1、人教版九年级下学期28.2 解直角三角形2019 年同步练习卷一选择题（共 10 小题）1如图，要测量小河两岸相对的 A、B 两点之间的距离，可以在小河边取 AB 的垂线 BC上的一点 D，若测得 BD 60 米，ADB40，则 AB 等于（ ）A60tan40米 B60tan50米 C60sin40米 D60sin50米2如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一点 C，测得 PC8 米， cosPCA ，则 PA 等于（ ）A5 米 B6 米 C7.5 米 D8 米3如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，ABC
2、 的三个顶点均在格点上，则 tanA的值为（ ）A B C D42019 年 1 月 3 日，嫦娥四号探测器自主着落在月球背面，实现人类探测器首次月背软着陆当时，中国已提前发射的“鹊桥”中继星正在地球、月球延长线上的 L2 点（第二拉格朗日点）附近，沿 L2 点的动态平衡轨道飞行，为嫦娥四号着陆器和月球车提供地球、月球中继通信支持，保障嫦娥四号任务的完成与实施第 2 页（共 20 页）如图，已知月球到地球的平均距离约为 38 万公里，L 2 点到月球的平均距离约为 6.5 万公里某刻，测得线段 CL2 与 AL2 垂直，CBL 256，则下列计算鹊桥中继星到地球的距离 AC 方法正
3、确的是（ ）AAC 2（6.5sin56） 2+44.52BAC 2（6.5tan56） 2+44.52CAC 2（6.5cos56） 2 44.52DAC 2（6.5cos56） 2+6.525如图，A，B，C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为 1，则 sinABC 的值（ ）A B1 C D6一般地，当 、 为任意角时，sin （+ ）与 sin（）的值可以用下面的公式求得：sin（+ ）sin cos+cossin；sin（ ）sin coscos sin例如 sin90sin（60+30 ）sin60 cos30+cos60sin30 1类似地，可以求
4、得 sin15的值是（ ）A B C D7如图，P 是 的边 OA 上一点，且点 P 的坐标为（ ，1） ，则 tan 等于（ ）第 3 页（共 20 页）A B C D8如图，一块直角三角板和一张光盘竖放在桌面上，其中 A 是光盘与桌面的切点，BAC 60，光盘的直径是 80cm，则斜边 AB 被光盘截得的线段 AD 长为（ ）A20 cm B40 cm C80cm D80 cm9如图，某数学兴趣小组为了测量树 AB 的高度，他们在与树的底端 B 同一水平线上的 C处，测得树顶 A 处的仰角为 a，且 B、C 之间的水平距离为 a 米则树高 AB 为（ &
5、nbsp;）Aatana 米 B 米 Casina 米 Dacos a 米10如图，ABC 中，ADBC 于点 D，AD2 ，B 30，S ABC 10 ，则 tanC的值为（ ）A B C D二填空题（共 8 小题）11如图，在正方形网格中，cosACB 第 4 页（共 20 页）12如图所示的网格是正方形网格，则AOB COD （填“” ， “”或“” ）13如图是一个地铁站入口双翼闸机的示意图，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点 A 与B 之间的距离为 10cm，双翼的边缘 ACBD61cm，且与闸机侧立面夹角PCA BD
6、Q30，当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度为 14一渔船上的渔民在 A 处看见灯塔 M 在北偏东 60方向，这艘渔船以 28km/时的速度向正东航行，半小时到 B 处，在 B 处看见灯塔 M 在北偏东 30方向，此时，灯塔 M 与渔船的距离是 15如图，在 45 的正方形网格中点 A，B，C 都在格点上，则 tanABC 16如图，ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则 sinA 17如图，已知某商店营业大厅自动扶梯 AB 的倾斜角为 31，自动扶梯 AB 的长为 10 米，则大
7、厅两层之间的高度 BC 为 米（参考数据：sin31 0515，cos31 0.857，tan31 0.601）第 5 页（共 20 页）18三角形在正方形网格中的位置如图所示，则 sin 的值是 三解答题（共 4 小题）19如图，楼梯 AB 的倾斜角ABD 为 60，楼梯底部到墙根垂直距离 BD 为 4m，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角ACD 为 45，求调整后的楼梯AC 的长20高淳固城湖大桥采用 H 型塔型斜拉桥结构（如甲图） ，图乙是从图甲抽象出的平面图测得拉索 AB 与水平桥面的夹角是 45，拉
