1、第 1 页（共 30 页）2019 年四川省南充市中考数学试卷一、选择题（本大题共 10 个小题，每小 3 分，共 30 分）每小题都有代号为 A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记 3 分，不涂、填涂或多涂记 0 分1 （3 分）如果 6a1，那么 a 的值为（ ）A6 B C6 D2 （3 分）下列各式计算正确的是（ ）Ax+x 2x 3 B （x 2） 3x 5 Cx 6x2x 3 Dx x2x 33 （3 分）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ）A B C D4 （3 分）在 2019 年南充市初中毕业升学体育与
2、健康考试中，某校九年级（1）班体育委员对本班 50 名同学参加球类自选项目做了统计，制作出扇形统计图（如图） ，则该班选考乒乓球人数比羽毛球人数多（ ）A5 人 B10 人 C15 人 D20 人5 （3 分）如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，若BC6，AC5，则ACE 的周长为（ ）第 2 页（共 30 页）A8 B11 C16 D176 （3 分）关于 x 的一元一次方程 2xa2 +m4 的解为 x1，则 a+m 的值为（ ）A9 B8 C5 D47 （3 分）如图，在半径为 6 的O 中，点 A，B，C 都在O 上，四边形 OABC 是平行四
3、边形，则图中阴影部分的面积为（ ）A6 B3 C2 D28 （3 分）关于 x 的不等式 2x+a1 只有 2 个正整数解，则 a 的取值范围为（ ）A5a3 B5a3 C5a3 D5a39 （3 分）如图，正方形 MNCB 在宽为 2 的矩形纸片一端，对折正方形 MNCB 得到折痕AE，再翻折纸片，使 AB 与 AD 重合，以下结论错误的是（ ）AAB 210+2 B CBC 2CD EH DsinAHD10 （3 分）抛物线 yax 2+bx+c（a，b，c 是常数） ，a 0，顶点坐标为（ ，m ） ，给出下列结论： 若点（ n，y 1）与（ 2n，y 2）在该抛物线上，当 n 时，则
4、y1y 2；第 3 页（共 30 页）关于 x 的一元二次方程 ax2bx +cm +10 无实数解，那么（ ）A正确， 正确 B 正确， 错误C错误，正确 D错误， 错误二、填空题（本大题 6 个小题，每小是 3 分，共 18 分）请将答案填在答题十对应的横线上11 （3 分）原价为 a 元的书包，现按 8 折出售，则售价为 元12 （3 分）如图，以正方形 ABCD 的 AB 边向外作正六边形 ABEFGH，连接 DH，则ADH 度13 （3 分）计算： + 14 （3 分）下表是某养殖户的 500 只鸡出售时质量的统计数据质量/kg 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0频数 /
5、只 56 162 112 120 40 10则 500 只鸡质量的中位数为 15 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3m，2n）在直线 yx+1 上，点B（m， n）在双曲线 y 上，则 k 的取值范围为 16 （3 分）如图，矩形硬纸片 ABCD 的顶点 A 在 y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点 B 在 x轴的正半轴及原点上滑动，点 E 为 AB 的中点，AB24，BC5给出下列结论：点 A 从点 O 出发，到点 B 运动至点 O 为止，点 E 经过的路径长为 12；OAB 的面积最大值为 144；当 OD 最大时，点 D 的坐标为（ ， ） 其中正确的结论是 （填写序号）第
6、4 页（共 30 页）三、解答题（本大题共 9 个小题，共 72 分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17 （6 分）计算：（1） 0+| | +（ ） 1 18 （6 分）如图，点 O 是线段 AB 的中点，ODBC 且 ODBC（1）求证：AODOBC ；（2）若ADO35，求 DOC 的度数19 （6 分）现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字2，1，0，2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上（1）随机的取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为负数的概率（2）先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点 A 的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点 A 的
