1、第 1 页（共 31 页）2019 年辽宁省沈阳市和平区中考数学一模试卷一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分，每小题只有一个选项是正确的）1 （2 分） 的相反数是（ ）A2 B2 C D2 （2 分）如图是一个正方体纸盒的展开图每个面上都标注了字母或数字，在正方体展开前标注 a 的面的对面上所标注的数字是（ ）A3 B4 C5 D63 （2 分）如图，ABDF ，ACCE 于 C，BC 与 DF 交于点 E，若A20，则CEF等于（ ）A110 B100 C80 D704 （2 分）在一个暗箱里放有 a 个除颜色外其它完全相同的球，这 a 个球中红球只有 3个每次将球搅拌
2、均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在 25%，那么可以推算出 a 大约是（ ）A12 B9 C4 D35 （2 分）把不等式组： 的解集表示在数轴上，正确的是（ ）A BC D6 （2 分）下列运算中，正确的是（ ）Aa 4a2a 8 Ba 10a2a 5C （3ab） 29a 2b2 D （ab） 2a 2b 27 （2 分）关于 x 的一元二次方程 x22x +10 的根的情况是（ ）第 2 页（共 31 页）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实根C没有实数根 D不能确定8 （2 分）某班体育委员统计了全班 45 名同学一周的体育锻炼
3、时间（单位：小时） ，并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法中错误的是（ ）A众数是 9B中位数是 9C平均数是 9D锻炼时间不低于 9 小时的有 14 人9 （2 分）已知三点 P1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） ，P 3（1， 2）都在反比例函数 的图象上，若 x10， x20，则下列式子正确的是（ ）Ay 1y 20 By 10y 2 Cy 1y 20 Dy 10y 210 （2 分）某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长 2400m 的道路为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了 20%，结果提前 8 小时完成任务求原计划每小时修路的长度若设原
4、计划每小时修路 xm，则根据题意可得方程（ ）A BC D二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）11 （3 分）分解因式：3a 23 12 （3 分）世界文化遗产长城总长约为 6700000m，将 6700000 用科学记数法表示应为 13 （3 分）用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子 枚 （用含 n 的代数式表示）第 3 页（共 31 页）14 （3 分）如图，菱形 ABCD 中，点 E 是对角线 AC 上一点，BE 的延长线交边 CD 于点F 若1+275，则3 的度数为 15 （3 分）O 的半径为 1，OP 2，MPO
5、60，将射线 PM 绕点 P 旋转 度（0180）得到射线 PN，若直线 PN 恰好与 O 相切，则 的值为 16 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，由 8 个面积均为 1 的小正方形组成的 L 型模板如图放置，则矩形 ABCD 的周长为 三、解答题（第 17 小题 6 分，第 18、19 小题各 8 分，共 22 分）17 （6 分）计算：（2019） 0+| 2|（ ） 2 +3tan3018 （8 分）将分别标有数字 1，2，3 的三张卡片（卡片除所标注数字外其他均相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上（1）随机地抽取一张卡片，直接写出抽到的卡片所标数字是奇数的概率；（2）随机地抽取一张卡片
6、将卡片上标有的数字作为十位上的数字（不放回） ，再随机地抽取一张卡片，将卡片上标有的数字作为个位上的数字，用列表或树状图的方法求组成的两位数恰好是“32”的概率19 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE，BF 分别平分DAB 和ABC，交边 CD于点 E， F，线段 AE，BF 相交于点 M（1）求证：AEBF ；（2）若 EF AD，则 BC：AB 的值是 第 4 页（共 31 页）四、 （第 20、21 题各 8 分，共 16 分）20 （8 分）为了解某市市民绿色出行”方式的情况某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只
