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    2019年高考数学解密题(含解析)之 等差数列、等比数列

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    2019年高考数学解密题(含解析)之 等差数列、等比数列

    1、 等差数列、等比数列高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率等差数列2018 新课标全国 42018 新课标全国 II 172017 新课标全国 42017 新课标全国 II 152016 新课标全国 32016 新课标全国 17等比数列2018 新课标全国 172017 新课标全国 32017 新课标全国 142016 新课标全国 152016 新课标全国 III 17等差数列与等比数列的综合从近三年高考情况来看,等差数列和等比数列一直是高考的热点,尤其是等差数列和等比数列的通项公式及其性质,等差数列和等比数列的前 n 项和等为考查重点,有时会将等差数列和等比的通项、前 n 项和及性质综合

    2、考查,题型有选择题、填空题,也有解答题,解题时要注意性质的应用,充分结合函数与方程、分类讨论、化归与方程等数学思想的运用.2017 新课标全国 III 9 考点 1 等差数列、等比数列的基本运算题组一 等差数列基本量的计算调研 1 已知等差数列a n中, +a8=16, =1,则 的值为246aA15 B17C 22 D64【答案】A【解析】由等差数列的性质可得 2a5=a2+a8=16,解得 a5=8,等差数列a n的公差d=a5a4=81=7,a 6=a5+d=8+7=15.故选 A【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式,涉及等差数列的性质的应用,属基础题由等差数列的性质可得 a5,进而可

    3、得数列的公差,而 a6=a5+d,代入化简可得调研 2 设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,S n2 Sn=36,则 n=A5 B6C7 D8【答案】D题组二 等比数列基本量的计算调研 3 在各项均为正数的等比数列a n中,若 ,则 a6 的值是28641,2a_【答案】4【解析】设公比为 q(q0),a 2=1,则由 得 ,即8642a642q,解得 q2=2,420q .462a调研 4 设等比数列 的前 项和为 ,若 ,则nanS243,15S6A B31 32C D6 64【答案】C【解析】方法一:很明显数列的公比 ,1q则由 ,得 ,即 ,所以243

    4、,15S214()35aq124aq6S.631()()6aq故选 C.方法二:很明显数列的公比 ,1q设等比数列的前 n 项和为 ,由题意可得: ,解得:nSA24315SAq,214Aq据此有: .663146SqA本题选择 C 选项.【名师点睛】一是在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q1 或 q1 分类讨论,防止因忽略 q1 这一特殊情形而导致解题失误二是运用等比数列的性质时,注意条件的限制.技巧点拨等差(比)数列基本量的计算是解决等差(比)数列题型时的基础方法,在高考中常有所体现,多以选择题或填空题的形式呈现,有时也会出现在解答题的第一问中,属基础题.等差( 比) 数列基

    5、本运算的解题思路:(1)设基本量 a1 和公差 d(公比 q)(2)列、解方程组:把条件转化为关于 a1 和 d(q)的方程(组) ,然后求解,注意整体计算,以减少运算量考点 2 等差数列、等比数列的判定与证明题组一 等差数列的判定与证明调研 1 已知数列 满足 =1, ,则 =_na1112nnaan【答案】 2【解析】数列 满足 , ,则 常数 ,na1112nnaa12(na)所以数列 是以 为首项,2 为公差的等差数列n1则 ,所以 ,12na1na故答案为 .【名师点睛】本题主要考查了数列的递推关系式,等差数列的定义,等差数列的通项公式,属于中档题.根据递推公式可得 ,由等差数列的定

    6、义及通项公式可求出 .12nana调研 2 设数列a n的各项都为正数,其前 n 项和为 Sn,已知对任意 nN *,S n 是 a 和 an2n的等差中项(1)证明:数列a n为等差数列;(2)若 bn=n5,求a nbn的最大项的值并求出取最大值时 n 的值【答案】(1)见解析;(2) 当 n=2 或 n=3 时,a nbn的最大项的值为 6.【解析】(1)由已知可得 2Sn=a a n,且 an0,2n当 n=1 时,2a 1=a a 1,解得 a1=1;21当 n2 时,有 2Sn1=a a n1,2n 1所以 2an=2Sn2Sn1=a a a nan1,2n 2n 1所以 a a