7、纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点 A 在直线 y2x 上的概率20 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m 1）x+m 230 有实数根（1）求实数 m 的取值范围；（2）当 m2 时，方程的根为 x1，x 2，求代数式（x 12+2x1） （x 22+4x2+2）的值21 （8 分）双曲线 y （k 为常数，且 k0）与直线 y2x +b，交于A（ m，m2） ，B（1 ，n）两点（1）求 k 与 b 的值；（2）如图，直线 AB 交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 D，若点 E 为 CD 的中点，求BOE 的第 5 页（共 30 页）面积22 （8 分）如图，在ABC
8、中，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，连接CD，BCDA（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若 BC5，BD3，求点 O 到 CD 的距离23 （10 分）在“我为祖国点赞“征文活动中，学校计划对获得一，二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本已知购买 2 支钢笔和 3 个笔记本共 38 元，购买 4 支钢笔和5 个笔记本共 70 元（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过 30 支时，每增加 1 支，单价降低 0.1 元；超过 50 支，均按购买 50 支的单价售，笔记本一律按原价销售学校计划奖励一、二等奖学生共计100 人，其中一等奖的人数不少于 3
9、0 人，且不超过 60 人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？24 （10 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 边上一点，以 DE 为边作正方形DEFG，DF 与 BC 交于点 M，延长 EM 交 GF 于点 H，EF 与 CB 交于点 N，连接 CG（1）求证：CDCG；（2）若 tanMEN ，求 的值；（3）已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在运动过程中，EM 的长能否为 ？请说明理由第 6 页（共 30 页）25 （10 分）如图，抛物线 yax 2+bx+c 与 x 轴交于点 A（ 1，0） ，点 B（3，0） ，且OBOC（1）
10、求抛物线的解析式；（2）点 P 在抛物线上，且POBACB，求点 P 的坐标；（3）抛物线上两点 M，N，点 M 的横坐标为 m，点 N 的横坐标为 m+4点 D 是抛物线上 M，N 之间的动点，过点 D 作 y 轴的平行线交 MN 于点 E求 DE 的最大值；点 D 关于点 E 的对称点为 F，当 m 为何值时，四边形 MDNF 为矩形第 7 页（共 30 页）2019 年四川省南充市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 个小题，每小 3 分，共 30 分）每小题都有代号为 A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确
11、记 3 分，不涂、填涂或多涂记 0 分1 （3 分）如果 6a1，那么 a 的值为（ ）A6 B C6 D【分析】直接利用倒数的定义得出答案【解答】解：6a1，a 故选：B【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键2 （3 分）下列各式计算正确的是（ ）Ax+x 2x 3 B （x 2） 3x 5 Cx 6x2x 3 Dx x2x 3【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案【解答】解：A、x +x2，无法计算，故此选项错误；B、 （x 2） 3x 6，故此选项错误；C、x 6x2x 4，故此选项错误；D、xx 2x 3，故此选项正确；故选：D【点评
12、】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键3 （3 分）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ）第 8 页（共 30 页）A B C D【分析】由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征作答【解答】解：由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知，这个几何体是三棱柱故选：C【点评】考查了几何体的展开图，解题时勿忘记三棱柱的特征4 （3 分）在 2019 年南充市初中毕业升学体育与健康考试中，某校九年级（1）班体育委员对本班 50 名同学参加球类自选项目做了统计，制作出扇形统计图（如图） ，则该班选考乒乓球人数比羽毛球人数多（ ）A5 人 B10 人 C1