7、从以下五个种类中选择一类） ，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图种类 A B C D E出行方式 共享单车 步行 公交车 的士 私家车根据以上信息，回答下列问题：（1）参与本次问卷调查的市民共有 人，其中选择 B 类的人数有 人，在扇形统计图中，A 类所对应的扇形的圆心角度数是 度；（2）请根据以上信息，直接在答题卡中补全条形统计图；（3）该市约有 12 万人出行，若将 A，B，C 这三类出行方式均视为绿色出行”方式，根据抽样调查的结果，请估计该市“绿色出行”方式的人数21 （8 分）如图，某中心广场灯柱 AB（垂直于地面 BC）被钢缆 CD 定，已知CB3.6m，且 sinDCB （1）求
8、钢缆 CD 的长度；（2）若 AD2m，灯的顶端 E 距离 A 处 1.6m，且EAB120，求灯的顶端 E 到地面的距离第 5 页（共 31 页）五、 （本题 10 分）22 （10 分）如图，在 RABC 中，ACB 90，以 BC 为直径的 O 交 AB 于点 D，点E 是 AC 的中点，连接 DC，DE（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若 AB2BC8，求 的长六、 （本题 10 分）23 （10 分）国家和地方政府为了提高农民种粮的积极性，每亩地每年发放种粮补贴 20 元，种粮大户老王今年种了 50 亩地，计划明年再多承租 50150 亩土地种粮以增加收入，考虑各种因素，预计明年
9、每亩种粮成本 y（元）与种粮面积 x（亩）之间满足一次函数关系其图象如图所示（1）今年老王种粮可获得补贴 元；（2）求 y 与 x 之间的函数关系式；（3）若老王明年每亩的售粮收入能达到 2100 元，设老王明年种粮利润为 w（元） （种粮利润售粮收入种粮成本+种粮补贴） 求老王明年种粮利润 w（元）与种粮面积 x（亩）之间的函数关系式；当种粮面积为多少亩时，老王明年种粮利润最高？第 6 页（共 31 页）七、 （本题 12 分）24 （12 分）如图 1，在正方形 ABCD 中，AD6，点 P 是对角线 BD 上任意一点，连接PA， PC，过点 P 作 PEPC 交直线 AB 于点 E（1）
10、求证：PCPE；（2）延长 AP 交直线 CD 于点 F如图 2，若点 F 是 CD 的中点，求APE 的面积；若 APE 的面积是 ，则 DF 的长为 ；（3）如图 3，点 E 在边 AB 上，连接 EC 交 BD 于点 M，作点 E 关于 BD 的对称点 Q，连接 PQ，MQ ，过点 P 作 PNCD 交 EC 于点 N 连接 QN，若 PQ5，MN ，则MNQ 的面积是 八、 （本题 12 分）25 （12 分）如图 1，抛物线 yax 2+c 与 x 轴，y 轴的正半轴分别交于点 B（4，0）和点C（0，4） ，与 x 轴负半轴交于点 A，动点 M 从点 A 出发沿折线 ACB 向终点
11、 B 匀速运动，将线段 OM 绕点 O 顺时针旋转 60得到线段 ON，连接 MN（1）求抛物线 yax 2+c 的函数表达式；（2）如图 2，当点 N 在线段 AC 上时，求证：AMCN；（3）当点 N 在线段 BC 上时，直接写出此时直线 MN 与抛物线交点的纵坐标；（4）设 BN 的长度为 n，直接写出在点 M 移动的过程中，n 的取值范围第 7 页（共 31 页）第 8 页（共 31 页）2019 年辽宁省沈阳市和平区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分，每小题只有一个选项是正确的）1 （2 分） 的相反数是（ ）A2 B2 C D
12、【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可【解答】解： 的相反数是 ，故选：D【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0不要把相反数的意义与倒数的意义混淆2 （2 分）如图是一个正方体纸盒的展开图每个面上都标注了字母或数字，在正方体展开前标注 a 的面的对面上所标注的数字是（ ）A3 B4 C5 D6【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题【解答】解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，所以在正方体展开前标注 a 的面的对面上所标注的数字
