1、03 一元二次方程高中必备知识点 1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程 ax2bxc 0（a0） ，用配方法可以将其变形为24()bacx因为 a0，所以，4a 20于是（1）当 b24ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2 c；（2）当 b24ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x1x 2 a；（3）当 b24ac0 时，方程的右端是一个负数，而方程的左边 2()bxa一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程 ax2bxc 0（a0）的根的情况可以由 b24ac 来判定，我们把 b24ac 叫做一元二次方程 a
2、x2bx c0（a0）的 根的判别式，通常用符号“”来表示综上所述，对于一元二次方程 ax2bxc 0（a0） ，有(1)当 0 时，方程有两个不相等的实数根x1，2 24bac；（2）当 0 时，方程有两个相等的实数根x1x 2 a；（3）当 0 时，方程没有实数根典型考题【典型例题】关于 的一元二次方程 ，其根的判别式为 ，求 的值 2(1)+21=0 16 【变式训练】已知关于 的一元二次方程 2(+2)+2=0若方程的一个根为 ，求 的值及另一个根；(1) 若该方程根的判别式的值等于 ，求 的值(2) 1 【能力提升】方程（x5） （2x1）=3 的根的判别式 b24ac= 高中必备知
3、识点 2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程 ax2bx c 0（a0）有两个实数根14bxa，224bcx，则有 2212caba；2244(4)babccx 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果 ax2bxc 0（a0 ）的两根分别是 x1，x 2，那么 x1x 2 ba，x 1x2 c这一关系也被称为韦达定理特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2pxq0，若 x1，x 2 是其两根，由韦达定理可知x1x 2p，x 1x2q，即 p(x 1x 2)，qx 1x2，所以，方程 x2px q0 可化为 x2( x1x 2)xx 1x20，由于 x1，x 2 是一
4、元二次方程x2pxq0 的两根，所以，x 1，x 2 也是一元二次方程 x2(x 1x 2)xx 1x20典型考题【典型例题】如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”（1 ）请问一元二次方程 x26x+80 是倍根方程吗？如果是，请说明理由（2 ）若一元二次方程 x2+bx+c0 是倍根方程，且方程有一个根为 2，求 b、c 的值【变式训练】求方程 x22x2 0 的根 x1，x 2（x 1x 2） ，并求 x12+2x2 的值【能力提升】已知关于 x 的一元二次方程 x2+(2m+3)x+m20 有两
5、根 ，(1)求 m 的取值范围；(2)若 +0求 m 的值专题验收测试题1已知 x1，x 2 是关于 x 的方程 x2mx30 的两个根，下面结论一定正确的是（ ）Ax 1+x20 Bx 1x2 Cx 1x20 Dx 10，x 202已知关于 x 的一元二次方程 2x2+mx30 的一个根是1，则另一个根是（ ）A1 B1 C 2D323用配方法解一元二次方程 x2+4x50，此方程可变形为（ ）A （x +2） 29 B （x 2） 29 C （x+2 ） 21 D （x2） 214有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 90 场，每两队之间都比赛 2 场，则下列方程中符合题意的是（ ）A12
6、x（x1） 90 B12x（x+1）90 Cx（x1 ） 90 Dx（x+1）905关于 x 的一元二次方程 x22 3 x+m0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）Am3 Bm3 Cm3 Dm36关于 x 的方程（ m2）x 2 x+140 有实数根，则 m 的取值范围（ ）Am52且 m2 Bm5Cm52Dm3 且 m27关于 x 的一元二次方程 x2（m+2 ）x+ m0 根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C没有实数根 D无法确定8下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A2 x2+30 Bx 22x Cx 2+4x1 0 Dx 28x+160
7、9欧几里得的原本记载，形如 x2+axb 2 的方程的图解法是：画 RtABC，使ACB 90，BC 2a，AC b，再在斜边 AB 上截取 BDa则该方程的一个正根是（ ）AAC 的长 BAD 的长 CBC 的长 DCD 的长10若关于 x 的一元二次方程 ax2+2x5=0 的两根中有且仅有一根在 0 和 1 之间（不含 0 和1） ，则 a 的取值范围是（ ）Aa 3 Ba3 C a 3 Da 311一元二次方程 x（x+5）x+5 的解为_12一元二次方程 x23x20 的两根为 x1，x 2，则 x12+3x2+x1x22 的值为_13若关于 x 的一元二次方程 x23x+2+m0
