1、10 圆高中必备知识点 1：直线与圆的位置关系设有直线 l和圆心为 O且半径为 r的圆，怎样判断直线 l和圆 O的位置关系？观察图 3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离 dr时，直线和圆相离，如圆 O与直线 1l；当圆心到直线的距离 dr=时，直线和圆相切，如圆 与直线 2l；当圆心到直线的距离 dr时，直线和圆相离，如圆 O与直线 1l；当圆心到直线的距离 dr=时，直线和圆相切，如圆 与直线 2l；当圆心到直线的距离 dr时，直线和圆相交，如圆 O与直线3l.在直线与圆相交时，设两个交点分别为 A、B .若直线经过圆心，则 AB 为直径；若直线不经过圆心，如图 3.
2、3-2，连结圆心 O和弦 的中点 M的线段 O垂直于这条弦 AB.且在 RtOMV中， 为圆的半径 r， 为圆心到直线的距离 d，M为弦长 的一半，根据勾股定理，有 22()d-=.当直线与圆相切时，如图 3.3-3， ,PAB为圆 O的切线，可得 PAB，.OAP，且在 RtO:中， 22.如图 3.3-4， PT为圆 O的切线， PAB为圆 O的割线，我们可以证得AB:，因而 2.典型考题【典型例题】在同一平面直角坐标系中有 5 个点：A（1 ，1） ，B（3 ， 1） ，C（3，1 ） ，D（2 2） （1 ）画出ABC 的外接圆P，并指出点 D 与P 相的位置关系；（2 ） E 点是
3、y 轴上的一点，若直线 DE 与P 相切，求点 E 的坐标【答案】 （1）见解析，点 D 在P 上；（2）E（0， 3） 【解析】（1 ）如图所示：ABC 外接圆的圆心为（1，0） ，点 D 在P 上；（2 ）连接 PD，直线 DE 与 P 相切，PD PE，利用网格过点 D 做直线的 DFPD，则 F（6，0 ） ，设过点 D，E 的直线解析式为：y kx+b，D（ 2，2） ，F （6，0） ， ，2+=26+=0 解得： ，=12=3 直线 DE 解析式为： y x3，12x0 时，y 3，E（ 0， 3） 【变式训练】在平面直角坐标系 xOy 中，对于 P、Q 两点给出如下定义：若点
4、P 到 x、y 轴的距离中的最大值等于点 Q 到 x、y 轴的距离中的最大值，则称 P、Q 两点为“ 等距点”，如图中的 P、Q两点即为“等距点” （1 ）已知点 A 的坐标为（3，1）在点 E（0 ， 3） 、F（3，3 ） 、G（2，5 ）中，点 A 的“等距点”是 ；若点 B 在直线 yx +6 上，且 A、B 两点为“等距点”，则点 B 的坐标为 ；（2 ）直线 l：ykx3（k0）与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D若 T1（ 1，t 1） 、T 2（4，t 2）是直线 l 上的两点，且 T1、T 2 为“ 等距点”，求 k 的值；当 k 1 时，半径为 r 的O 上存在一点
5、M，线段 CD 上存在一点 N，使得 M、N 两点为“等距点” ，直接写出 r 的取值范围【答案】 （1）E、F ；（3，3 ） ；（2）k 的值为 1 或 2； r3 32 2【解析】（1 ） 点 A（3，1）到 x、y 轴的距离中最大值为 3，与 A 点是“等距点”的点是 E、F 点 B 在直线 yx +6 上，当点 B 坐标中到 x、y 轴距离其中至少有一个为 3 的点有（3 ，9） 、（3，3） 、 （9， 3） ，这些点中与 A 符合“ 等距点”的是（ 3，3 ） 故答案为E、F；（ 3，3） ；（2 ） T 1（1， t1） 、T 2（4，t 2）是直线 l 上的两点，t 1k3，
6、t 4 k3k 0，|k 3|k +33，4k3 3依据“ 等距点 ”定义可得：当34k 34 时，k+3 4 ，解得 k1 ；当 4k34 时，k+3 4 k3，解得 k2 综上所述，k 的值为 1 或 2k 1，yx3 与坐标轴交点 C（0，3 ） 、D（3，0 ） ，线段 CD3 2N 点在 CD 上，则 N 点到 x、y 轴的距离最大值中最小数为 ，32若半径为 r 的O 上存在一点 M 与 N 是“等距点”，则 r 最小值为 ，32r 的最大值为 CD 长度 3 2所以 r 的取值范围为 r3 32 2故答案为 E、F；（ 3，3）【能力提升】如图，在平面直角坐标系中，已知点 请在图
