共 5 小题）17在正方形 ABCD 中，BC2，点 M 是边 AB 的中点，连接 DM，DM 与 AC 交于点 P（1）求 PD 的长；（2）点 E 在 DC 上，点 F 在 DP 上，且DFE45若 PF ，求 CE 的长18如图，洋洋和华华用所学的数学知识测量一条小河的宽度，河的对岸有一棵大树，底部记为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，并且使 AB 与河岸垂直，在 B 处与地面垂直竖起标杆 BC，再在 AB 的延长线上选择点 D，与地面垂
7、直竖起标杆 DE，使得A、C 、E 三点共线经测量， BC1m，DE 1.5m ，BD 5m，求小河的宽度19已知在ABC 中，ABC90，AB3，BC 4点 Q 是线段 AC 上的一个动点，过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB（如图 1）或线段 AB 的延长线（如图 2）于点 P（1）当点 P 在线段 AB 上时，求证：AQP ABC ；（2）当PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长20如图，在矩形 ABCD 中，AB12cm，BC 8cm 点 E、F、G 分别从点 A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动点 E、G 的速度均为 2cm/s，点 F 的速度为第 6 页（共 27
8、 页）4cm/s，当点 F 追上点 G（即点 F 与点 G 重合）时，三个点随之停止移动设移动开始后第 t 秒时，EFG 的面积为 S（cm 2）（1）当 t1 秒时，S 的值是多少？（2）写出 S 和 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围；（3）若点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F、C、G 为顶点的三角形相似？请说明理由21如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB3cm，BC 6cm 某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 点出发沿 DA 方向以2
9、cm/s 的速度向 A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 ？（2）是否存在时刻 t，使以 A，M ，N 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由第 7 页（共 27 页）参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题）1如图，在ABC 纸板中，AC 4，BC 2，AB5，P 是 AC 上一点，且 AP2.8，过点P 沿直线剪下一个与 ABC 相似的小三角形纸板，则不同的剪法有（ ）A2 种 B3 种 C4 种 D5 种【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到不同的剪法【解答】解：如图所示，过 P 作 P
10、DAB 交 BC 于 D 或 PEBC 交 AB 于 E，则PCDACB 或APEACB，如图所示，过 P 作APFB 交 AB 于 F，则APFABC，故选：B【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等2已知ABC 和DEF 中，BE100，下列条件不能得到两个三角形相似的是（ ）AAD B CCD DC40，D30【分析】由在ABC 和DEF 中，BE100，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似与有两组角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案，注意两边及其夹角法中角必须是夹角第 8 页（共 27 页）【解答】解：在ABC 和DEF 中，B
11、E100，A、当A D 时，ABC DEF ，故能判定这两个三角形相似；B、当 时，ABCDEF，故能判定这两个三角形相似；C、当C D 时，ABCDEF，故能判定这两个三角形相似；D、当C40，D30时，不能判断这两个三角形相似故选：D【点评】此题考查了相似三角形的判定注意熟记定理是解此题的关键3若如图所示的两个四边形相似，则 的度数是（ ）A80 B60 C70 D150【分析】由如图所示的两个四边形相似，根据相似多边形的对应角相等，即可求得答案【解答】解：如图，四边形 ABCD四边形 ABC D，AA 150，BB60，CC80，360ABC70故选：C【点评】此题考查了相似多边形的性质
12、此题比较简单，解题的关键是掌握相似多边形的对应角相等定理的应用4如图，ABC 中，DEBC， ，ADE 的面积是 2，那么BEC 的面积是（ ）第 9 页（共 27 页）A6 B8 C12 D18【分析】根据相似三角形的判定和性质以及三角形面积公式解答即可【解答】解：ABC 中，DEBC， ，ADE 的面积是 2，BDE 的面积是 4，ADEABC， ，ABC 的面积18，BEC 的面积182412，故选：C【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定和性质以及三角形面积公式解答5如图，在ABC 中，B、C 的角平分线交于点 F，分别过 B、C 作 BF、CF 的垂线，交