8、无实数根，则 m 的取值范围是_14已知 x1，x 2 是一元二次方程 x2+3x60 的两个实数根，那么直线 y（ 12x）x（x 12+x22）不经过第_ 象限15已知 x=-1 是关于 x 的一元二次方程 x2+(m+ 1)x-m2=0 的一个实数根, 则 m=_.16已知 、 是一元二次方程 x22019x+10 的两实根，则代数式（2019 ） （ 2019）_17已知关于 x 的一元二次方程 x2+kxk20（1 ）求证：无论 k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2 ）若方程的两根之和等于 3，求 k 的值以及方程的两个根18四川雅安地震牵动着全国人民的心，扬州市教育局开展
9、了“ 一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款 10000 元，第三天收到捐款 14400 元(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？19解方程或不等式：（1 ）解方程： ；2246=0（2 ）解不等式 2+13+2 20关于 x 的一元二次方程 x2(2k1)x+k2+10 有两个不相等的实数根 x1，x 2(1)求实数 k 的取值范围；(2)若方程的两实数根 x1，x 2 满足|x 1|+|x2|x 1x2，求 k 的值21关于 x 的一元二次方程 x2+（2k+1）x+k 2+1=0 有两个不等
10、实根 x1，x 2（1 ）求实数 k 的取值范围；（2 ）若方程两实根 x1，x 2 满足 x1+x2=x 1x2，求 k 的值22已知关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根23+1=0求 k 的取值范围；(1)若 k 为负整数，求此时方程的根(2)专题 03 一元二次方程高中必备知识点 1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程 ax2bxc 0（a0） ，用配方法可以将其变形为24()bacx因为 a0，所以，4a 20于是（1）当 b24ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2 c；（2）当 b24ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的
11、实数根x1x 2 a；（3）当 b24ac0 时，方程的右端是一个负数，而方程的左边 2()bxa一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程 ax2bxc 0（a0）的根的情况可以由 b24ac 来判定，我们把 b24ac 叫做一元二次方程 ax2bx c0（a0）的 根的判别式，通常用符号“”来表示综上所述，对于一元二次方程 ax2bxc 0（a0） ，有(1)当 0 时，方程有两个不相等的实数根x1，2 24bac；（2）当 0 时，方程有两个相等的实数根x1x 2 a；（3）当 0 时，方程没有实数根典型考题【典型例题】关于 的一元二次方程 ，其根的判别式为 ，求 的
12、值 2(1)+21=0 16 【答案】 【解析】由题意得，鈻 ?(1)24(21)=16整理得， ，21011=0解得： 【变式训练】已知关于 的一元二次方程 2(+2)+2=0若方程的一个根为 ，求 的值及另一个根；(1) 3 若该方程根的判别式的值等于 ，求 的值(2) 1 【答案】(1) ；即原方程的另一根是 =23【解析】（1 ）设方程的另一根是 x2一元二次方程 mx2（m+2）x+2=0 的一个根为 3，x=3 是原方程的解，9m （m+2）3+2=0，解得 m= ；又由韦达定理，得 3x2= ，x 2=1，即原方程的另一根是 1；（2 ） =（m+2） 24m2=1m=1，m=3
13、【能力提升】方程（x5） （2x1）=3 的根的判别式 b24ac= 【答案】105【解析】先把方程（x5） （2x1）=3 化为一元二次方程的一般形式，再求出根的判别式即可方程（x5） （2x1）=3 化为一元二次方程的一般形式为：2x 211x+2=0，故=b 24ac=（11 ） 2422=105高中必备知识点 2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程 ax2bx c 0（a0）有两个实数根14bxa，224bcx，则有 2212caba；2244(4)babccx 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果 ax2bxc 0（a0 ）的两根分别是 x1，x 2，那么 x1x
14、 2 ba，x 1x2 c这一关系也被称为韦达定理特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2pxq0，若 x1，x 2 是其两根，由韦达定理可知x1x 2p，x 1x2q，即 p(x 1x 2)，qx 1x2，所以，方程 x2px q0 可化为 x2( x1x 2)xx 1x20，由于 x1，x 2 是一元二次方程x2pxq0 的两根，所以，x 1，x 2 也是一元二次方程 x2(x 1x 2)xx 1x20典型考题【典型例题】如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”（1 ）请问一元二次方程 x