    7、=ana n1,即 (ana n1)(anan1)=ana n1,2n 2n 1因为 ana n10,所以 anan1=1(n2)故数列a n是首项为 1,公差为 1 的等差数列(2)由(1)可知 an=n,设 cn=anbn,则 cn=n(n5)=n 25n= 2 ,(n 52) 254因为 nN *,所以当 n=2 或 n=3 时,a nbn的最大项的值为 6.技巧点拨等差数列的判定与证明的方法:定义法: 或 是等差数列; 1()nad*N1(2,)nadn*Nna定义变形法:验证是否满足 ; 1n等差中项法: 为等差数列; 122()nn*通项公式法:通项公式形如 为常数 为等差数列;

    8、,apq)na前 n 项和公式法: 为常数 为等差数列2(nS注意:(1)若判断一个数列不是等差数列,只需找出三项 ,使得12,nna即可;22nna(2)如果要证明一个数列是等差数列,则必须用定义法或等差中项法题组二 等比数列的判定与证明调研 3 已知数列 满足 ,且 ,则 _na*12naN( ) 13a8【答案】 654【解析】由 可得 ,即数列 是以12n12nnn为首项,以 为公比的等比数列,即13a11818652,2, .24nnnaa【名师点睛】本题考查数列通项公式的求法,属中档题.由 可得1na,由此求出数列的通项公式,即可得到 .112nna 8a调研 4 设数列a n的前

    9、 n 项和为 Sn,已知 a1=1,S n1 =4an2.(1)设 bn=an1 2an,证明:数列b n是等比数列;(2)求数列a n的通项公式【答案】(1)见解析;(2) an=(3n1)2n2.【解析】(1)由 a1=1 及 Sn1 =4an2,得 a1a 2=S2=4a12.a 2=5,b 1=a22a1=3.又Error!,得 an1 =4an4an1,a n1 2an=2(an2an1)b n=an1 2an,b n=2bn1,故b n是首项 b1=3,公比为 2 的等比数列.(2)由(1)知 bn=an1 2an=32n1, = ,an 12n 1an2n34故 是首项为 ,公差

    10、为 的等差数列an2n 12 34 = ( n1) = ,an2n12 343n 14故 an=(3n1)2n2.技巧点拨等比数列的判定与证明常用的方法:(1)定义法: 为常数且 数列 是等比数列1naq(0)qna(2)等比中项法: 数列 是等比数列212(,nnna*N(3)通项公式法: 数列 是等比数列)tn(4)前 项和公式法:若数列的前 项和 ,则该数列nSAq(0,1)q是等比数列其中前两种方法是证明等比数列的常用方法,而后两种方法一般用于选择题、填空题中注意:(1 )若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比数列即可(2)只满足 的数列未必是等比数列,要使其成为

    11、等比数列还需要 .10naq 10a考点 3 等差数列、等比数列的性质题组一 等差数列性质的应用调研 1 设 是等差数列 的前 项和,若 ,则nSna135a5SA9 B11C 5 D7【答案】C【解析】因为 , ,所以 ,所以 ,135a1532a1353aa31所以 ,故选 C.532S【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的问题,涉及的知识点有等差数列的性质与等差数列的求和问题,正确应用公式是解题的关键.首先根据等差数列的性质,得到,所以得到 ,从而求得 ,之后应用等差数列的求1532a1353aa31a和公式,得到结果.调研 2 若a n是等差数列,首项 a10,a 2 016a 2 0

    12、170,a 2 016a2 0170成立的最大正整数 n 是A2 016 B2 017C4 032 D4 033【答案】C【解析】因为 a10,a 2 016a 2 0170,a 2 016a2 0170,a 2 0170 成立的最大正整数 n 是 4 1 2017032.题组二 等比数列性质的应用调研 3 已知等比数列 中, , , 为方程 的两根,则na0n1a92106x20580=aA32 B64C 256 D 6【答案】B【解析】 , 为方程 的两根,则 ,数列 是等比数列,1a92106x19ana则 ,又 ,所以 .22085019na2058064故选 B.【名师点睛】本题主要