13、是 3故选：A【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题3 （2 分）如图，ABDF ，ACCE 于 C，BC 与 DF 交于点 E，若A20，则CEF等于（ ）第 9 页（共 31 页）A110 B100 C80 D70【分析】如图，由 ACBC 于 C 得到ABC 是直角三角形，然后可以求出ABC180AC180209070，而ABC 170，由于ABDF 可以推出1+ CEF180，由此可以求出CEF【解答】解：ACBC 于 C，ABC 是直角三角形，ABC180AC180209070，ABC170，ABDF ，1+CEF180，即CEF
14、180118070110故选：A【点评】本题比较简单，考查的是平行线的性质及直角三角形的性质4 （2 分）在一个暗箱里放有 a 个除颜色外其它完全相同的球，这 a 个球中红球只有 3个每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在 25%，那么可以推算出 a 大约是（ ）A12 B9 C4 D3【分析】摸到红球的频率稳定在 25%，即 25% ，即可即解得 a 的值【解答】解：摸到红球的频率稳定在 25%， 25%，解得：a12故选：A【点评】本题考查：频率、频数的关系：频率 5 （2 分）把不等式组： 的解集表示在数轴上，正确的是（ ）A
15、 B第 10 页（共 31 页）C D【分析】分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可【解答】解：解不等式，得 x1，解不等式 ，得 x1，所以不等式组的解集是1x1故选：B【点评】不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画，向左画） 在表示解集时“” ， “”要用实心圆点表示 “” ， “”要用空心圆圈表示6 （2 分）下列运算中，正确的是（ ）Aa 4a2a 8 Ba 10a2a 5C （3ab） 29a 2b2 D （ab） 2a 2b 2【分析】利用同底数幂的乘法法则判断 A；利用同底数幂的除法法则判断 B；利用积的乘方法则判断 C；利
16、用完全平方公式判断 D【解答】解：A、a 4a2a 6，故本选项错误；B、a 10a2a 8，故本选项错误；C、 （3ab） 29a 2b2，故本选项正确；D、 （ab） 2a 22ab+b 2，故本选项错误；故选：C【点评】本题考查了同底数幂的乘法与除法、积的乘方、完全平方公式，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键7 （2 分）关于 x 的一元二次方程 x22x +10 的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实根C没有实数根 D不能确定【分析】把 a1，b2，c1 代入b 24ac，然后计算，最后根据计算结果判断方程根的情况【解答】解：a1，b2，c1，b 24ac（2）
17、 24110，方程有两个相等的实数根第 11 页（共 31 页）故选：B【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0，a，b，c 为常数）的根的判别式b 24ac当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根8 （2 分）某班体育委员统计了全班 45 名同学一周的体育锻炼时间（单位：小时） ，并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法中错误的是（ ）A众数是 9B中位数是 9C平均数是 9D锻炼时间不低于 9 小时的有 14 人【分析】此题根据众数，中位数，平均数的定义解答【解答】解：由图可知，锻炼 9 小时的有 18 人，所以 9 在这组数中出现
18、18 次为最多，所以众数是 9把数据从小到大排列，中位数是第 23 位数，第 23 位是 9，所以中位数是 9平均数是（75+88+9 18+1010+114）459，所以平均数是 9锻炼时间不低于 9 小时的有 18+10+432，故 D 错误故选：D【点评】此题考查了折线统计图，用到的知识点是平均数、中位数、众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数） ，叫做这组数据的中位数平均数是所有数的和除以所有数的个数9 （2 分）已知三点 P1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） ，P 3（1， 2）都
19、在反比例函数 的图象上，若 x10， x20，则下列式子正确的是（ ）Ay 1y 20 By 10y 2 Cy 1y 20 Dy 10y 2第 12 页（共 31 页）【分析】根据 kxy 即横纵坐标相乘得比例系数 k，再由反比例函数图象上点的坐标特征即可解答【解答】解：点 P3（1，2）都在反比例函数 的图象上，k1（2）20，函数图象在二，四象限，又x 10，x 20，P 1 在第二象限，P 2 在第四象限，y 10，y 20，y 10y 2故选：D【点评】本题需先求出反比例函数的比例系数在反比函数中，已知两点的横坐标，比较纵坐标的大小，首先应区分两点是否在同一象限内10 （2 分）某市在