7、中作出经过点 A、 B、C 三点的 ，并写出圆心 M 的坐标；(1)，试判断直线 BD 与 的位置关系，并说明理由【答案】 如图所示见解析，圆心 M 的坐标为 直线 BD 与 相切，理由见解(1)析.【解析】如图所示， 即为所求(1)由图知，圆心 M 的坐标为 ；(2,1)连接 MB，DB，DM，是直角三角形，即 ，直线 BD 与 相切高中必备知识点 2：点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为 r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于 r；同时，到定点的距离等于 r
8、的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长 r的点的轨迹.我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.从上面对圆的讨论，可以得出：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：和已知线段两个端点
9、的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.典型考题【典型例题】如图，点 ，将 绕点 旋转 得到 .(4,3) （1 ）请在图中画出 ，并写出点 的坐标；（2 ）求旋转过程中 点的轨迹长.【答案】 （1）图形见解析, ；(2)5.(4,3)【解析】解：（1）如图所示， 即为所求出； ；(4,3)（2 ）连接 ， ，=32+42=5旋转过程中 点的轨迹长 .【变式训练】阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点 P、Q 的坐标分别是 P（x 1，y 1） 、Q（x 2，y 2） ，则 P、Q
10、这两点间的距离为 |PQ|= 如 P（1，2） ，Q（3 ，4） ，则|PQ|= =2 (13)2+(24)2 2对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线解决问题：如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+ 交 y 轴于点 A，点 A 关于 x12轴的对称点为点 B，过点 B 作直线 l 平行于 x 轴（1 ）到点 A 的距离等于线段 AB 长度的点的轨迹是 ；（2 ）若动点 C（x ，y）满足到直线 l 的距离等于线段 CA 的长度，求动点 C 轨迹的函数表达式；问题拓展
11、：（3）若（2）中的动点 C 的轨迹与直线 y=kx+ 交于 E、F 两点，分别过 E、F 作12直线 l 的垂线，垂足分别是 M、N，求证：EF 是AMN 外接圆的切线； 为定1+1值【答案】 （1）x 2+（y ） 2=1；（ 2）动点 C 轨迹的函数表达式 y= x2；（3）证明见解析；12证明见解析.【解析】（1 ）设到点 A 的距离等于线段 AB 长度的点 D 坐标为（x，y ） ，AD 2=x2+（y ） 2，12直线 y=kx+ 交 y 轴于点 A，12A（0， ） ，12点 A 关于 x 轴的对称点为点 B，B（0， ） ，12AB=1 ，点 D 到点 A 的距离等于线段 AB
12、 长度，x 2+（y ） 2=1，12故答案为：x 2+（y ） 2=1；12（2 ） 过点 B 作直线 l 平行于 x 轴，直线 l 的解析式为 y= ，12C （x ，y ） ，A（0， ） ，12AC 2=x2+（y ） 2，点 C 到直线 l 的距离为：（y+ ） ，12 12动点 C（x，y）满足到直线 l 的距离等于线段 CA 的长度，x 2+（y ） 2=（y+ ） 2，12 12动点 C 轨迹的函数表达式 y= x2；12（3 ） 如图，设点 E（m，a）点 F（n，b） ，动点 C 的轨迹与直线 y=kx+ 交于 E、F 两点，12 ，=122=+12 x 22kx1=0，m