13、 CF、BF 的延长线于点 D、E，且 BD、EC 交于点 G则下列结论：D+EA； BFC GA；BCA + A2ABD；ABBC BD BG正确的有（ ）A B C D【分析】由在ABC 中，B、C 的角平分线交于点 F，与 BDBF，ECCF ，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，易求得D +EA；由 DGBF，可得 G90E90 A，由BFC180第 10 页（共 27 页）（CBF+ BCF）180 （ABC+ ACB）180（90 A）90+ A ，即可证得BFC GA；根据角平分线的定义与三角形内角和定理，易证得BCA+A2ABD；然后证得DBCABG，由相似三角形的对应边成比
14、例，即可证得ABBC BDBG【解答】解：在ABC 中，B、C 的角平分线交于点 F，ABF CBF ABC，ACFBCF ACB，BFDCFECBF+BCF （ABC +ACB） （180A）90 A，BDBF，EC CF，D90BFD A，E90CFE A，D+E A；故正确；DGBF，FBG90，G90E90 A，BFC180（CBF+BCF）180 （ABC+ACB）180（90 A）90+ A，BFCG（90+ A）（90 A）A；故正确；DGBF，ABD90ABF，BF 是ABC 的角平分线，ABC2ABF，2ABD1802ABF180ABC，BCA+ A180ABC，第 11 页
15、（共 27 页）BCA+ A2ABD ；故正确；连接 AG，在ABC 中，B、C 的角平分线交于点 F，AF 是BAC 的平分线，AFB 180（BAF +ABF）180 （BAC+ABC）180 （180ACB）90+ ACB，BFDG，CF EC，FBGFCG90，FBG+FCG180，点 B，G，C，F 共圆，BFGBCG90FCB90 ACB ，由可得： AFB +BFG180，A，F，G 共线，BAF D BAC，DBC90+CBF ，ABG90+ABF，DBCABG，DBCABG，BD：ABBC ：BG，ABBCBDBG故正确故选：D【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、角平分
16、线的性质、直角三角形的性质以及三角形内角和定理此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用第 12 页（共 27 页）6如图，在ABC 中，B80，C40，直线 l 平行于 BC现将直线 l 绕点 A 逆时针旋转，所得直线分别交边 AB 和 AC 于点 M、N ，若AMN 与ABC 相似，则旋转角为（ ）A20 B40 C60 D80【分析】若AMNACB，则AMNC40，再根据直线 l 平行于 BC，可得ADEB 80，进而得到DFMADEAMN804040，即可得出旋转角的大小【解答】解：如图，直线 l 绕点 A 逆时针旋转，所得直线分别交边 AB 和 AC 于点M、N，若A
17、MNACB，则AMNC40，又直线 l 平行于 BC，ADEB80，DFMADEAMN804040，即直线 l 旋转前后的夹角为 40，旋转角为 40，故选：B【点评】本题主要考查了相似三角形的性质以及旋转的性质，解题时注意：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角7如图，方格纸中每个小正方形的边长为 1，ABC 和DEF 的顶点都在格点上（小正第 13 页（共 27 页）方形的顶点） P 1，P 2，P 3，P 4，P 5 是DEF 边上的 5 个格点，请在这 5 个格点中选取2 个作为三角形的顶点，使它和点 D 构成的三角形与ABC 相似，所有符合条件
18、的三角形的个数为（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【分析】设网格的边长为 1，两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似，我们把 D 点和另外两点连接，三边和 ABC 对应成比例的三角形即为所求的三角形【解答】解：设网格的边长为 1则 AC ，AB ，BC 连接 DP2P5，DP5 ，DP 2 ，P 2P5 ，ACBDP 5P2同理可找到DP 2P4，DP 4P5 和ACB 相似故选：B【点评】本题是在网格型图形中找相似三角三角形，关键是知道相似三角形的判定定理，三边对应成比例，是相似三角形8如图，G，E 分别是正方形 ABCD 的边 AB，BC 上的点，且AGCE ，AE E
19、F，AEEF ，现有如下结论：BE DH；AGEECF；FCD 45； GBEECH其中，正确的结论有（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个第 14 页（共 27 页）【分析】由BEG45知BEA45，结合AEF90得HEC45，据此知HCEC，即可判断；求出GAE+AEG45，推出GAEFEC，根据 SAS推出GAECEF ，即可判断 ；求出AGE ECF135，即可判断 ；求出FEC45，根据相似三角形的判定得出GBE 和ECH 不相似，即可判断【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，ABBCCD，AGGE ，BGBE，BEG45，BEA 45，AEF 90，HEC45，则 HCEC
20、，CDCH BC CE，即 DHBE，故错误；BGBE，B90，BGEBEG45，AGE135，GAE+AEG 45，AEEF，AEF 90，BEG45，AEG+FEC45，GAEFEC，在GAE 和CEF 中，GAECEF（SAS） ，正确；AGEECF135，FCD1359045，正确；BGEBEG45，AEG +FEC 45，第 15 页（共 27 页）FEC45，GBE 和ECH 不相似，错误；故选：C【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大二填空题（共 8 小题）9如图，矩形 ABCD