    13、考查等比数列的性质的应用.由根与系数的关系可得 ,196a再利用等比中项的性质求 .20580a调研 4 已知数列a n是等比数列,S n 为其前 n 项和,若 a1a 2a 3=4,a 4a 5a 6=8,则S12=A40 B60C32 D50【答案】B【解析】由等比数列的性质可知,数列 S3,S 6S3,S 9S6,S 12S9 是等比数列,即数列4,8,S 9S6,S 12S9 是等比数列,因此 S12=481632=60 ,选 B技巧点拨等差(比)数列的性质是每年高考的热点之一,利用等差(比)数列的性质进行求解可使题目减少运算量,题型以选择题或填空题为主,难度不大,属中低档题.应用等差

    14、数列性质的注意点:(1)熟练掌握等差数列性质的实质等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前 n 项和公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.(2)应用等差数列的性质解答问题的关键寻找项数之间的关系,但要注意性质运用的条件,如若 ,则mnpqqpnmaa(,n,需要当序号之和相等、项数相同时才成立,再比如只有当等差数列a n的前 n 项)q*N和 Sn 中的 n 为奇数时,才有 Sn=na 中 成立.应用等比数列性质时的注意点:(1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若mn= pq,则 aman=

    15、apaq”,可以减少运算量,提高解题速度(2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形此外,解题时注意设而不求思想的运用.考点 4 等差数列与等比数列的综合调研 1 已知a n是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn.若 a3,a 4,a 8 成等比数列,则Aa 1d0,dS 40 Ba 1d0,dS 40【答案】B【解析】由 a =a3a8,得(a 12d)(a 17d)=(a 13d) 2,整理得 d(5d3a 1)=0,又 d0,a 1=24d,则 a1d= d20,2n当 n=1 时,2a 1=a a 1,解得 a1=1;21当 n2 时,有 2S

    16、n1=a a n1,2n 1所以 2an=2Sn2Sn1=a a a nan1,2n 2n 1所以 a a =ana n1,即 (ana n1)(anan1)=ana n1,2n 2n 1因为 ana n10,所以 anan1=1(n2)故数列a n是首项为 1,公差为 1 的等差数列(2)由(1)可知 an=n,设 cn=anbn,则 cn=n(n5)=n 25n= 2 ,(n 52) 254因为 nN *,所以当 n=2 或 n=3 时,a nbn的最大项的值为 6.技巧点拨等差数列的判定与证明的方法:定义法: 或 是等差数列; 1()nad*N1(2,)nadn*Nna定义变形法:验证是

    17、否满足 ; 1n等差中项法: 为等差数列; 122()nn*通项公式法:通项公式形如 为常数 为等差数列; ,apq)na前 n 项和公式法: 为常数 为等差数列2(nS注意:(1)若判断一个数列不是等差数列,只需找出三项 ,使得12,nna即可;22nna(2)如果要证明一个数列是等差数列,则必须用定义法或等差中项法题组二 等比数列的判定与证明调研 3 已知数列 满足 ,且 ,则 _na*12naN( ) 13a8【答案】 654【解析】由 可得 ,即数列 是以12n12nnn为首项,以 为公比的等比数列,即13a11818652,2, .24nnnaa【名师点睛】本题考查数列通项公式的求法

    18、,属中档题.由 可得1na,由此求出数列的通项公式,即可得到 .112nna 8调研 4 设数列a n的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,S n1 =4an2.(1)设 bn=an1 2an,证明:数列b n是等比数列;(2)求数列a n的通项公式 【答案】(1)见解析;(2) an=(3n1)2n2.【解析】(1)由 a1=1 及 Sn1 =4an2,得 a1a 2=S2=4a12.a 2=5,b 1=a22a1=3.又Error!,得 an1 =4an4an1,a n1 2an=2(an2an1)b n=an1 2an,b n=2bn1,故b n是首项 b1=3,公比为 2 的等比数列