8、索 CD 与水平桥面的夹角是 65，两拉索顶端的距离 AC 为 2 米，两拉索底端距离 BD 为 10 米，请求出立柱 AH 的长（结果精确到 0.1 米） （参考数据：sin650.91， cos650.42，tan652.14）21如图所示，ABC 中，B45，C30，AB2 求 BC 的长第 6 页（共 20 页）22某地下车库出口处安装了“两段式栏杆” ，如图 1 所示，点 A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆；两段的联结点当车辆经过时，栏杆 AEF 最多只能升起到如图 2 所示的位置，其示意图如图 3 所示（栏杆宽度忽略不计，EF 长度远大于车辆宽度） ，其中AB BC，EFBC，AE
9、F143，ABAE 1.2 米，该地下车库出口的车辆限高标志牌设置如图 4 是否合理？请通过计算说明理由（参考数据：sin370.60， cos370.80，tan370.75）第 7 页（共 20 页）人教版九年级下学期28.2 解直角三角形2019 年同步练习卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1如图，要测量小河两岸相对的 A、B 两点之间的距离，可以在小河边取 AB 的垂线 BC上的一点 D，若测得 BD 60 米，ADB40，则 AB 等于（ ）A60tan40米 B60tan50米 C60sin40米 D60sin50米【分析】在 RtABD 中，利用正切的定义
10、可得出 tanADB ，代入数据后即可求出 AB 的长度，此题得解【解答】解：在 RtABD 中，ABD90，ADB40，BD60 米，tanADB ，ABBD tanADB60tan40米故选：A【点评】本题考查了解直角三角形的应用，利用正切的定义，找出 ABBDtanADB是解题的关键2如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一点 C，测得 PC8 米， cosPCA ，则 PA 等于（ ）A5 米 B6 米 C7.5 米 D8 米【分析】在 RtAPC 中，由 PC 的长及 cosPCA 的值可得出 AC 的长，再利用勾股定理
11、即可求出 PA 的长第 8 页（共 20 页）【解答】解：在 RtAPC 中，APC90，PC8 米，cosPCA ，AC 10 米，PA 6 米故选：B【点评】本题考查了解直角三角形的应用，通过解直角三角形求出 AC，PA 的长是解题的关键3如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，则 tanA的值为（ ）A B C D【分析】根据网格，利用三角函数定义求出 tanA 的值即可【解答】解：根据网格得：RtABC 中，BC4，AB 3，则 tanA ，故选：D【点评】此题属于解直角三角形题型，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键42019 年 1
12、月 3 日，嫦娥四号探测器自主着落在月球背面，实现人类探测器首次月背软着陆当时，中国已提前发射的“鹊桥”中继星正在地球、月球延长线上的 L2 点（第二拉格朗日点）附近，沿 L2 点的动态平衡轨道飞行，为嫦娥四号着陆器和月球车提供地球、月球中继通信支持，保障嫦娥四号任务的完成与实施如图，已知月球到地球的平均距离约为 38 万公里，L 2 点到月球的平均距离约为 6.5 万第 9 页（共 20 页）公里某刻，测得线段 CL2 与 AL2 垂直，CBL 256，则下列计算鹊桥中继星到地球的距离 AC 方法正确的是（ ）AAC 2（6.5sin56） 2+44.52BAC 2（6.5ta
13、n56） 2+44.52CAC 2（6.5cos56） 2 44.52DAC 2（6.5cos56） 2+6.52【分析】在直角三角形 BCL2 中，CL 2BL 2tan56，在直角三角形 ACL2 中，AC2（6.5tan56 ） 2+44.52；【解答】解：在直角三角形 BCL2 中，CBL 256，BL 26.5，CL 2 BL2tan56，在直角三角形 ACL2 中， ，AC 2（6.5tan56 ） 2+44.52，故选：B【点评】本题考查直角三角形的应用；熟练掌握直角三角形中三角函数值的定义是解题的关键；5如图，A，B，C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为 1，则 sin