13、5 人 D20 人【分析】先根据扇形统计图中的数据，求出选考乒乓球人数和羽毛球人数，即可得出结论【解答】解：选考乒乓球人数为 5040%20 人，选考羽毛球人数为 50 10 人，选考乒乓球人数比羽毛球人数多 201010 人，故选：B【点评】此题主要考查了扇形统计图的应用，求出选考乒乓球人数和羽毛球人数是解本题的关键5 （3 分）如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，若BC6，AC5，则ACE 的周长为（ ）第 9 页（共 30 页）A8 B11 C16 D17【分析】根据线段垂直平分线的性质得 AEBE，然后利用等线段代换即可得到ACE的周长AC+B
14、C，再把 BC6，AC5 代入计算即可【解答】解：DE 垂直平分 AB，AEBE，ACE 的周长AC+CE+ AEAC+CE+BEAC+BC5+611故选：B【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等6 （3 分）关于 x 的一元一次方程 2xa2 +m4 的解为 x1，则 a+m 的值为（ ）A9 B8 C5 D4【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可【解答】解：因为关于 x 的一元一次方程 2xa2 +m4 的解为 x1，可得：a21，2+m4，解得：a3，m2，所以 a+m3+25，故选：C【点评】此题
15、考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答7 （3 分）如图，在半径为 6 的O 中，点 A，B，C 都在O 上，四边形 OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）第 10 页（共 30 页）A6 B3 C2 D2【分析】连接 OB，根据平行四边形的性质得到 ABOC，推出AOB 是等边三角形，得到AOB60，根据扇形的面积公式即可得到结论【解答】解：连接 OB，四边形 OABC 是平行四边形，ABOC，ABOA OB，AOB 是等边三角形，AOB60，OCAB ，S AOB S ABC ，图中阴影部分的面积S 扇形 AOB 6，故选：A【点评】本题考查的是
16、扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键8 （3 分）关于 x 的不等式 2x+a1 只有 2 个正整数解，则 a 的取值范围为（ ）A5a3 B5a3 C5a3 D5a3【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式只有两个正整数解即可得到一个关于 a 的不等式，求得 a 的值第 11 页（共 30 页）【解答】解：解不等式 2x+a1 得：x ，不等式有两个正整数解，一定是 1 和 2，根据题意得：2 3，解得：5a3故选：C【点评】本题考查了不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键解不等式应根据不等式的基本性质9 （3 分）如图，正方形 MNC
17、B 在宽为 2 的矩形纸片一端，对折正方形 MNCB 得到折痕AE，再翻折纸片，使 AB 与 AD 重合，以下结论错误的是（ ）AAB 210+2 B CBC 2CD EH DsinAHD【分析】首先证明四边形 ABHD 是菱形，利用勾股定理求出 AB，AD ，CD，EH，AH，一一判断即可解决问题【解答】解：在 RtAEB 中，AB ，ABDH，BHAD，四边形 ABHD 是平行四边形，ABAD ，四边形 ABHD 是菱形，ADAB ，CDADAD 1， ，故选项 B 正确，BC 24，CDEH（ 1） （ +1）4，BC 2CDEH，故选项 C 正确，第 12 页（共 30 页）四边形 A
18、BHD 是菱形，AHD AHB，sinAHDsinAHB ，故选项 D 正确，故选：A【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型10 （3 分）抛物线 yax 2+bx+c（a，b，c 是常数） ，a 0，顶点坐标为（ ，m ） ，给出下列结论： 若点（ n，y 1）与（ 2n，y 2）在该抛物线上，当 n 时，则 y1y 2；关于 x 的一元二次方程 ax2bx +cm +10 无实数解，那么（ ）A正确， 正确 B 正确， 错误C错误，正确 D错误， 错误【分析】 根据二次函数的增减性进行判断便可；先把顶点坐标
19、代入抛物线的解析式，求得 m，再把 m 代入一元二次方程ax2bx+cm+10 的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误【解答】解：顶点坐标为（ ，m） ，n ，点（n，y 1）关于抛物线的对称轴 x 的对称点为（1n，y 1） ，点（1n，y 1）与（ 2n，y 2）在该抛物线上，（1n）（ 2n）n 0，1n 2n，a0，当 x 时，y 随 x 的增大而增大，y 1y 2，故此小题结论正确；把（ ，m）代入 yax 2+bx+c 中，得 m a+ b+c，一元二次方程 ax2bx +c m+10 中，b 24ac+4am4ab 24ac+4a（ a+ b+c）4a（a+b） 24a0，第