21、BCFE，且 AE3，AD2，则 BE 的长为 1 【分析】根据相似多边形的性质即可得到结论【解答】解：四边形 ABCD 和四边形 BCFE 是矩形，BCEFAD2，矩形 ABCDBCFE ， ， ，BE1（负值舍去） ，故答案为：1【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键10如图，已知ABC 是面积为 的等边三角形，ABCADE，AB 2AD，BAD45，AC 与 DE 相交于点 F，则点 D 到线段 AB 的距离等于（结果保留根号） 【分析】先根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形 ADE 的面积，再根据等边三角形的面积公式求出其边长，进而求出点 D 到线段
22、 AB 的距离第 16 页（共 27 页）【解答】解：ABCADE，AB2AD， （ ） 24，S ABC ，S ADE ，ABC 是等边三角形，ABCADE，ADE 是等边三角形， AD2 ，AD1如图，过点 D 作 DHAB 于 H在ADH 中， HAD 45 ，DHAD sinHAD1 故答案为 【点评】此题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，解此题的关键是根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形 ADE 的面积，求出边长AD11如图，点 P 是矩形 ABCD 内一点，连接 PA、PB 、PC、PD，已知 AB3，BC4，设PAB、PBC、PCD、PDA 的面积
23、分别为 S1，S 2，S 3，S 4，以下判断：PA+PB+PC+PD 的最小值为 10；若 PABPCD，则PADPBC ；若 S1S 2，则 S3S 4，若 PABPDA ，则 PA2其中正确的是 （把所有正确的结论的序号都填在横线上）第 17 页（共 27 页）【分析】 当点 P 是矩形 ABCD 两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD 的值最小，根据勾股定理可得 PA+PB+PC+PD 的最小值，即可判断；根据全等三角形的性质可得 PAPC ，PB PD ，那么 P 在线段 AC、BD 的垂直平分线上，即 P 是矩形 ABCD 两对角线的交点，易证PADPBC，即可判断；易证 S1+
24、S3S 2+S4，所以若 S1S 2，则 S3S 4，即可判断；根据相似三角形的性质可得PAB PDA ，PAB+ PADPDA+PAD90，利用三角形内角和定理得出APD180（PDA+PAD）90，同理可得APB 90，那么BPD180，即 B、P、D 三点共线，根据三角形面积公式可得PA2.4，即可判断【解答】解：当点 P 是矩形 ABCD 两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD 的值最小，根据勾股定理得，ACBD5，所以 PA+PB+PC+PD 的最小值为 10，故正确；若 PABPCD，则 PAPC ，PBPD，所以 P 在线段 AC、BD 的垂直平分线上，即 P 是矩形 ABCD
25、 两对角线的交点，所以PADPBC，故正确；若 S1S 2，易证 S1+S3S 2+S4，则 S3S 4，故正确；若 PABPDA ，则PAB PDA，PAB+ PADPDA+PAD90，APD180（PDA +PAD ）90，同理可得 APB90，那么BPD180，B 、P、D 三点共线，P 是直角BAD 斜边上的高，根据面积公式可得PA2.4，故错误故答案为【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，全等三角形、相似三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，线段垂直平分线的判定等知识，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键12如图，ABC 中，C90，BC8m ，AB10m，点 P 从 B 点出发，
26、沿 BC 方向以2m/s 的速度移动，点 Q 从 C 出发，沿 CA 方向以 1m/s 的速度移动若 P、Q 同时分别从 B、C 出发，经过 2.4 秒，CPQCBA第 18 页（共 27 页）【分析】设经过 t 秒时，CPQ CBA，根据相似三角形的性质得到CP：CBCQ：CA，解方程即可得到结论【解答】解：设经过 t 秒时， CPQCBA，如图，ABC 中，C90，BC8m ，AB10m，由勾股定理求得：AC 6（m） CPQCBA，CP：CBCQ：CA，即（82t ）：8t：6t2.4故答案是：2.4【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，关键是知道哪些线段对应成比例时两个三角形相似
27、13如图，在ABCD 中，E 为 AD 的三等分点，AE AD，连结 BE，交 AC 于点F，AC 15，则 AF 为 6 【分析】根据平行四边形的对边相等可得 ADBC，然后求出 AE AD BC，再根据平行线分线段成比例定理求出 AF、FC 的比，然后求解即可【解答】解：在ABCD 中，ADBC，ADBC，第 19 页（共 27 页）E 为 AD 的三等分点，AE AD BC，ADBC， ，AC15，AF 156故答案为 6【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的对边平行且相等的性质，熟记定理并求出 AF、FC 的比是解题的关键14如图，某学生利用标杆测量一棵大树的高度，如果