13、+n=2k，mn=1，过 E、F 作直线 l 的垂线，垂足分别是 M、N，M （m ， ） ，N（n， ） ，12 12A（0， ） ，12AM 2+AN2=m2+1+n2+1=m2+n2+2=（m+n） 22mn+2=4k2+4，MN2=（ mn） 2=（m+n ） 24mn=4k2+4，AM 2+AN2=MN2，AMN 是直角三角形，MN 为斜边，取 MN 的中点 Q，点 Q 是AMN 的外接圆的圆心，Q（k， ） ，A（0， ） ，12直线 AQ 的解析式为 y= x+ ，1 12直线 EF 的解析式为 y=kx+ ，12AQEF，EF 是AMN 外接圆的切线；点 E（m，a）点 F（n
14、，b）在直线 y=kx+ 上，12a=mk+ ，b=nk+ ，12 12ME，NF，EF 是AMN 的外接圆的切线，AE=ME=a+ =mk+1，AF=NF=b+ =nk+1，12 12 =2，即： 为定值，定值为 21+1【能力提升】在数学上，我们把符合一定条件的动点所形成的图形叫做满足该条件的点的轨迹例如：动点 P 的坐标满足（ m，m 1） ，所有符合该条件的点组成的图象在平面直角坐标系 xOy 中就是一次函数 y=x1 的图象即点 P 的轨迹就是直线 y=x1（1 ）若 m、n 满足等式 mnm=6，则（m，n1）在平面直角坐标系 xOy 中的轨迹是 ；（2 ）若点 P（x，y）到点
15、A（ 0，1）的距离与到直线 y=1 的距离相等，求点 P 的轨迹；（3 ）若抛物线 y= 上有两动点 M、N 满足 MN=a（a 为常数，且 a4） ，设线段 MN 的中142点为 Q，求点 Q 到 x 轴的最短距离【答案】 （1） ；（2）y= x2；（3）点 Q 到 x 轴的最短距离为 1=6 14【解析】（1 ）设 m=x，n 1=y，mn m=6，m（n1）=6 ，xy=6， （m，n1）在平面直角坐标系 xOy 中的轨迹是故答案为： ；（2 ） 点 P（x，y）到点 A（ 0，1） ，点 P（x，y）到点 A（0，1）的距离的平方为 x2+（y 1） 2，点 P（x，y）到直线 y
16、=1 的距离的平方为（y+1） 2，点 P（x，y）到点 A（0，1）的距离与到直线 y=1 的 距离相等，x 2+（y1） 2=（y+1） 2， （3 ）设直线 MN 的解析式为 y=kx+b，M （x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，线段 MN 的中点为 Q 的纵坐标为 1+22 . x 24kx4b=0，x 1+x2=4k，x 1x2=4b， 点 Q 到 x 轴的最短距离为 1专题验收测试题1四边形 ABCD 内接于圆， A、B、C、D 的度数比可能是（ ）A1 ：3 ：2：4 B7 ：5：10：8 C13：1 ：5：17 D1 ：2：3：4【答案】C【解析】解：A、1+23+4
17、，所以 A 选项不正确；B、7+105+8 ，所以 B 选项不正确；C、13+51+17，所以 C 选项正确；D、1+32+4，所以 D 选项不正确故选：C2 如图，在平面直角坐标系中，P 的圆心是（2 ，a） ，半径为 2，直线 y x 与P 相交于 A、B 两点，若弦 AB 的长为 2 3，则 a 的值是（ ）A2 B2+ 2C2 3D2 【答案】D【解析】解：设P 与 y 轴相切于点 C，连接 PC，则有 PCOC点 P 的坐标为（ 2，a ） ，PC2若点 P 在直线 yx 上方，如图 1，连接 CP 并延长交直线 yx 于点 E，则有 CEOCCE OC，CEOC，COECEO45过