20、 13 页（共 30 页）一元二次方程 ax2bx +c m+10 无实数解，故此小题正确；故选：A【点评】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，第小题，关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再通过二次函数的增减性进行比较，第 小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负二、填空题（本大题 6 个小题，每小是 3 分，共 18 分）请将答案填在答题十对应的横线上11 （3 分）原价为 a 元的书包，现按 8 折出售，则售价为 a 元【分析】列代数式注意：仔细辨别词义 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义如“除”与“除以” ， “平方的差（或平方差）
21、”与“差的平方”的词义区分 分清数量关系要正确列代数式，只有分清数量之间的关系【解答】解：依题意可得，售价为 a，故答案为 a【点评】本题考查了列代数式，能根据题意列出代数式是解题的关键12 （3 分）如图，以正方形 ABCD 的 AB 边向外作正六边形 ABEFGH，连接 DH，则ADH 15 度【分析】根据正方形的性质得到 ABAD，BAD90，在正六边形 ABEFGH 中，求得 ABAH ，BAH120，于是得到 AHAD ，HAD36090120150，根据等腰三角形的性质即可得到结论【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，ABAD ，BAD90，在正六边形 ABEFGH 中，ABAH
22、，BAH120，AHAD ，HAD 36090120150，第 14 页（共 30 页）ADH AHD （180 150）15，故答案为：15【点评】本题考查了正多边形和圆，多边形的内角与外角，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键13 （3 分）计算： + x+1 【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果【解答】解：原式 x+1故答案为：x+1【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键14 （3 分）下表是某养殖户的 500 只鸡出售时质量的统计数据质量/kg 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0频数 /只 56 162 112
23、120 40 10则 500 只鸡质量的中位数为 1.4kg 【分析】根据中位数的概念求解可得【解答】解：500 个数据的中位数是第 250、251 个数据的平均数，第 250 和 251 个数据分别为 1.4、1.4，这组数据的中位数为 1.4（kg） ，故答案为：1.4kg【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数15 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3m，2n）在直线 yx+1 上，点B（m， n）在双曲线 y
24、上，则 k 的取值范围为 k 且 k0 【分析】根据一次函数图象上点的特征求得 n ，即可得到 B（m， ） ，根据反比例函数图象上点的特征得到 k 关于 m 的函数，根据二次函数的性质即可求得 k的取值范围【解答】解：点 A（3m，2 n）在直线 yx+1 上，第 15 页（共 30 页）2n3m+1，即 n ，B（m， ） ，点 B 在双曲线 y 上，km （m ） 2+ ， 0，k 有最大值为 ，k 的取值范围为 k ，k0，故答案为 k 且 k0【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键16 （3 分
25、）如图，矩形硬纸片 ABCD 的顶点 A 在 y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点 B 在 x轴的正半轴及原点上滑动，点 E 为 AB 的中点，AB24，BC5给出下列结论：点 A 从点 O 出发，到点 B 运动至点 O 为止，点 E 经过的路径长为 12；OAB 的面积最大值为 144；当 OD 最大时，点 D 的坐标为（ ， ） 其中正确的结论是 （填写序号）【分析】 由条件可知 AB24，则 AB 的中点 E 的运动轨迹是圆弧，最后根据弧长公式即可计算出点 E 所经过的路径长；当OAB 的面积最大时，因为 AB24，所以OAB 为等腰直角三角形，即 OAOB ，可求出最大面积为 144；当