28、标杆 EC 的高为 2m，且 CEBD，并测得BC4m，CA1m，那么树 BD 的高度是 10 m 【分析】先根据相似三角形的判定定理得出 RtACERtABD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出 BD 的长【解答】解：ECAB，BDAB，ECBD，ACEABD90，在 Rt ACERtABD 中， AA，ACE ABD 90，RtACERtABD ， ，即 ，解得 BD10m 故答案为：10【点评】本题考查的是相似三角形的应用，用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例15如图，ABC 的顶点在 13 的正方形网格的格点上，在图中画出一个与ABC 相似但不全等的DEF （DEF 的顶点在格
29、点上） ，则DEF 的三边长分别是 ，2，第 20 页（共 27 页）【分析】直接利用网格结合勾股定理以及相似三角形的判定方法得出答案【解答】解：如图所示：ABCDEF，DE ，ED 2，EF 故答案为： ，2， 【点评】此题主要考查了相似变换，正确得出对应边的比值是解题关键16如图，Rt ABC 中，BAC90，AD BC ，若 BD1，AD3，则 CD 9 【分析】先根据题意得出ABDCAD，然后根据相似三角形的性质解答即可【解答】解：RtABC 中，BAC90，B+C 90 ADBC 于点 D，B+BAD90，C+CAD90，BADC，BCAD，ABDCAD，AD 2BD CD，BD1，
30、AD3，CD9，故答案为：9【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，难度一般，解答本题的关键是根据垂直证明三角形的相似，根据对应变成比例求边长三解答题（共 5 小题）17在正方形 ABCD 中，BC2，点 M 是边 AB 的中点，连接 DM，DM 与 AC 交于点 P第 21 页（共 27 页）（1）求 PD 的长；（2）点 E 在 DC 上，点 F 在 DP 上，且DFE45若 PF ，求 CE 的长【分析】 （1）如图作 FKAD 于 K，FHAB 于 H利用勾股定理求出 DM，再证明 2 即可解决问题；（2）由AMPFDE ，推出 ，即可解决问题；【解答】解：（1）如图作 PKAD 于
31、 K，PHAB 于 H四边形 ABCD 是正方形，PADPAB45，PKAD，PHAB ，PKPH， ，ABAD 2，AMBM 1 ，DM ， 2，PD 第 22 页（共 27 页）（2）PF ，PD ，DM ，DF ，PM ，DEAM，AMP EDF，DFEMAP45，AMP FDE， ， ，DE ，EC2 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、角平分线的性质定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用面积法探究线段之间的关系，属于中考常考题型18如图，洋洋和华华用所学的数学知识测量一条小河的宽度，河的对岸有一棵大树，底部记为点 A，在他们所在的岸边选择了点
32、 B，并且使 AB 与河岸垂直，在 B 处与地面垂直竖起标杆 BC，再在 AB 的延长线上选择点 D，与地面垂直竖起标杆 DE，使得A、C 、E 三点共线经测量， BC1m，DE 1.5m ，BD 5m，求小河的宽度【分析】由 BCAD，ED AD，可得ABCADE，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题【解答】解：设小河的宽度 ABxm，根据题意得：BCAD ，EDAD，ABCADE，AB：AD BC ：ED，第 23 页（共 27 页）x：（x+5） 1：1.5，解得 x10，AB 10，即小河的宽度为 10 米【点评】本题考查相似三角形的应用知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
33、属于中考常考题型19已知在ABC 中，ABC90，AB3，BC 4点 Q 是线段 AC 上的一个动点，过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB（如图 1）或线段 AB 的延长线（如图 2）于点 P（1）当点 P 在线段 AB 上时，求证：AQP ABC ；（2）当PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长【分析】 （1）由两对角相等（APQC ，AA） ，证明AQPABC；（2）当PQB 为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论（I）当点 P 在线段 AB 上时，如题图 1 所示由三角形相似（AQP ABC ）关系计算 AP 的长；（II）当点 P 在线段 AB 的延长线上时，如题图 2 所示利用角
34、之间的关系，证明点 B为线段 AP 的中点，从而可以求出 AP【解答】 （1）证明：PQ AQ，AQP90ABC ，在APQ 与ABC 中，AQP90ABC ，AA，AQPABC（2）解：在 RtABC 中，AB3，BC 4，由勾股定理得：AC5QPB 为钝角，第 24 页（共 27 页）当PQB 为等腰三角形时，（I）当点 P 在线段 AB 上时，如题图 1 所示QPB 为钝角，当PQB 为等腰三角形时，只可能是 PBPQ，由（1）可知，AQPABC， ，即 ，解得：PB ，APABPB3 ；（II）当点 P 在线段 AB 的延长线上时，如题图 2 所示QBP 为钝角，当PQB 为等腰三角形