14、ABC 的值（ ）A B1 C D【分析】连接 AC，AC ，BC ，AB ，得到 ABC 是直角三角形，sinABC ；【解答】解：连接 AC，AC ，BC ，AB ，ABC 是直角三角形，sinABC ；故选：A第 10 页（共 20 页）【点评】本题考查直角三角形，勾股定理；熟练掌握在方格中利用勾股定理求边长，同时判断三角形形状是解题的关键6一般地，当 、 为任意角时，sin （+ ）与 sin（）的值可以用下面的公式求得：sin（+ ）sin cos+cossin；sin（ ）sin coscos sin例如 sin90sin（60+30 ）sin60 cos30+cos6
15、0sin30 1类似地，可以求得 sin15的值是（ ）A B C D【分析】根据题意给出公式即可求出答案【解答】解：sin15sin（4530）sin45cos30cos45sin30 ，故选：A【点评】本题考查实数运算，解题的关键是熟练运用特殊角锐角三角函数的值，本题属于基础题型7如图，P 是 的边 OA 上一点，且点 P 的坐标为（ ，1） ，则 tan 等于（ ）A B C D【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案【解答】解：P（ ，1） ，tan ，第 11 页（共 20 页）故选：C【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本
16、题属于基础题型8如图，一块直角三角板和一张光盘竖放在桌面上，其中 A 是光盘与桌面的切点，BAC 60，光盘的直径是 80cm，则斜边 AB 被光盘截得的线段 AD 长为（ ）A20 cm B40 cm C80cm D80 cm【分析】连接 DO，AO，过 O 作 OEAD 交 AD 于点 E，由 A 是光盘与桌面的切点，求出OAE30，E 是 AD 的中点，在 RtAEO 中求出 AE，即可求 AD；【解答】解：连接 DO，AO，过 O 作 OEAD 交 AD 于点 E，BAC60，A 是光盘与桌面的切点，OAC90，OAE30，OAOD ，E 是 AD 的中点，在 Rt AEO
17、 中，AO40cmAE20 cm，AD40 cm；故选：B【点评】本题考查直角三角形的特殊三角函数值，圆的切线性质，等腰三角形的性质；能够将所求的边构造直角三角形进行求解是解题的关键第 12 页（共 20 页）9如图，某数学兴趣小组为了测量树 AB 的高度，他们在与树的底端 B 同一水平线上的 C处，测得树顶 A 处的仰角为 a，且 B、C 之间的水平距离为 a 米则树高 AB 为（ ）Aatana 米 B 米 Casina 米 Dacos a 米【分析】根据三角函数的定义即可得到结论【解答】解：在 RtABC 中，ABC90，ACB ，BCa，tan ，ABatan ，故选：A【
18、点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是角的三角函数值10如图，ABC 中，ADBC 于点 D，AD2 ，B 30，S ABC 10 ，则 tanC的值为（ ）A B C D【分析】首先解直角ABD，求得 BD，再根据 SABC 10 ，求出 BC，那么CDBCBD，然后在直角ACD 中利用正切函数定义即可求得 tanC 的值【解答】解：在ABD 中，ADB90，AD2 ，B30，BD 6S ABC BCAD10 ， BC2 10 ，BC10，第 13 页（共 20 页）CDBCBD1064，tanC 故选：D【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的面积，锐角三角函数定义
19、，解题的关键是求出 CD 的长二填空题（共 8 小题）11如图，在正方形网格中，cosACB 【分析】过点 B 作 BDAC，垂足为点 D，在 RtBCD 中，利用勾股定理可求出 BC 的长，结合余弦的定义可求出 cosACB 的值，此题得解【解答】解：过点 B 作 BD AC，垂足为点 D，如图所示在 Rt BCD 中， CD1，BD2，BC ，cosACB 故答案为： 【点评】本题考查了解直角三角形，牢记余弦的定义是解题的关键12如图所示的网格是正方形网格，则AOB COD （填“” ， “”或“” ）【分析】根据 tanAOB 与 tanCOD 的大小比较即可求