    19、.(2)由(1)知 bn=an1 2an=32n1, = ,an 12n 1an2n34故 是首项为 ,公差为 的等差数列an2n 12 34 = ( n1) = ,an2n12 343n 14故 an=(3n1)2n2.技巧点拨等比数列的判定与证明常用的方法:(1)定义法: 为常数且 数列 是等比数列1naq(0)qna(2)等比中项法: 数列 是等比数列212(,nnna*N(3)通项公式法: 数列 是等比数列)tn(4)前 项和公式法:若数列的前 项和 ,则该数列nSAq(0,1)q是等比数列其中前两种方法是证明等比数列的常用方法,而后两种方法一般用于选择题、填空题中注意:(1 )若要判

    20、定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比数列即可(2)只满足 的数列未必是等比数列,要使其成为等比数列还需要 .10naq 10a考点 3 等差数列、等比数列的性质题组一 等差数列性质的应用调研 1 设 是等差数列 的前 项和,若 ,则nSna135a5SA9 B11C 5 D7【答案】C【解析】因为 , ,所以 ,所以 ,135a1532a1353aa31所以 ,故选 C.532S【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的问题,涉及的知识点有等差数列的性质与等差数列的求和问题,正确应用公式是解题的关键.首先根据等差数列的性质,得到,所以得到 ,从而求得 ,之后应用等差数列的求153

    21、2a1353aa31a和公式,得到结果.调研 2 若a n是等差数列,首项 a10,a 2 016a 2 0170,a 2 016a2 0170成立的最大正整数 n 是A2 016 B2 017C4 032 D4 033【答案】C题组二 等比数列性质的应用调研 3 已知等比数列 中, , , 为方程 的两根,则na0n1a92106x20580=aA32 B64C 256 D 6【答案】B【解析】 , 为方程 的两根,则 ,数列 是等比数列,1a92106x19ana则 ,又 ,所以 .22085019na2058064故选 B.【名师点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用.由根与系数的关系可

    22、得 ,196a再利用等比中项的性质求 .20580a调研 4 已知数列a n是等比数列,S n 为其前 n 项和,若 a1a 2a 3=4,a 4a 5a 6=8,则S12=A40 B60C32 D50【答案】B【解析】由等比数列的性质可知,数列 S3,S 6S3,S 9S6,S 12S9 是等比数列,即数列4,8,S 9S6,S 12S9 是等比数列,因此 S12=481632=60 ,选 B技巧点拨等差(比)数列的性质是每年高考的热点之一,利用等差(比)数列的性质进行求解可使题目减少运算量,题型以选择题或填空题为主,难度不大,属中低档题.应用等差数列性质的注意点:(1)熟练掌握等差数列性质

    23、的实质等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前 n 项和公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.(2)应用等差数列的性质解答问题的关键寻找项数之间的关系,但要注意性质运用的条件,如若 ,则mnpqqpnmaa(,n,需要当序号之和相等、项数相同时才成立,再比如只有当等差数列a n的前 n 项)q*N和 Sn 中的 n 为奇数时,才有 Sn=na 中 成立.应用等比数列性质时的注意点:(1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若mn= pq,则 aman=apaq”,可以减少运算量,提高解题速度(2

    24、)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形此外,解题时注意设而不求思想的运用.考点 4 等差数列与等比数列的综合调研 1 已知a n是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn.若 a3,a 4,a 8 成等比数列,则Aa 1d0,dS 40 Ba 1d0,dS 40【答案】B【解析】由 a =a3a8,得(a 12d)(a 17d)=(a 13d) 2,整理得 d(5d3a 1)=0,又 d0,a 1=24d,则 a1d= d20,又S 4=4a16d= d,dS 4= d20,故选 B53 53 23 23调研 2 已知公差不为 0 的等差数列 ,满足:

    25、成等比数列.n1437,(1 )求数列 的通项公式及其前 n 项和 ;n S(2 )令 ,求数列 的前 项和 .*21nbaNnbnT【答案】 (1) ;(2) .,nnS41n【解析】 (1)设等差数列 的首项为 ,公差为 ,na1d由于 成等比数列,即 ,43,a243又 ,37所以 解得 ,121,daad13,2ad由于 ,11,2nnnS所以 .2,nna(2 )因为 ,1所以 ,4n因此 11nbn故 12 1423nnTbn .41所以数列 的前 项和 .nb4nT【名师点睛】 (1)通过将已知各项用首项和公差表示,利用已知条件计算即得结果;(2 )通过裂项可知 bn= ,利用裂

    26、项相消法求和即可14考点 5 等差数列与等比数列的创新问题题组一 等差数列与等比数列的新定义问题调研 1 设 Sn 为数列a n的前 n 项和,若 (nN *)是非零常数,则称该数列为“和等比数S2nSn列”若数列c n是首项为 2、公差为 d(d0)的等差数列,且数列c n是“和等比数列”,则d=_.【答案】4数列新定义型创新题的一般解题思路:(1)阅读审清“新定义”;(2)结合常规的等差数列、等比数列的相关知识,化归、转化到“新定义” 的相关知识;(3)利用“新定义”及常规的数列知识,求解证明相关结论题组二 等差数列与等比数列的文化背景问题调研 2 九章算术卷第六 均输中,提到如下问题:

    27、“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升问中间二节欲均容,各多少?”其中“欲均容”的意思是:使容量变化均匀,即每节的容量成等差数列在这个问题中的中间两节容量分别是A 升、 升 B 2 升、3 升 67413C 升、 升 D 升、 升2 67【答案】D【解析】设从上而下,记第 节的容量为 升,故 ,iia1234a,设公差为 ,则有 ,解得 ,故 ,7894ad1346d176d576a,63故选 D调研 3 古代数学著作九章算术有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“ 一女子善于织布,每天织的布都是前一天的 2 倍,已知她 5 天共织布 5 尺,问这女子每天

    28、分别织布多少?”根据上题的已知条件,可求得该女子第 3 天所织布的尺数为A B 2031 35C D85 2【答案】A【解析】由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列,且数列的公比为 2,前 5项的和为 5,设首项为 ,前 n 项和为 ,1anS则由题意得 , , ,55123Sa1532301a即该女子第 3 天所织布的尺数为 故选 A0【名师点睛】本题以中国古文化为载体考查等比数列的基本运算,解题的关键是正确理解题意,将问题转化成等比数列的知识求解,考查阅读理解和转化、计算能力由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列,且数列的公比为 2,由题意求出数列的首项后可得第 3 天织布

    29、的尺数1 ( 陕西省汉中市汉中中学 2019 届高三数学第三次月考)设 为等比数列 的前 项nSna和, ,则2580a52SA B1 8C 5 D11【答案】A【解析】数列 为等比数列,设公比为 ,由 得 ,解得naq2580a3280aq.2q则 .5155222 31aqS故选 A.【名师点睛】本题考查等比数列的通项公式及前 n 项和.计算过程中先化简后代值可大大简化计算过程.由 可求出数列公比 ,再利用等比数列前 项和公式2580a2qn求 .52S2 ( 安徽省蚌埠市第一中学 2019 届高三上学期期中考试数学试题)已知数列 为等差na数列,且 ,则 的值为17134a21tanA B3 3C D【答案】B【解析】由数列 为等差数列,可知 .na1372a所以 ,有 .1713747所以 .28tatatnta3故选 B.【名师点睛】本题主要考查了等差数列性质,属于基础题.由等差数列的性质可知,解得 ,又 ,从而得解.17137aa7217tantan3 ( 湖南省长沙市雅礼中学 2019 届高三上学期月考(一)数学试题)在数列 中,na,数列 是以 3 为公比的等比数列,则 等于1n 32019logA2017 B2018 C 2019 D2020【答案】B【解析】 ,数列 是以 3 为公比的等比数列,1ana


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