26、O、E、D 三点共线时，OD 最大，过点 D 作 DFy 轴于点 F，可求出 OD25，证明DFAAOB 和DFO BOA，可求出 DF 长，则 D 点坐标可求出第 16 页（共 30 页）【解答】解：点 E 为 AB 的中点，AB24，OE ，AB 的中点 E 的运动轨迹是以点 O 为圆心，12 为半径的一段圆弧，AOB90，点 E 经过的路径长为 ，故错误；当OAB 的面积最大时，因为 AB24，所以OAB 为等腰直角三角形，即 OAOB，E 为 AB 的中点，OEAB，OE ， 144，故正确；如图，当 O、E、D 三点共线时，OD 最大，过点 D 作 DFy 轴于点 F，ADBC5，A
27、E ， 13，ODDE +OE13+1225，设 DFx， ，四边形 ABCD 是矩形，DAB90，DFAAOB，DAFABO，DFAAOB ，第 17 页（共 30 页） ， ，E 为 AB 的中点， AOB 90，AEOE ，AOEOAE，DFO BOA， ， ，解得 x ，x 舍去， ， 故正确故答案为： 【点评】本题考查四边形综合题、直角形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题三、解答题（本大题共 9 个小题，共 72 分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17 （6 分）计算：（1） 0+| |
28、 +（ ） 1 【分析】根据实数的混合计算解答即可【解答】解：原式1+ 【点评】此题考查二次根式的混合计算，关键是根据实数的混合计算解答18 （6 分）如图，点 O 是线段 AB 的中点，ODBC 且 ODBC（1）求证：AODOBC ；（2）若ADO35，求 DOC 的度数第 18 页（共 30 页）【分析】 （1）根据线段中点的定义得到 AOBO ，根据平行线的性质得到AOD OBC ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质和平行线的性质即可得到结论【解答】 （1）证明：点 O 是线段 AB 的中点，AOBO ，ODBC，AOD OBC ，在AOD 与 OBC 中
29、， ，AOD OBC （SAS ） ；（2）解：AODOBC ，ADO OCB 35，ODBC，DOCOCB35【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键19 （6 分）现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字2，1，0，2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上（1）随机的取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为负数的概率（2）先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点 A 的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点 A 的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点 A 在直线 y2x 上的概率【分析】 （1）由概率公式即可得
30、出结果；（2）直接利用树状图法列举出所有可能进而得出答案【解答】解：（1）随机的取一张卡片，抽取的卡片上的数字为负数的概率为 ；第 19 页（共 30 页）（2）画树状图如图所示：共有 16 个可能的结果，点 A 在直线 y2x 上的结果有 2 个，点 A 在直线 y2x 上的概率为 【点评】此题主要考查了树状图法求概率、概率公式、一次函数图象上点的坐标特征，正确列举出所有可能是解题关键20 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m 1）x+m 230 有实数根（1）求实数 m 的取值范围；（2）当 m2 时，方程的根为 x1，x 2，求代数式（x 12+2x1） （x 22+4x
31、2+2）的值【分析】 （1）根据0，解不等式即可；（2）将 m2 代入原方程可得： x2+3x+10，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论【解答】解：（1）由题意0，（2m1） 24（m 23）0，m （2）当 m2 时，方程为 x2+3x+10，x 1+x23， x1x21，方程的根为 x1，x 2，x 12+3x1+10，x 22+3x2+10，（x 12+2x1） （ x22+4x2+2）（x 12+2x1+x1x 1） （x 22+3x2+x2+2）（1x 1） （1+x 2+2）（1x 1） （x 2+1）x 2x 1x2 1x 1x 2x 12321第 20 页（共 30 页