20、旧城改造过程中，需要整修一段全长 2400m 的道路为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了 20%，结果提前 8 小时完成任务求原计划每小时修路的长度若设原计划每小时修路 xm，则根据题意可得方程（ ）A BC D【分析】关系式为：原计划用的时间实际用的时间8，把相关数值代入即可【解答】解：原计划用的时间为： ，实际用的时间为： ，可列方程为： ，故选：A【点评】考查列分式方程；得到关于工作时间的关系式是解决本题的关键二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）11 （3 分）分解因式：3a 23 3（a+1） （a1） 【分析】先提取公因式 3，再对余
21、下的多项式利用平方差公式继续分解【解答】解：3a 23，第 13 页（共 31 页）3（a 21） ，3（a+1） （a1） 故答案为：3（a+1） （a1） 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止12 （3 分）世界文化遗产长城总长约为 6700000m，将 6700000 用科学记数法表示应为 6.7106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数
22、相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：6 700 0006.710 6，故答案为：6.710 6【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值13 （3 分）用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子 （3n+1） 枚 （用含 n 的代数式表示）【分析】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律
23、，从而推出一般性的结论【解答】解：第一个图需棋子 4；第二个图需棋子 4+37；第三个图需棋子 4+3+310；第 n 个图需棋子 4+3（n1）（3n+1）枚故答案为：（3n+1） 【点评】此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力第 14 页（共 31 页）14 （3 分）如图，菱形 ABCD 中，点 E 是对角线 AC 上一点，BE 的延长线交边 CD 于点F 若1+275，则3 的度数为 30 【分析】根据四边形 ABCD 为菱形得到 BCCD ，BCA DCA，从而得到BECDEC，证得EDC1，然后根据1+ 275得到EDC+275，然后利用外角性质得到BED2AED
24、150，从而求得答案【解答】解：四边形 ABCD 为菱形，BCCD，BCADCA，BECDEC，EDC1，1+275，EDC+275，AEDEDC+275，BED2AED 150，330故答案为：30【点评】本题考查了菱形的性质，解题的关键是充分挖掘菱形隐含的条件，难度不大15 （3 分）O 的半径为 1，OP 2，MPO60，将射线 PM 绕点 P 旋转 度（0180）得到射线 PN，若直线 PN 恰好与 O 相切，则 的值为 30或 90或 150 【分析】当 BPN 与O 相切时，可连接圆心与切点，通过构建的直角三角形，求出OPN 的度数，然后再根据 BPN 的不同位置分类讨论【解答】解
25、：如图；当 PN 在OPM 的内部时，设切点为 D，连接 OD，则ODP90；RtOPB 中，OP2OD，OPD 30 ；第 15 页（共 31 页）MPN603030；当 PN 在OPM 的外部时；同，可求得ODP 30；此时MPN60+3090或MPN18030150故旋转角 的度数为 30或 90或 150，故答案为 30或 90或 150【点评】此题主要考查的是切线的性质，以及解直角三角形的应用；需注意切线的位置有两种情况，不要漏解16 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，由 8 个面积均为 1 的小正方形组成的 L 型模板如图放置，则矩形 ABCD 的周长为 【分析】连接 AF，作
26、GHAE 于点 H，则有 AEEFHG4，FG2，AH2，根据矩形的性质及勾股定理即可求得其周长【解答】解：如图，连接 AF，作 GHAE 于点 H，则有AEEFHG4，FG2，AH2，AG 2 ， AF 4 ，AF 2AD 2+DF2（AG +GD） 2+FD2AG 2+GD2+2AGGD+FD2，GD 2+FD2FG 2AF 2AG 2+2AGGD+FG2 3220+2 2 GD+4，第 16 页（共 31 页）GD ，FD ，BAE +AEB90 FEC+AEB，BAE FEC，BC90，AEEF，ABE ECF（AAS ） ，ABCE，CFBE ，BCBE+CEADAG+GD2 + ，