35、时，只可能是 PBBQBPBQ ，BQPP，BQP+AQB 90，A+P90，AQBA，BQAB，ABBP，点 B 为线段 AP 中点，AP2AB236综上所述，当PQB 为等腰三角形时，AP 的长为 或 6【点评】本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大第（2）问中，当PQB 为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论，避免漏解20如图，在矩形 ABCD 中，AB12cm，BC 8cm 点 E、F、G 分别从点 A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动点 E、G 的速度均为 2cm/s，点 F 的速度为4cm/s，当点 F 追上点 G（即点 F 与点 G 重合）时，三个点随
36、之停止移动设移动开始后第 t 秒时，EFG 的面积为 S（cm 2）（1）当 t1 秒时，S 的值是多少？（2）写出 S 和 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围；（3）若点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F、C、G 为顶点的三角形相似？请说明理由第 25 页（共 27 页）【分析】 （1）当 t1 时，根据点 E、G 的速度均为 2cm/s，点 F 的速度为 4cm/s，可求出 S 和 t 的关系（2）根据点 E、G 的速度均为 2cm/s，点 F 的速度为 4cm/s，当点 F 追上点 G（即点 F与点 G 重合）时，
37、三个点随之停止移动设移动开始后第 t 秒时，EFG 的面积为 S，求出 S 和 t 的关系式（3）两边对应成比例夹角相等的三角形是相似三角形可求出解【解答】解：（1）如图 1，当 t1 秒时，AE 2，EB10，BF4，FC4，CG2，由 SS 梯形 GCBES EBF S FCG ， （10+2）8 10424（cm 2） ；（2） 如图 1，当 0t2 时，点 E、F、G 分别在边 AB、BC、CD 上移动，此时 AE2t， EB122t， BF4t，FC 84t，CG2t，SS 梯形 GCBES EBF S FCG （EB+CG）BC EBBF FCCG 8（122t+2t） 4t（12
38、2t ） 2t（8 4t）第 26 页（共 27 页）8t 232t+48（0t2） 如图 2，当点 F 追上点 G 时，4t 2t+8，解得 t4，当 2t4 时，点 E 在边 AB 上移动，点 F、G 都在边 CD 上移动，此时CF4t8，CG2t，FGCGCF2t（4t8）82t，S FGBC （82t）88t+32即 S8t+32（ 2t4） （3）如图 1，当点 F 在矩形的边 BC 上的边移动时，在EBF 和FCG 中，BC90，若 ，即 ，解得 t 所以当 t 时，EBF FCG，若 即 ，解得 t 所以当 t 时，EBF GCF综上所述，当 t 或 t 时，以点 E、B、F 为
39、顶点的三角形与以 F、C 、G 为顶点的三角形相似【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，一次函数的应用和三角形的面积以及矩形的性质等知识点21如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB3cm，BC 6cm 某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 点出发沿 DA 方向以2cm/s 的速度向 A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 ？（2）是否存在时刻 t，使以 A，M ，N 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由第 27 页（共 27 页）【分析】
40、（1）关于动点问题，可设时间为 x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 作为相等关系；（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的 t 值即可说明存在，反之则不存在【解答】解：（1）设经过 x 秒后，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 ，则有： （62x）x 36，即 x23x+20， （2 分）解方程，得 x11，x 22， （3 分）经检验，可知 x11，x 22 符合题意，所以经过 1 秒或 2 秒后，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 （4 分）（2）假设经过 t 秒时，以 A，M ，N 为顶点的三角形与ACD 相似，由矩形 ABCD，可得CDAMAN90，因此有 或 （5 分）即 ，或 （6 分）解，得 t ；解 ，得 t （7 分）经检验，t 或 t 都符合题意，所以动点 M，N 同时出发后，经过 秒或 秒时，以 A，M，N 为顶点的三角形与ACD 相似 （8 分）【点评】主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质和一元二次方程的运用以及解分式方程要掌握矩形和相似三角形的性质，才会灵活的运用注意：一般关于动点问题，可设时间为 x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可
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