20、解第 14 页（共 20 页）【解答】解：根据题意可知 tanAOB2，tan COD2，AOBCOD，故答案为：【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键13如图是一个地铁站入口双翼闸机的示意图，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点 A 与B 之间的距离为 10cm，双翼的边缘 ACBD61cm，且与闸机侧立面夹角PCA BDQ30，当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度为 71cm 【分析】过点 A 作 AEPC 于点 E，过点 B 作 BFQD 于点 F，根据含 30 度角的直角三角形的性质即可求出 AE 与 BF 的
21、长度，然后求出 EF 的长度即可得出答案【解答】解：过点 A 作 AEPC 于点 E，过点 B 作 BFQD 于点 F，AC61，PCA30，AE AC ，由对称性可知：BFAE ，通过闸机的物体最大宽度为 2AE+AB61+1071，故答案为：71cm【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含 30 度的直角直角三角形的第 15 页（共 20 页）性质，本题属于基础题型14一渔船上的渔民在 A 处看见灯塔 M 在北偏东 60方向，这艘渔船以 28km/时的速度向正东航行，半小时到 B 处，在 B 处看见灯塔 M 在北偏东 30方向，此时，灯塔 M 与渔船的距离是 14km &nbs
22、p;【分析】作 BHAM 于 H，根据题意标注方向角，根据等腰三角形的性质和锐角三角函数的概念进行计算即可【解答】解：如图，由题意得，MAB30，MBC60，CBMBAM+ AMB，AMB BAM30，BMBA，AB280.514（km） ，BMAB14km故答案为 14km【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确画出图形、准确标注方向角、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键15如图，在 45 的正方形网格中点 A，B，C 都在格点上，则 tanABC 【分析】过点 C 作 CEAB 于点 E，利用面积法可求出 CE 的长，在 RtBCE 中，利用勾股定理
23、可求出 BE 的长，再结合正切的定义可求出 tanABC 的值【解答】解：过点 C 作 CEAB 于点 E，如图所示S ABC AC3 ABCE，即 23 3 CE，第 16 页（共 20 页）CE 在 Rt BCE 中，BC ，CE ，BE 2 ，tanABC 故答案为： 【点评】本题考查了解直角三角形、三角形的面积以及勾股定理，利用面积法及勾股定理，求出 CE，BE 的长是解题的关键16如图，ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则 sinA 【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案【解答】解：由勾股定理可知：AC 2 ，由锐角三角函数的定义可知：sinA ，故答案
24、为： ；【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型17如图，已知某商店营业大厅自动扶梯 AB 的倾斜角为 31，自动扶梯 AB 的长为 10 米，则大厅两层之间的高度 BC 为 5.15 米（参考数据：sin310515，cos31 0.857，tan31 0.601）【分析】直接利用正弦的定义求解第 17 页（共 20 页）【解答】解：如图，在 Rt ABC 中，sinBAC ，BC10sin31100.51551.5，即大厅两层之间的高度 BC 为 51.5m故答案为 51.5【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题：在解决坡度的有关问题中
25、，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题18三角形在正方形网格中的位置如图所示，则 sin 的值是 【分析】锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做A 的正弦，即 sinAA 的对边除以斜边【解答】解：由图可得，直角三角形的斜边长 5，sin ，故答案为： 【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，我们把锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做A 的正弦，记作 sinA三解答题（共 4 小题）19如图，楼梯 AB 的倾斜角ABD 为 60，楼梯底部到墙根垂直距离 BD 为 4