27、AB+FC2 + ，矩形 ABCD 的周长AB +BC+AD+CD2BC +AB+CF+DF2 + +2 + +2 + + 8 故答案为：8 【点评】本题利用了矩形的性质和勾股定理及全等三角形的性质求解三、解答题（第 17 小题 6 分，第 18、19 小题各 8 分，共 22 分）17 （6 分）计算：（2019） 0+| 2|（ ） 2 +3tan30【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：原式1+2 4+33 4+1【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键18 （8 分）将分别标有数字 1，2，3 的三张卡片（卡片除所标注数
28、字外其他均相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上（1）随机地抽取一张卡片，直接写出抽到的卡片所标数字是奇数的概率；（2）随机地抽取一张卡片将卡片上标有的数字作为十位上的数字（不放回） ，再随机地第 17 页（共 31 页）抽取一张卡片，将卡片上标有的数字作为个位上的数字，用列表或树状图的方法求组成的两位数恰好是“32”的概率【分析】 （1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，再找出组成的两位数恰好是“32”的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）抽到的卡片所标数字是奇数的概率 ；（2）画树状图为：共有 6 种等可能的结果数，其中组成的两位数恰好是“32”的结果
29、数为 1，所以组成的两位数恰好是“32”的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率19 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE，BF 分别平分DAB 和ABC，交边 CD于点 E， F，线段 AE，BF 相交于点 M（1）求证：AEBF ；（2）若 EF AD，则 BC：AB 的值是 【分析】 （1）想办法证明BAE+ABF 90，即可推出AGB90即 AEBF；（2）想办法证明 DEAD，CF BC，再利用平行四边形的性质 ADBC，证出DEC
30、F，得出 DFCE，由已知得出 BCAD 5EF，DE 5EF，求出DFCE4EF ，得出 ABCD9EF ，即可得出结果【解答】 （1）证明：在平行四边形 ABCD 中，ADBC，DAB+ABC180，AE、BF 分别平分DAB 和 ABC ，第 18 页（共 31 页）DAB2BAE，ABC2ABF ，2BAE +2 ABF180，即 BAE+ABF90，AGB90，AEBF；（2）解：在平行四边形 ABCD 中，CDAB，DEAEAB，又AE 平分DAB ，DAEEAB，DEADAE，DEAD ，同理可得，CF BC，又在平行四边形 ABCD 中，ADBC，DECF，DFCE，EF AD
31、，BCAD5EF ，DE5EF，DFCE4EF ，ABCD9EF ，BC：AB5： 9；故答案为： 【点评】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型四、 （第 20、21 题各 8 分，共 16 分）20 （8 分）为了解某市市民绿色出行”方式的情况某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类） ，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图种类 A B C D E出行方式 共享单车 步行 公交车 的士 私家车第 19 页（共 31 页）根
32、据以上信息，回答下列问题：（1）参与本次问卷调查的市民共有 800 人，其中选择 B 类的人数有 240 人，在扇形统计图中，A 类所对应的扇形的圆心角度数是 90 度；（2）请根据以上信息，直接在答题卡中补全条形统计图；（3）该市约有 12 万人出行，若将 A，B，C 这三类出行方式均视为绿色出行”方式，根据抽样调查的结果，请估计该市“绿色出行”方式的人数【分析】 （1）根据组人数以及百分比求出总人数即可解决问题（2）求出 A 组人数画出条形图即可（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可【解答】解：（1）20025%800（人） ，80030% 240 （人） ，360（125%30%14%