32、）【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于 ，两根之积等于 ”是解题的关键21 （8 分）双曲线 y （k 为常数，且 k0）与直线 y2x +b，交于A（ m，m2） ，B（1 ，n）两点（1）求 k 与 b 的值；（2）如图，直线 AB 交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 D，若点 E 为 CD 的中点，求BOE 的面积【分析】 （1）将 A、B 两点的坐标代入一次函数解析式可得 b 和 n 的值，则求出点B（1，2） ，代入反比例函数解析式可求出 k 的值（2）先求出点 C、D 两点的坐标，再求出 E 点坐标，则 SBOE S ODE +
33、SODB ，可求出BOE 的面积【解答】解：（1）点 A（ m，m 2） ，B（1，n）在直线 y2x+b 上， ，解得： ，B（1，2） ，代入反比例函数解析式 ， ，k2（2）直线 AB 的解析式为 y2x 2，令 x0，解得 y2，令 y 0，解得 x1，C（1，0） ，D（0，2） ，第 21 页（共 30 页）点 E 为 CD 的中点，E（ ） ，S BOE S ODE +SODB 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键22 （8 分）如图，在ABC 中，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，连接CD，BCDA（1）求证：B
34、C 是O 的切线；（2）若 BC5，BD3，求点 O 到 CD 的距离【分析】 （1）根据圆周角定理得到ADC90，得到A+ACD90，求得ACB90，于是得到结论；（2）过 O 作 OHCD 于 H，根据相似三角形的性质得到 AB ，根据垂径定理得到CHDH，根据三角形的中位线的性质即可得到结论【解答】 （1）证明：AC 是 O 的直径，ADC90，A+ACD90，BCDA，ACD+BCD90，ACB90，BC 是O 的切线；（2）解：过 O 作 OHCD 于 H，BDCACB90，BB，ACBCDB，第 22 页（共 30 页） ， ，AB ，AD ，OHCD，CHDH，AOOC，OH A
35、D ，点 O 到 CD 的距离是 【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，三角形的中位线的性质，正确的识别图形是解题的关键23 （10 分）在“我为祖国点赞“征文活动中，学校计划对获得一，二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本已知购买 2 支钢笔和 3 个笔记本共 38 元，购买 4 支钢笔和5 个笔记本共 70 元（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过 30 支时，每增加 1 支，单价降低 0.1 元；超过 50 支，均按购买 50 支的单价售，笔记本一律按原价销售学校计划奖励一、二等奖学生共计100 人，其中一等奖
36、的人数不少于 30 人，且不超过 60 人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？【分析】 （1）钢笔、笔记本的单价分别为 x、y 元，根据题意列方程组即可得到结论；（2）设钢笔的单价为 a 元，购买数量为 b 元，支付钢笔和笔记本的总金额 w 元，当30b50 时，求得 w0.1 （b35） 2+722.5，于是得到 700w 722.5；当50b60 时，求得 w8b+6（100b）2b+600，700w 720，于是得到当30b60 时，w 的最小值为 700 元，于是得到结论第 23 页（共 30 页）【解答】解：（1）钢笔、笔记本的单价分别为 x、y 元，根据
37、题意得， ，解得： ，答：钢笔、笔记本的单价分别为 10 元，6 元；（2）设钢笔的单价为 a 元，购买数量为 b 元，支付钢笔和笔记本的总金额 w 元，当 30b50 时，a100.1（b30）0.1b+13 ，w b（0.1b+13）+6（100b）0.1b 2+7b+6000.1（b35） 2+722.5，当 b30 时，w720，当 b50 时，w 700，当 30b50 时，700w 722.5；当 50b60 时，a8，w8b+6（100b）2b+600，700w720，当 30b60 时，w 的最小值为 700 元，这次奖励一等奖学生 50 人时，购买奖品总金额最少，最少为 70
38、0 元【点评】本题考查了二次函数的应用，二元一次方程组的应用，正确的理解题意求出二次函数的解析式是解题的关键24 （10 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 边上一点，以 DE 为边作正方形DEFG，DF 与 BC 交于点 M，延长 EM 交 GF 于点 H，EF 与 CB 交于点 N，连接 CG（1）求证：CDCG；（2）若 tanMEN ，求 的值；（3）已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在运动过程中，EM 的长能否为 ？请说明理由【分析】 （1）由正方形的性质得出AADCEDG90，AD CD，DEDG，即ADECDG，由 SAS 证明ADECDG 得出 ADC