15、26x+80 是倍根方程吗？如果是，请说明理由（2 ）若一元二次方程 x2+bx+c0 是倍根方程，且方程有一个根为 2，求 b、c 的值【答案】 （1）该方程是倍根方程，理由见解析；（2 ）当方程根为 1，2 时， b 3，c2；当方程根为 2，4 时 b6 ，c 8【解析】（1 ）该方程是倍根方程，理由如下：x26x+80 ，解得 x12，x 24 ，x 22x 1，一元二次方程 x26x+80 是倍根方程；（2 ） 方程 x2+bx+c0 是倍根方程，且方程有一个根为 2，方程的另一个根是 1 或 4，当方程根为 1，2 时， b1+2 ，解得 b 3，c122；当方程根为 2，4 时
16、b2+4，解得 b 6，c248【变式训练】求方程 x22x2 0 的根 x1，x 2（x 1x 2） ，并求 x12+2x2 的值【答案】6【解析】方程 x22x20 的根 x1，x 2，1， . 112226.2xxx 【能力提升】已知关于 x 的一元二次方程 x2+(2m+3)x+m20 有两根 ，(1)求 m 的取值范围；(2)若 +0求 m 的值【答案】(1)m ；(2)m 的值为 334【解析】(1)由题意知，(2m+3) 241m20，解得：m ；34(2)由根与系数的关系得：+ (2m+3)， m 2，+0 ，(2m+3)+ m20，解得：m 11，m 13，由(1)知 m ，
17、34所以 m11 应舍去，m 的值为 3专题验收测试题1已知 x1，x 2 是关于 x 的方程 x2mx30 的两个根，下面结论一定正确的是（ ）Ax 1+x20 Bx 1x2 Cx 1x20 Dx 10，x 20【答案】B【解析】解：（m） 241（3）m 2+40 ，方程 x2mx30 有两个不相等的实数根，x 1x2故选：B2 已知关于 x 的一元二次方程 2x2+mx30 的一个根是1，则另一个根是（ ）A1 B1 C 2D32【答案】C【解析】设方程的另一根为 x1，根据根与系数的关系可得：1x 132，解得 x132故选：C3 用配方法解一元二次方程 x2+4x50，此方程可变形为
18、（ ）A （x +2） 29 B （x 2） 29 C （x+2 ） 21 D （x2） 21【答案】A【解析】解：x 2+4x50，x2+4x5，x2+4x+225+2 2，（x+2 ） 29 ，故选：A4 有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 90 场，每两队之间都比赛 2 场，则下列方程中符合题意的是（ ）A12x（x1） 90 B12x（x+1）90 Cx（x1 ） 90 Dx（x+1）90【答案】C【解析】解：由题意可得，x（x1）90，故选：C5 关于 x 的一元二次方程 x22 3 x+m0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）Am3 Bm3 Cm3 Dm3【答案
19、】C【解析】解：关于 x 的一元二次方程 x22 3x+m0 有两个不相等的实数根，b 24ac（2 3） 241m0 ，解得 m3故选：C6 关于 x 的方程（ m2）x 2 3x+140 有实数根，则 m 的取值范围（ ）Am52且 m2 Bm5Cm52Dm3 且 m2【答案】C【解析】当 m20，即 m2 时，关于 x 的方程（m2 ）x 2 x+140 有一个实数根，当 m20 时，关于 x 的方程（ m2）x 2 x+140 有实数根，3m4（m2）140，解得：m5，m 的取值范围是 m 2，故选：C7 关于 x 的一元二次方程 x2（m+2 ）x+ m0 根的情况是（ ）A有两个
20、不相等的实数根 B有两个相等的实数根C没有实数根 D无法确定【答案】A【解析】由关于 x 的一元二次方程 x2（m+2）x+m0 ，得到 a 1，b （m+2） ，c m，（m+2 ） 24mm 2+4m+44mm 2+40 ，则方程有两个不相等的实数根，故选 A8 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A2 x2+30 Bx 22x Cx 2+4x1 0 Dx 28x+160【答案】A【解析】A、024240，即方程没有实数根，符合题意；B、4 040，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；C、16+4200 ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；D、 64640，方程有两个相等的实数根
21、，不符合题意，故选：A9 欧几里得的原本记载，形如 x2+axb 2 的方程的图解法是：画 RtABC，使ACB 90，BC 2a，AC b，再在斜边 AB 上截取 BDa则该方程的一个正根是（ ）AAC 的长 BAD 的长 CBC 的长 DCD 的长【答案】B【解析】欧几里得的原本记载，形如 x2+axb 2 的方程的图解法是：画 RtABC，使ACB 90 ，BC 2a，AC b，再在斜边 AB 上截取 BDa，设 ADx，根据勾股定理得：（ x+ 2） 2b 2+（ ） 2，整理得：x 2+axb 2，则该方程的一个正根是 AD 的长，故选：B10 若关于 x 的一元二次方程 ax2+2