33、 6% ）90，故答案为：800，240，90（2）条形统计图如图所示（3）1280%9.6（万人） ，答：估计该市“绿色出行”方式的人数为 9.6 万人【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体的思想等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型第 20 页（共 31 页）21 （8 分）如图，某中心广场灯柱 AB（垂直于地面 BC）被钢缆 CD 定，已知CB3.6m，且 sinDCB （1）求钢缆 CD 的长度；（2）若 AD2m，灯的顶端 E 距离 A 处 1.6m，且EAB120，求灯的顶端 E 到地面的距离【分析】 （1）由 sinDCB 可得出 cosDCB ，结
34、合 CB 的长度即可求出 CD 的长度；（2）由 sinDCB ，CD6m，可得出 BD 的长度，过点 A 作 AMBC，过点 E 作EFAM 于点 F，在 RtAEF 中，通过解直角三角形可求出 EF 的长度，进而可得出灯的顶端 E 到地面的距离【解答】解：（1）sinDCB ，cosDCB ，即 ，CD6m（2）sinDCB ，CD 6m，BD4.8m过点 A 作 AM BC，过点 E 作 EFAM 于点 F，如图所示在 Rt AEF 中，AFE90，EAFEAB9030，AE1.6m ，EFAEsinEAF 0.8m，灯的顶端 E 到地面的距离EF+AD+BD 7.6m第 21 页（共
35、31 页）【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：（1）由 sinDCB ，找出 ；（2）通过解直角三角形求出 EF 的长度五、 （本题 10 分）22 （10 分）如图，在 RABC 中，ACB 90，以 BC 为直径的 O 交 AB 于点 D，点E 是 AC 的中点，连接 DC，DE（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若 AB2BC8，求 的长【分析】 （1）欲证明 DE 是切线，只要证明 ODDE 即可；（2）连接 OD，求出圆心角DOB，根据弧长公式，即可解决问题【解答】解：（1）连接 ODAEEC，OBOC ，OEAB，CDAB ，OECD，ODOC，DOE COE ，
36、第 22 页（共 31 页）在EOD 和 EOC 中， ，EOD EOC （SAS ） ，EDO ECO 90，ODDE ，DE 是 O 的切线；（2）ACB90，AB2BC8 ，ABC60，OCOB，DOB 60 ， 的长 【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，弧长的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键六、 （本题 10 分）23 （10 分）国家和地方政府为了提高农民种粮的积极性，每亩地每年发放种粮补贴 20 元，种粮大户老王今年种了 50 亩地，计划明年再多承租 50150 亩土地种粮以增加收入，考虑各种因素，预计明年每亩种粮成本 y（元）与种粮面积
37、 x（亩）之间满足一次函数关系其图象如图所示（1）今年老王种粮可获得补贴 1000 元；（2）求 y 与 x 之间的函数关系式；（3）若老王明年每亩的售粮收入能达到 2100 元，设老王明年种粮利润为 w（元） （种粮利润售粮收入种粮成本+种粮补贴） 求老王明年种粮利润 w（元）与种粮面积 x（亩）之间的函数关系式；当种粮面积为多少亩时，老王明年种粮利润最高？第 23 页（共 31 页）【分析】 （1）根据每亩地每年发放种粮补贴 20 元，种粮大户老王今年种了 50 亩地，得出老王种粮可获得补贴数目；（2）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（3）根据明年每亩的售粮收入能达到 2100 元，
38、预计明年每亩种粮成本 y（元）与种粮面积 x（亩）之间的函数关系为 y4x +180，进而得出 W 与 x 的函数关系式，再利用二次函数的最值公式求出即可【解答】解：（1）国家和地方政府为了提高农民种粮的积极性，每亩地每年发放种粮补贴 20 元，种粮大户老王今年种了 50 亩地，今年老王种粮可获得补贴 20501000 元；故答案为：1000；（2）假设函数解析式为 ykx+b，根据图象可以得出：图象过（205，1000） ，（275，1280） ，将两点代入解析式得出： ，解得： ，则 y 与 x 之间的函数关系式为：y 4x+180；（3）根据题意得出：W（2100y）x+20x2100（