18、点 P 作 PDAB 于 D，由垂径定理可得：ADBD12AB3在 RtADP 中，PD222PAD(3)1在 RtPDE 中，sinPED12PDE，解得：PE OC CECP+PE 2+ 2a2 3 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，以点 D 为圆心，AD 为半径画 ，再以 BC 为直径画半圆，若阴影部分的面积为 S1，阴影部分的面积为 S2，则图中 S2S1 的值为（ ）A 4 B +4 C 2 D +2【答案】A【解析】解：由图形可知，扇形 ADC 的面积+半圆 BC 的面积+ 阴影部分 的面积正方形 ABCD 的面积阴影部分的面积，S 2S1扇形 ADC 的面积+半圆 BC
19、 的面积正方形 ABCD 的面积，=3蟺2 4故选：A4 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 过点 A（ 3 2，0） ，B（0 ，3 2） ，O 的半径为 1（O 为坐标原点） ，点 P 在直线 AB 上，过点 P 作O 的一条切线 PQ，Q 为切点，则切线长 PQ 的最小值为（ ）A 7B2 C3 D 10【答案】B【解析】解：连接 OP、OQPQ 是O 的切线，OQPQ ；根据勾股定理知 PQ2OP 2OQ2，当 POAB 时，线段 PQ 最短；又A（ 3 ，0 ） ，B（0，3 ） ，OAOB3 2，AB O 6 ，OP12AB3，PQ2PQ2 故选：B5 以 O 为中心点
20、的量角器与直角三角板 ABC 如图所示摆放，直角顶点 B 在零刻度线所在直线 DE 上，且量角器与三角板只有一个公共点 P，若点 P 的读数为 35，则CBD 的度数是（ ）A55 B45 C35 D25【答案】C【解析】AB 是 O 的切线，OPB90 ，ABC90，OPBC，CBDPOB 35 ，故选：C6 如图，O 与直线 l1 相离，圆心 O 到直线 l1 的距离 OB2 3，OA4，将直线 l1 绕点A 逆时针旋转 30后得到的直线 l2 刚好与O 相切于点 C，则 OC( )A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】解：在 RtABO 中，sinOABOA234 ，OAB60 ，直线
21、 l1 绕点 A 逆时针旋转 30后得到的直线 l2 刚好与O 相切于点 C，CAB 30 ， OCAC，OAC603030，在 RtOAC 中，OC 12OA 2故选：B7 在平面直角坐标系 xOy 中，点 O（0，0 ） ，A（2，0） ，B（0，2 3） ，C （2，0 ） 将OAB 绕点 O 顺时针旋转 （0360）得到OA B（其中点 A 旋转到点 A的位置） ，设直线 AA与直线 B B相交于点 P，则线段 CP 长的最小值是（ ）A2 B2 3C2 D2 5【答案】B【解析】OAB 是直角三角形，点 P 在以 AB 为直径的圆上运动，A（2，0 ） ，B（0， 23） ，AB 4
22、，AB 的中点为（ 1， ） ，C（2，0） ，CP 的最小值为 232；故选：B8 如图，在平面直角坐标系中，点 P 是以 C（ 2， 7）为圆心，1 为半径的C 上的一个动点，已知 A（ 1，0） ，B（1，0 ） ，连接 PA，PB，则 PA2+PB2 的最小值是（ ）A6 B8 C10 D12【答案】C【解析】设 P（x，y） ，PA 2（x+1） 2+y2，PB 2（ x1） 2+y2，PA 2+PB22 x2+2y2+22（x 2+y2）+2 ，OP 2x 2+y2，PA 2+PB22 OP2+2，当点 P 处于 OC 与圆的交点上时，OP 取得最值，OP 的最小值为 COCP312 ，PA 2+PB2 最小值为 222+210故选：C9 如图，OA 在 x 轴上，OB 在 y 轴上，OA4，OB3，点 C 在边 OA 上，AC1，P 的圆心 P 在线段 BC 上，且P 与边 AB，AO 都相切若反比例函数 ykx（k 0）的图象经过圆心 P，则 k 的值是（ ）A 2baB 35C52D2【答案】A【解析】解：作 PMAB 于 M，PNx 轴于 N，如图，设P 的半径为 r，P 与边 AB，AO 都相切，PMPNr，OA4 ，OB 3，AC 1，AB 5，S PAB+SPACS ABC，
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