22、x5=0 的两根中有且仅有一根在 0 和 1 之间（不含 0 和1） ，则 a 的取值范围是（ ）Aa 3 Ba3 C a 3 Da 3【答案】B【解析】试题分析：当 x=0 时，y=5；当 x=1 时，y=a 3 ，函数与 x 轴在 0 和 1 之间有一个交点，则 a30，解得： a3考点：一元二次方程与函数11 一元二次方程 x（x+5）x+5 的解为_【答案】x 15 ，x 21【解析】解：方程整理得：x（x+5 ）（x+5 ）0 ，分解因式得：（x+5） （x 1）0，解得：x 15， x21 ，故答案为：x 15，x 2112 一元二次方程 x23x20 的两根为 x1，x 2，则
23、x12+3x2+x1x22 的值为_【答案】7【解析】解：一元二次方程 x23x20 的两根为 x1，x 2，x 12 3x1+2，x 1x22，x 1+x23 ，x 12+3x2+x1x223x 1+23 （x 1+x2）+x 1x27 ，故答案为：713 若关于 x 的一元二次方程 x23x+2+m0 无实数根，则 m 的取值范围是_【答案】14m【解析】解：根据题意得（3 ） 24（2+m）0，解得 m14故答案为 m 14 已知 x1，x 2 是一元二次方程 x2+3x60 的两个实数根，那么直线 y（ 12x）x（x 12+x22）不经过第_ 象限【答案】二【解析】x 1、x 2 是
24、一元二次方程 x2+3x60 的两个实数根，x 1+x2 3，x 1x26 ， 12，x12+x22（x 1+x2） 22x1x23 22（6 ）21，y 12()()1，该函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故答案为：二15 已知 x=-1 是关于 x 的一元二次方程 x2+(m+ 1)x-m2=0 的一个实数根, 则 m=_.【答案】0 或1【解析】由题意可知：将 x代入方程 22 10xmx可得22(1)(10m整理可得： 2 0，即 或 故答案为： 或16 已知 、 是一元二次方程 x22019x+10 的两实根，则代数式（2019 ） （ 2019）_【答案】1【解析】、 是一
25、元二次方程 x22019x+10 的两实根， 220191， 220191，1 ，（2019） （2019）-2019（+）+ 2191故答案为：117 已知关于 x 的一元二次方程 x2+kxk20（1 ）求证：无论 k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2 ）若方程的两根之和等于 3，求 k 的值以及方程的两个根【答案】 （1）见解析；（2）x 1 ，x 2 3+52【解析】（1 ）证明：因为k 24（k2）k 2+4k+8（k+2） 2+4 0，所以方程有两个不相等的实数根（2 ）由题意，得 k3，所以 k 3当 k3 时，方程为 x23x+1 0所以 x1 ，x 2 3+52 3
26、 52根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握判别式公式， （ 2）正确掌握根与系数的关系公式18 四川雅安地震牵动着全国人民的心，扬州市教育局开展了“ 一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款 10000 元，第三天收到捐款 14400 元(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？【答案】(1)捐款增长率为 10%；(2)第四天该单位能收到 13310 元捐款【解析】(1)设第二天、第三天的增长率为 x，由题意，得10000(1+x)212100，解得：x 10.1，x 22.1( 舍去 )则 x0.1
27、10%答：捐款增长率为 10%；(2)第四天收到的捐款为 12100(1+10%)13310( 元) 答：第四天该单位能收到 13310 元捐款19 解方程或不等式：（1 ）解方程： ；2246=0（2 ）解不等式 2+13+2 【答案】 （1） ；（2 ） 2 ；（2）2. 34【解析】（1 ） 原方程有两个不相等的实数根，=（2k+1） 2-4（k 2+1）0，解得：k ，34即实数 k 的取值范围是 k ；34（2 ） 根据根与系数的关系得： x1+x2=-（2k+1） ，x 1x2=k2+1，又方程两实根 x1、x 2 满足 x1+x2=-x1x2，-（2k+1）=-（k 2+1） ，解得：k 1=0，k 2=2，k ，34k 只能是 222 已知关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根求 k 的取值范围；(1)若 k 为负整数，求此时方程的根(2)【答案】 （ ；（ 时， 【解析】(1)由题意得 0 ，即 94(1 k)0，解得 k .54(2)若 k 为负整数，则 k1，原方程为 x23x 2 0，解得 x11，x 22.
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