39、4x+180 ） x+20x4x 2+1940x，则 x 242.5 时，x50+50，x 50+150，第 24 页（共 31 页）100x200，当 x200 时，W 最大 228000（元） 当种粮面积为 200 亩时，总收入最高为 228000 元【点评】此题主要考查了二次函数的应用，一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式和二次函数的最值问题，根据已知得出 W 与 x 的函数关系式是解题关键七、 （本题 12 分）24 （12 分）如图 1，在正方形 ABCD 中，AD6，点 P 是对角线 BD 上任意一点，连接PA， PC，过点 P 作 PEPC 交直线 AB 于点 E（1）求
40、证：PCPE；（2）延长 AP 交直线 CD 于点 F如图 2，若点 F 是 CD 的中点，求APE 的面积；若 APE 的面积是 ，则 DF 的长为 4 或 9 ；（3）如图 3，点 E 在边 AB 上，连接 EC 交 BD 于点 M，作点 E 关于 BD 的对称点 Q，连接 PQ，MQ ，过点 P 作 PNCD 交 EC 于点 N 连接 QN，若 PQ5，MN ，则MNQ 的面积是 【分析】 （1）由“AAS”可证EGPPHC 可得结论；（2） 同理作辅助线，证明DPFBPA，根据相似三角形相似比等于对应高的比得： ，计算 PH 2，PG 4，从而得 AE 的长，根据三角形面积公式可得结论
41、；设 EGx，则 PG6x ，表示三角形 APE 的面积，得方程：（x3） 2 ，解出可得 PH 的长，证明ABPFDP ，可得 DF 的长；（3）根据对称的性质得：PEPQ5，BEBQ，由PEC 是等腰直角三角形，得CE5 ，计算 BE 的长，作 QRCE 于 R，证明CQRCEB，可得 RQ 的长，由第 25 页（共 31 页）三角形面积公式可得结论【解答】 （1）证明：如图 1，过 P 作 GHAB 于 G，交 CD 于 H，四边形 ABCD 是正方形，ABCD，BDC45，GHCD，EGPPHC90，PEPC，EPC90，GEP+GPE GPE +CPH90，GEPCPH，BDC45，
42、PDH 是等腰直角三角形，PHDH AG ，ABCD，BGCHGP，EGPPHC（AAS ） ，PEPC；（2）解： 过 P 作 GHAB 于 G，交 CD 于 H，F 是 CD 的中点，DF DC AB，DFAB，DPFBPA， ，PG+ PH6，PH2，PG4，由（1）知：EGPPHC，EGPH DHAG 2，AE2+24，第 26 页（共 31 页）S APE 8，如图 2，同理可知： AGEGPH DH，设 EGx，则 PG6x ，SAPE ，x26x+ 0，（x3） 2 ，x1 （如图 4） ，x 2 ，当 x 时，PH ，PG 6 ，DFAB，ABP FDP， ， ，DF4；当 x
43、 ，如图 4，PH EG ，PGBG 6 ，DFAB，ABP FDP， ，即 ，DF9；故答案为：4 或 9；（3）解：如图 3，点 E 关于 BD 的对称点 Q，PEPQ 5，BEBQ，由（1）知：PEPC，PE PC ，PEC 是等腰直角三角形，第 27 页（共 31 页）CE5 ，RtBEC 中，BE ，CQ6 ，过 Q 作 QRCE 于 R，CRQCBE90，RCQBCE ，CQRCEB， ， ，RQ ，S MNQ ，故答案为： 第 28 页（共 31 页）【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，作辅助线构建EGPPHC
44、是本题的关键八、 （本题 12 分）25 （12 分）如图 1，抛物线 yax 2+c 与 x 轴，y 轴的正半轴分别交于点 B（4，0）和点C（0，4） ，与 x 轴负半轴交于点 A，动点 M 从点 A 出发沿折线 ACB 向终点 B 匀速运动，将线段 OM 绕点 O 顺时针旋转 60得到线段 ON，连接 MN（1）求抛物线 yax 2+c 的函数表达式；（2）如图 2，当点 N 在线段 AC 上时，求证：AMCN；（3）当点 N 在线段 BC 上时，直接写出此时直线 MN 与抛物线交点的纵坐标；（4）设 BN 的长度为 n，直接写出在点 M 移动的过程中，n 的取值范围【分析】 （1）代入
45、点 B、C 的坐标即可解除抛物线的解析式（2）OM ON，MON60，可知MON 为等边三角形，可证明AMO第 29 页（共 31 页）CNO，则 AMCN（3）当点 N 落在线段 BC 上时，分两种情况讨论，先找到 MN，则纵坐标可求（4）根据点 M 的运动轨迹，可求出点 N 的运动轨迹，可以分析出何时 BN 最长，何时NB 最短，则 n 的范围可知【解答】解：（1）将点 B、C 代入抛物线，解得 c4，16a+c0，a ，抛物线的解析式为 y x2+4（2）令 y0，解得 x14，x 24，A（4，0） ，OAOC，OACOCA 45，OM ON，MON60，OMN 为等边三角形，AMOCNO 120，AMO
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