39、G90，即可得出结论；第 24 页（共 30 页）（2）先证明EFMGFM 得出 EMGM，MEFMGF ，在证明EFHGFN 得出 HFNF，由三角函数得出 GFEF3HF3NF ，得出 GH2HF，作NPGF 交 EM 于 P，则PMNHMG，PEN HEF，得出 ， ，PN HF，即可得出结果；（3）假设 EM ，先判断出点 G 在 BC 的延长线上，同（2）的方法得，EMGM ，得出 GM ，再判断出 BM ，得出 CM ，进而得出 CMGM ，即可得出结论【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 和四边形 DEFG 是正方形，AADCEDG 90，AD CD，DEDG，ADECDG，在
40、ADE 和CDG 中， ，ADECDG（SAS ） ，ADCG90，CDCG ；（2）解：四边形 DEFG 是正方形，EFGF ，EFM GFM45，在EFM 和 GFM 中 ，EFM GFM（SAS） ，EMGM，MEF MGF，在EFH 和GFN 中， ，EFHGFN（ASA ） ，HFNF，tanMEN ，GFEF3HF3NF，第 25 页（共 30 页）GH2HF ，作 NPGF 交 EM 于 P，则PMN HMG，PEN HEF， ， ，PN HF， ；（3）EM 的长不可能为 ，理由：假设 EM 的长为 ，点 E 是 AB 边上一点，且 EDGADC90，点 G 在 BC 的延长线
41、上，同（2）的方法得，EMGM ，GM ，在 Rt BEM 中， EM 是斜边，BM ，正方形 ABCD 的边长为 1，BC1，CM ，CMGM ，点 G 在正方形 ABCD 的边 BC 上，与“点 G 在 BC 的延长线上”相矛盾，假设错误，即：EM 的长不可能为 第 26 页（共 30 页）【点评】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键，用反证法说明 EM 不可能为 是解本题的难度25 （10 分）如图，抛物线 yax 2+bx+c 与 x 轴交于点 A（ 1，0） ，点 B（3，0） ，且OBOC（1）求抛物线的解析式
42、；（2）点 P 在抛物线上，且POBACB，求点 P 的坐标；（3）抛物线上两点 M，N，点 M 的横坐标为 m，点 N 的横坐标为 m+4点 D 是抛物线上 M，N 之间的动点，过点 D 作 y 轴的平行线交 MN 于点 E求 DE 的最大值；点 D 关于点 E 的对称点为 F，当 m 为何值时，四边形 MDNF 为矩形【分析】 （1）已知抛物线与 x 轴两交点坐标，可设交点式 ya（x+1） （x+3） ；由OCOB3 得 C（0，3） ，代入交点式即求得 a1（2）由POBACB 联想到构造相似三角形，因为求点 P 坐标一般会作 x 轴垂线 PH得 Rt POH，故可过点 A 在 BC
43、边上作垂线 AG，构造ACGPOH利用点A、B、C 坐标求得 AG、CG 的长，由相似三角形对应边成比例推出 设点P 横坐标为 p，则 OH 与 PH 都能用 p 表示，但需按 P 横纵坐标的正负性进行分类讨论得到用 p 表示 OH 与 PH 并代入 OH2PH 计算即求得 p 的值，进而求点 P 坐标第 27 页（共 30 页）（3） 用 m 表示 M、N 横纵坐标，把 m 当常数求直线 MN 的解析式设 D 横坐标为d，把 xd 代入直线 MN 解析式得点 E 纵坐标，D 与 E 纵坐标相减即得到用 m、d 表示的 DE 的长，把 m 当常数，对未知数 d 进行配方，即得到当 dm+2 时
44、，DE 取得最大值由矩形 MDNF 得 MNDF 且 MN 与 DF 互相平分，所以 E 为 MN 中点，得到点D、E 横坐标为 m+2由得 dm +2 时，DE4，所以 MN8用两点间距离公式用m 表示 MN 的长，即列得方程求 m 的值【解答】解：（1）抛物线与 x 轴交于点 A（1，0） ，点 B（3，0）设交点式 ya（x +1） （x +3）OCOB3，点 C 在 y 轴负半轴C（0，3）把点 C 代入抛物线解析式得： 3a3a1抛物线解析式为 y（x +1） （x +3）x 24x3（2）如图 1，过点 A 作 AG BC 于点 G，过点 P 作 PH x 轴于点 HAGBAGCPHO 90ACBPOBACGPOHOBOC3，BOC90 ABC45，BC 3ABG 是等腰直角三角形AGBG ABCGBCBG3 2OH2PH第 28 页（共 30 页）设 P（p，p 24p3）当 p 3 或 1p0 时，点 P 在点 B 左侧或在 AC 之间，横纵坐标均为负数OHp，PH（p 24p3）p 2+4p+3p2（p 2+4p+3）解得：p 1 ，p 2P（ ， ）或（ ， ）当 3p 1 或 p0 时，点 P 在 AB 之间或在点 C 右侧，横纵坐标异号p2（p 2+4p+3）解得：p 1
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