26、m，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角ACD 为 45，求调整后的楼梯AC 的长第 18 页（共 20 页）【分析】在直角三角形 ABD 中，利用锐角三角函数定义求出 AD 的长，在直角三角形ACD 中，利用锐角三角函数定义求出 AC 的长即可【解答】解：在 RtABD 中，ABD60，BD 4m ，BAD30，AD 4 m，在 Rt ACD 中， ACD45 ，AC AD4 m【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键20高淳固城湖大桥采用 H 型塔型斜拉桥结构（如甲图） ，图乙是从图甲抽象出的平面图测得拉索 AB 与水平桥面的夹角是 45
27、，拉索 CD 与水平桥面的夹角是 65，两拉索顶端的距离 AC 为 2 米，两拉索底端距离 BD 为 10 米，请求出立柱 AH 的长（结果精确到 0.1 米） （参考数据：sin650.91， cos650.42，tan652.14）【分析】设 AH 的长为 x 米，则 CH 的长为（x2）米，在 RtABH 中，由AHBHtan45可得出 BHx，进而可得出 DHx 10，在 RtCDH 中，由CHDHtan65可得出 x 22.14（x 10） ，解之即可得出结论（求出的 x 的值精确到 0.1 米） 【解答】解：设 AH 的长为 x 米，则 CH 的长为（x2）米在 Rt ABH 中，
28、AHBH tan45，BHx，DHBH BD x 10；在 Rt CDH 中，CH DHtan65，x22.14（x 10） ，第 19 页（共 20 页）解得：x17.0117.0答：立柱 AH 的长约为 17.0 米【点评】本题考查了解直角三角形的应用，通过解直角三角形，找出关于 AH 长的一元一次方程是解题的关键21如图所示，ABC 中，B45，C30，AB2 求 BC 的长【分析】过点 A 作 ADBC 于点 D，解 RtABD 求出 AD、BD 的长度，解 RtACD 求出 AC、CD 的长度，再根据 BCBD +CD 即可求出 BC 的长度【解答】解：过点 A 作 AD BC 于点
29、 D，如图所示在 Rt ABD 中，ADB90，B45，AB2 ，ADBD ABsinB2 2在 Rt ACD 中， ADC90 ，C 30，AD 2，AC2AD4，CD AD2 ，BCBD+ CD2+2 【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理以及特殊角的三角函数，过点 A 作 BC 的垂线段，把ABC 分成两个直角三角形是解题的关键22某地下车库出口处安装了“两段式栏杆” ，如图 1 所示，点 A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆；两段的联结点当车辆经过时，栏杆 AEF 最多只能升起到如图 2 所示的位置，其示意图如图 3 所示（栏杆宽度忽略不计，EF 长度远大于车辆宽度） ，其中AB BC
30、，EFBC，AEF143，ABAE 1.2 米，该地下车库出口的车辆限高标志牌设置如图 4 是否合理？请通过计算说明理由（参考数据：sin370.60， cos370.80，tan370.75）第 20 页（共 20 页）【分析】过点 A 作 BC 的平行线 AG，过点 E 作 EHAG 于 H，则BAG90，EHA90先求出AEH53，则EAH 37，然后在 EAH 中，利用正弦函数的定义得出 EHAE sinEAH，则栏杆 EF 段距离地面的高度为： AB+EH，代入数值计算即可【解答】解：如图，过点 A 作 BC 的平行线 AG，过点 E 作 EHAG 于 H，则EHG HEF90，AEF 143，AEHAEFHEF 53，EAH37，在EAH 中，EHA 90，EAH 37，AE1.2 米，EHAEsinEAH 1.20.600.72（米） ，AB1.2 米，AB+EH1.2+0.72 1.921.9 米该地下车库出口的车辆限高标志牌设置如图 4 合理【点评】本题考查了解直角三角形在实际中的应用，难度适中关键是通过作辅助线，构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题加以计算
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